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Ejercicios resueltos 419
¿Esf de claseC 1?
Solución.Pongamosh.x/D g.x/
x
parax ¤ 0. Como
lKım
x!0
h.x/D lKım
x!0
g.x/� g.0/
x � 0 D g
0.0/;
definiremosh.0/D g 0.0/. Con ello, la funciónh es continua enR. Deducimos quef es
derivable enR n f0g y:
f 0.x/D
x g.x/
x
�
r x
0
g.t/
t
dt
x2
D
g.x/ �
r x
0
g.t/
t
dt
x2
:
La derivada def es claramente continua enR n f0g. Comprobaremos quef es continua
en0 y que su derivada tiene límite en0, en cuyo caso la proposición6.19nos dice quef
es de claseC 1. Para calcular el límite def en0 podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
lKım
x!0
f .x/D lKım
x!0
g.x/
x
D g 0.0/ ÷ lKım
x!0
f .x/D f .0/:
Lo que prueba quef es continua en0 y, por tanto,f es continua enR. Para calcular el
límite def 0.x/ en0, comog es derivable, podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
lKım
x!0
f 0.x/D lKım
x!0
g 0.x/� g.x/
x
2x
D� lKım
x!0
g.x/� xg 0.x/
2x2
:
Este último límite no puede calcularse por la regla de L’Hôpital porque no sabemos sig 0
es derivable. Pensando un poquito, nos damos cuenta de que podemos calcularlo como
sigue. La idea es conseguir utilizar la hipótesis de queg es dos veces derivable en0.
g.x/� xg 0.x/
2x2
Dg.x/� xg
0.0/C xg 0.0/ � xg 0.x/
2x2
Dg.x/ � xg
0.0/
2x2
�g
0.x/� g 0.0/
2x
:
Para calcular el límite de la primera fracción en0 podemos aplicar L’Hôpital (o el teore-
ma de Taylor – Young) y tenemos:
lKım
x!0
g.x/ � xg 0.0/
2x2
D lKım
x!0
g 0.x/� g 0.0/
4x
D 1
4
g 00.0/:
Y lKım
x!0
g 0.x/� g 0.0/
2x
D 1
2
g 00.0/. Concluimos que lKım
x!0
f 0.x/D 1
4
g 00.0/. Por la propo-
sición6.19, concluimos quef es derivable en0 conf 0.0/D 1
4
g 00.0/ y, por tanto,f 0 es
continua en0, luegof es una función de claseC 1 enR. ©
Ejercicio resuelto 188 SeaF W Œ0;C1Œ! R definida porF.x/D
r 2x
x e
�t2 dt . Estudia los
extremos relativos y absolutos deF , intervalos de concavidad y convexidad, puntos de
inflexión y calcula el límite deF enC1.
Solución.Observa que todo lo que se pide en este ejercicio depende del conocimiento
de la función derivada deF que podemos calcular fácilmente.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 420
PoniendoF.x/D
r 2x
0 e
�t2 dt �
r x
0 e
�t2 dt , deducimos que:
F 0.x/D 2 e�4x2 � e�x2 De�x2
�
2 e�3x
2 �1
�
.x > 0/
El signo deF 0 es el mismo de2 e�3x
2 �1. Tenemos que:
2 e�3x
2 �1 > 0” e�3x2 >1
2
” 3x2 6 log2 ”jxj6
r
log2
3
Como consideramos quex >0, obtenemos queF 0.x/> parax 2 Œ0;
q
log2
3
� y F 0.x/60
parax >
q
log2
3
. Por tantoF es creciente enŒ0;
q
log2
3
� y es decreciente enŒ
q
log2
3
;C1Œ.
Deducimos que enx0 D
q
log2
3
la función F alcanza un valor máximo absoluto en
Œ0;C1Œ. No hay otros extremos relativos, además dex0, porque la derivada solamen-
te se anula enx0.
Por su definición, se tiene queF.x/ > 0 para todox > 0, puesF es la integral de la
función continua positiva e�t
2
en el intervaloŒx; 2x�. ComoF.0/ D 0, resulta queF
alcanza en0 un valor mínimo absoluto.
Calculemos la segunda derivada.
F 00.x/D�16x e�4x2 C2x e�x2 D2x e�x2
�
1 � 8 e�3x2
�
.x > 0/
Se obtiene fácilmente queF 00.x/60 parax 2 Œ0;
p
log2� y F 00.x/>0 parax >
p
log2.
Por tanto,F es cóncava enŒ0;
p
log2� y convexa enŒ
p
log2;C1Œ. Deducimos queF
tiene un único punto de inflexión enx1 D
p
log2.
Finalmente, como:
0 6 F.x/D
2xw
x
e�t
2
dt 6
2xw
x
e�x
2
dt D x e�x2 ;
y lKım
x!C1
x e�x
2 D0, obtenemos que lKım
x!C1
F.x/D 0. ©
Ejercicio resuelto 189 Calcula los siguientes límites.
a/ lKım
x!0
x>0
x2w
0
sen.
p
t/dt
x3
b/ lKım
x!0
x
xw
0
et
2
dt
xw
0
et
2
sent dt
c/ lKım
x!0
x>0
x2w
0
�
e�t
2 � e�1
�
dt
x
p
x
d/ lKım
x!0
x2C1w
1
e�t
t
dt
x2
e/ lKım
x!C1
 
xw
0
et
2
dt
!2
xw
0
e2t
2
dt
f / lKım
x!0
xw
0
.sent C cost � 1/dt
x2
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Ejercicios resueltos 421
Solución.Todos ellos se calculan aplicando las reglas de L’Hôpital.
a) lKım
x!0
x>0
x2w
0
sen.
p
t/dt
x3
D lKım
x!0
x>0
2x sen.
p
x2/
3x2
D lKım
x!0
x>0
2
3
sen.jxj/
x
D lKım
x!0
x>0
2
3
senx
x
D 2
3
:
Observa que lKım
x!0
x<0
x2w
0
sen.
p
t/dt
x3
D �2
3
, por tanto, no existe el límite en0 de dicha fun-
ción.
e) Se trata de una indeterminación del tipo11 .
lKım
x!C1
�r x
0 e
t2 dt
�2
r x
0 e
2t2 dt
D lKım
x!C1
2 ex
2 r x
0 e
t2 dt
e2x2
D lKım
x!C1
2
r x
0 e
t2 dt
ex2
D
D lKım
x!C1
2 ex
2
2x ex2
D lKım
x!C1
1
x
D 0
©
Ejercicio resuelto 190 Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y cal-
cúlalas cuando sean convergentes.
a/
C1w
1
dx
x
p
4x2 C x C 1
b/
C1w
0
x e�x
2
dx c/
C1w
0
1p
x.1C x/ dx
d/
C1w
0
1C x4
.x2 C 1/3 dx e/
1w
0
logx
x
dx f /
C1w
�1
1
1C x2 dx
Sugerencias. Ena) hacerx D 1=t y end) x D tg t .
Solución.En todos los casos, salvoa/ y d/, podemos calcular una primitiva inmediata
que se puede usar para calcular la integral y, de paso, comprobar su convergencia. Antes
de hacera/ y d/ estudia las técnicas de cálculo de primitivas.
c)
C1w
0
1p
x.1C x/
dx D lKım
u!C1
uw
0
1p
x.1C x/
dx D 2 lKım
u!C1
arc tg
p
uD � .
d) La función que se integra se hace infinita en los extremos del intervalo�1 y 1.
1w
�1
1p
1 � x2
dx D lKım
t!�1
0w
t
1p
1 � x2
dx C lKım
t!1
tw
0
1p
1 � x2
dxD
D� lKım
t!�1
arc sent C lKım
t!1
arc sent D �:
e)
1w
0
logx
x
dx D lKım
t!0
1w
t
logx
x
dx D� lKım
t!0
1
2
.log t/2 D�1. ©
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