PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-80

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J 16- Demostrar que en un tetraedro 1º) La suma de los cuadrados de dos pares de aristas opuestas es
igual a la suma de los cuadrados de las otras dos aristas, más cuatro veces el cuadrado de la
distancia entre los puntos medios de estas últimas. 2º) La suma de los cuadrados de las seis aristas
es igual a cuatro veces la suma de los cuadrados de los tres segmentos que unen los puntos medios
de aristas opuestas.
Solución:
a
b
c
d
e
f
m
n
A
B
C
D
a
b
c
d
e
f
m
n
A
B
C
D
Sean los pares de aristas opuestas ad, bc, ef. Sean las distancias entre sus puntos medios Dad, Dbc,
Def. Y sea m la mediana en el triángulo ABC, trazada desde B sobre AC, y n la mediana en el
triángulo ACD, trazada desde D sobre AC. 1º) Se tiene: a2  b2  e
2
2  2m
2, c2  d2  e
2
2  2n
2,
m2  n2  f
2
2  2dDef
2 . Sumando las dos primeras igualdades y teniendo en cuenta la tercera, se
obtiene: a2  b2  c2  d2  e2  f2  4Def2 . 2º) Sumando las tres igualdades siguientes:
a2  b2  c2  d2  e2  f2  4Def2 , a2  d2  e2  f2  c2  b2  4Dbc2 , b2  c2  e2  f2 
 a2  d2  4Dad2 , se obtiene: a2  b2  c2  d2  e2  f2  4Dad2  Dbc2  Def2 .
J 17- En un plano H se considera un segmento fijo OA de longitud a, y una semirrecta variable OX que
forma en O con OA el ángulo  agudo. Sobre la perpendicular al plano H por A, se lleva AB  a.
Sea C el pie de la perpendicular bajada desde B sobre OX. 1º) ¿Qué propiedad es común a todas las
caras del tetraedro OABC? 2º) Calcular las longitudes de las aristas y el volumen V del tetraedro en
función de a y . Determinar  para que V  a
3 3
24 , obteniéndose dos soluciones. 3º) ¿Cuál es el
volumen del sólido común a los tetraedros correspondientes a dichas dos soluciones? 4º) Hallar en
función de a y , el ángulo   BOC. Aplicar el resultado al cálculo de  cuando   45º. 5º)
Cuando  varía, ¿cuál es el lugar de C? Demostrar que la esfera circunscrita al tetraedro OABC está
fija. Demostrar que el plano tangente en C a esta esfera pasa por un punto fijo a determinar.
Solución:
O A
B
C
H X
O A
B
C
H X
1º) Las cuatro caras son triángulos rectángulos, pues OCA  CAB  OCB  OAB  90º.
238
2º) OA  AB  a, OB  a 2 ;   AOC, OC  acos, AC  a sin, BC  a 1  sin2 ;
V  16  OC  AC  AB 
a3 sincos
6 
a3 sin2
12 ;
a3 3
24 
a3 sin2
12 , sin2 
3
2 , de
donde los dos valores de  son 30º y 60º. 3º) El área de la base común es 12 a
a
6 3 
a2 3
12 . El
volumen común es a
3 3
36 . 4º) tan 
BC
OC 
a 1  sin2
acos 
1  sin2
cos , luego
cos  OCOB 
2 cos
2 ,   arccos
2 cos
2  arccos
1
2  60º. 5º) Como el ángulo
OCA  90º, el punto C describe la circunferencia de diámetro OA. La esfera circunscrita es la
determinada por este círculo y el punto B, por lo que es fija. Como C describe un círculo menor,
todos los planos tangentes lo son también a las generatrices del cono tangente, luego todos los
planos pasan por el vértice del cono, siendo este punto el conjugado armónico del punto medio de
OA respecto de los puntos en que corta a la esfera el diámetro perpendicular a OA.
J 18- Se da un triángulo equilátero ABC de lado a. 1º) Demostrar que existe un punto P del espacio, tal
que el tetraedro PABC formado sea regular. ¿Este punto es único? Calcular la altura y el volumen
en función de a. 2º) ¿Existe un punto O tal que los triángulos AOB, BOC y COA sean rectángulos
en O? ¿Sobre qué recta se encontrará? Precisar su posición calculando su distancia al plano ABC.
Exponer qué les pasa a estos triángulos si el punto O es único. 3º) M es un punto de PB. Se pone
PM  x  PB. Sea M ′ el punto de PC tal que CM ′  PM. Calcular en función de a y de x los
volúmenes V y V′ de los tetraedros PACM y PAM ′M. 4º) Estudiar las variaciones del cociente
y  V
′
v en función de x, siendo v el volumen del tetraedro PABC, cuando el punto M se desplaza
entre P y B. Determinar las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje X,
calculando el ángulo que forma con este eje.
Solución: 1º) La altura del tetraedro es a 63 , luego trazando por el centro del triángulo ABC una
perpendicular a su plano, y llevando la distancia a 63 sobre la perpendicular, a ambos lados del
plano, se obtienen los puntos simétricos P y P′ que dan dos tetraedros regulares de volumen
v  a
3 2
12 .
2º) Existen dos puntos O simétricos respecto al plano ABC, que se encuentran sobre la
perpendicular a dicho plano, trazada por el centro del triángulo ABC, de forma que
OA  OB  OC  a 22 . La distancia H desde O al citado plano, viene dada por
H2  a
2
2 −
a2
3 
a2
6 , es decir H 
a
6
. Todos los triángulos de las caras, en este caso, son
isósceles. 3º) Superficie del triángulo PAM  12 aax
3
2 
a2 3 x
4 . Altura de C sobre
APB  a 63 . Luego V 
a3 2 x
12 . Altura de M
′ sobre APB  a1 − x 63 . Luego
V′  a
3x1 − x 2
12 . 4º) y 
a3x1 − x 2
12 
a3 2
12  x1 − x. Se trata de una parábola que
corta al eje X en los puntos 0, 0 y 1, 0. La tangente en 0, 0 forma un ángulo de 45º con el eje
X, y la tangente en 1, 0, lo forma de 135º.
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J 19- Un plano divide a dos aristas opuestas de un tetraedro en una relación dada. Estudiar esta
relación para que el tetraedro quede dividido en dos sólidos cuyos volúmenes estén en la misma
relación.
Solución:
A
B
E
C
D
G
H F
A
B
E
C
D
G
H F
El plano corta a las aristas AD y BC en los puntos G y E, teniéndose GAGD 
EB
EC  k. El plano
corta también al par de aristas opuestas AC y BD en F y H, respectivamente, quedando el tetraedro
dividido en dos cuerpos: ABEFGH y CDEFGH. En el cuadrilátero alabeado ADBC cuyos lados
son cortados por el plano en G, H, E y F, se tiene que
GA
GD 
HD
HB 
EB
EC 
FC
FA  1  k
2  HDHB 
FC
FA . Luego
HD
HB 
m
k y
FC
FA 
1
km . El cuerpo
ABEFGH está formado por la pirámide cuadrangular AEFGH y la pirámide triangular ABHE.
Análogamente, el cuerpo CDEFGH está formado por la pirámide cuadrangular DEFGH y la
pirámide triangular DEFC. Las dos pirámides cuadrangulares tienen la misma base EFGH y sus
respectivas alturas son proporcionales a AG y DG, luego la relación de sus volúmenes es la de
AG
DG  k. La relación entre el volumen de la pirámide triangular ABHE y el volumen del tetraedro
dado, es igual a la relación de sus bases, pues tienen la misma altura, que es la distancia de A al
plano BCD. La relación de sus bases es:
BH  BE
BD  BC 
BH  BE
BH  HDBE  EC 
1
1  HDBH 1 
EC
BE

 1
1  mk 1 
1
k
 k
2
k  mk  1 . La relación de los volúmenes del tetraedro dado y de
la pirámide triangular DEFC, es igual a la relación de sus bases ABC y EFC, pues sus alturas son
iguales (la distancia de D al plano ABC). La relación de sus bases es
CB  CA
CE  CF 
CE  EBCF  FA
CE  CF  1 
EB
CE 1 
FA
CF  1  k1  km.
Multiplicando las dos relaciones se tiene la relación entre los volúmenes de las dos pirámides
triangulares, que es k
21  k1  km
k  mk  1 
k21  km
k  m . Para que la relación de los volúmenes de
los dos cuerpos, sea k, y como la de las pirámides cuadrangulares es k, la de las pirámides
triangulares ha de serlo también, luego k
21  km
k  m  k, de donde k  1, pudiendo tomar m
cualquier valor. Por tanto, se deduce que todo plano trazado por los puntos medios (k  1) de dos
aristas opuestas de un tetraedro, divide a este en dos partes equivalentes.
J 20- Se da un tetraedro ABCD. Hallar un punto P tal que la potencia de A respecto a la esfera de
diámetro PC, la potencia de C respecto a la esfera de diámetro PB, la de B respecto a la esfera de
diámetro PD, y la de D respecto a la esfera de diámetro PA, sean proporcionales a las cantidades
dadas , , , .
Solución: La potencia de A respecto a la esfera de diámetro PC, es AC  AA′  k, de donde
AA′  kAC . Análogamente, CC
′ 
k
CB , BB
′ 
k
BD , DD
′  kDA . Las rectas PA
′, PB′, PC ′ y PD ′
son perpendiculares, respectivamente, a AC, BD, BC y AD. Siendo x, y, z, t las distancias de P a
AC, BD, BCy AD, se tiene PA2  x2  AA′2  t2  AD ′2  x2  k
22
AC2
 t2  AD − kAD
2
. Sus
análogas son y2  k
22
BD2
 z2  BC − kCB
2
, z2  k
22
CD2
 x2  AC − kAC
2
,
240