1- Vectores, rectas y planos

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Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
1 
 
Geometría en el espacio 
 
Vectores 
En física, ciertas magnitudes (fuerzas, velocidades, flujos) son representados por medio de 
vectores. Operar con este nuevo objeto nos permitirá hacer una descripción matemática de 
muchos modelos físicos de gran importancia en la ingeniería. 
Para comenzar, imaginemos dos puntos A y B en el plano. Podemos describir el 
desplazamiento desde A hasta B por medio de una flecha que tiene su punto inicial en A y su 
punto final en B. 
A este desplazamiento lo escribimos: v AB . 
Por ejemplo, si A es el punto (-2;5) y B el punto (3;1), el vector v AB describe cuánto hay 
que moverse para ir desde A hasta B. 
Representamos a los dos puntos en un sistema de ejes 
coordenados (Figura 1), y vemos que a ese desplazamiento se lo 
puede descomponer en dos: uno horizontal, y uno vertical. 
Nos movemos desde un punto de abscisa -2 hacia otro de abscisa 
3, entonces el desplazamiento horizontal es igual a 3-(-2)=5. Y el 
desplazamiento vertical es igual a 1-5=-4. Decimos que las 
componentes del vector v son 5 y -4. Lo escribimos 
5
4
v
 
  
 
. El 
vector describe un desplazamiento que se puede leer como 
“moverse 5 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo”. 
Ahora, ese mismo desplazamiento se podría efectuar desde otro punto distinto de A. En ese 
caso el punto final no coincidiría con B. Por ejemplo, si el punto inicial fuera (0;0), el vector 
5
4
v
 
  
 
 terminaría en el punto (5;-4). Notar la diferencia en la notación: a los puntos los 
escribimos como par ordenado, a los vectores como una columna. El punto tiene coordenadas, 
el vector tiene componentes. 
A partir de ahora, hablaremos de vectores como objetos con entidad propia. Pueden 
representar un desplazamiento, pero no nos va a importar desde cuál punto. Lo que definirá al 
vector serán sus componentes. 
Figura 1 
1fFigr
ua 
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2 
 
Los vectores tienen una dirección, un sentido y una longitud. A la dirección la podemos pensar 
como la línea sobre la cual se apoya el vector. Se la podría describir mediante el ángulo que 
esta recta forma con el eje horizontal. El sentido indica hacia dónde apunta el vector (por eso 
al representarlos ubicamos una flecha que va desde el punto inicial hasta el punto final). La 
longitud es un número, indica cuánto mide el vector. 
Si 1
2
v
v
v
 
  
 
, sus componentes son 1 2 y v v . Como tiene dos componentes, se dice que 
v pertenece al conjunto ℝ2 (que es el conjunto de todos los vectores con dos componentes, 
que son números reales). Se escribe ∊ℝ2. 
Si representamos a v en el plano, esos dos números serán las medidas de los catetos de un 
triángulo rectángulo (o si alguno fuera menor a 0, el opuesto de ese número). La medida de la 
hipotenusa será la longitud de v . Es decir que a la longitud de un vector se la puede calcular 
aplicando el ya conocido teorema de Pitágoras. La notaremos v (se lee “longitud de v ” o 
“módulo de v ”). 
Se tiene entonces: 2 21 2( ) ( )v v v  . 
Ejemplo: El vector que graficamos antes, 
5
4
v
 
  
 
, tiene longitud 
2 2(5) ( 4) 25 16 41v       . 
Se dice que un vector es unitario si su longitud es igual a 1. 
 
Operaciones con vectores 
 
Suma 
Dados dos vectores 1
2
v
v
v
 
  
 
, 1
2
w
w
w
 
  
 
, podemos hacer la suma v w , que dará un nuevo 
vector. Algebraicamente, la suma se realiza componente a 
componente: 1 1 1 1
2 2 2 2
v w v w
v w
v w v w
     
        
     
. 
 
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3 
 
Ejemplo: 
2 4 2 4 2
2 1 2 ( 1) 1
         
         
         
. 
Geométricamente (Figura 2): representamos a los dos 
vectores desde el mismo punto inicial, el (0;0). 
Si pensamos a los vectores como desplazamientos, la suma 
v w representa desplazarse v w y después v w . 
Si desde el punto final de v trazamos una línea paralela a w y 
desde el punto final de w una paralela a v , obtenemos un 
paralelogramo. La suma v w será la diagonal de ese 
paralelogramo (la que tiene como punto inicial el (0;0), que era el punto inicial de los dos 
vectores que sumamos). 
A esta propiedad, que se cumple siempre que se suman dos vectores, se la conoce como la 
regla del paralelogramo. 
 
Propiedades de la suma 
 La suma de vectores es conmutativa, es decir: v w w v   . 
 La suma de vectores es asociativa: ( ) ( )u v w u v w u v w        . 
 El neutro de la suma es el vector nulo 
0
0
0
 
  
 
, esto significa que 0v v  para 
cualquier v . 
 Todo vector v tiene un opuesto v , que es aquel que cumple ( ) 0v v   . El opuesto 
de un vector v tiene la misma dirección que v , igual longitud, y sentido contrario. 
 
Producto por un escalar 
Otra operación que definimos es el producto de un vector por un escalar. Dado un vector 
1
2
v
v
v
 
  
 
 y un número k∊ℝ, el producto del número por el vector se calcula: 
1 1
2 2
v k v
k v k
v k v
   
      
   
, es decir multiplicando a cada componente por el escalar. 
Figura 2 
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4 
 
Geométricamente, al multiplicar a un vector v por 0k  , obtenemos un nuevo vector cuya 
dirección es la misma que la de v , su sentido cambiará si k es negativo o se mantendrá si k es 
positivo; y la longitud cumplirá k v k v   . Es decir, la longitud del vector v se multiplica 
por el valor absoluto de k al multiplicar a v por la constante k. 
Si queremos modificarle la longitud a un vector v , manteniendo la dirección y el sentido, 
deberemos multiplicarlo por una constante positiva. 
Si, por ejemplo, queremos un vector de igual dirección y sentido que 
5
4
v
 
  
 
, pero que sea 
unitario (habíamos calculado antes y resultó 41v  , es decir que no es unitario), debemos 
multiplicarlo por 
1
41
. Obtendremos 
5
41
4
41
51
441
u

  
     
   
, que sí es unitario. 
Podemos verificarlo:    
2 2
5 25 164 41
41 41 4141 41
1 1u        
 
En general, a un vector w se lo puede transformar en unitario (conservando dirección y sentido) 
multiplicándolo por 
1
w
. 
En efecto, si 1
2
w
w
w
 
  
 
 , si al vector 
1
2 2
1 2
2
2 2
1 2
w
w w
w
w w
w
w


 
 
 
 
 le calculamos la longitud, obtenemos: 
   1 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 22 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1w w
w w w w
w w w w
w
w w w w w w 

      
  
. 
 
Cuando a un vector w se lo puede escribir como una constante por otro vector v , se dice que 
 y v w son múltiplos. 
Combinando las dos operaciones (suma y producto por escalar) podemos generar las que se 
llaman combinaciones lineales de vectores. 
 
Definición: dados dos vectores ,v w y dos escalares c,d∊ℝ, una combinación lineal de y v w 
es un vector de la forma: c v d w   . 
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5 
 
Ejemplo: 
2 4
,
1 2
v w
   
    
   
. Elijo las constantes
1
2,
2
c d   . 
La combinación es: 
2 4 4 2 21
2
1 2 2 1 32
          
               
         
. 
Veamos qué representa en el gráfico (Figura 3). 
Al vector v se le invirtió el sentido, y se le duplicó la 
longitud. Al vector w se lo redujo a la mitad, 
manteniendo el sentido. 
Con estos nuevos vectores, múltiplos de ,v w , se arma 
un paralelogramo. La diagonal es la combinación lineal 
de ,v w . 
Ejemplo: Los vectores 
1 0
,
0 1
   
   
   
 pueden generar cualquier vector de ℝ2. Es decir, cualquier 
∊ ℝ2 se puede escribir como combinación lineal de 
10
,
0 1
   
   
   
. 
En efecto, sea 1
2
v
v
v
 
  
 
. Lo podemos expresar como 1 1
2 2
0
0
v v
v v
    
     
    
, que a su vez es lo 
mismo que tener 1
1 2
2
1 0
0 1
v
v v
v
     
      
    
. Entonces existe una combinación lineal de 
1 0
,
0 1
   
   
    
que da como resultado al vector v (eligiendo como coeficientes a las componentes de v ). 
Por ser tan sencilla la manera de expresar a cualquier vector de ℝ2 como combinación de 
ellos, los vectores 
1 0
,
0 1
   
   
    
reciben un nombre especial. 
Definimos 
1 0
,
0 1
i j
   
    
   
. Ya demostramos que cualquier vector ∊ ℝ2 se puede expresar 
como: 1
1 2
2
v
v i v j
v
 
  
 
. 
Figura 3 
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6 
 
Por ejemplo, 
2
2 3
3
i j
 
  
 
, 
1
4
4
i j
 
  
 
,
0
5
5
j
 
 
 
.
 
Usaremos una notación o la otra indistintamente. 
 
Ejercicios 
1. Sean los vectores: 
1 2
3 2 , ,
1 0
u i j v w
   
      
   
: 
a. Calcular las combinaciones: 2 , , 4 3u v u v w u w    . Graficarlas junto con 
, ,u v w , formando los paralelogramos correspondientes. 
b. Calcular las longitudes , ,u v w . 
c. Escribir tres vectores unitarios que sean múltiplos de , ,u v w respectivamente. 
 
2. Graficar los vectores 
2 3
,
1 2
u v
   
    
   
. 
a. El vector 
1
4
w
 
  
 
, ¿es combinación lineal de y u v ? En caso de que sea, ¿con 
qué coeficientes? 
b. Y el vector 
2
3
r
 
  
 
, ¿es combinación de y u v ? ¿Para cuáles coeficientes? 
 
3. Si 
2 4
,
1 2
u v
   
    
   
, ¿es posible escribir a 
1
4
w
 
  
 
 como combinación lineal de 
 y u v ? ¿Y al vector 
6
3
r
 
  
 
? Graficar y pensar por qué pasa esto. 
 
4. Graficar a los vectores 4 , 2 2u i j v i j     empezando en el punto (0;0). 
 
a. Calcular u v , y representarlo empezando en el punto final de v . Debería quedar 
formado un triángulo. 
b. Calcular las longitudes de los lados del triángulo. 
c. Verificar que se cumple la desigualdad triangular: v u v u   . 
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7 
 
Producto Punto 
 
La siguiente operación que definiremos entre vectores es el producto punto. Dados dos 
vectores de dos componentes 1
2
v
v
v
 
  
 
, 1
2
w
w
w
 
  
 
, el producto punto entre ellos es el número: 
1 1
1 1 2 2
2 2
v w
v w v w v w
v w
   
         
   
. 
Es claro que hacer v w será equivalente a hacer w v , luego el producto punto es 
conmutativo. 
 
Nota: todas las operaciones o magnitudes que definimos (suma, producto por escalar, producto 
punto, longitud) para vectores de dos componentes, tienen su adaptación para vectores de tres 
componentes, y en general, de n componentes. 
 Por ejemplo, un vector 
1
2
3
v
vv
v
 
 

 
  
 tendrá longitud 2 2 21 2 3( ) ( ) ( )v v v v   ; el producto punto 
se calculará con 
1 1
2 2 1 1 2 2 3 3
3 3
v w
v w v w v w v w
v w
   
   
      
   
      
; la regla del paralelogramo para la suma 
sigue siendo válida y el paralelogramo se forma en el espacio. 
La notación alternativa se adapta de la siguiente manera: en , se 
definen
1 0 0
, ,0 1 0
0 0 1
i j k
     
       
     
          
, con lo cual al vector 
2
3
1
 
 

 
  
 
se lo puede expresar como 
2 3i j k  .
 
 
Vamos a deducir otra expresión para calcular el producto punto, a 
partir de un triángulo y del teorema del coseno. 
Graficamos dos vectores ,v w , con el mismo origen (Figura 4). En el 
punto donde termina v hacemos empezar el vector w v . 
Figura 4 
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Nos quedará formado un triángulo. Las longitudes de sus lados son , ,v w w v . Al ángulo 
formado entre v y w lo llamamos  . 
Aplicando el teorema del coseno en este triángulo, obtenemos: 
2 2 2
2 cos( )w v v w v w       . 
Sabiendo 1
2
v
v
v
 
  
 
, 1
2
w
w
w
 
  
 
, 1 1
2 2
w v
w v
w v
 
   
 
, y aplicando la expresión para calcular las 
longitudes, tenemos: 
           
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 2 cos( )w v w v v v w w v w           
Desarrollando, y simplificando: 
               
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 2 cos( )
 2 2 2 cos( )
 cos( )
w v w v w v w v v v w w v w
v w v w v w
v w v w v w



           
     
   
 
En el último renglón, a la izquierda del igual, aparece la expresión que ya conocíamos para el 
producto punto. Entonces hay otra forma de calcularlo: multiplicando las longitudes de los 
vectores ,v w por el coseno del ángulo formado entre ellos. 
cos( )v w v w     
¿Cuál usaremos entonces? Depende de cuáles datos tengamos. Si se conocen las componentes 
de los vectores, usamos la primera forma. Si en cambio, conocemos las longitudes y el ángulo 
entre ambos vectores, la segunda. 
Pero también podemos usar a las dos expresiones para calcular el ángulo entre dos vectores 
cualesquiera. 
Ejemplo: Hallar el ángulo entre los vectores 
2 2 , 4v i j w i j     . 
Ya habíamos sumado a estos dos vectores, y en el gráfico 
(Figura 5) se puede ver que el ángulo entre ellos es 
mayor a 90º. 
Si calculamos su producto punto, obtenemos: 
2 4 2 ( 1) 10v w         . 
Figura 5 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
9 
 
Además, 2 2( 2) 2 8v     , 2 24 ( 1) 17w     . 
Entonces 10 8 17 cos( )v w       . Luego, cos(θ)= ≅-0,857. 
Aplicando la función arcocoseno de ambos lados, llegamos a θ=arccos . 
El ángulo entre 2 2 y 4v i j w i j     mide aproximadamente 149°. 
Observación: el producto punto entre estos dos vectores era igual a -10 (menor a 0), y el ángulo 
fue mayor a 90°. Esto no es casualidad, teniendo en cuenta que
 
cos( )v w v w     , y ,v w
 
son números positivos, el signo del producto punto entre dos vectores corresponde al signo 
del cos( ) . Ya sabemos que si 0 90º  , entonces cos( ) 0  ; si 90º 180º  entonces 
cos( ) 0  ; y si 90º  , es cos( ) 0  . 
Es decir, el producto punto también nos sirve para determinar si dos vectores son 
perpendiculares. Diremos que dos vectores son perpendiculares si y sólo si el producto 
punto entre ellos vale 0. 
Ejemplo: Decidir si es posible que los vectores 
0
, 
1 1
a
v w
   
    
   
 formen un ángulo de 70°. 
¿Y uno de 120°? 
Primero grafiquemos (Figura 6). Al vector v se 
le conocen las dos componentes, a w sólo la 
segunda. Si lo hacemos empezar en (0;0), el 
punto final estará en (a;-1), es decir en algún 
punto sobre la recta de ecuación y=-1. Sólo para 
darnos una idea, ubicamos tres puntos en 
particular sobre esta recta. 
Veremos que no es posible que el ángulo sea 70°, ya que al tener w segunda componente 
negativa, y v su segunda componente positiva, el ángulo entre ellos siempre es mayor a 90°, 
sea cual sea el valor de a. 
En cambio, parece que sí podrían formar un ángulo de 120°. Es más, también parece ser que 
existen dos maneras distintas de elegir el punto que son correctas. 
Refinando un poco más, en uno de los puntos marcados el ángulo es exactamente de 135° (¿en 
cuál?, ¿por qué se puede afirmar esto?). Así que seguro que el valor de a debería ser menor 
que -1, o mayor que 1. Ahora resolvamos el problema analíticamente. 
Figura 6 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planosMATEMATICA II UNAJ 
 
 
10 
 
Podemos plantear el cálculo del producto punto v w de dos maneras: 
0
0 1 ( 1) 1
1 1
a
v w a
   
            
   
.
2 2 2 2 21 1
2 2cos(120º ) 0 1 ( 1) ( ) 1v w v w a a             . 
Igualando ambos, nos queda una ecuación en la que la incógnita es a: 
21
21 1a    Resolvemos: 
2 2 2 21
21 1 2 1 4 1 3 3a a a a a               
Entonces tenemos dos opciones: 
3
1
w
 
  
 
, o 
3
1
w
 
  
 
, y en ambos 
casos el ángulo que se forma entre y v w es de 120° (Figura 7). 
Ejercicios 
5. La figura está formada por un cuadrado y un triángulo 
equilátero. Sobre ella hay tres vectores: , ,u v w . 
Se sabe que el vector u es unitario. 
Calcular los productos punto , u v u w  . 
 
6. Calcular el ángulo entre los siguientes pares de vectores: 
 
a. 
1
, 2 2
1
v w i j
 
   
 
 
b. 
2 1
,2 2
1 2
v w
   
     
   
      
 
c. 
2
3 4 ,
5
v i j w
 
    
 
 
d. 
3 2
,0 1
1 4
v w
   
     
   
      
 
7. Sean 
1 1
,
1
v w
b
   
    
   
. ¿Existe algún número b para el cual el ángulo entre y v w 
sea igual a 60°? Si existe, hallarlo. ¿Y para que el ángulo sea igual a 30°? Graficar. 
 
8. Dados 
4 3
,
2 5
v w
   
    
   
, escribir un vector que sea perpendicular a v , y cuya 
longitud sea igual a la longitud de w . 
Figura 7 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
11 
 
Producto Cruz 
Esta operación también se efectúa entre dos vectores, pero sólo entre vectores de ℝ3 (a 
diferencia del producto punto, que se puede aplicar entre dos vectores de n componentes). 
Otra diferencia con el producto punto es que el resultado del producto cruz entre dos vectores 
de ℝ3 es un vector de ℝ3. 
Antes de definir cómo se calcula, veamos las propiedades que cumple esta operación. 
Sean ∊ ℝ3. El producto cruz u v es un vector de tres componentes, que cumple: 
 El vector u v es perpendicular a u y a v . 
 La longitud es: sen( )u v u v     
 Para definir el sentido de u v , se usa la regla de la mano derecha. Los 
dedos van en el sentido del vector u , el vector v sale de la palma, 
entonces el sentido de u v es el del dedo gordo. 
Nota: el producto cruz no es conmutativo, pues u v no es igual a v u , esto lo podemos ver a 
partir de la regla de la mano derecha. 
Ahora veamos cómo se calcula el producto cruz. 
Tomemos dos vectores de ℝ3, por ejemplo, 
2
1
3
u
 
 

 
  
, 
1
0
2
v
 
 

 
  
, queremos calcular u v . 
Armamos una tabla de tres filas y tres columnas; en la primera fila van los vectores , ,i j k , en 
la segunda van las componentes del vector u , en la tercera las componentes de v . Quedaría 
2 1 3
1 0 2
i j k

. Después repetimos la primera y la segunda fila, y nos queda: 
2 1 3
1 0 2
2 1 3
i j k
i j k
 . 
El cálculo del producto cruz va a consistir en sumar los resultados de los productos de los 
elementos de las diagonales “que bajan”, y restar los resultados de los productos de los 
elementos de las diagonales “que suben”. Veámoslo en este ejemplo: 
 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
12 
 
 
u v     2 0 3 1 0 4 2 7i k j k i j i j k          
 
 
 
Veamos si se cumple la primera condición, es decir, si 2 7u v i j k   
 
es perpendicular a 
u y a v . Ya vimos que dos vectores son perpendiculares si su producto punto es igual a 0 (no 
confundir con el producto cruz, que estamos calculando ahora). Calculamos entonces: 
 
2 2
7 1 2 2 ( 7) 1 1 3 0
1 3
u v u u v
   
   
              
   
      
 es perpendicular a u . 
 
2 1
7 0 2 ( 1) ( 7) 0 1 2 0
1 2
u v v u v
   
   
               
   
      
 es perpendicular a v . 
Veamos una aplicación geométrica del producto cruz. 
Tomamos dos vectores ∊ℝ3, y los graficamos con el mismo origen. 
Dibujamos un paralelogramo que los tenga como lados. 
Queremos calcular el área de ese paralelogramo. Para eso debemos multiplicar su base por su 
altura. La longitud de la base será u , y la altura se mide en forma perpendicular a la base. 
Notemos que, si  es el ángulo entre los dos vectores, hay una relación 
entre este ángulo, la altura y las longitudes de los vectores. Más 
específicamente, sen( )
h
v
  . De esta expresión podemos despejar la 
altura, que sería: sen( )h v   . Entonces el área del paralelogramo es: 
sen( )A Base Altura u v      . Pero esta expresión es idéntica a u v . 
Con lo cual tenemos que, dados dos vectores ,u v , el módulo del vector u v equivale al área 
del paralelogramo cuyos lados son los vectores ,u v . 
Nota: la operación 
señalada con las flechas 
corresponde al cálculo del 
determinante de una 
matriz. Lo estudiaremos 
en detalle más adelante. 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
13 
 
Rectas en el espacio 
Ya conocemos cómo describir por medio de una ecuación a los puntos de una recta en . 
Vamos a deducir la expresión para una recta en el espacio. 
En el plano, los datos que necesitamos para escribir la ecuación de una recta son la pendiente, 
y un punto. En el espacio no vamos a hablar de pendiente, pero sí de la dirección que tiene la 
recta. Para dar la dirección vamos a usar un vector ∊ ℝ3. 
Queremos describir a la recta que pasa por un punto 
0 0 0 0: ( ; ; )P x y z , y es paralela al vector v , como se muestra en la 
figura. El punto P0 y el vector 
a
v b
c
 
 

 
  
 son datos conocidos. El 
vector v se llama vector director de la recta. 
Tomamos un punto genérico : ( ; ; )P x y z perteneciente a 
la recta, y formamos el vector 0P P . Este vector es paralelo 
a v , pues está contenido en la recta. 
Al tener punto inicial P0 y punto final P, las componentes 
de 0P P son 
0
0 0
0
x x
P P y y
z z
 
 
 
 
  
. 
Analíticamente, los vectores 0P P y v son múltiplos, es decir que existe una constante t∊ℝ , tal 
que 0P P t v  . 
Entonces 
0
0
0
x x a
y y t b
cz z
   
   
  
   
      
. A esta ecuación se la llama ecuación vectorial de la recta. 
Como es una igualdad entre vectores, se pueden igualar la primera componente del lado 
izquierdo con la primera componente del lado derecho; y lo mismo con la segunda y la 
tercera. Haciendo eso se obtienen las tres igualdades: 
0
0
0
x x t a
y y t b
z z t c
  

  
   
. 
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14 
 
Despejando, llegamos a: , para . 
A estas las llamamos ecuaciones paramétricas de la recta (paramétricas porque aparece el 
parámetro t). 
Otra forma de presentar a la recta es despejando el parámetro de las tres ecuaciones, e 
igualándolos: 
 
 
A estas últimas se las llama ecuaciones simétricas de la recta, y se pueden presentar así cuando 
ninguna de las componentes de v es nula. 
Ejemplo 
Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos : (3;1; 3)A  y 
: (2;3;1)B . Después decidir si el punto : ( 1;5;0)C  pertenece a esa recta. 
Para esto necesitamos tener dos datos: un punto conocido en la recta (tenemos dos), y el 
vector director. A este no lo tenemos, pero podemos armarlo. Como los puntos A y B están 
sobre la recta, el vector AB es paralelo a la recta y se lo puede tomar como vector director. 
Luego, los datos que tomamos son : (3;1; 3)A  , 
2 3 1
3 1 2
1 ( 3) 4
AB
    
   
  
   
       
. 
Reemplazando en las ecuaciones paramétricas: 
3 ( 1)
1 2
3 4
x t
y t t
z t
   

   
    
, t∊ℝ 
¿Cómo sabemossi estas ecuaciones son correctas? La recta debería pasar por los puntos A y B, 
¿esto se cumple? 
Si la recta pasa por el punto : (3;1; 3)A  , debe existir un valor de t que, al reemplazarlo en las 
ecuaciones, resultara en 3; 1; 3x y z    . Es fácil ver que esto se da si 0t  (verificarlo). 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
15 
 
Lo mismo para el punto : (2;3;1)B , debería haber un valor de t para el cual sea 
2; 3; 1x y z   . Es decir: 
2 3 ( 1)
3 1 2
1 3 4
t
t
t
   

  
    
. Despejando de la primera ecuación, resulta 
2 3
1
1
t

 

. Si a este valor de t lo reemplazamos en las otras dos ecuaciones, estas también 
se verifican. Por lo tanto, el punto B también pertenece a la recta. 
Falta decidir si el punto : ( 1;5;0)C  está en la recta que pasa por A y B. Ya vimos que si 0t  
el punto que se genera es A, y si 1t  aparece el punto B. ¿Existirá algún valor de t que genere 
el punto C? Hay que ver si tiene solución el sistema: 
1 3 ( 1)
5 1 2
0 3 4
t
t
t
    

  
    
. Podemos comprobar 
que cuando t=4 se satisface la primera ecuación, pero no las otras dos ecuaciones. Entonces 
como no existe ningún valor de t para el cual se generen todas las coordenadas del punto C, 
este punto no pertenece a la recta. 
¿Y si queremos dar un punto que no sea ni A ni B, y que sí esté en esta recta? Pues deberíamos 
elegir un valor para t, que no sea ni 0 ni 1, y reemplazarlo en las paramétricas. Por ejemplo, si 
2t   tenemos el punto : (5; 3; 11)D   , o si 3t  entonces es : (0;7;9)E ; y así se pueden 
seguir generando los infinitos puntos que tiene la recta. 
 
Justamente, el papel que juega el parámetro es el de ir generando todos los puntos de la recta 
a medida que varía t. Además, si admitimos t∊ℝ, tendremos toda una recta; pero si limitamos 
el intervalo en el que se puede mover t, generamos una porción de esta. Por ejemplo, al 
considerar 0t  , tendríamos una semirrecta; o pidiendo 1 3t   se tiene un segmento de 
recta. 
Ejemplo 
Verificar que el punto : (3; 5; 2)P   pertenece a la recta de ecuaciones simétricas 
1 3 3
2 2 5
x y z  
 
 
, y también a la recta de ecuaciones paramétricas 
2
1 4
1 3
x t
y t
z t
 

  
  
. 
Además calcular el ángulo entre las dos rectas. 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
16 
 
Para mostrar que el punto está en la primera recta, reemplazamos en las ecuaciones con las 
coordenadas de P: 
? ?3 1 5 3 2 3
2 2 5
    
 
 
. Se obtiene 1 1 1  , luego P está en la primera 
recta. 
Queremos ver que P está en la segunda recta, para esto debe existir un valor de t que genere 
ese punto. Resolvemos el sistema 
3 2
5 1 4
2 1 3
t
t
t
 

   
  
, obteniendo 1t  . 
Luego P también pertenece a la segunda recta. 
El ángulo entre las dos rectas, como se puede ver en el gráfico, coincide 
con el ángulo que forman los vectores directores de las rectas. 
En el caso de la primera recta, el vector director es 2 2 5u i j k   ; 
mientras que el vector director de la segunda recta es 4 3v i j k   
(¿por qué? ¿de dónde sale esto?). 
Usemos entonces la expresión obtenida a partir del producto punto para hallar el ángulo entre 
dos vectores: 
 
Luego, . 
El ángulo entre las dos rectas es de aproximadamente 31º . 
 
Ejercicios 
9. Verificar que el punto (1;2;6) está en la recta de ecuaciones 
simétricas
2 4
1
3 2
x z
y
 
   . Proponer otro punto que también pertenezca a la 
recta, y uno que no pertenezca. ¿Cuál sería el vector director de esta recta? 
 
10. Decidir si los tres puntos : (1;4;0), : (3; 2;1), : ( 1;3;2)A B C  están alineados. 
Justificar. 
 
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17 
 
11. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (1;2;3) y es 
perpendicular a los vectores 3 , 2 2u i j k v i j k      . 
 
12. Las rectas 1 2
2 6 2
: 1 3 ; : 2 3
4 2 1
x t x s
L y t L y s
z t z s
    
 
    
     
, ¿son paralelas? ¿Por qué? En caso de no 
ser paralelas, ¿tendrán algún punto en común? Si lo tienen, hallarlo y calcular el 
ángulo que se forma entre las dos rectas. 
 
13. Mostrar que las rectas 1 2
3 2 2
: 2 ; : 1 2
1 3
x t x s
L y t L y s
z t z s
    
 
    
     
 no son paralelas, y sin 
embargo no tienen intersección. En este caso se dice que las rectas son alabeadas u 
oblicuas. ¿Cómo se ven en el espacio? 
 
14. Escribir las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el origen y es paralela a la 
recta de ecuación 
2 2
1 3
4
x t
y t
z t
 

 
 
. 
 
Planos 
El siguiente objeto que estudiaremos es el plano en el espacio. Este a diferencia de la recta, 
que era una curva, es una superficie del espacio. Es de hecho la superficie más sencilla de 
todas. Por ejemplo, una hoja de cuaderno es una porción de plano (sólo una porción porque 
un plano es una superficie infinita). ¿Cómo vamos a hacer para describirlo? 
A la recta la podíamos definir como un conjunto de puntos de ℝ3, tales que si tomamos dos 
puntos cualesquiera en la recta, el vector que los tiene como puntos inicial y final siempre es 
paralelo a un vector fijo (ese vector se llama vector director de la recta). 
Ahora bien, para caracterizar a los puntos de un plano no vamos a hablar de un vector 
director, sino de un vector normal. La hoja de cuaderno era un plano, si apoyamos un lápiz 
encima en forma perpendicular a la hoja (como queriendo que quede parado sobre la hoja), 
ese lápiz pude representar al vector normal del plano. 
 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
18 
 
¿Qué es lo que van a cumplir los puntos de un plano? Que si tomamos dos puntos cualesquiera 
del plano y armamos el vector que los tiene como puntos inicial y final, ese vector siempre es 
perpendicular a un vector fijo, llamado vector normal del plano. 
Veamos cómo describir a un plano mediante una ecuación. Los datos 
que tenemos son: un punto conocido 0 0 0 0: ( ; ; )P x y z del plano, y un 
vector 
a
n b
c
 
 

 
  
 normal al plano. 
Tomamos un punto genérico : ( ; ; )P x y z perteneciente al plano. Por estar los dos puntos 
0 ;P P sobre el plano, el vector 0P P es perpendicular al vector n . 
Sabemos que para que se cumpla esto, el producto punto entre los dos vectores debe ser igual 
a 0. Además
0
0 0
0
:
x x
P P y y
z z
 
 

 
  
. Entonces la expresión que caracteriza a los puntos del plano es: 
0
0 0
0
0 0
x xa
n P P b y y
c z z
  
  
      
  
      
0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z        
 
A esta ecuación se la conoce como ecuación implícita del plano. 
Ejemplo 
 
En el ejercicio 10 mostraron que los puntos : (1;4;0), : (3; 2;1), : ( 1;3;2)A B C  no están 
alineados. Por lo tanto, no hay una recta que los contenga a los tres, pero sí habrá un plano al 
cual los tres puntos pertenecen. Vamos a armar la ecuación de ese plano. 
Para construir la ecuación hace falta conocer un punto del plano (conocemos tres), y un vector 
normal al plano (no lo tenemos). Para buscar ese vector, podemos usar que el normal del 
plano debe ser perpendicular a cualquier vector que tenga sus puntos inicial y final en el 
plano. Con los tres puntos conocidos se pueden armar dos vectores (por ejemplo AB y AC ), 
y luego un vector que sea perpendicular a esos dos. Ya vimos que al efectuar el producto cruz 
entre dos vectores, el resultado es un vector perpendicular a ambos. 
Entonces nuestro vector normal puede obtenerse de calcular AB AC . 
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19 
 
Tenemos: 
(3 1) ( 2 4) (1 0) 2 6AB i j k i j k        
( 1 1) (3 4) (2 0) 2 2AC i j k i j k           
   
2 6 1
12 2 2 12 4 11 6 142 1 2
2 6 1
i j k
n AB AC i k j k i j i j k
i j k

              

 
Ya tenemos el vector normal y también un punto del plano (podemos elegir cualquiera de los 
tres, por ejemplo tomemos el punto B). 
La ecuación del plano es:
 
11 ( 3) ( 6) ( ( 2)) ( 14) ( 1) 0x y z             . 
Desarrollando un poco, tenemos: 
11 ( 3) 6 ( 2) 14 ( 1) 0
11 33 6 12 14 14 0
11 6 14 33 12 14 35
11 6 14 35
x y z
x y z
x y z
x y z
         
      
        
  
 
¿Cómo verificar que la ecuación 11 6 14 35x y z  
 
sea la correcta? Lo que pedíamos era el 
plano que contenga a los puntos A, B, C. ¿Se cumple esto? 
Para que un punto pertenezca a un plano, debe satisfacer su ecuación. Eso es lo que debemos 
verificar para los tres puntos. Reemplacemos en el plano: 
11 1 6 4 14 0 11 24 0 35
11 3 6 ( 2) 14 1 33 12 14 35
11 ( 1) 6 3 14 2 11 18 28 35
A
B
C
         
          
           
 
Vemos que los tres puntos satisfacen la ecuación, luego la ecuación del plano es correcta. 
Nota: Para construir este plano tuvimos que tomar decisiones, por ejemplo qué dos vectores 
armar con los tres puntos, en qué orden calcular el producto cruz, o cuál punto tomar como el 
dato. Es importante señalar que la ecuación final no depende de estas elecciones, pues 
podríamos haber elegido armar el normal haciendo BA BC , o tomar a C como el punto dato, y 
la ecuación para el plano sería exactamente la misma. 
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20 
 
Ejercicios 
 
15. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto (0;1;0), y es perpendicular a la 
recta de ecuaciones simétricas 
1
2 3
x y
z

   . 
 
16. Dados los puntos : (1;0; 1), : (0;4;2), : ( 1;2;3)P Q R  : 
a. Verificar que no están alineados. 
b. Calcular el área del triángulo que los tiene como vértices. 
c. Escribir la ecuación del plano que los contiene. 
 
17. Escribir la ecuación del plano paralelo al plano xy, que pasa por el punto (1;2;3). 
 
18. Dados los planos: 2 6 4 7x y z   , 3 9 6 8x y z   : 
 
a. ¿Son paralelos? ¿Por qué? 
b. Dar un punto que esté en el primer plano pero no en el segundo. 
c. Los planos ¿son coincidentes? 
 
Distancia mínima 
Supongamos que queremos encontrar el punto en un plano más cercano a un punto dado. Es 
claro que la mínima distancia desde un punto hasta un plano debe medirse sobre una línea 
perpendicular al plano, como se muestra en la figura. 
¿Cómo podemos encontrar ese punto en el plano? Si buscamos que 
el segmento resulte perpendicular al plano, también debe ser 
paralelo al vector normal del plano. Entonces podemos construir 
una recta perpendicular al plano, que pase por el punto Q, y buscar 
el punto de intersección entre la recta y el plano. Veamos el caso 
con un plano y un punto en particular. 
 
Ejemplo 
Hallar el punto más cercano a : (6; 2;7)Q  en el plano 2 3 7x y z   . 
Primero veamos si el punto Q pertenece al plano. Reemplazando en la ecuación, se obtiene 
2 6 ( 2) 3 7 35 7       , por lo tanto Q no está en el plano. 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
21 
 
Lo siguiente será armar la recta que pasa por Q y es 
perpendicular al plano. El vector director de la recta puede ser el 
vector normal al plano, que en este caso es el vector 
2 3n i j k   . 
Entonces la recta tiene ecuaciones paramétricas 
6 2
2
7 3
x t
y t
z t
 

  
  
. 
Ahora busquemos las coordenadas del punto R, que es el punto de intersección del plano y de 
la recta. Ya que la ecuación del plano involucra a las coordenadas x, y, z, mientras que en las 
paramétricas de la recta estas coordenadas dependen del parámetro t. 
Reemplazando las tres expresiones en la ecuación del plano, se obtiene una ecuación donde la 
única incógnita es t: 2 (6 2 ) ( 2 ) 3 (7 3 ) 7t t t         . 
Resolvemos: 
28
14
2 (6 2 ) ( 2 ) 3 (7 3 ) 7
12 4 2 21 9 7
14 7 12 2 21 28
2
t t t
t t t
t
t 
        
     
     
  
 
A ese número lo evaluamos en la recta para obtener las coordenadas de R:
6 2 ( 2) 2
2 ( 2) 0
7 3 ( 2) 1
x
y
z
    

    
     
 
Finalmente, el punto más cercano a Q en el plano es : (2;0;1)R , y la distancia entre Q y el 
plano es 2 2 2(6 2) ( 2 0) (7 1) 16 4 36 56 7,48d QR            ≅7,48. 
 
Notar que no necesitamos memorizar ninguna fórmula para calcular la distancia mínima 
desde un punto hasta un plano, sino que usamos los conceptos de recta perpendicular, vector 
director, intersección entre dos objetos, longitud de un vector. 
De una manera similar, podríamos hallar la distancia mínima desde un punto hasta una recta. 
¿Cómo se vería geométricamente esta situación? 
 
Geometría en el espacio: Vectores, rectas y planos MATEMATICA II UNAJ 
 
 
22 
 
Los conceptos que vimos dan lugar a diversos problemas, por ejemplo recién teníamos un 
caso en el que una recta era perpendicular a un plano; ¿qué debería pasar para que un plano y 
una recta resulten paralelos? En ese caso, ¿cuántos puntos de intersección podría haber? 
Y más en general, ¿cómo medimos el ángulo entre una recta y un plano? ¿Y el ángulo entre dos 
planos? Y la intersección entre dos planos, ¿qué puede generar? 
Algunos de estos interrogantes aparecen a continuación. 
 
Ejercicios 
19. Calcular la distancia mínima desde el punto : (3; 3; 1)Q   hasta la recta de ecuaciones 
simétricas 
2
4
3 2
x y
z

   . 
 
20. Sean el plano 2 2x y z   , la recta 
3 2
2
1 2
x t
y t
z t
 

 
  
: 
a. Mostrar que no son paralelos. 
b. Hallar el punto de intersección entre el plano y la recta. 
c. Calcular el ángulo que forman la recta y el plano. 
 
21. En el ejercicio 12, mostraron que las rectas 1 2
2 6 2
: 1 3 ; : 2 3
4 2 1
x t x s
L y t L y s
z t z s
    
 
    
      
no son 
paralelas, y tienen un punto de intersección. Escribir la ecuación del plano que 
contiene a las dos rectas. 
 
22. Los planos 2 3 4 3x y z   ; 3 5 2x y z   no son paralelos. 
 
a. Calcular el ángulo que forman. 
b. Mostrar que el punto (2;1; 1) pertenece a los dos planos. 
c. Escribir las ecuaciones simétricas de la recta intersección de los dos planos.