B.3. a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.5 puntos. b) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolución: 0.25 puntos. c) Planteamiento: 0.5 puntos. ...

B.3.

a)

Planteamiento:

Dados los puntos P(1, 2, 3) y Q(4, 5, 6), encuentra la ecuación del plano que pasa por estos puntos.

Resolución:

1. Se calcula el vector normal al plano.

n = PQ = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)

2. Se toma un punto cualquiera del plano, por ejemplo, P.

P = (1, 2, 3)

3. Se utiliza la ecuación del plano en forma general para encontrar la constante.

n · (x - P) = 0
(3, 3, 3) · (x - (1, 2, 3)) = 0
3x - 3 + 3y - 6 + 3z - 9 = 0
3x + 3y + 3z - 18 = 0

Ecuación del plano:

x + y + z - 6 = 0

Puntuación:

• Planteamiento: 0,5 puntos
• Resolución: 0,5 puntos
• Total: 1 punto

Comentarios:

La respuesta se considera correcta si el alumno indica que el vector normal al plano es (3, 3, 3), que el punto P(1, 2, 3) pertenece al plano, y que la ecuación del plano en forma general es n · (x - P) = 0.

b)

Planteamiento:

Dados los puntos A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) y C(2, 4, 5), encuentra la ecuación del plano que pasa por estos puntos.

Resolución:

1. Se calculan los vectores AB y AC.

AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
AC = (2 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (1, 2, 2)

2. Se calcula el vector normal al plano.

n = AB × AC
n = (3 * 2 - 3 * 1, 3 * 2 - 3 * 2, 3 * 2 - 3 * 2) = (6, 0, 0)

3. Se toma un punto cualquiera del plano, por ejemplo, A.

A = (1, 2, 3)

4. Se utiliza la ecuación del plano en forma general para encontrar la constante.

n · (x - A) = 0
(6, 0, 0) · (x - (1, 2, 3)) = 0
6x - 6 = 0
6x = 6
x = 1

Ecuación del plano:

x - 1 = 0

Puntuación:

• Planteamiento: 0,25 puntos
• Resolución: 0,25 puntos
• Total: 0,5 puntos

Comentarios:

La respuesta se considera correcta si el alumno indica que el vector normal al plano es (6, 0, 0), que el punto A(1, 2, 3) pertenece al plano, y que la ecuación del plano en forma general es n · (x - A) = 0.

c)

Planteamiento:

Dados los puntos P(1, 2, 3) y Q(4, 5, 6), encuentra la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Resolución:

1. Se calcula el vector director de la recta.

d = PQ = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3