PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-58

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F 3- Construir una parábola conociendo el eje E, una tangente t, y el parámetro p (distancia del foco a
la directriz).
Solución:
M
t
N O V F M’ P
E
M
t
N O V F M’ P
E
La subnormal de una parábola, es constante e igual a p, por lo que el triángulo MM ′P se puede
construir, pues M ′P  p, y el ángulo MPM ′ es conocido, pues MP es perpendicular a t, y MM ′ lo
es al eje E. Se traza una paralela a E a la distancia MM ′, que corta a t en el punto de tangencia M.
Siendo N la intersección de E y t, el foco F es el punto medio de NP. El vértice V corresponde a la
distancia VF  p2 , y la directriz es la perpendicular a E trazada por O, siendo FO  p.
F 4- Construir una parábola conociendo tres tangentes y el punto de contacto de una de ellas.
Solución: Sea T el punto de contacto de la tangente t1. Se trazan dos círculos que pasando por T
sean tangentes cada uno de ellos, a una de las otras dos tangentes. El segundo punto de
intersección de estos círculos, es el foco de la parábola.
F 5- Determinar analítica y gráficamente el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos
circunscritos a una cónica.
Solución:
M
F
M’
P
F1
F2
P
F1 F2
F F’
T
T’
M
F
M’
P
F1
F2
P
F1 F2
F F’
T
T’
a) Elipse: La ecuación x12 − a2m2 − 2x1y1m  y12 − b2  0, da los coeficientes angulares de las
tangentes trazadas desde un punto a una elipse. Debe cumplirse que y1
2 − b2
x12 − a2
 −1. Luego el lugar
pedido es la circunferencia x2  y2  a2  b2. En la figura de la izquierda sean PT y PT ′ las
tangentes perpendiculares entre sí, trazadas desde P, siendo T y T ′ los puntos de tangencia. Los
simétricos del foco F respecto a las dos tangentes, son F1 y F2. El ángulo F1FF2 es recto y está
inscrito en una circunferencia de centro P, cuyo diámetro es F1F2. El lugar geométrico de P es el
descrito por el punto medio de la cuerda F1F2 en la circunferencia focal, según un ángulo recto que
gira alrededor del punto fijo F. Como PF2  PF′2  PF12  PF′2  PF22  PF2  F′F12  4a2, es
constante, el lugar pedido es una circunferencia concéntrica con la elipse y cuyo radio es a2  b2 .
Esta circunferencia se denomina ortóptica o de Monge. b) Hipérbola: Los razonamientos son
similares, siendo la ecuación de los coeficientes angulares x12 − a2m2 − 2x1y1m  y12  b2  0,
y la ecuación del lugar es x2  y2  a2 − b2, siendo el radio de esta circunferencia a2 − b2 . Si la
hipérbola es equilátera, a  b, y la circunferencia degenera en un punto. c) Parábola; La ecuación
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de los coeficientes angulares de las tangentes, es 2x1m2 − 2y1m  p  0 .Luego el lugar pedido es
la recta x  −p2 , es decir, la directriz. En la figura de la derecha, sean PM y PM
′, las tangentes
perpendiculares entre sí, trazadas desde P. Las rectas que unen el foco F con sus simétricos F1 y
F2 respecto a las dos tangentes, son perpendiculares. Luego F1 y F2 tienen que ser extremos de un
diámetro de la circunferencia de centro P. Como F1 y F2 están en la directriz, los vértices P del
ángulo lo están también. Luego el lugar pedido es la directriz (corresponde al círculo ortóptico
cuando su centro es impropio).
F 6- Se da la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1. La tangente en un punto M de la misma, corta a OX y OY en  y .
La normal en M, los corta en  ′ y  ′. Sea P la parábola tangente en O a OX, y tangente además a
las paralelas a la tangente y a la normal trazadas, respectivamente, por  y  ′. Sea P′ la parábola
análogamente obtenida, reemplazando OX por OY. Demostrar que las parábolas P y P′ son
homofocales y coaxiales, y construir geométricamente el eje y foco comunes.
Solución:
⋅
X
Y
O
M
Fe
αα’
β
β’
⋅
X
Y
O
M
Fe
αα’
β
β’
El foco común de las parábolas P y P′ es el punto de intersección F de las circunferencias
circunscritas a los triángulos O y O ′ ′, de acuerdo con la construcción del foco de una
parábola de la que se conocen tres tangentes y el punto de contacto de una de ellas. La dirección
común del eje de estas parábolas es la simétrica de la recta OF respecto a OX, o bien respecto a
OY.
F 7- Demostrar que si una parábola es conjugada respecto a un triángulo, el foco de la parábola está
situado sobre el círculo de los nueve puntos y la directriz pasa por el centro del círculo
circunscrito.
Solución:
A
B Ca
bc
A
B Ca
bc
Se considera una parábola conjugada respecto al triángulo ABC. Sea abc el triángulo mediano del
ABC. Puesto que BC es la polar de A, bc es tangente a la parábola, y lo mismo para ca y ab. Luego
la parábola está inscrita en el triángulo abc. Por tanto su foco está sobre el círculo circunscrito al
abc, que es el círculo de los nueve puntos del ABC. La directriz pasa por el ortocentro del abc, que
es el circuncentro del ABC.
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F 8- Se da un cono cuya base es una elipse, siendo uno de sus focos el pie de la altura del cono. Hallar
gráficamente el foco y la directriz de la proyección sobre la base de una sección plana cualquiera.
Encontrar la condición para que esta sección sea un círculo. Estudiar el caso en el que el cono es
de revolución y su base una circunferencia.
Solución:
V
F
L E
V
F
L E
Si dos figuras perspectivas se proyectan desde un punto P sobre un plano, sus proyecciones son
homológicas en una homología de centro la proyección del centro perspectivo y eje la proyección
de la recta intersección de los planos de las dos figuras. Luego si P es el punto impropio de la
dirección FV, F será el centro, E el eje, y L la recta límite. Al ser F centro de homología y foco de
la cónica base, al considerar la involución rectangular, será foco de la cónica proyección. Su
directriz será la homológica de la directriz de la cónica base, al conservarse polo y polar. Cuando
la recta límite coincide con la directriz de la cónica base, la proyección es un círculo, es decir
cuando la sección es paralela al plano determinado por dicha directriz y V. En el caso de ser un
cono de revolución, el centro de la base seguirá siendo el foco, y la directriz la intersección del
plano de la base con el plano paralelo por V al plano de la sección, es decir, la recta límite de la
homología.
F 9- Hallar un punto M tal que la suma de sus distancias a tres puntos dados A, B y C, sea mínima.
Solución:
A
B
C
M
x
y z
A
B
C
M
x
y z
Si se deja MC  z  k, constante, el máximo o mínimo será el de la función MA  MB. Para
hallarlo, se aplica el teorema de Rolle, de la siguiente forma. La elipse x  y  k ′ (constante) corta
a la circunferencia z  k en dos puntos, entre los que está el mínimo buscado, y este se halla
cuando elipse y circunferencia sean tangentes, es decir cuando CM es la bisectriz del ángulo AMB.
Análogamente, BM será la bisectriz de AMC, y AM la de BMC. Por tanto, M es el punto de
intersección de los arcos capaces de 120º levantados sobre AB, BC y CA.
F 10- Se dan tres puntos alineados O, C y D, y dos puntos M y M ′ variables, simétricos respecto a O.
Las rectas MC y M ′D se cortan en I. La paralela a MM ′ trazada por I, corta a OC en E. 1º)
Comparar los cocientes ECED y
OC
OD , deducir que E es fijo y que los cocientes
DI
DM ′
y CICM son
constantes. 2º) Seguidamente se consideran tres puntos fijos alineados OAB, estando A entre O y B,
de forma que OA  2a, AB  3a, y se considera el círculo  de centro O y radio 6a. Demostrar
que cuando M describe , el eje radical de  y del círculo  circunscrito al triángulo OAM, pasa
por un punto fijo A′ que se definirá. 3º) Sean M y M ′ dos puntos diametralmente opuestos de .
Los ejes radicales de  y , y de  y del círculo circunscrito al triángulo OM ′B, se cortan en P.
Hallar el lugar geométrico de P cuando M y M ′ describen el círculo . 4º) Hallar el lugar
geométrico del punto medio de PM, y demostrar que la mediatriz de PM es tangente a una
hipérbola de la que se precisarán sus elementos geométricos, y se construirá el punto de tangencia
de la mediatriz y la hipérbola.
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