Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (77)

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16 VARIAS VARIABLES: EXTREMOS (*)
Sean f, g : Rn → R diferenciables. Si f tiene un extremo relativo P sobre la curva de restricción
g(x1, . . . , xn) = 0, y si ∇g(P ) 6= 0, entonces los gradientes ∇f(P ) y ∇g(P ) son proporcionales, es
decir, existe un escalar λ ∈ R (el multiplicador de Lagrange) tal que
∇f(P ) = λ∇g(P )
Por ejemplo, para funciones de dos variables los candidatos a extremos deben satisfacer el sistema







g(x, y) = 0
f ′x(x, y) = λ g
′
x(x, y)
f ′y(x, y) = λ g
′
y(x, y)







o
5. ¿Cómo hallaŕıas los extremos absolutos de una función f(x, y) en un recinto D del plano?
Solución: Por una parte se hallan los puntos cŕıticos de f que están en D (resolviendo el sistema
f ′x(x, y) = 0 y f
′
y(x, y) = 0 y tomando sólo los puntos que están en D). Por otra parte se hallan los
posibles extremos de f restringidos al borde de D, usando por ejemplo el método de sustitución o el
de los multiplicadores de Lagrange. Entonces se calcula el valor de f en todos los puntos anteriores
y en las esquinas del borde de D (si hay). El mayor valor será el máximo absoluto (que se alcanzará
en el o los puntos correspondientes) y el menor el mı́nimo absoluto.
o
6. Encuentra y clasifica todos los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = x2y + 3y3 − 2xy.
Solución: Sistema
{
2xy − 2y = 0
x2 + 9y2 − 2x = 0
}
. Por la primera o bien y = 0, y entonces por la segunda
x(x−2) = 0, o bien x = 1, y entonces por la segunda 9y2 = 1. Los puntos cŕıticos son pues A = (0, 0),
B = (2, 0), C = (1, 1/3) y D = (1,−1/3). El Hessiano es Hf(x, y) =
(
2y 2x− 2
2x− 2 18y
)
y por
tanto
Hf(A) =
(
0 −2
−2 0
)
Hf(B) =
(
0 2
2 0
)
Hf(C) =
(
2/3 0
0 6
)
Hf(D) =
(
−2/3 0
0 −6
)
Por el test de las derivadas segundas, A y B son puntos-silla, en C se alcanza un mı́nimo relativo
y en D se alcanza un máximo relativo.
o
Matemáticas de 1 , problemas 229 Alberto del Valle Robles
16 VARIAS VARIABLES: EXTREMOS (*)
7. Encuentra los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = xye(−x
2−y2)/2 y clasif́ıcalos.
Solución: Los puntos cŕıticos son las soluciones simultáneas de
0 = f ′x = y(1− x2)e(−x
2−y2)/2 0 = f ′y = x(1− y2)e(−x
2−y2)/2
La primera ecuación da las opciones y = 0 y x = ±1. Fijándonos en la segunda ecuación vemos
que:
La opción y = 0 fuerza que sea x = 0, lo que nos da el punto cŕıtico P = (0, 0).
Las opciones x = ±1 fuerzan que sea y = ±1, lo que nos da los cuatro puntos cŕıticos
Q1 = (1, 1) Q2 = (−1, 1) Q3 = (−1,−1) Q4 = (1,−1)
Calculando las derivadas segundas se obtiene la matriz hessiana
Hf(x, y) =
(
f ′′xx f
′′
xy
f ′′yx f
′′
yy
)
= e(−x
2−y2)/2
(
xy(x2 − 3) (1− x2)(1− y2)
(1− x2)(1− y2) xy(y2 − 3)
)
que en los puntos cŕıticos vale:
Hf(P ) =
(
0 1
1 0
)
Hf(Q1) = Hf(Q3) = e
−1
(
−2 0
0 −2
)
Hf(Q2) = Hf(Q4) = e
−1
(
2 0
0 2
)
El test de las derivadas segundas nos dice entonces que en P hay un punto-silla, que en Q1 y Q3
hay máximos relativos, y que en Q2 y Q4 hay mı́nimos relativos.
o
8. Encuentra los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = x3 + y3 + 9xy + 27 y decide si son máximos
relativos, mı́nimos relativos o puntos-silla.
Solución: El gradiente ∇f y la matriz hessiana Hf son
∇f = (f ′x , f ′y) = (3x2 + 9y , 3y2 + 9x) Hf =
(
f ′′xx f
′′
xy
f ′′yx f
′′
yy
)
=
(
6x 9
9 6y
)
Los puntos cŕıticos son los que anulan el gradiente, o sea los puntos (x, y) con
{
x2 = −3y
y2 = −3x
}
. Por
tanto deben verificar x4 = (−3y)2 = 9y2 = 9(−3x) = −27x, lo que da dos opciones:
- Para x = 0 se obtiene y = −13 x
2 = 0 y P = (0, 0) satisface el sistema, luego es un punto cŕıtico.
- Para x 6= 0 se obtiene x3 = −27, luego x = −3 e y = −13 x2 = −3, y Q = (−3,−3) es un punto
cŕıtico.
Como el determinante de Hf(P ) =
(
0 9
9 0
)
es negativo deducimos que en P hay un punto-silla.
Como el determinante de Hf(Q) =
(
−18 9
9 −18
)
es positivo y la primera entrada (−18) es
negativa, en Q se alcanza un máximo relativo.
o
Matemáticas de 1 , problemas 230 Alberto del Valle Robles
16 VARIAS VARIABLES: EXTREMOS (*)
9. Calcula los puntos cŕıticos de f(x, y) = x4 + x2 + 24y2 + 12xy.
Solución: Los puntos cŕıticos son las soluciones de
0 = f ′x(x, y) = 4x
3 + 2x+ 12y 0 = f ′y(x, y) = 48y + 12x
De la segunda ecuación obtenemos y = −x/4, y sustituyendo en la primera se tiene
0 = 4x3 + 2x+ 12y = 4x3 + 2x− 3x = 4x3 − x = x(4x2 − 1)
de donde x = 0 ó x = ±1/2. Los correspondientes valores de y = −x/4 son y = 0 e y = ∓1/8, por
lo que los puntos cŕıticos son (0, 0), (1/2,−1/8) y (−1/2, 1/8).
o
10. Encuentra todos los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = x3 + y3 + 9xy, y para cada uno de ellos
decide si es un máximo relativo, un mı́nimo relativo o un punto-silla.
Solución: El gradiente vale ∇f = (f ′x, f ′y) = (3x2 + 9y, 3y2 + 9x), y se anula cuando x = −y2/3
e y = −x2/3. Sustituyendo la segunda en la primera se tiene x = −x4/27, de donde o bien x = 0
(y entonces y = 0) o bien podemos simplificar x para obtener 1 = −x3/27, o sea x3 = −27, o
sea x = −3 (y entonces y = −9/3 = −3). En definitiva, hay dos puntos cŕıticos, A = (0, 0) y
B = (−3,−3).
Para aplicar el test de las derivadas segundas calculamos el Hessiano y sustituimos los puntos:
Hf =
(
f ′′xx f
′′
xy
f ′′yx f
′′
yy
)
=
(
6x 9
9 6y
)
Hf(A) =
(
0 9
9 0
)
Hf(B) =
(
−18 9
9 −18
)
Para A el determinante 2× 2 es negativo, luego se trata de un punto-silla. Para B la secuencia de
determinantes es negativo-positivo y por tanto en B se alcanza un máximo relativo.
o
11. Encuentra y clasifica todos los puntos cŕıticos de la función f(x, y) = 2xy − 3x3 − xy2.
Solución: Los puntos cŕıticos son los que anulan el gradiente, o sea las soluciones comunes de
f ′x = 0 y f
′
y = 0. Por tanto se trata de resolver el sistema
{
2y − 9x2 − y2 = 0
2x− 2xy = 0
}
. Reescribiendo
la segunda ecuación como 2x(1 − y) = 0 vemos que o bien x = 0 o bien y = 1. Para x = 0 la
primera ecuación queda y(2−y) = 0, lo que nos da dos puntos cŕıticos A = (0, 0) y B = (0, 2). Para
y = 1, la primera ecuación queda 1 = 9x2, lo que nos da otros dos puntos cŕıticos C = (1/3, 1) y
D = (−1/3, 1). El Hessiano es Hf(x, y) =
(
−18x 2− 2y
2− 2y −2x
)
y por tanto
Hf(A) =
(
0 2
2 0
)
Hf(B) =
(
0 −2
−2 0
)
Hf(C) =
(
−6 0
0 −2/3
)
Hf(D) =
(
6 0
0 2/3
)
Por el test de las derivadas segundas, A y B son puntos-silla, en C se alcanza un máximo relativo
y en D se alcanza un mı́nimo relativo.
o
Matemáticas de 1 , problemas 231 Alberto del Valle Robles