PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-65

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F 74- Una serie de parábolas pasan por un punto P y tienen la misma tangente t en dicho punto, siendo
sus ejes paralelos a la recta r. Hallar el lugar geométrico de sus focos.
Solución:
P
s
t
rP
s
t
r
Siendo la tangente, bisectriz del ángulo formado por los radios vectores, los focos F están sobre la
recta s, simétrica de r respecto a t.
F 75- Una serie de parábolas pasan por un punto fijo P, y tienen su vértice V fijo. Hallar el lugar
geométrico del punto de intersección de la tangente en P, con el eje.
Solución:
Q V H A
P
R
Q V H A
P
R
Sea VA el eje de una de las parábolas. Sea H la proyección de P sobre VA. Y sea Q el simétrico de
H respecto a V. La tangente en P es PQ, pues QV  VH. Se traza QR perpendicular a VQ, siendo
VR  VP, por lo que R es fijo. Luego Q está en la circunferencia de diámetro VR.
F 76- Demostrar que dada la recta r y un punto F sobre ella, para todo punto P del plano, hay dos
parábolas que tienen por eje r, por foco F, y que estas dos parábolas se cortan ortogonalmente.
Solución:
PA B
Fr
t1 t2
⋅PA B
Fr
t1 t2
⋅
La circunferencia de centro P y radio PF, tiene dos tangentes t1 y t2 perpendiculares a r, que son
las directrices de las dos parábolas. Las tangentes en P a las dos parábolas son las bisectrices de
APF y BPF, que son suplementarios, luego las tangentes son perpendiculares y las parábolas se
cortan ortogonalmente.
F 77- Determinar la directriz de una parábola conociendo el foco F, un punto P, y una tangente t.
Solución: Se traza el círculo de centro P y radio FP. Sea F′ el simétrico de F respecto a t. Desde
F′ se trazan las tangentes a dicho círculo, que son las directrices de las dos parábolas que cumplen
el enunciado.
F 78- Inscribir en una parábola dada, un triángulo cuyos lados sean paralelos a tres direcciones dadas.
Solución: Se traza un triángulo A′B′C ′ de lados paralelos a las tres direcciones dadas y se le
circunscribe una parábola cuyo eje sea paralelo al eje de la parábola dada. Esta y aquella son
homotéticas. Se une el centro de homotecia con los tres vértices A′, B′ y C ′. Estas tres rectas
cortarán a la parábola dada en A, B y C, que determinan el triángulo pedido.
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F 79- Determinar el foco de una parábola que pasa por dos puntos dados A y B, y cuya directriz d es
conocida.
Solución: Con centros en A y B se trazan dos circunferencias tangentes a d. Los puntos de corte
de las circunferencias son los focos buscados.
F 80- Hallar el lugar geométrico de los centros O de los círculos tangentes a un círculo C dado, y a una
recta t dada, exterior a C.
Solución:
C
O
t t’
⋅C
O
t t’
⋅
Se traza t ′, paralela a t, a una distancia de t igual a r, radio de C, situada al lado de t opuesto a C
(en el dibujo C está a la izquierda de t, y t ′ a la derecha). Las distancias de O a C y a t ′, son iguales.
Luego O describe una parábola cuyo foco es C y cuya directriz es t ′.
F 81- Demostrar que el ortocentro de un triángulo ABC, cuyos lados son tangentes a una parábola, se
encuentra sobre su directriz.
Solución:
A
B C
F
M
H
FA
FB
FC
t
⋅
A
B C
F
M
H
FA
FB
FC
t
⋅
El foco F de la parábola se encuentra sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC. Las
proyecciones FA, FB y FC de F sobre los tres lados del triángulo, están sobre la tangente t en el
vértice, y esta es la recta de Simson correspondiente a F. Como la recta que une el ortocentro de un
triángulo con cualquier punto del círculo circunscrito, queda dividida en su punto medio por la
recta de Simson de dicho punto, la recta FH (H es el ortocentro del ABC) queda dividida en dos
partes iguales por t, luego H está sobre la directriz.
F 82- Determinar la directriz d de una parábola conociendo dos tangentes t1 y t2, y el foco F.
Solución: Los puntos simétricos F1 y F2 de F respecto a las tangentes, definen la directriz.
F 83- Determinar el foco F de una parábola, conociendo uno de sus puntos P, una tangente t, y la
directriz d.
Solución:
A
B
C
P
t
d b
⋅
A
B
C
P
t
d b
⋅
El punto A es la intersección de d y t. Sea b la bisectriz del ángulo formado por d y t. Sobre dicha
bisectriz se encuentra F. Con centro en P se traza la circunferencia tangente a d. Los puntos B y C
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de intersección con b, dan las soluciones de F.
F 84- Dada una parábola, trazar la normal a la misma que pasa por un punto P dado del eje.
Solución: Sean F y V el foco y el vértice de la parábola. Sobre el eje se determina el punto A, de
forma que PA sea igual al parámetro de la parábola. Se determina, también sobre el eje, un punto
B, de manera que AB sea igual al doble de AV. Sobre PB como diámetro, se traza una
circunferencia que corta a la perpendicular al eje trazada en A, en los pies de las dos normales
pedidas.
F 85- Hallar el lugar geométrico del foco F de una parábola de la que se conocen un punto P, la
tangente t en dicho punto, y el punto A en que t corta la eje.
Solución:
A
P t
B
m
A
P t
B
m
Sea B el punto medio de AP. Por él pasan las tangentes en el vértice de todas las parábolas que
cumplen las condiciones del enunciado. Luego F describe la perpendicular a t en B.
F 86- Hallar el lugar geométrico de los focos de las parábolas tangentes a tres rectas dadas.
Solución: El lugar geométrico buscado es la circunferencia circunscrita al triángulo formado por
las tres tangentes, puesto que las proyecciones del foco sobre las tres tangentes, están en línea
recta.
F 87- Hallar el lugar geométrico de los focos F de las parábolas tangentes en el vértice V a una recta
dada t, y que pasan por un punto P dado.
Solución:
S
V F Q
R P
t
S
V F Q
R P
t
Sea Q la proyección de P sobre el eje. Por tanto PQ2  4  VF  VQ, luego FR2  4  RS  SP. Si
se toman como ejes coordenados SP y SV, se tiene y2  4x  SP. Luego F describe una parábola de
foco P, siendo t la tangente en su vértice.
F 88- Dos parábolas tienen el mismo foco F, siendo sus directrices d1 y d2 perpendiculares. Demostrar
que los puntos de contacto T1 y T2 de la tangente común t, están sobre las directrices d2 y d1
respectivamente.
Solución:
A
F
T2
T1
d1
d2
⋅
A
F
T2
T1
d1
d2
⋅
Las directrices d1 y d2 se cortan en A. Se traza la mediatriz de AF que es la tangente común, y por
tanto sus intersecciones con d1 y d2 dan T2 y T1,
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