Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (28)

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3 GEOMETRÍA
Solución: (a) El plano contiene a la recta ℓ cuando la intersección de ambos es ℓ, o sea cuando la
ecuación del plano “sobra” al juntarla con las de ℓ. Usando la matriz del sistema tenemos:


1 3 −1 6
2 5 3 2
3 5 p q

→


1 3 −1 6
0 −1 5 −10
0 −4 p+ 3 q − 18

→


1 3 −1 6
0 −1 5 −10
0 0 p− 17 q + 22


y por tanto la condición pedida (que la última fila sobre) se da cuando p = 17 y q = −22.
(b) Los planos que contienen a ℓ son los de la forma siguiente (“haz de planos”):
α(x+ 3y − z − 6) + β(2x+ 5y + 3z − 2) = 0
De ellos, el que contiene a P = (0, 1, 1) debe cumplir 0 = α(3− 1− 6) + β(5 + 3− 2) = −4α+ 6β,
lo que se tiene tomando α = 3 y β = 2 (o parejas proporcionales). Por tanto el plano buscado tiene
ecuación
3(x+ 3y − z − 6) + 2(2x+ 5y + 3z − 2) = 0 o sea 7x+ 19y + 3z = 22
(c) Los planos perpendiculares a ℓ tienen por vectores directores los coeficientes de las incógnitas
en las ecuaciones de ℓ, o sea (1, 3,−1) y (2, 5, 3). Por tanto la ecuación del que pasa por P es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 x
3 5 y − 1
−1 3 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 14x− 5(y− 1)− (z− 1) = 14x− 5y− z+6 o 14x− 5y− z = −6
o
15. En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas
{
3x+ 2y + z = 7
2x+ 4y + 5z = 12
}
. Calcula:
a) Los valores de a y b para los que ℓ está contenida en el plano de ecuación x+ 14y + az = b.
b) La ecuación impĺıcita del plano que contiene a ℓ y al punto P = (−3, 1, 2).
c) La ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ por al punto Q = (1, 1, 1).
Solución: (a) El plano contiene a la recta ℓ cuando la intersección de ambos es ℓ, o sea cuando la
ecuación del plano “sobra” al juntarla con las de ℓ. Usando la matriz del sistema tenemos:


3 2 1 7
2 4 5 12
1 14 a b

→


3 2 1 7
0 8 13 22
0 40 3a− 1 3b− 7

→


3 2 1 7
0 8 13 22
0 0 3a− 66 3b− 117


y por tanto la condición pedida (que la última fila sobre) se da cuando a = 22 y b = 39.
(b) Los planos que contienen a ℓ son los de la forma siguiente (“haz de planos”):
α(3x+ 2y + z − 7) + β(2x+ 4y + 5z − 12) = 0
De ellos, el que contiene a P = (−3, 1, 2) debe cumplir 0 = α(−9+2+2−7)+β(−6+4+10−12) =
−12α− 4β, lo que se tiene tomando α = 1 y β = −3 (o parejas proporcionales). Por tanto el plano
buscado tiene ecuación
(3x+ 2y + z − 7)− 3(2x+ 4y + 5z − 12) = 0 o sea 3x+ 10y + 14z = 29
Matemáticas de 1 , problemas 82 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
(c) Los planos perpendiculares a ℓ tienen por vectores directores los coeficientes de las incógnitas
en las ecuaciones de ℓ, o sea (3, 2, 1) y (2, 4, 5). Por tanto la ecuación del que pasa por P es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 2 x− 1
2 4 y − 1
1 5 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 6(x−1)−13(y−1)+8(z−1) = 6x−13y+8z−1 o 6x−13y+8z = 1
o
16. En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas
{
x+ 3y − z = 2
2x+ 5y + 3z = 6
}
. Calcula:
a) Los valores de p y q para que ℓ esté contenida en el plano π ≡ 3x+ 4y + pz = q.
b) La ecuación impĺıcita del plano que contiene a ℓ y al punto P = (1, 2, 2).
c) La ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ que pasa por el punto Q = (3, 2, 1).
Solución: (a) El plano contiene a la recta ℓ cuando la intersección de ambos es ℓ, o sea cuando la
ecuación del plano “sobra” al juntarla con las de ℓ. Usando la matriz del sistema tenemos:


1 3 −1 2
2 5 3 6
3 4 p q

→


1 3 −1 2
0 −1 5 2
0 −5 p+ 3 q − 6

→


1 3 −1 2
0 −1 5 2
0 0 p− 22 q − 16


y por tanto la condición pedida (que la última fila sobre) se da cuando p = 22 y q = 16.
(b) Los planos que contienen a ℓ son los de la forma siguiente (“haz de planos”):
α(x+ 3y − z − 2) + β(2x+ 5y + 3z − 6) = 0
De ellos, el que contiene a P = (1, 2, 2) debe cumplir 0 = α(1+6−2−2)+β(2+10+6−6) = 3α+12β,
lo que se tiene tomando α = 4 y β = −1 (o parejas proporcionales). Por tanto el plano buscado es
4(x+ 3y − z − 2)− (2x+ 5y + 3z − 6) = 0 o sea 2x+ 7y − 7z = 2
(c) Los planos perpendiculares a ℓ tienen por vectores directores los coeficientes de las incógnitas en
las ecuaciones de ℓ, o sea (1, 3,−1) y (2, 5, 3). Por tanto la ecuación del que pasa por Q = (3, 2, 1)
es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 x− 3
3 5 y − 2
−1 3 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 14(x−3)−5(y−2)−(z−1) = 14x−5y−z−31 o 14x−5y−z = 31
o
Matemáticas de 1 , problemas 83 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
17. En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas
{
x+ 3y − z = 2
2x+ 5y + 3z = 6
}
. Calcula:
a) Los valores de p y q para que ℓ esté contenida en el plano π ≡ 3x+ 5y + pz = q.
b) La ecuación impĺıcita del plano que contiene a ℓ y al punto P = (1, 3, 1).
c) La ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ que pasa por el punto Q = (1, 2, 3).
Solución: (a) El plano contiene a la recta ℓ cuando la intersección de ambos es ℓ, o sea cuando la
ecuación del plano “sobra” al juntarla con las de ℓ. Usando la matriz del sistema tenemos:


1 3 −1 2
2 5 3 6
3 5 p q

→


1 3 −1 2
0 −1 5 2
0 −4 p+ 3 q − 6

→


1 3 −1 2
0 −1 5 2
0 0 p− 17 q − 14


y por tanto la condición pedida (que la última fila sobre) se da cuando p = 17 y q = 14.
(b) Los planos que contienen a ℓ son los de la forma siguiente (“haz de planos”):
α(x+ 3y − z − 2) + β(2x+ 5y + 3z − 6) = 0
De ellos, el que contiene a P = (1, 3, 1) debe cumplir 0 = α(1+9−1−2)+β(2+15+3−6) = 7α+14β,
lo que se tiene tomando α = 2 y β = −1 (o parejas proporcionales). Por tanto el plano buscado es
2(x+ 3y − z − 2)− (2x+ 5y + 3z − 6) = 0 o sea y − 5z = −2
(c) Los planos perpendiculares a ℓ tienen por vectores directores los coeficientes de las incógnitas en
las ecuaciones de ℓ, o sea (1, 3,−1) y (2, 5, 3). Por tanto la ecuación del que pasa por Q = (3, 2, 1)
es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 x− 1
3 5 y − 2
−1 3 z − 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 14(x−1)−5(y−2)−(z−3) = 14x−5y−z−1 o 14x−5y−z = 1
o
18. En R3, calcula:
a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (0,−1, 0) y es perpendicular al plano
que pasa por (1, 2, 3) y tiene vectores directores (2,−2, 1) y (2, 1,−2).
b) Unas ecuaciones impĺıcitas (dependerán de b) de la recta que pasa por (4, 4, b) y es paralela a
la recta que pasa por (1, 2, 3) y tiene vector director (2, 1, 3).
c) El valor de b para el cual las rectas de los apartados anteriores se cortan.
Solución: (a) Si la recta es perpendicular a ese plano, podemos tomar como vector director suyo
el producto vectorial de los vectores que marcan la dirección del plano, que es (3, 6, 6), o mejor su
múltimplo más cómodo (1, 2, 2). Las paramétricas pedidas son por tanto


x
y
x

 =


0
−1
0

+ λ


1
2
2


Matemáticas de 1 , problemas 84 Alberto del Valle Robles