Problemas de calculo vectorial-3

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GEOMETŔIA DE LAS FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES
Caṕıtulo
0
Este es un caṕıtulo introductorio en el que nos centraremos en ejercicios
preliminares de gran utilidad para afrontar adecuadamente el cálculo de
funciones de varias variables. Tanto los ejemplos como los ejercicios que
esencialmente aparecen en el estudio de estas funciones suelen estar referidos
al plano o al espacio, es decir, se trata con funciones de R2 ó R3. Los motivos
son simples: en primer lugar, no hay una diferencia substancial entre lo que
ocurre para estas funciones y las funciones definidas en espacios de dimensión
superior, mientras que por otro lado, en estos espacios podemos tener una
representación gráfica de estas funciones que ayuda a aclarar conceptos y
facilita su comprensión.
Es por ello que los ejercicios de este primer tema están dedicados a repasar
cuestiones relativas a geometŕıa elemental del plano y del espacio, a tratar
con algunos objetos como las cónicas y las cuádricas, que suelen aparecer
como los ejemplos más t́ıpicos de objetos bidimensionales y tridimensionales,
respectivamente, y a introducir el uso de las coordenadas polares, ciĺındricas
y esféricas, que serán usadas con frecuencia en muchos otros ejercicios. La
intención es recordar o introducir al lector en el uso de estas herramientas
básicas con las que poder moverse sin dificultad en este contexto.
0 1
REPASO DE GEOMETŔIA DEL PLANO Y EL ESPACIO
� Determinar si las siguientes ternas de puntos están o no alineadas:
1 (1, 1), (2, 4), (−1,−2).
2 (4, 0), (0, 1), (12,−2).
3 (3,−1), (1, 0), (−3, 2).
4 (0, 0), (3, 2), (1, 5).
Solución:
2 Tres puntos están alineados si los vectores que los unen son colinea-
les. De este modo construimos dos vectores que unan los puntos:
8 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables8 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables8 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
u1 = (4, 0) − (0, 1) = (4,−1), u2 = (12,−2) − (0, 1) = (12,−3).
Para ver si son colineales se comprueba si el determinante formado
por estos dos vectores es o no nulo. Dicho determinante vale 0, por
lo que los puntos están alineados.
4 Puesto que uno de los puntos es el origen, basta comprobar si los
vectores (3, 2) y (1, 5) son colineales. El determinante formado por
estos dos vectores vale 13, por lo tanto los puntos dados no están
alineados.
� Encontrar la ecuación de la recta perpendicular al vector v y que pasa por
el punto P en los casos:
5 v = (1,−1), P = (−5, 3).
6 v = (−5, 4), P = (3, 2).
7 v = (0, 1), P = (0, 3).
8 v = (2, 3), P = (−1,−1).
Solución 7:
En general sabemos, y es sencillo comprobar, que la recta que es per-
pendicular al vector v = (v1, v2) y pasa por el punto P = (p1, p2) es la
recta de ecuación
v1(x− p1) + v2(y − p2) = 0.
En este caso concreto obtenemos la recta y = 3.
� ¿Cuáles de los siguientes pares de rectas son perpendiculares?
9 2x− 5y = 1, 2x+ y = 2.
10 3x− 5y = 1, 5x+ 3y = 7.
11 −x+ y = 2, x+ y = 9.
12 x+ 2y = 5, y = 3 + 2x.
Solución 10:
El criterio de perpendicularidad entre rectas se reduce a comprobar
si sus vectores directores, o equivalentemente, sus vectores normales,
son perpendiculares. Esto sucede cuando el producto escalar de tales
vectores es nulo. Puesto que para una recta de ecuación
ax+ by + c = 0
un vector normal viene dado por (a, b), es fácil ver que en este ejemplo
concreto tenemos
(3,−5) · (5, 3) = 0,
y por tanto las dos rectas son perpendiculares.
� Encontrar las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por los pares
de puntos dados:
0.1 Repaso de geometrı́a del plano y el espacio 9
13 (1, 1,−1), (−2, 1, 3).
14 (−1, 5, 2), (3,−4, 1).
15 (1, 0, 1), (0, 1, 0).
16 (0, 1, 2), (−1, 0, 3).
Solución 13:
En general, la recta del espacio que pasa por dos puntos dados P =
(p1, p2, p3) y Q = (q1, q2, q3) viene dada en forma paramétrica por
x = tp1 + (1− t)q1,
y = tp2 + (1− t)q2,
z = tp3 + (1− t)q3,
donde t es un parámetro que se mueve en la recta real. En este ejemplo
concreto, las ecuaciones paramétricas de la recta quedan
x = 3t− 2, y = 1, z = 3− 4t.
� Encontrar la ecuación vectorial de las rectas
17 De ecuaciones paramétricas: x = −t, y = 1 +
√
2t, z = 6− 8t.
18 Que pasa por los puntos P = (0, 0, 0), Q = (1, 2, 3).
19 Donde se intersecan los planos 3x+ y − 4z = 0, 5x+ z = 2.
� Encontrar la ecuación del plano perpendicular al vector n que pasa por el
punto P en los siguientes casos:
20 n = (1,−1, 3), P = (4, 2,−1).
21 n = (−1, 0, 5), P = (2, 3, 7).
22 n = (1, 0, 0), P = (2, 1, 1).
23 n = (0, 2, 3), P = (3, 4, 5).
24 n = (3, 2, 6), P = (2,−1, 0).
25 n = (0, 0, 1), P = (1, 3,−2).
Solución 25:
La ecuación del plano perpendicular a un vector dado de coordenadas
n = (n1, n2, n3) que pasa por un punto P = (p1, p2, p3) tiene por
ecuación
n1(x− p1) + n2(y − p2) + n3(z − p3) = 0.
En este caso concreto la ecuación es z + 2 = 0.
� Determinar un punto P por el que pase el plano dado y un vector n
perpendicular al mismo, en los siguientes casos:
	Geometría de las funciones de varias variables
	Repaso de geometría del plano y el espacio