calculo-diferencial-e-integral-francisco-javier-pérez-gonzález-143

Vista previa del material en texto

Criterios de convergencia para integrales 404
8.26 Ejemplo. Seaa¤ 1. Se tiene que:
tw
1
1
xa
dx D t
1�a
1 � a �
1
1� a
Deducimos que:
C1w
1
1
xa
dx D lKım
t!C1
tw
1
1
xa
dx D
8
<
:
1
a � 1 si a > 1
C∞ si a < 1
(8.10)
Análogamente:
1w
0
1
xa
dx D lKım
t!0
1w
t
1
xa
dx D
8
<
:
1
1 � a si a < 1
C∞ si a > 1
(8.11)
�
8.27 Ejemplo. Seaa¤ 1. Usando la técnica de integración por partes, que estudiaremos más
adelante, es fácil calcular una primitiva de la funciónf .x/D logx
xa
. Comprueba que:
F.x/D x
1�a.�1C .1� a/ logx/
.1 � a/2
es una primitiva def enRC. Por tanto
r t
1f .x/dx D F.t/� F.1/. En consecuencia:
C1w
1
logx
xa
dx D
8
<
:
1
.1� a/2 si a > 1
C∞ si a < 1
(8.12)
Análogamente:
1w
0
logx
xa
dx D
8
<
:
� 1
.1� a/2 si a < 1
�∞ si a > 1
(8.13)
�
8.3.1. Criterios de convergencia para integrales
Naturalmente, no siempre vamos a disponer de una primitiva expresable por medio de fun-
ciones elementales, bien porque no exista o porque su cálculo efectivo sea muy complicado. Por
ello, interesa conocer condiciones que aseguren la convergencia de una integral sin necesidad
de conocer una primitiva elemental. Lógicamente, estas condiciones no nos permitirán calcular
el valor numérico de la integral; tan sólo nos dirán si es o no convergente. Consideraremos
integrales definidas en intervalos del tipoŒc; bŒ dondec < b 6C1. Criterios de convergencia
análogos se verifican para integrales definidas en intervalos del tipo�a; c� donde�1 6 a < c.
El caso en que la función integrando es positiva es particularmente sencillo de estudiar.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Criterios de convergencia para integrales 405
8.28 Proposición(Criterio básico de convergencia). Seaf continua y positiva enŒc; bŒ.
Entonces, la integral def en Œc; bŒ es convergente si, y sólo si, la funciónF.x/D
r x
c f .t/dt
está mayorada enŒc; bŒ, en cuyo caso:
bw
c
f .t/dt D sup
(
xw
c
f .t/dt W x 2 Œc; bŒ
)
En otro caso la integral def en Œc; bŒ es positivamente divergente.
Las afirmaciones hechas son consecuencia de que, por serf positiva enŒc; bŒ, la función
F.x/D
r x
c f .t/dt es creciente enŒc; bŒ.
El siguiente criterio es consecuencia inmediata del anterior.
8.29 Proposición(Criterio de comparación). Seanf y g continuas y positivas enŒc; bŒ.
Supongamos que la integral deg enŒc; bŒ es convergente y quef .x/6g.x/ para todox2 Œc; bŒ.
Entonces la integral def en Œc; bŒ también es convergente.
De este criterio se deduce fácilmente el siguiente.
8.30 Proposición(Criterio límite de comparación). Seanf y g continuas y positivas en
Œc; bŒ. Supongamos que:
lKım
x!b
f .x/
g.x/
D �2RC:
Entonces las integrales def y g en Œc; bŒ ambas convergen o ambas divergen positivamente.
Demostración. De la hipótesis hecha se deduce que existe un númerou 2�c; bŒ tal que para
todox 2 Œu; bŒ se verifica que:
1
2
� 6
f .x/
g.x/
6
3
2
� ” g.x/6 2f .x/6 3g.x/:
De estas dos desigualdades se deduce, por el criterio de comparación anterior, que las integrales
def y deg enŒu; bŒ son ambas convergentes o ambas divergen positivamente. Basta tener ahora
en cuenta la observación8.25. 2
8.31 Definición. Se dice que la integral def es absolutamente convergenteen un cierto
intervalo cuando la integral de la funciónjf j es convergente en dicho intervalo.
Naturalmente, los criterios de convergencia antes vistos para integrales de funciones posi-
tivas, pueden usarse para estudiar la convergencia absoluta de la integral de cualquier función.
Por ello, el siguiente resultado es de gran utilidad. Para demostrarlo usaremos la siguiente ca-
racterización de la existencia de límite.
8.32 Proposición(Condición de Cauchy para la existencia de límite). Seab un número
real o bienb D C1, seac < b y seaf W Œc; bŒ! R una función. Equivalen las siguientes
afirmaciones:
a) La funciónf tiene límite finito enb, es decir, lKım
x!b
f .x/D L2R.
b) Para todo" > 0 existe un númerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ se verifica
quejf .x/ � f .y/j < ".
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Teoremas del valor medio para integrales 406
Demostración.
a÷ b/. Por hipótesis, para todo" > 0 existe un númerou" 2�c; bŒ tal que para todo
x 2�u"; bŒ se verifica quejf .x/�Lj < "=2. Paray 2�u"; bŒ también serájf .y/ �Lj < "=2.
Deducimos que:
jf .x/� f .y/j D jf .x/ �L � .f .y/ �L/j6 jf .x/�Lj C jf .y/ �Lj < "
2
C "
2
D ":
b÷ a/. Probaremos que hay un númeroL2R tal que para toda sucesiónfxng ! b se verifica
queff .xn/g ! L. Según sabemos, por la proposición7.41, esto equivale a quef tenga límite
en b igual a L. Seafxng ! b, para probar queff .xn/g es convergente probaremos que
dicha sucesión verifica la condición de Cauchy. Dado" > 0, por la hipótesis hecha, hay un
númerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ se verifica quejf .x/� f .y/j < "=2. Como
fxng ! c, existe un número naturalm" tal que para todop > m" se tiene quexp 2�u"; cŒ.
Deducimos que sip > m" y q > m", entoncesjf .xp/ � f .xq/j < ", lo que prueba que la
sucesiónff .xn/g es de Cauchy y, por el teorema de completitud deR, es convergente. Sea
L 2 R el límite deff .xn/g. Si ahora consideramos cualquier otra sucesiónfyng ! b, el
mismo razonamiento anterior prueba queff .yn/g converge. Debemos probar que su límite
también esL. Para ello, basta con observar que, como consecuencia de la hipótesis hecha, la
sucesiónff .xn/ � f .yn/g converge a0, pues para todon suficientemente grande se tiene que
xn;yn 2�u"; bŒ, por lo quejf .xn/ � f .yn/j < ". 2
La proposición anterior tiene una versión análoga para el caso de considerar un intervalo
del tipo �a; c� cona un número real oaD�1.
La condición del punto b) de la proposición anterior se llamacondición de Cauchyparaf
enb.
8.33 Teorema.Si la integral def es absolutamente convergente, entonces la integral def
también es convergente.
Demostración. Supongamos que la integral def es absolutamente convergente enŒc; bŒ. Pon-
gamosG.x/D
r x
b jf .t/jdt , F.x/D
r x
c f .t/dt . Por la hipótesis hecha, existe el límite deG en
b y es finito. En tal caso, se verifica la condición de Cauchy paraG enb. Dado" > 0, hay un
númerou" 2�c; bŒ tal que para todosx;y 2�u"; bŒ esjG.x/�G.y/j < ". Teniendo en cuenta
la desigualdad:
jF.x/� F.y/j D
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
xw
c
f .t/dt �
yw
c
f .t/dt
ˇ̌
ˇ̌
ˇD
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
yw
x
f .t/dt
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
yw
x
jf .t/jdt
ˇ̌
ˇ̌
ˇD jG.x/�G.y/j ;
se deduce que la funciónF verifica la condición de Cauchy enb, por lo que dicha función tiene
límite finito enb, es decir, la integral def en Œc; bŒ es convergente. 2
8.4. Teoremas del valor medio para integrales
El teorema fundamental del cálculo permite traducir a integrales el teorema del valor medio.
Basta observar para ello que, sif es una función continua en un intervaloI y ˛ es un punto
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Integrales impropias de Riemann
	Criterios de convergencia para integrales
	Teoremas del valor medio para integrales