Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (44)

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7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
14. La gráfica de la función f(x) = ax2+ bx+ c pasa por el punto (1, 1), en el cual presenta un mı́nimo
relativo. Además, la tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 2 es paralela a la bisectriz
del primer cuadrante. Determina los valores de a, b y c.
Solución: Las condiciones dadas implican que f(1) = 1, f ′(1) = 0 y f ′(2) = 1. Como f ′(x) =
2ax+ b llegamos a las ecuaciones a+ b+ c = 1, 2a+ b = 0 y 4a+ b = 1 cuya solución es a = 1/2,
b = −1 y c = 3/2.
o
15. Dada la curva de ecuación y = 3x2 + 5, determina el valor que debe tomar m para que la recta
y = 4x+m sea tangente a la curva.
Solución: Como la recta tiene pendiente 4, en el punto de tangencia la abscisa x debe verificar
4 = y′(x) = 6x (luego x = 2/3) y por tanto la ordenada y valdrá 3(2/3)2 + 5 = 19/3. Para que la
recta pase por el punto (2/3, 19/3) ha de ser m = 19/3− 4(2/3) = 11/3.
o
16. Dada la función f(x) = x3−3x2+2x+2, calcula los valores de b para los que la recta y = 2x+ b es
tangente a la gráfica de la función. Para el valor positivo de b, ¿corta esa recta tangente a la gráfica
en algún otro punto?
Solución: Como la recta tiene pendiente 2, se buscan puntos con f ′(x) = 2, o sea con 3x2−6x+2 =
2, lo que equivale a 3x(x− 2) = 0 y por tanto los valores interesantes son x = 0 y x = 2.
Los puntos de tangencia son por tanto (0, f(0)) = (0, 2) y (2, f(2)) = (2, 2). Como la recta tangente
y = 2x+ b debe pasar por ese punto, los valores respectivos de b son b = 2 y b = −2.
Para el valor positivo b = 2, la gráfica de y = f(x) corta a la recta tangente y = 2x + 2 cuando
x3 − 3x2 = 0, o sea cuando x = 0 (que es el punto de tangencia) y también cuando x = 3; o sea, śı
se cortan en otro punto, el (3, f(3)) = (3, 8).
o
17. Determina los valores b, c sabiendo que la parábola y = x2 + bx+ 6 tiene a y = 2x+ c como recta
tangente por el punto de abscisa x = 3.
Solución: Por la ecuación de la recta tangente, la pendiente de la parábola en ese punto es 2.
Pero tenemos y′ = 2x+ b, por lo que esa pendiente también se puede calcular como y′(3) = 6 + b.
Igualando tenemos 2 = 6 + b y por tanto b = −4.
Como la parábola y su recta tangente se cortan en ese punto, para x = 3 se tiene x2−4x+6 = 2x+c,
o sea 3 = 6 + c, de donde c = −3.
o
Matemáticas de 1 , problemas 130 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
18. Se considera la gráfica de y = x3 + ax2 + bx+ c, y sus rectas tangentes por los puntos de abscisas
x = 3 y x = −1. ¿Para qué valores de a, b y c son paralelas esas rectas?
Solución: Las rectas serán paralelas cuando tengan la misma pendiente, o sea cuando se cumpla
y′(3) = y′(−1). Como y′ = 3x2 + 2ax+ b, la condición se transforma en 27 + 6a+ b = 3− 2a+ b, o
sea en 24 + 8a = 0 o a = −3. Los valores de b y c no influyen, la única condición es a = −3.
o
19. ¿Para qué valor del parámetro a es la parábola y = ax2 tangente a la curva y = ln(x)?
Solución: Buscamos valores de x y de a para los que coinciden las curvas y sus derivadas. La
igualdad entre las derivadas es 2ax = 1/x ó 2ax2 = 1, y entonces la igualdad entre las curvas
ax2 = ln(x) se traduce en 1/2 = ln(x) ó x = e1/2, de donde el valor pedido de a es a = 12x
−2 = 12e
−1.
o
20. Se considera la gráfica de la función f(x) = x3 − 5x2 + bx+ c, y se pide:
a) Comprueba que, independientemente de los valores de b y de c, sus rectas tangentes por los
puntos de abscisas x = 0 y x = 2 no son paralelas y se cortan en un punto de abscisa x = 1/2.
b) Si las tangentes por los puntos de abscisas x = 0 y x = a (a 6= 0) son paralelas, ¿cuánto vale a?
Solución: f(x) = x3 − 5x2 + bx+ c ⇒ f(0) = c, f(2) = 2b+ c− 12.
f ′(x) = 3x2 − 10x+ b ⇒ f ′(0) = b, f ′(2) = b− 8.
a) Como f ′(0) 6= f ′(2) (pues b 6= b− 8), las rectas tangentes tienen pendientes distintas y por tanto
no son paralelas, de modo que se cortan en un punto. Las ecuaciones respectivas son:
Para x = 0, la tangente por (0, c) es y − c = b(x− 0), o sea y = c+ bx.
Para x = 2, la tangente por (2, 2b+ c−12) es y− (2b+ c−12) = (b−8)(x−2) = bx−2b−8x+16, o
sea y = c+ bx−8x+4. El corte entre ambas se produce cuando −8x+4 = 0, o sea cuando x = 1/2.
b) Si son paralelas es porque tienen la misma pendiente, o sea porque f ′(a) = f ′(0), lo que se
traduce en 3a2 − 10a+ b = b, o en (3a− 10)a = 0, y como a 6= 0 debe ser a = 10/3.
o
21. Se considera la gráfica de y = x3 + ax2 + x+ 1, donde a 6= 0, y sus rectas tangentes por los puntos
de abscisas x = 1 y x = −1. Comprueba que esas rectas no son paralelas y se cortan en el punto
de abscisa x = 1/a.
Solución: Poniendo f(x) = x3 + ax2 + x+ 1 se tiene f(1) = a+ 3 y f(−1) = a− 1.
También se tiene f ′(x) = 3x2 + 2ax+ 1, luego las pendientes de las tangentes por esos puntos son
f ′(1) = 4 + 2a y f ′(−1) = 4− 2a. Como son valores distintos (pues igualando se obtendŕıa 4a = 0
y por tanto a = 0, en contra de la hipótesis), las rectas tangentes no son paralelas.
Para x = 1, la recta tangente es y = y(1)+y′(1)(x−1) = a+3+(4+2a)(x−1) = (4+2a)x−(a+1).
Matemáticas de 1 , problemas 131 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
Para x = −1, la recta tangente es y = y(−1) + y′(−1)(x + 1) = a − 1 + (4 − 2a)(x + 1) =
(4− 2a)x+ (3− a).
El corte entre ambas se produce cuando ambas expresiones son iguales, aśı que igualemos y resol-
vemos:
(4 + 2a)x− (a+ 1) = (4− 2a)x+ (3− a) ⇔ 4ax = 4 ⇔ x = 1/a
o
22. Dada la gráfica de y = x3 + bx2 + 7, se pide (los dos apartados son independientes):
(a) Si b 6= 0, calcula (en función de b) la abscisa x del punto en el que se cortan sus rectas tangentes
por x = 3 y por x = −3.
(b) Si b = −6 y las tangentes por los puntos de abscisas x = 1 y x = a son paralelas, ¿cuánto vale a?
Solución: (a) Poniendo f(x) = x3 + bx2 + 7 se tiene f(3) = 9b+ 34 y f(−3) = 9b− 20.
Como f ′(x) = 3x2 +2bx, las pendientes de las rectas tangentes por esos puntos son f ′(3) = 27+ 6b
y f ′(−3) = 27− 6b; son distintas porque b 6= 0 y por tanto las rectas se cortan.
Para x = 3, la recta tangente es y = f(3)+f ′(3)(x−3) = 9b+34+(27+6b)(x−3) = (27+6b)x−9b−47.
Para x = −3, la tangente es y = f(−3)+f ′(−3)(x+3) = 9b−20+(27−6b)(x+3) = (27−6b)x−9b+61.
El corte entre ambas se produce cuando ambas expresiones son iguales, aśı que igualemos y resol-
vemos:
(27 + 6b)x− 9b− 47 = (27− 6b)x− 9b+ 61 ⇔ 12bx = 108 ⇔ x = 9/b
(b) Si b = −6 entonces f ′(x) = 3x2 − 12x, luego las pendientes de esas tangentes son f ′(1) = −9 y
f ′(a) = 3a2−12a; serán paralelas cuando esas pendientes sean iguales, o sea cuando 3a2−12a = −9;
simplificando es 0 = a2 − 4a+ 3 = (a− 3)(a− 1) y por tanto a = 3.
o
23. Determina los valores b, c sabiendo que la parábola y = x2 + bx+ 24 tiene a y = 3x+ c como recta
tangente por el punto de abscisa x = 5.
Solución: Por la ecuación de la recta tangente, la pendiente de la parábola en ese punto es 3.
Pero tenemos y′ = 2x+ b, por lo que esa pendiente también se puede calcular como y′(5) = 10+ b.
Igualando tenemos 3 = 10 + b y por tanto b = −7.
Como la parábola y su recta tangente se cortan en ese punto, para x = 5 se tiene x2−7x+24 = 3x+c,
o sea 25− 35 + 24 = 15 + c, de donde c = −1.
o
Matemáticas de 1 , problemas 132 Alberto del Valle Robles