2015-02 Matemática II 3FM

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Liceo Nº35 - IAVA- 3º FM
Examen Matemática II
26 de febrero de 2015
Ejercicio 1
a) Escribir la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje de abscisas (Ox), que pasa por el punto A(3,0) y es
tangente a la recta 6y− x−9 = 0 en el punto B(3,2).
b) Se considera la parábola (P) x = y2. Por el origen de coordenadas se considera una recta variable (r), no
paralela a los ejes de coordenadas, que corta a (P) en O(0,0) y en T . Por el punto A(0,1) se considera una
recta (s) paralela a (r) y la recta (t) tangente a (P) en el punto T .
Halla el lugar geométrico del punto I, intersección de (s) y (t). Reconocerlo y hallar sus elementos.
Ejercicio 2
Se considera la familia de cónicas de ecuación: (Cλ ) : λx2−2xy+λy2−2y−λ = 0
a) Discutir género y degeneramiento de (Cλ ) según λ real.
b) Escribir la ecuación de las cónicas degeneradas en forma factorizada.
c) Halla el lugar geométrico de los centros de (Cλ ). Reconocerlo y hallar sus elementos.
Ejercicio 3
a) Define parábola como lugar geométrico y escribe la ecuación de la parábola de directriz y = x y foco
F(0,1).
b) Comprueba que la siguiente ecuación (E) : x2− 2xy+ y2− 2x− 2y− 1 = 0 corresponde a una parábola,
halla el vértice y la ecuación del eje de (E), justifica tus respuestas, explicando el procedimiento utilizado.
c) Representa gráficamente la siguiente región del plano:{
x2−2xy+ y2−2x−2y−1 ≤ 0
x2 + y2 ≤ 16
Ejercicio 4
a) Define elipse como lugar geométrico y usando la definición deduce la ecuación de una elipse centrada en el
origen y de vértices A = (a,0), A′ = (−a,0), B = (0,b) y B′ = (0,−b) con a > 0 y b > 0.
b) Considera la elipse E de focos F y F ′ y de ecuación
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Sean M un punto variable sobre ella y tM la respectiva tangente a E por M. Prueba, que d(F, tM).d(F ′, tM) es
constante.
c) Dada la familia de rectas rm : mx+(m2− 1)y− 2m2 + 2m = 0 halla su envolvente, grafica el lugar y halla
sus elementos.
Ejercicio 5
a) Define Hipérbola como lugar geométrico y usando la definición deduce la ecuación de una hipérbola cen-
trada en el origen y de vértices A = (a,0), A′ = (−a,0) y focos F = (c,0), F ′ = (−c,0) con a > 0 y c > a.
b) Considera la hipérbola H de ecuación
x2
4
− y2 = 1
y la circunferencia C de diámetro el segmento de extremos los focos FF ′.
Halla la ecuación de las rectas tangentes tR a C por un punto genérico de ella R = (x0,y0).
c) Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que son polos de las rectas tR con respecto a H . Halla
sus elementos y grafícalo.