PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-35

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D 7- Construir un cuadrilátero ABCD, conociendo los cuatro lados y el ángulo AB,CD, formado por
los lados opuestos AB y CD.
Solución:
A D
E
B
F
C
A D
E
B
F
C
Trazada por B la paralela BE a CD, el triángulo ABE se puede construir, pues se conocen AB,
BE  CD y ABE  AB,CD. A continuación se construye el ADE, del que se conocen los tres
lados. Seguidamente, con centro en B y radio BC, y con centro en D y radio DC, se trazan dos
circunferencias, que se cortan en C.
D 8- Construir un cuadrilátero conociendo dos lados opuestos, AD y BC, el ángulo que forman
AD,BC, la razón de los otros dos lados ABCD , y el ángulo que forman estos últimos, AB,CD.
Solución:
A
D
G
B
F
CE
A
D
G
B
F
CE
Se traza AG, paralelo e igual a BC. Siendo DCG  AB,CD, el vértice C se encuentra en el arco
capaz de este ángulo trazado sobre DG. Sean E y F dos puntos que dividen a DG en la relación
dada ABCD . La circunferencia de diámetro EF, corta en C al arco capaz anterior. Las paralelas CB a
AG, y AB a GC, determinan el vértice B.
D 9- Construir un cuadrilátero ABCD, conociendo los cuatro lados y la recta MN que une los puntos
medios de las diagonales.
Solución:
A
B
B’
C’
C
M N
D
O
A
B
B’
C’
C
M N
D
O
Sea ABCD el cuadrilátero pedido. Se forma el paralelogramo BCC ′B′, trasladando las diagonales
BC y AD. Siendo O el centro del paralelogramo, la recta DO es igual y paralela a MN. El triángulo
DB′C se puede construir, pues se conocen los lados DB′  AB, DC y la mediana DO. También se
puede construir el DBC ′, del que se conocen los lados BD y DC ′  AC, y la mediana DO. Por
tanto se conocen los vértices D, B y C. Las paralelas BA a B′D, y CA a C ′D, determinan el vértice
A.
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D 10- Sobre una recta dada XY, se consideran cuatro puntos consecutivos A, B, C y D. Por A y B se
trazan dos paralelas cualesquiera, procediéndose de igual forma con C y D. Demostrar que las
diagonales del paralelogramo formado por las cuatro paralelas, cortan a la recta XY en dos puntos
fijos.
Solución:
A B S C D T
YX
P
M
N
Q
A B S C D T
YX
P
M
N
Q
Sean las paralelas APM, BNQ, CNP y DQM, y sean las diagonales PQ que corta a XY en T, y MN
que lo hace en S. Los triángulos PAC y QBD son semejantes, al tener sus ángulos iguales, y por la
misma razón lo son también PAT y QBT. Luego QBPA 
DB
CA y
AT
BT 
PA
QB , de donde
AT
BT 
CA
DB ,
AT − BT
AT 
AB
BT 
CA − DB
CA . Por tanto BT 
AB  CA
CA − DB , con lo que se demuestra
que, al ser constante BT, el punto T es fijo. La demostración para S es similar.
D 11- Construir un cuadrilátero ABCD, conociendo las diagonales AC y BD, el ángulo que forman,
AC,BD, la razón de dos lados opuestos, BCAD , y el ángulo de los otros dos lados, AB,CD.
Solución:
A
B
C
A’
D
C’A
B
C
A’
D
C’
El paralelogramo ACC ′A′ se puede construir. Sobre CA′ se traza el arco capaz de 180º − AC,BD.
Se traza el círculo lugar geométrico de los puntos D, cuyas distancias a A y C ′, están en la relación
BC
AD . La intersección de esta circunferencia con el arco capaz anterior, determina el vértice D. Las
paralelas por C y A, a DC ′ y DA′, respectivamente, determinan el vértice B.
D 12- Construir un cuadrilátero inscriptible ABCD, conociendo las diagonales AC y BD, el ángulo que
forman, AC,BD, y el ángulo CAD, que forma la diagonal AC con el lado AD.
Solución:
A
B
B’
O C
D
D’A
B
B’
O C
D
D’
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Por ser inscriptible, CAD  CBD. Se construye el paralelogramo BB′DD ′, pues se conocen sus
lados (las
diagonales del cuadrilátero) y sus ángulos (los que forman las diagonales). Se traza el ángulo
DBC  CAD, y el DD ′C, también igual al CAD, con lo que se determina el vértice C. Las paralelas
por B y D, a CB′ y D ′C, respectivamente, determinan el vértice A.
D 13- Inscribir en un triángulo dado ABC, un rectángulo DEFG de área dada, y que tenga su base
sobre la base del triángulo.
Solución:
A
B CH
D E
F G
J
A
B CH
D E
F G
J
JH
AH 
BH − FH
BH 
HC − HG
HC . De donde FH  BH  1 −
JH
AH , HG  HC  1 −
JH
AH y
FG  FH  HG  BC  1 − JHAH . Por tanto, SDEFG  BC  1 −
JH
AH  JH.
Luego, JH2 − AH  JH  SDEFG  AHBC  0. Es decir, se conoce la suma AH de dos segmentos, y su
producto SDEFG  AHBC . Obtenido JH, se traza una paralela a BC, a una distancia JH.
D 14- Construir un cuadrilátero inscriptible conociendo dos lados opuestos, AB y CD, el producto
AD  BC de los otros dos lados, y el radio R del círculo circunscrito.
Solución:
A B
C
D
a
b
c
d
A B
C’H
H’
a
b
cd
h
A B
C
D
a
b
c
d
A B
C’H
H’
a
b
cd
h
Se traza el círculo de radio R, y se llevan los lados conocidos, AB y, a continuación, CD (BC ′ en la
figura de la derecha). Se trata, en esta figura, de construir el triángulo AHC ′, en el que H está sobre
el círculo circunscrito y se conoce el producto AH  HC ′  AD  BC. Por tanto se conoce el área de
dicho triángulo SAHC′  AH  HC
′  sinH
2 
AC ′  h
2 , de donde se obtiene el valor de h. La
paralela a AC ′ a la distancia h, corta al círculo en H y H ′. Conocidos los cuatro lados, se colocan en
el orden de la figura de la izquierda.
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