Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (39)

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5 NÚMEROS COMPLEJOS
13. Encuentra las ráıces cuadradas del número complejo 5− 12i.
Solución: Buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
5− 12i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
5 = a2 − b2
−12 = 2ab
Por la segunda ecuación tenemos ab = −6; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda
5x = x2 − (ab)2 = x2 − 36, por lo que x2 − 5x− 36 = 0 y por tanto (resolviendo la ecuación de 2
grado) debe ser x = 9 ó x = −4, pero la segunda opción se descarta pues x = a2 es un número real
positivo. En consecuencia es a2 = x = 9 y por tanto a = ±3; como ab = −6 las ráıces son ±(3−2i).
o
14. Encuentra las ráıces cuadradas del número complejo 2− 2
√
3 i.
Solución: Buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
2− 2
√
3 i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
2 = a2 − b2
−2
√
3 = 2ab
Por la segunda ecuación tenemos ab = −
√
3; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda
2x = x2 − (ab)2 = x2 − 3, por lo que x2 − 2x − 3 = 0 y por tanto (resolviendo la ecuación de 2
grado) debe ser x = 3 ó x = −1, pero la segunda opción se descarta pues x = a2 es un número real
positivo. En consecuencia es a2 = 3 y por tanto a = ±
√
3; como ab = −
√
3 las ráıces son ±(
√
3− i).
Alternativamente, se puede observar que el número dado tiene módulo 4 y argumento 300o (ó −60o),
por lo que sus ráıces tienen módulo 2 y argumentos 150o y −30o.
o
15. Calcula y expresa en forma binomial (a+ bi) todas las ráıces cuadradas en C de 15 + 8i.
Solución: Es totalmente estándar. Salen ±(4 + i).
o
16. Calcula y expresa en forma binomial (a+ bi) todas las ráıces cuadradas en C de 21 + 20i.
Solución: Es totalmente estándar. Salen ±(5 + 2i).
o
Matemáticas de 1 , problemas 115 Alberto del Valle Robles
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17. Calcula en forma binomial las dos ráıces cuadradas de 2i y las dos ráıces cuadradas de −i.
Solución: El problema se puede resolver con cualquiera de las dos formas estándar de cálculo de
ráıces cuadradas en C (usando formas binomiales o formas polares).
Pero en este caso los dos complejos dados son “múltiplos fáciles” de i, por lo que podemos ahorrar
trabajo si calculamos una ráız de i y la multiplicamos por
√
2 (para tener una ráız de 2i) y por√
−1 = i (para tener una ráız de −i). En ambos casos, “la otra ráız” será el opuesto de la que
demos.
Como i tiene forma polar 1π/2, una de sus ráıces es 1π/4 =
√
2
2 +
√
2
2 i.
Multiplicando por
√
2 se obtienen 1 + i (y su opuesto −1− i) como ráıces de 2i.
Multiplicando por i se obtienen
√
2
2 i−
√
2
2 (y su opuesto
√
2
2 −
√
2
2 i) como ráıces de −i.
o
18. Calcula en forma binomial las ráıces cuadradas de 20 + 48i y las de −20− 48i.
Solución: Como 20 + 48i = 4(5 + 12i), basta con calcular una ráız ω de 5 + 12i. Entonces las
ráıces cuadradas de 20 + 48i serán ±2ω y las de −20− 48i serán ±2iω, pues al elevar al cuadrado
se obtiene
4ω2 = 4(5 + 12i) = 20 + 48i 4i2ω2 = −4(5 + 12i) = −20− 48i
Buscamos pues ω = a + bi (con a, b ∈ R) con 5 + 12i = (a + bi)2 = (a2 − b2) + 2abi, o
sea con a2 − b2 = 5 y 2ab = 12. Por la segunda ecuación tenemos ab = 6; multiplicando por
x = a2 en la primera ecuación queda 5x = x2 − (ab)2 = x2 − 36, por lo que x2 − 5x − 36 = 0
y por tanto (resolviendo la ecuación de 2 grado) debe ser x = 9 ó x = −4, pero la segunda
opción se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = x = 9 y por
tanto a = ±3. Como ab = 6, una de las ráıces es ω = 3 + 2i, y no está de más comprobar que
(3 + 2i)2 = 32 + (2i)2 + 2 · 3 · 2i = 9− 4 + 12i = 5 + 12i.
En definitiva, las ráıces cuadradas de 20 + 48i son ±(6 + 4i) y las de −20 − 48i son ±(6 + 4i)i =
∓(4− 6i).
o
19. Calcula en forma binomial las ráıces cuadradas de 60− 32i y las de 32i− 60.
[Observación: factorizando al principio y relacionando las dos ráıces se trabaja mucho menos; según
cuánto simplifiques, necesitarás
√
289=17 o
√
1156=34 o
√
4624=68.]
Solución: Como 60 − 32i = 4(15 − 8i), basta con calcular una ráız ω de 15 − 8i. Entonces las
ráıces cuadradas de 60− 32i serán ±2ω y las de 32i− 60 serán ±2iω, pues al elevar al cuadrado se
obtiene
(±2ω)2 = 4ω2 = 4(15− 8i) = 60− 32i (±2iω)2 = 4i2ω2 = −4(15− 8i) = 32i− 60
Buscamos pues ω = a+bi (a, b ∈ R) con 15−8i = (a+bi)2 = (a2−b2)+2abi, o sea con a2−b2 = 15
y 2ab = −8. Por la segunda ecuación tenemos ab = −4; multiplicando por x = a2 en la primera
ecuación queda 15x = x2− (ab)2 = x2−16, por lo que x2−15x−16 = 0 y por tanto (resolviendo la
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ecuación de 2 grado) debe ser x = 16 ó x = −1, pero la opción negativa se descarta pues x = a2 es
un número real positivo. En consecuencia es a2 = x = 16 y por tanto a = ±4. Como ab = −4, una de
las ráıces es ω = 4−i, y no está de más comprobar que (4−i)2 = 42+i2−2·4·i = 16−1−8i = 15−8i.
En definitiva, las ráıces cuadradas de 60−32i son ±(8−2i) y las de 32i−60 son ±(8−2i)i = ±(2+8i).
o
20. Encuentra las 4 ráıces cuartas de −1, o sea los 4 números complejos que satisfacen ω4 = −1.
Solución: Una opción: Como −1 tiene módulo 1 y argumento 180 , una de sus ráıces cuartas
tiene módulo 1 y argumento 180/4=45 , o sea es el complejo cos(45) + sen(45)i =
1 + i√
2
. Las otras
tres forman con esta un cuadrado centrado en el origen y son por tanto (1− i)/
√
2, (−1 + i)/
√
2 y
(−1− i)/
√
2.
Otra opción: calculamos primero las ráıces cuadradas y a partir de ellas las ráıces cuartas. Las
ráıces cuadradas de −1 son ±i (por un cálculo estándar de ráıces cuadradas o, mejor, por la pura
definición de la unidad imaginaria i). Otros dos cálculos estándar de ráıces cuadradas (o un uso
del módulo y el argumento como el del párrafo anterior) nos dan las ráıces cuadradas de i, que son
±(1 + i)/
√
2, y de −1, que son ±(1− i)/
√
2, y esas son pues las 4 ráıces cuartas de −1.
o
21. Calcula en forma binomial las cuatro ráıces cuartas complejas de −4.
Solución: Como la forma polar de −4 es 4π, una de sus ráıces cuartas tiene módulo 4
√
4 =
√
2 y
argumento π/4, por lo que su forma polar es
√
2π/4 y por tanto la forma binomial pedida es
√
2 (cos(π/4) + sen(π/4) i) =
√
2
(√
2/2 + (
√
2/2) i
)
= 1 + i
Las cuatro ráıces se obtienen multiplicando esa por las ráıces cuartas de 1, que son ±1 y ±i.
Haciendo los productos salen 1 + i, 1− i, −1 + i y −1− i.
Una alternativa es calcular las ráıces cuadradas de −4 y luego las ráıces cuadradas de los resultados.
Como las ráıces cuadradas de −1 son ±i, las de −4 son ±2i. Las ráıces cuadradas de 2i se pueden
obtener resolviendo un sistema de ecuaciones o como en el párrafo anterior y son ±(1 + i), y para
las de −2i se pueden volver a usar esos métodos o bien multiplicar las anteriores por i para obtener
±(−1 + i), lo que nos lleva a las mismas cuatro soluciones del párrafo anterior.
o
22. Calcula las ráıces cuadradas del número complejo 1− 4
√
5 i.
Calcula el cubo de una cualquiera de ellas.
Solución: Buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
1− 4
√
5 i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
1 = a2 − b2
−4
√
5 = 2ab
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