1 - MATEMÁTICA I - Capítulo 1 - Geometría (1)

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MATEMÁTICA I 
 
Capítulo 1 
GEOMETRÍA 
 
Plano coordenado 
Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas 
perpendiculares que llamaremos eje x y eje y, que se cortan en un punto O llamado origen 
 
 
 Y 
 
 
 
 1- 
 
 O 
 -2 -1 1 2 X 
 -1- 
 
 -2- 
 
 
 
 
de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la 
misma unidad, como muestra la figura. 
 Dado un punto P del plano, sea Px el punto de intersección del eje x con la recta que 
contiene a P y es paralela al eje y, y sea Py, el punto de intersección del eje y con la 
recta que contiene a P y es paralela al eje x. A Px le corresponde un número x en el 
eje x y a Py, le corresponde un número y en el eje y. 
Decimos que P tiene coordenadas (x ,y) , x es la abscisa de P e y es la ordenada 
de P. 
El punto P se identifica con sus coordenadas y se escribe P = (x ,y). 
Recíprocamente, dado un par ordenado de números reales (x ,y) hay un punto P del 
plano del cual son las coordenadas. 
 
 
 
 y P 
 
 
 x 
 
 
 
 
 2 
Ejercicios 
 
1. Representar en el plano los siguientes puntos y decir a qué cuadrante pertenecen: 
P=(2 ,-1) Q=(3 , ½) R=(-2 ,-4) S=(5 , -2) T=(-3 , 5) 
2. Representar en el plano los puntos de abscisa negativa y ordenada mayor que 2. 
3. Representar en el plano los siguientes conjuntos: 
A={(x,y) ; 1≤ x < 2 e y ≥ 0 } B={(x,y) ; x.y < 0 } C= {(x,y) ; x = y } 
4. Definir mediante condiciones los siguientes subconjuntos del plano: 
 
 
 2 
 
 5/2 1 2 
 -1 
 
 
 
 
 
Distancia entre dos puntos 
La distancia entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es: 
 2 21 2 2 1 2 1( , ) ( ) ( )d d P P x x y y= = − + − 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
5. Calcular la distancia entre P1=(3,2) y P2=(-1,4) 
6. Representar y hallar el perímetro del triángulo de vértices 
 A=(-1,2) ; B=(4,5) y C=(5,0) 
7. Determinar un punto sobre el eje y que equidiste de (2,5) y (3,3) 
8.a) Determinar las coordenadas del punto medio entre 
 P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2) 
 b)Determinar las coordenadas del punto medio entre A=(-3,8) y B=(5, -4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Rectas en el plano 
 
 
Sea L una recta del plano. 
 
i) Si L es vertical, L tiene una ecuación 
de la forma x = c. 
 
 L = {(x, y); x = c } 
 
 
 
ii) Si L es horizontal, L tiene una 
ecuación de la forma y = c 
 
 L = {(x, y); y = c } 
 
 
 
ii) Si L no es horizontal ni vertical y pasa 
por los puntos P1=(x1 , y1) y P2=(x2 , y2) 
, las coordenadas (x, y) de cualquier otro 
punto P que esté sobre L verifican la 
ecuación: 
 
 1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −=− − 
 
que, operando, se puede escribir en la 
forma general 
 A x + B y + C = 0 
 
o, en la forma explícita: 
 y mx b= + 
 
donde 2 1
2 1
y y
m
x x
−= − ,se llama 
pendiente de la recta L, y, como se 
observa en la figura, es igual a la 
tangente del ángulo α que es el ángulo 
de inclinación de L 
2 1
1 1
2 1
y y
b x y
x x
−= − ⋅ +− es la ordenada 
al origen de la recta L (la ordenada del 
punto de la recta que está sobre el eje 
y) 
 
 
 
 L 
 
 
 
 
 c 
 
 
 
 
 
 
 c L 
 
 
 
 
 
 
 
 P 
 y 
 P2 
 y2 
 
 y1 P1 
 
 
 
 αααα 
 x1 x2 x 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
Dada una recta L del plano es posible entonces encontrar una ecuación lineal A x 
+ B y + C = 0 tal que 
 L = {(x, y); A x + B y + C = 0 } 
 
Recíprocamente, el conjunto de puntos del plano que verifica una ecuación lineal A 
x + B y + C = 0 es una recta del plano. En efecto: 
i) Si A = 0, la ecuación se escribe 
B
C
y −= , y se trata de una recta horizontal. 
 
ii) Si B = 0, la ecuación se escribe 
A
C
x −= , y se trata de una recta vertical. 
 
iii) Si A ≠ 0 y B ≠ 0, despejando y obtenemos: 
B
C
x
B
A
y −−= , que es 
una ecuación de la forma y = m x + b. 
 
Dos puntos que satisfacen dicha ecuación son: P1= (0 , b) y P2 = (1 , m+b) y 
los puntos que están en la recta determinada por P1 y P2 son los que verifican la 
ecuación : 
 
 
01
0
−
−=
−+
− x
bbm
by
 o sea: y = m x + b 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
1. Halle la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos dados: 
a)(2, 5) y (4, 3) b) (-1, 3) y (-2, -3) c) (1/2, 0) y (-1/2, -2) 
 
2. Determine el valor de k para el cual los puntos (-1,2) , (3, 1) y 
 (2, -k +1) están alineados. 
 
3. Halle la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas y represéntelas 
gráficamente. 
a)L : 5x + y –3 = 0 b)S: 4 x – 3 y = 6 c) 3x – 6 = 0 d) y + 2 = 0 
 
4.¿A qué cuadrante pertenece el ángulo de inclinación de una recta que tiene pendiente 
negativa? 
 
5. Halle la medida aproximada del ángulo de inclinación de una recta que tiene 
pendiente 4; y la medida aproximada del ángulo de inclinación de una recta que tiene 
pendiente –3. 
6. Escriba la ecuación explícita de la recta que: 
a) tiene ángulo de inclinación igual a 135º y pasa por el punto ( 1, 2) 
b) tiene pendiente –2 y pasa por el origen de coordenadas. 
c) tiene pendiente –2 y pasa por (-2, -3) 
 
 
 5 
 
 
 
Dos rectas L y L’ del plano pueden ser: transversales (se cortan en un punto) , 
paralelas o coincidentes (L = L’) 
 
Cada recta tiene una ecuación lineal: L: A x + B y + C = 0 
 L’: A’ x + B’ y + C’ = 0 
 
Los puntos de intersección, si existen, deben verificar ambas ecuaciones, es decir, deben 
ser solución del sistema lineal 
 A x + B y + C = 0 
 A’ x + B’ y +C’ = 0 
 
• Las rectas son transversales si y sólo si dicho sistema lineal admite una única 
solución. 
• Las rectas son paralelas si y sólo si dicho sistema lineal no tiene solución. 
• Las rectas son coincidentes si y sólo si dicho sistema lineal admite infinitas 
soluciones(ambas ecuaciones son equivalentes) 
----------------------------------------------------------------------------- 
Sean L y L’ rectas de ecuaciones explícitas y = mx + b e 
 y = m’x + b’ respectivamente. 
 
 (1) L y L’ son paralelas si y sólo si m = m’ 
 (Si b ≠≠≠≠ b’ son // y distintas. Si b = b’, L y L’ son coincidentes) 
 
 (2) L y L’ son perpendiculares si y sólo si m.m’= -1 
 
 
Ejercicios 
 
7- a) Hallar la ecuación explícita de la recta L que tiene pendiente 
 
3
5
 y pasa por P(12, 5). 
 b) Hallar una paralela a L que pase por Q(3,12) 
 c) Hallar una perpendicular a L que pase por T(3,6) 
 
8- a) Hallar la ecuación explícita de la recta L que tiene pendiente 
 
5
12
− y pasa por P(9, 6) 
 b) Hallar una paralela a L que pase por Q(-5,1) 
 c) Hallar una perpendicular a L que pase por T(-8,4) 
 
9- a) Hallar la ecuación explícita de la recta L que pasa por los puntos 
 P(-1, 5)y Q(5,9). 
 b) Hallar una perpendicular a L que pase por S(-8,5). 
 c) Hallar una paralela a L que pase por Q(-9,15) 
 
10- a)Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por 
 P(-1, 1/3) y es paralela a la recta de ecuación –x + 2y –1 = 0. 
 b) Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por 
 P(2, -1/2) y es perpendicular a la recta de ecuación 
 3x – 2y + 1 = 0. 
 6 
11- Hallar las pendientes de las siguientes rectas y expresarlas 
 por sus ecuaciones explícitas. Para cada una de ellas hallar 
 una recta paralela y una perpendicular que pasen por el origen, 
 L : 3x –2y + 6 = 0 ; S: 2y + x = 6; T : 6 y – x – 2 = 0- 
 
12-Decida si los siguientes pares de rectas son transversales, paralelas 
 o coincidentes y determine, cuando corresponda, las coordenadas del 
 punto en el que se cortan. 
 a) 2 x – y = – 3 
 –6 x + 3 y = – 6 
 b) 2 x + y = – 1 
 x – y = 2 
 c) 4 x – 8y = – 12 
 – x + 2 y = 3 
 
 
 
 
 
Circunferencia 
 
Una circunferencia es el conjunto de puntos P(x,y) del plano que equidistan 
de un punto fijo llamado centro. La distancia entre cualquier punto de la 
circunferencia y el centro se llama radio. 
 
 
Ecuación estándar de la circunferencia 
Si C(α,β ) es el centro, r es el radio y P(x,y) es un punto genérico de la 
circunferencia, por definición debe ser: 
 
 d(P,C) = r 
 
es decir : 2 2( ) ( )x y rα β− + − = 
elevando ambos miembros al cuadrado queda 
 (x – αααα )2 + (y – ββββ )2 = r2 
 
La ecuación (x – αααα )2 + (y – ββββ )2 = r2 es la ecuación estándar o canónica de 
la circunferencia con centro C(α,β ) y radio r. 
 
 
Completación de cuadrados 
 
Si en la ecuación estándar se desarrollan los cuadrados de uno o ambos 
binomios (x – αααα )2 o (y – ββββ )2 y se multiplica todo por un número real no nulo, 
la ecuación tiene otro aspecto. 
Interesa tanto en la circunferencia como en cualquier cónica, que estén 
expresadas por su ecuación estándar porque a partir de ella se pueden obtener 
los elementos (centro y radio en la circunferencia, vértice, foco, eje focal y 
directriz en la parábola, vértices, focos, eje focal en la elipse, etc). 
Cuando la ecuación no está en forma estándar o canónica el método de 
completación de cuadrados permite llevarla a esa forma. 
 
 
 7 
Ejemplo 
Dada la ecuación 2 22 2 12 20 50x y x y+ − + = − llevarla a su forma estándar y 
hallar sus elementos. 
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 12 20 50
2 12 2 20 50
2( 6 ) 2( 10 ) 50 (*)
6 2 3 9
10 2 5 25
luego en la ecuación (*):
2( 6 9) 2( 10 25) 50 18 50
2( 3) 2( 5) 18, dividir todo por 
x y x y
x x y y
x x y y
x x
y y
x x y y
x y
α α α
β β β
+ − + = −
− + + = −
− + + = −
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
− + + + + = − + +
− + + =
2 2
2
y queda ( 3) ( 5) 9 la ecuación estándar de 
esta circunferencia.
Sus elementos son: centro (3, 5) y su radio 3
x y
C r
− + + =
− =
 
 
 
Ejercicios 
 
13- a) Escriba la ecuación estándar de la circunferencia de centro 
 C(-3, 4) y radio 31/2. Graficar. 
 b) Escriba la ecuación estándar de la circunferencia de centro 
 C(-2, 5) y que pasa por el punto de coordenadas (1,2) . 
 
14- Hallar las ecuaciones estándar de las siguientes circunferencias 
 con centro P y que pasa por Q, y con centro Q que pasa por P 
 a) P(2, 5), Q(4, 3) b) P(-1, 3), Q(-2, -3) c) P(1/2, 0), Q(-1/2, -2) 
 
15. Analice si las siguientes ecuaciones corresponden o no a 
 una circunferencia indicando, en caso afirmativo, los 
 elementos de la misma. 
a) 2 x2 + 2 y2 + 4 x – 8 y – 8 = 0 b) x2 + y2 – 2x = 1 
c) 3 x2 + 3 y2 + 9 x – 3 y + 21 = 0 
 
16-Llevar la ecuación 6x2+6y –12 x+12 y –6=0 a la forma estándar 
 e indicar sus elementos 
 
17-a) Hallar la intersección de la circunferencia del Ejercicio anterior con 
 el eje x. 
b) Hallar la intersección de dicha circunferencia con el eje y. 
c) Hallar la intersección de dicha circunferencia con la recta 
 de ecuación y= x –1 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Parábola 
Una parábola es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un 
punto fijo llamado foco y de una recta fija que no contiene al foco llamada 
directriz. 
 
 
 
 d 
 
 
 V ·F 
 p 
 
 
 
La recta perpendicular a la directriz trazada por el 
foco es el eje de la parábola. 
 
 
El vértice es el punto en el que se cortan la 
parábola y el eje. 
 
 
 
 
Si F( c, 0) es el foco, la directriz es la recta 
x = –c y P(x,y) es un punto genérico de la parábola, 
siendo D(-c,y) , debe ser: 
 d(P, D) = d(P, F) 
 ( ) ( )2 2 2x c x c y+ = − + 
 ( ) ( )2 2 2x c x c y+ = − + 
 22 2cx cx y= − + 
 24cx y= 
 
 
 
 
 
 
 D P 
 
 F 
 
Un punto P(x,y) está en la parábola con foco F(c,0) y directriz x=–c si y sólo 
si satisface la ecuación 2 4y cx= . El eje x es el eje focal de esta parábola y es 
un eje de simetría de la parábola. El vértice de la parábola es el origen de 
coordenadas. Si 4c>0 la parábola es cóncava hacia la derecha, si 4c está 
multiplicado por -1, esto indica que la parábola es cóncava hacia la izquierda. 
 
 
Invirtiendo el papel de x e y en lo anterior se tiene: 
Un punto P(x,y) está en la parábola con foco F(0, c) y directriz y= –c si y sólo 
si satisface la ecuación 2 4 .cx y= El eje y es el eje focal de esta parábola (eje 
de simetría de la parábola). El vértice de la parábola es el origen de 
coordenadas. Si 4c>0 la parábola es cóncava hacia arriba, si 4c está 
multiplicado por -1, eso indica que es cóncava hacia abajo. 
 
 9 
Si el vértice de la parábola es el punto de coordenadas (α,β) y el eje es una 
recta paralela a uno de los ejes coordenados, las ecuaciones canónicas 
correspondientes serán: 
 
(1) 2( ) 4 ( )y c xβ α− = − (eje focal paralelo al eje x) 
(2) 2( ) 4 ( )x c yα β− = − (eje focal paralelo al eje y) 
 
Operando, dichas ecuaciones pueden escribirse en la forma: 
 
(1’) x = a y2 + b y + c (2’) y = a x2 + b x + c 
 
 
Ejemplo 
Dada la ecuación 23 12 48 156x x y− + = − llevarla a su forma estándar, hallar sus 
elementos.La x es la única que está al cuadrado, se debe completar el cuadrado en x 
2
2 2
2 (*)
3 12 48 156 3 12 48 156
3( 4 ) 48 156 
 4 2 2 4
x x y x x y
x x y
x xα α α
− + = − ⇔ − = − −
− = − −
⇒ ⇒= = =
 
2
2
2
2
(*): En la ecuación 3( 4 4) 48 156 12,
3( 4 4) 48 144,
3( 2) 48( 3), se divide todo por 3 y queda:
. ( 2) 16( 3)
x x y
x x y
x y
x y
− + = − − +
− + = − −
− = − +
− = − +
 
 
 (2, 3), eje focal // eje y,Los elementos son: vértice
-16<0 entonces es cóncava hacia abajo,
es en un sentido la distancia del vértice 
al foco y en el otro del vértice a la directriz.
C
4 16 4, 
V
c c c
−
= ⇒ =
on el valor 4 se obtienen los restantes elementos:
la directriz es la recta de ecuación 1 y el foco se 
encuentra en el punto (2, 7).
c
y
F
=
=
−
 
 
Ejercicios 
 
18 - Escriba la ecuación canónica de las parábolas 
 a) con foco F = (0, 6) y directriz y + 6 = 0 
 b)con vértice en el origen y foco en (-4,0) 
 c)con vértice en (3,2) y foco (5,2) 
 d) con vértice en (0,0) y que contiene a los puntos (2,-3) y (-2,-3) 
 
19- Graficar y dar los elementos de las parábolas definidas por las 
 10
 siguientes ecuaciones: 
 a) 3y2 = 8x b) y2 = -12x 
 c) x2 = 4(y + 1) d) (y –3)2 = –20(x+2) 
 
20- Encontrar la ecuación estándar y los elementos de las parábolas: 
 a) 2x2 + 12x + 8y + 10 = 0 
 b) 3y2 + 18y – 24x =93 
 c) y = x2 +6x + 10 
 
21 – a) Hallar la ecuación estándar de la parábola con vértice V(1,3), eje focal 
 // al eje x y que pasa por el punto P(6, 13). Graficar y dar los 
 restantes elementos. 
 b) Hallar la ecuación estándar de la parábola con vértice V(-5,1), eje focal 
 // al eje y y que pasa por el punto P(1, 0). Graficar y dar los 
 restantes elementos. 
 
 
22 – a) Hallar las ecuaciones estándar de las parábolas con vértice V(3,2) y 
 foco F(7,2), y otra con vértice V(7,2) y foco F(3,2). 
 b) Hallar las ecuaciones estándar de las parábolas con vértice V(-3,3) y 
 foco F(-3,-1), y otra con vértice V(-3,-1) y foco F(-3,3). 
 
 
Elipse 
Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del plano tales que la suma de 
sus distancias a un par de puntos fijos llamados focos es constante. 
 
 
 
Si los focos son los puntos F1(c,0) y F2(-c,0) 
la constante es 2a y P(x,y) es un punto 
genérico de la elipse, debe ser : 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
( ) ( ) 2
( ) 2 ( )
:
4 ( ) 4 4
( )
:
2 2
22
2 2 1
x c y x c y a
x c y a x c y
elevando al cuadrado
a x c y a cx
cx
x c y a
a
elevando al cuadrado
c x
x cx c y a cx
a
siendo b a c
yx
a b
− + + + + =
− + = − + +
+ + = +
+ + = +
+ + + = + +
= −+ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 P 
 
 F2 F1 
 
 
 
 
 
 
 Observando el triángulo F1F2P, podemos 
concluir que 2a >2c , con lo cual a2 – c2 > 0 por 
lo que podemos escribir a2 – c2 = b2 
 11
 
 
 
El eje x y el eje y son ejes de simetría de esta elipse. 
± a son las abscisas al origen y ± b son las ordenadas al origen. 
El eje x es el eje mayor y el eje y es el eje menor . 
Los puntos (± a, 0) se llaman vértices y los puntos (0, ± b ) se llaman covértices 
El punto de intersección de los ejes (el origen de coordenadas) es el centro de la elipse. 
Los focos, (± c, 0), están sobre el eje mayor. 
 
2 2 2
22
2 2 1 donde b a c
yx
a b
= −+ = , es la ecuación estándar o canónica de la 
elipse con vértices (± a, 0) y focos (± c, 0) 
 
 
 
Invirtiendo los papeles de x e y tenemos: 
 
 
2 2 2
2 2
2 2 1 donde b a c
y x
a b
= −+ = , es la ecuación estándar o canónica de la 
elipse con vértices (0,± a) y focos (0,± c) 
 
 
Si el centro de una elipse no es el origen de coordenadas, sino un punto 
arbitrario (α,β), el eje mayor es paralelo al eje x o al eje y, y los focos están a 
c unidades de (α,β), las ecuaciones canónicas correspondientes son: 
 
 
2 2 2
2 2
( ( ) )2 2
2 2
( ( ) )2 2
( ) ( ) 1
( ) ( ) 1
eje focal el mayor horizontal
eje focal el mayor vertical
siendo b a c
x y
a b
y x
a b
α β
β α
= −
− −+ =
− −+ = 
 
Ejemplo 
Dada la ecuación 2 22 18 8 108 98x y x y+ − + = − hallar la ecuación estándar y los 
elementos 
 
Como en la circunferencia, se deben completar los cuadrados en x y en y 
2 2 2 22 18 8 108 98 2 8 18 108 98x y x y x x y y+ − + = − ⇔ − + + = − 
2
2 22( 4 ) 18( 6 ) 98
 4 2 2 4
x x y y
x xα α α
− + + = −
= → = → =
 
 26 2 3 9 y yβ β β= → = → = 
2 22( 4 4) 18( 6 9) 98 8 162 72x x y y− + + + + = − + + = 
 12
2 22( 2) 18( 3) 72x y− + + = dividiendo ambos miembros por 72 queda 
2 2( 2) ( 3) 1 ecuación estándar de la elipse.
36 4
x y− ++ = 
Sus elementos: el vértice es V(2,-3), 2 2 26, 2, 36 4 32a b c a b= = = − = − = , 
32 5,47c = ≅ 
El eje focal // al eje x, los vértices son 1 2( 4, 3), (8, 3)A A− − − , 
los covértices son 1 2(2, 5), (2, 1),B B− − los focos 1 2( 3,4; 3), (7,4; 3)F F− − − 
 
Ejercicios 
 
23 - Determine los vértices y focos de las siguientes elipses y 
 represente gráficamente. 
 a) 
22
1
4 1
yx + = b) 
2 2
1
4 1
y x+ = 
 c) x2 + 16y2 = 16 d) 9x2 + 2y2 = 18 
 e) 25x2 + 9y2 = 225 
 
 
24 - Encontrar los elementos (centro, vértices y focos) de las 
 siguientes elipses y graficar 
 
 a) 
2 2( 3) ( 2) 1
25 16
x y+ −+ = b) 
2 2( 2) ( 3) 1
25 16
x y− ++ = 
 
25 - Encontrar la ecuación estándar, los elementos (centro, vértices 
 y focos) de las siguientes elipses y graficar 
 
 a) 4(x – 5)2+3(y – 5)2 =192 
 
 b) 4x2 + y2 – 8x – 2y + 1 = 0 
 c) 9x2 + 4y2 + 54x – 8y + 49 = 0 
 
 
26- Encontrar la ecuación estándar y graficar la elipse que: 
a) tiene centro en (-2, 3), eje mayor de longitud 8 y paralelo al eje y, 
 eje menor de longitud 2 
b) tiene vértices (3,0) y (–3,0) y contiene al punto (2, 22/3) 
 
27 – Una elipse tiene centro en (3,5), un vértice en (9,5) y otro en 
 (3,1), encontrar la ecuación estándar, elementos y graficar. 
 
28 - Una elipse tiene centro en (-2,4), un vértice en (1,4) y un foco 
 en (-2, -1), encontrar la ecuación estándar, elementos y graficar.