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Primitivas. Regla de Barrow 398
ii) En todo puntoc deŒa; b� en el quef sea continua se verifica queF es derivable en dicho
punto siendoF 0.c/D f .c/. En particular, sif es continua enŒa; b�, entoncesF es derivable
en Œa; b� y F 0.x/D f .x/ para todox2 Œa; b�.
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. SeaM > 0 tal quejf .x/j 6 M para todo
x2 Œa; b�. Entonces, six < y son puntos deŒa; b� tenemos que
jF.y/ � F.x/j D
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
yw
x
f .t/dt
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6
yw
x
jf .t/jdt 6 M.y � x/
Por la misma razón, si suponemos quey < x, tendremos quejF.y/ � F.x/j 6 M.y � x/.
Estas dos desigualdades nos dicen quejF.y/ � F.x/j 6 M jy � xj para todo par de puntos
x;y2 Œa; b�. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad deF en Œa; b�.
ii) Pongamos
F.x/� F.c/
x � c � f .c/D
F.x/� F.c/ � .x � c/f .c/
x � c D
xw
c
f .t/dt �
xw
c
f .c/dt
x � c D
D
xw
c
.f .t/ � f .c//dt
x � c
Dado," > 0, la continuidad def enc nos dice que hay unı > 0 tal que para todot 2 Œa; b�
con jt � cj < ı se tiene quejf .t/ � f .c/j < ". Tomemos ahora un punto cualquierax 2 Œa; b�
tal quejx � cj < ı. Entonces es claro que para todot comprendido entrex y c se tendrá que
jt � cj < ı y, por tanto,jf .t/ � f .c/j < " por lo que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
xw
c
.f .t/ � f .c//dt
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6 "jx � cj
Deducimos que para todox2 Œa; b� tal quejx � cj < ı, y x ¤ c, se verifica que
ˇ̌
ˇ̌F.x/� F.c/
x � c � f .c/
ˇ̌
ˇ̌D
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
xw
c
.f .t/ � f .c//dt
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
jx � cj 6
"jx � cj
jx � cj D "
Hemos probado que lKım
x!c
F.x/� F.c/
x � c Df .c/, esto es,F es derivable enc y F
0.c/Df .c/. 2
8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow
8.17 Definición. Dada un funciónh W Œa; b�! R , cualquier funciónH W Œa; b�! R que sea
continua enŒa; b�, derivable en�a; bŒ y verifique queH 0.x/Dh.x/ para todox 2�a; bŒ, se llama
unaprimitiva def en el intervaloŒa; b�.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Primitivas. Regla de Barrow 399
Es importante advertir que no todas las funciones tienen primitivas. Por ejemplo, unacondi-
ción necesariaque debe cumplir una función para tener primitivas es que dicha función tenga
la propiedad del valor intermedio pues, como recordarás, las funciones derivadas tienen esa
propiedad. También, como consecuencia del teorema del valor medio, es inmediato quedos
primitivas de una función en un mismo intervalo se diferencian en una constante. Por ello, si
conocemos una primitiva de una función en un intervalo las conocemos todas.
El siguiente resultado es una consecuencia muy importante del Teorema Fundamental del
Cálculo.
8.18 Corolario. Toda función continua en un intervalo tiene primitivas en dicho intervalo.
Demostración. Seaf una función continua en un intervaloI . Elijamos un puntǫ 2I . Cual-
quiera seax 2 I el intervalo de extremos̨ y x está contenido enI y f es continua en él y
por tanto es integrable en él. Podemos por ello definir la función H W I ! R dada para todo
x 2 I por H.x/ D
r x
˛ f .t/dt . Esta función es derivable en todo intervalo cerrado y acotado
contenido enI . Pues siŒa; b� � I , para todox 2 Œa; b� se tiene que:
H.x/D
xw
˛
f .t/dt D
aw
˛
f .t/dt C
xw
a
f .t/dt :
Por tanto, salvo una constante aditiva, la funciónH coincide en el intervaloŒa; b� con la función
área def enŒa; b�, es decir, con la funciónF.x/ definida por8.6. Comof es continua enŒa; b�
(por ser continua enI ) el teorema fundamental del cálculo nos dice queF es derivable en todo
puntox 2 Œa; b� y F 0.x/D f .x/. Deducimos queH es derivable en todo puntox 2 Œa; b� y
H 0.x/D f .x/.
Finalmente, el hecho de queH sea derivable en todo intervalo cerrado y acotado contenido
enI , implica, por la propiedad local de la derivabilidad, queH es derivable enI y su derivada
en todo puntox2I viene dada porH 0.x/D f .x/. 2
Es importante que aprecies que estees un resultado de existencia; es la definición que
hemos dado de área – y por consiguiente de integral – lo que nosha permitidoconstruir la
función primitiva def . La integración es por tanto una herramienta que permite construir
una función cuya derivada es conocida; por eso la integración es una potente herramienta para
construir nuevas funciones.
8.19 Estrategia.
� Para derivar funciones de la formaH.x/ D
r g.x/
a f .t/dt dondef es una función
continua yg es una función derivable, se aplica el teorema fundamental del cálcu-
lo y la regla de la cadena para derivar la función compuestaH.x/ D F.g.x//, donde
F.x/D
r x
a f .t/dt .
� Para derivar funciones de la formaH.x/D
r v.x/
u.x/
f .t/dt dondef es una función con-
tinua yu, v son funciones derivables, se escribeH.x/D
r v.x/
a f .t/dt �
r u.x/
a f .t/dt y
se aplica lo dicho en el punto anterior.
El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona también unatécnica para calcular la
integral de unafunción continuaen un intervaloŒa; b�. Para ello lo que hacemos es calcular una
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Las funciones logaritmo y exponencial 400
primitiva def en Œa; b�. Si h es una tal primitiva, entonces las funcionesF.x/D
r x
a f .t/dt , y
h.x/ � h.a/ son dos primitivas def enŒa; b� que coinciden en un punto, pues ambas se anulan
ena. Deducimos queF.x/Dh.x/�h.a/ para todox2 Œa; b� y, por tanto,F.b/D
r b
a f .t/dt D
h.b/ � h.a/. Podemos generalizar este resultado como sigue.
8.20 Teorema(Regla de Barrow). Seaf W Œa; b�! R integrable y supongamos queh es una
primitiva def en Œa; b�. Entonces:
bw
a
f .t/dt D h.b/ � h.a/
Demostración. SeaP DfaD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg una partición deŒa; b�. Aplicando
el teorema de valor medio, tenemos que:
h.b/ � h.a/D
nX
kD1
.h.xk/ � h.xk�1//D
nX
kD1
f .tk/.xk � xk�1/D �.f;P /
La igualdad anterior nos dice que para toda particiónP de Œa; b� hay alguna suma de Rie-
mann def asociada a dicha partición,�.f;P /, que es igual ah.b/ � h.a/. Si ahora toma-
mos una sucesiónfPng de particiones del intervaloŒa; b� tales que�.Pn/ ! 0, tenemos que
h.b/ � h.a/D �.f;Pn/ para alguna suma de Riemann,�.f;Pn/, def asociada a la partición
Pn. Pero sabemos que�.f;Pn/!
r b
a f , por lo que obtenemos queh.b/ � h.a/D
r b
a f . 2
Fíjate que en la regla de Barrow no se supone quef sea continua sino tan sólo que es
integrable y que, además, tiene una primitiva.
8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial
Quiero convencerte de que muchas veces el cálculo integral proporciona la interpretación
más intuitiva de una función. Considera, por ejemplo, la función logaritmo natural. Quizás
sepas expresar log2 como límite de una sucesión o algo parecido; pero, ¿puedes representar de
alguna forma intuitiva el número log2? ¿Sabrías representar gráficamente el número log2? En
la siguiente gráfica puedesver el número log2.
0
1
2
0 1 2 3 4
w 2
1
1
t
dt
y D 1
x
Figura 8.6. Logaritmo de 2
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	Aproximaciones al área
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