Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (38)

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5 NÚMEROS COMPLEJOS
4. Se considera el número complejo ω = 1 + i. ¿Cuál es su módulo? ¿Cuál es su argumento? Calcula
sus potencias ω2, ω3 y ω4, y dibuja los cuatro (ω, ω2, ω3 y ω4) en el plano complejo. ¿Concuerda
el dibujo con lo que sabes sobre el módulo y el argumento de un producto?
Solución: El módulo es la ráız cuadrada positiva de ω ω̄ = (1 + i)(1− i) = 12 + 12 = 2, o sea
√
2.
El argumento es el valor de arctan(1) en el primer cuadrante, o sea 45 ó π/4 radianes.
Sus primeras potencias son:
ω2 = (1+ i)2 = 1−1+2i = 2i ω3 = ω2ω = 2i(1+ i) = −2+2i ω4 = (ω2)2 = (2i)2 = −4
y los cuatro se dibujan muy fácilmente en el plano complejo. Al dibjuarlos se aprecia que los módulos
de ω2, ω3 y ω4 son las respectivas potencias de
√
2, o sea 2, 2
√
2 y 4. Por otra parte, sus argumentos
son los respectivos múltiplos de 45 (π/4), o sea 90 (π/2), 135 (3π/4) y 180 (π).
o
5. ¿Cuál es el módulo del número complejo ω =
1 +
√
3 i
2
? Calcula sus potencias ω2 y ω3, y dibuja los
tres (ω, ω2 y ω3) en el plano complejo.
Solución: El módulo es la ráız cuadrada positiva de ω ω̄ =
1 +
√
3 i
2
1−
√
3 i
2
=
1 + 3
4
= 1, y
por tanto vale 1. En consecuencia, ω es el punto de la circunferencia unidad (centrada en el origen
de radio 1) con parte real (“coordenada x”) igual a 1/2 y parte imaginaria positiva. Las potencias
valen:
ω2 =
(1 +
√
3 i)2
4
=
1− 3 + 2
√
3 i
4
=
−1 +
√
3 i
2
ω3 = ωω2 =
√
3 i+ 1
2
√
3 i− 1
2
=
−3− 1
4
= −1
En particular, ω2 está a la misma altura que ω pero al otro lado del eje vertical.
Alternativamente, como el argumento de ω es arctan(
√
3) = 60o, tanto ω2 como ω3 tienen módulo
1 y los argumentos respectivos son 120o y 180o, lo que nos lleva al mismo dibujo.
Obsérvese que ω, ω2 y ω3 son tres vértices consecutivos del hexágono regular inscrito en la circun-
ferencia unidad con un vértice en 1: los que encontramos después del 1 moviéndonos en sentido
antihorario.
o
6. En el plano complejo, sombrea la región ocupada por los números complejos cuyo cuadrado tiene
parte imaginaria negativa. Razona tu respuesta.
Solución: El cuadrado de a+ bi es (a2 − b2) + 2abi, luego la parte imaginaria es negativa cuando
ab < 0, o sea cuando a > 0 y b < 0 (cuadrante 4 ), o cuando a < 0 y b > 0 (cuadrante 2 ). Por
tanto hay que sombrear los cuadrantes 2 (parte real negativa, parte imagiaria positiva) y 4 (al
revés).
Una alternativa: el cuadrado de ρθ es ρ
2
2θ, luego estamos buscando los complejos tales que el doble
de su argumento es un ángulo entre π y 2π. En el primer cuadrante el argumento va de 0 a π/2,
Matemáticas de 1 , problemas 112 Alberto del Valle Robles
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luego su doble va de 0 a π: no cumplen la condición. En el segundo cuadrante el argumento va de
π/2 a π, luego su doble va de π a 2π: śı cumplen la condición. En el tercer cuadrante el argumento
va de π a 3π/2, luego su doble va de 2π = 0 a 3π = π: NO. En el cuarto cuadrante el argumento
va de 3π/2 y 2π, luego su doble va de 3π = π a 4π = 2π: Śı.
o
7. Pensando en la representación de C como puntos del plano, ¿qué números complejos tienen una de
sus ráıces cuadradas en el primer cuadrante (sin incluir los ejes)?
Solución: Los que son el cuadrado de un complejo del primer cuadrante (sin los ejes), o sea los
de la forma (ρθ)
2 = ρ22θ con θ ∈ (0, π/2), con lo que se obtienen los complejos cuyo argumento está
en (0, π), o sea los de la mitad superior del plano (sin el eje), o sea los que tienen parte imaginaria
positiva.
o
8. El polinomio X2 − 8X + 65 tiene dos ráıces complejas. Calcúlalas y encuentra el inverso de una de
ellas. Expresa los resultados en la forma a+ bi con a, b ∈ R.
Solución: Las ráıces son
8±
√
64− 4 · 65
2
= 4±
√
16− 65 = 4±
√
−49 = 4± 7i.
El inverso de 4 + 7i es
1
4 + 7i
=
1
4 + 7i
· 4− 7i
4− 7i =
4− 7i
16 + 49
=
4
65
− 7
65
i.
o
9. Calcula, simplificando cuanto puedas, el valor de
(4 + 7i)2
3 + 4i
.
Solución:
(4 + 7i)2
3 + 4i
=
−33 + 56i
3 + 4i
· 3− 4i
3− 4i =
125 + 300i
25
= 5 + 12i.
o
10. Expresa en la forma a+ bi (con a, b ∈ R) el cociente de números complejos 29 + 22i
4 + 3i
.
Solución: Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador se obtiene
29 + 22i
4 + 3i
· 4− 3i
4− 3i =
(29 + 22i)(4− 3i)
16 + 9
=
(116 + 66) + (87− 88)i
25
=
182 + i
25
=
182
25
+
1
25
i
[se coló una errata: en el enunciado el numerador deb́ıa ser 4 − 3i en vez de 4 + 3i, con lo que el
numerador vale (116− 66) + (87 + 88)i = 50 + 175i y el cociente sale 2 + 7i]
o
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11. Calcula las ráıces cuadradas de i, las de −i y las de 12 +
√
3
2 i.
Solución: Todas se pueden calcular en forma binomial (está hecho después).
Pero una fácil interpretación geométrica ahorra cuentas. Como i tiene módulo 1 y argumento 90 ,
una de sus ráıces cuadradas tiene módulo 1 y argumento 45 , o sea es cos(45)+sen(45) i =
√
2
2 (1+i);
la otra es su opuesta. Como −i tiene módulo 1 y argumento -90 , una de sus ráıces cuadradas tiene
módulo 1 y argumento -45 , o sea es cos(−45) + sen(−45) i = cos(45) − sen(45) i =
√
2
2 (1 − i); la
otra es su opuesta. Como 12 +
√
3
2 i = cos(60) + sen(60) i tiene módulo 1 y argumento 60 , una de
sus ráıces cuadradas tiene módulo 1 y argumento 30 , o sea es cos(30) + sen(30) i =
√
3
2 +
1
2 i; la
otra es su opuesta.
En forma binomial: para las ráıces de i buscamos a+bi (a, b ∈ R) con i = (a+bi)2 = (a2−b2)+2abi,
o sea con a2−b2 = 0 y 2ab = 1. La primera igualdad nos dice que a2 = b2, o sea que a = ±b, pero por
la segunda a y b tienen el mismo signo, aśı que a = b y por tanto 2a2 = 1, o sea a = ± 1√
2
= ±
√
2
2 , y
las ráıces son ±
√
2
2 (1 + i). Para las de −i se pueden simplemente multiplicar las anteriores por i (y
aśı, al elevar al cuadrado, el resultado queda multiplicado por −1) o hacer un argumento análogo
al anterior con 2ab = −1 y por tanto a = −b; con cualquiera de las opciones se llega a las ráıces
±
√
2
2 (1− i).
Para las ráıces de 12 +
√
3
2 i buscamos ω = a+bi (a, b ∈ R) con 12 +
√
3
2 i = (a+bi)
2 = (a2−b2)+2abi,
o sea con a2 − b2 = 1/2 y 2ab =
√
3
2 . Por la segunda ecuación tenemos ab =
√
3
4 ; multiplicando por
x = a2 en la primera ecuación queda x2 − (ab)2 = 12 x, por lo que x2 − 12 x − 316 = 0 y por tanto
(resolviendo la ecuación de 2 grado) debe ser x = 3/4 ó x = −1/4, pero la opción negativa se
descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = x = 3/4 y por tanto
a = ±
√
3/2. Como ab =
√
3
4 , se tiene b = ±1/2 con el mismo signo que a para que el producto sea
positivo, y en consecuencia las ráıces son ±(
√
3
2 +
1
2 i).
o
12. Encuentra las ráıces cuadradas del número complejo 15− 8i.
Solución: Buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
15− 8i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
15 = a2 − b2
−8 = 2ab
Por la segunda ecuación tenemos ab = −4; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda
15x = x2 − (ab)2 = x2 − 16, por lo que x2 − 15x − 16 = 0 y por tanto debe ser x = 16 ó x = −1,
pero la segunda opción se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es
a2 = x = 16 y por tanto a = ±4; como ab = −4 las ráıces son 4− i y −4 + i.
o
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