Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (30)

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3 GEOMETRÍA
No está de más comprobar que P1 = (3, 2, 1) satisface las ecuaciones impĺıcitas de ℓ1 dadas en el
enunciado, que P2 = (6, 8, 7) satisface las ecuaciones continuas de ℓ2 dadas en el enunciado, y que−−→
PP1 = (−1,−2,−2) y
−−→
PP2 = (2, 4, 4) son proporcionales y por tanto P , P1 y P2 están alineados.
o
24. En R3 se consideran la recta ℓ1 que pasa por P1 = (1, 3, 7) con dirección ~v1 = (1, 2, 4) y la recta ℓ2
que pasa por P2 = (2, 0, 4) con dirección ~v2 = (6, 2, 1). Halla unas ecuaciones impĺıcitas de la recta
ℓ con dirección ~v = (3, 1, 2) que corta a las dos anteriores, y calcula los puntos Q1 y Q2 en los que
ℓ corta a ℓ1 y ℓ2, respectivamente.
Solución: Una opción: Calculamos el plano π1 que contiene a ℓ1 y a la dirección ~v, y el plano π2
que contiene a ℓ2 y a la dirección ~v. Su intersección es nuestra recta ℓ = π1 ∩ π2, pues su dirección
es ~v (por estar en la dirección de ambos planos), corta a ℓ1 (por ser dos rectas no paralelas en el
plano π1) y a ℓ2 (análogamente). Además, para calcular Q1 = ℓ1 ∩ ℓ = ℓ1 ∩ π1 ∩ π2 observamos que
π1 “sobra en el cálculo” (pues contiene a ℓ1), por lo que Q1 = ℓ1∩π2, y análogamente, Q2 = ℓ2∩π1.
Las cuentas:
Para i = 1, 2, el plano πi pasa por Pi y su dirección la marcan ~vi y ~v, por lo que sus ecuaciones son:
π1 ≡ 0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 x− 1
2 1 y − 3
4 2 z − 7
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 10(y − 3)− 5(z − 7) π2 ≡ 0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 3 x− 2
2 1 y
1 2 z − 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3(x− 2)− 9y
Simplificando y reorganizando se tiene π1 ≡ 2y− z = −1 y π2 ≡ x− 3y = 2, y esas son unas ecua-
ciones impĺıcitas de ℓ. Comprobando que ~v satisface las correspondientes ecuaciones homogéneas
vemos que ℓ tiene la dirección requerida. Que ℓ corta a cada ℓi lo vamos a ver a continuación.
Para calcular Q1 sustituimos las paramétricas de ℓ1, o sea (x, y, z) = (1 + α, 3 + 2α, 7 + 4α), en la
impĺıcita de π2, obteniendo
2 = (1 + α)− 3(3 + 2α) = −8− 5α 10 = −5α α = −2 Q1 = (−1,−1,−1)
Análogamente, para calcular Q2 sustituimos (x, y, z) = (2 + 6β, 2β, 4 + β) en la impĺıcita de π1:
−1 = 2(2β)− (4 + β) = 3β − 4 3 = 3β β = 1 Q2 = (8, 2, 5)
Observamos que
−−−→
Q1Q2 = (9, 3, 6) = 3~v para re-comprobar que ℓ tiene la dirección requerida.
Otra opción: Buscamos Q1 en ℓ1 (o sea Q1 = P1+α~v1 para algún α) y Q2 en ℓ2 (o sea Q2 = P2+β~v2
para algún β) tales que
−−−→
Q1Q2 sea proporcional a ~v (o sea
−−−→
Q1Q2 = γ~v para algún γ). En definitiva,
buscamos α, β y γ tales que
γ~v =
−−−→
Q1Q2 =
−−−→
P1P2 + β~v2 − α~v1 o α~v1 − β~v2 + γ~v =
−−−→
P1P2
Este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene solución única α = −2, β = 1 y γ = 3, que
nos dan los Q1 y Q2 de antes; la recta ℓ es la que los une, cuyas impĺıcitas se obtienen del modo
estándar.
Y otra: Pensando en un par de vectores ortogonales a ~v, como (1,−3, 0) y (0,−2, 1), sabemos que
unas impĺıcitas de ℓ deben ser de la forma
{
x− 3y = A
z − 2y = B
}
para ciertos valores de A y de B.
Sustituyendo las paramétricas de ℓ1 en estas impĺıcitas (para calcular ℓ1∩ℓ) se llega a α = −(A+8)/5
y B = 1, mientras que haciendo lo mismo con ℓ2 se llega a A = 2 y β = (4−B)/3. Con los valores
de A y B tenemos unas impĺıcitas de ℓ, y también tenemos α = −2 y β = 1, que nos dan Q1 y Q2.
Matemáticas de 1 , problemas 88 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
o
25. En R3 se consideran la recta ℓ1 que pasa por P1 = (0, 3, 1) con dirección ~v1 = (1, 4, 2) y la recta ℓ2
que pasa por P2 = (−4, 3,−2) con dirección ~v2 = (6, 1, 2). Halla unas ecuaciones impĺıcitas de la
recta ℓ con dirección ~v = (3, 2, 1) que corta a las dos anteriores, y calcula los puntos Q1 y Q2 en los
que ℓ corta a ℓ1 y ℓ2, respectivamente.
Solución: Una opción: Calculamos el plano π1 que contiene a ℓ1 y a la dirección ~v, y el plano π2
que contiene a ℓ2 y a la dirección ~v. Su intersección es nuestra recta ℓ = π1 ∩ π2, pues su dirección
es ~v (por estar en la dirección de ambos planos), corta a ℓ1 (por ser dos rectas no paralelas en el
plano π1) y a ℓ2 (análogamente). Además, para calcular Q1 = ℓ1 ∩ ℓ = ℓ1 ∩ π1 ∩ π2 observamos que
π1 “sobra en el cálculo” (pues contiene a ℓ1), por lo que Q1 = ℓ1∩π2, y análogamente, Q2 = ℓ2∩π1.
Las cuentas:
Para i = 1, 2, el plano πi pasa por Pi y su dirección la marcan ~vi y ~v, por lo que sus ecuaciones son:
π1 ≡ 0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 x
4 2 y − 3
2 1 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 5(y−3)−10(z−1) π2 ≡ 0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 3 x+ 4
1 2 y − 3
2 1 z + 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3(x+4)+9(z+2)
Simplificando y reorganizando se tiene π1 ≡ y−2z = 1 y π2 ≡ x−3z = 2, y esas son unas ecuaciones
impĺıcitas de ℓ. Comprobando que ~v satisface las correspondientes ecuaciones homogéneas vemos
que ℓ tiene la dirección requerida. Que ℓ corta a cada ℓi lo vamos a ver a continuación.
Para calcular Q1 sustituimos las paramétricas de ℓ1, o sea (x, y, z) = (α, 3 + 4α, 1 + 2α), en la
impĺıcita de π2, obteniendo
2 = α− 3(1 + 2α) = −3− 5α 5 = −5α α = −1 Q1 = (−1,−1,−1)
Análogamente, para calcular Q2 sustituimos (x, y, z) = (−4+ 6β, 3+ β,−2+ 2β) en la impĺıcita de
π1:
1 = (3 + β)− 2(−2 + 2β) = 7− 3β −6 = −3β β = 2 Q2 = (8, 5, 2)
Observamos que
−−−→
Q1Q2 = (9, 6, 3) = 3~v para re-comprobar que ℓ tiene la dirección requerida.
Otra opción: Buscamos Q1 en ℓ1 (o sea Q1 = P1+α~v1 para algún α) y Q2 en ℓ2 (o sea Q2 = P2+β~v2
para algún β) tales que
−−−→
Q1Q2 sea proporcional a ~v (o sea
−−−→
Q1Q2 = γ~v para algún γ). En definitiva,
buscamos α, β y γ tales que
γ~v =
−−−→
Q1Q2 =
−−−→
P1P2 + β~v2 − α~v1 o α~v1 − β~v2 + γ~v =
−−−→
P1P2
Este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene solución única α = −1, β = 2 y γ = 3, que
nos dan los Q1 y Q2 de antes; la recta ℓ es la que los une, cuyas impĺıcitas se obtienen del modo
estándar.
Y otra: Pensando en un par de vectores ortogonales a ~v, como (1, 0,−3) y (0, 1,−2), sabemos que
unas impĺıcitas de ℓ deben ser de la forma
{
x− 3z = A
y − 2z = B
}
para ciertos valores de A y de B.
Sustituyendo las paramétricas de ℓ1 en estas impĺıcitas (para calcular ℓ1∩ℓ) se llega a α = −(A+3)/5
y B = 1, mientras que haciendo lo mismo con ℓ2 se llega a A = 2 y β = (7−B)/3. Con los valores
de A y B tenemos unas impĺıcitas de ℓ, y también tenemos α = −1 y β = 2, que nos dan Q1 y Q2.
o
Matemáticas de 1 , problemas 89 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
26. En R3 se consideran el plano π de ecuación 4x + 6y − 5z = 4, la recta ℓ de ecuaciones x− 54
2
=
y − 78
8
=
z − 1
5
y el punto P = (3, 2,−2). Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta en la
que se cortan el plano π y el plano perpendicular a ℓ que pasa por P .
Solución: El segundo plano es perpendicular a ℓ, que tiene vector director (2, 8, 5). (Nótese que
sólo nos interesa la dirección de ℓ, y no el punto por el que pasa, por lo que esos coeficientes “feos”
no influyen en el problema). Por tanto su ecuación es de la forma 2x+ 8y+ 5z = A. Para que pase
por P no hay más que tomar A = 2 · 3 + 8 · 2 + 5 · (−2) = 12.
Se trata pues de calcular la intersección de los planos con ecuaciones 2x+8y+5z = 12 y 4x+6y−5z =
4, para lo que sólo hay que resolver el correspondiente sistema:
(
2 8 5 12
4 6 −5 4
)
→
(
2 8 5 12
0 −10 −15 −20
)
→
(
2 8 5 12
0 2 3 4
)
→
(
2 0 −7 −4
0 2 3 4
)
Tomando z = α se tiene y = 2 − 32 α y x = 72 α − 2, por lo que unas ecuaciones paramétricas son
(x, y, z) = (−2, 2, 0) + α(7/2,−3/2, 1).
La solución no es única: se puede cambiar el vector por cualquier múltiplo no nulo, como por ejemplo
(7,−3, 2), y el punto por cualquier otro de la recta, como (3/2, 1/2, 1) ó (5,−1, 2).
o
27. En R3 se considera la recta ℓ de ecuaciones
{
2x+ y − z = 2
4x− y − 3z = 0
}
. Calcula:
a) La recta ℓ′ que es paralela a ℓ y pasa por el punto A = (2,−2, 8).
b) El plano π′ que es perpendicular a ℓ y pasa por el punto B = (1, 0, 0).
c) El punto Q en el que se cortan ℓ′ y π′.
d) Una ecuación impĺıcita para el plano que contiene a ℓ y a Q.
Solución: Podemos por ejemplo encontrar unas ecuaciones paramétricaspara ℓ resolviendo el
sistema:
(
2 1 −1 2
4 −1 −3 0
)
→
(
2 1 −1 2
0 −3 −1 −4
)
→
(
2 4 0 6
0 −3 −1 −4
)
→
(
1 2 0 3
0 3 1 4
)
Para y = α obtenemos


x
y
z

 =


3− 2α
α
4− 3α

 o, cambiando el signo al vector,


x
y
z

 =


3
0
4

 +
λ


2
−1
3

.
Por tanto la ecuación paramétrica de ℓ′ es (x, y, z) = (2,−2, 8)+λ(2,−1, 3) = (2+2λ , −2−λ , 8+3λ)
y la impĺıcita de π′ es 2x− y + 3z = 2. El punto de ℓ′ que está en π′ debe satisfacer
2 = 2(2 + 2λ)− (−2− λ) + 3(8 + 3λ) = 30 + 14λ
por lo que debe ser λ = −2 y en consecuencia Q = (−2, 0, 2).
Matemáticas de 1 , problemas 90 Alberto del Valle Robles