Álgebra Lineal Mora (70)

Vista previa del material en texto

Capítulo 2. Matrices
55
Para precisar un poco, daremos nombre a las matrices en las que todas sus entradas 
son números enteros.
Defi nición 2.4.1. Una matriz A se dice entera, si todas sus entradas son números 
enteros.
¿Cuándo tiene solución entera un sistema de ecuaciones con coefi cientes enteros? 
¿Cómo encontrar todas las soluciones de un sistema de ecuaciones con coefi cientes en-
teros? ¿Se puede ajustar el método de reducción de Gauss-Jordan para matrices enteras?
La discusión de estas preguntas lleva a lo que se conoce como teoría de matrices 
enteras.
Uno de los resultados fundamentales en la teoría de matrices enteras, que además 
aporta elementos para contestar a las preguntas planteadas es el siguiente:
Teorema 2.4.1. Para toda matriz entera A de orden m � n, existen matrices ente-
ras L y R con inversas enteras, de órdenes m � m y n � n respectivamente tales que 
LAR � diag{d1, d2, ..., dr, 0 ..., 0}, en donde di es un número entero positivo para i � 1, 
2, ..., r y di divide a di	1 para todo i � 1, 2, ..., (r � 1).
Sugerimos al lector que demuestre el resultado anterior para el caso en que A es 2 � 2. 
Un posible procedimiento para demostrar el teorema en este caso, consiste en aplicar 
operaciones elementales en las fi las y en las columnas de A. La demostración del caso 
general queda fuera del alcance del texto; el lector interesado en matrices enteras pue-
de consultar [10], en donde encontrará una demostración del teorema anterior.
Defi nición 2.4.2. A la matriz D � diag{d1, d2, ..., dr, 0 ..., 0} se le llama la forma nor-
mal de Smith.
2.5. Ejercicios
 1. Enuncie los teoremas y defi niciones que se han discutido en este capítulo.
 2. a) Sea A � 
 1 2 1 0
�1 0 3 5
 1 �2 1 1
 . Determine la forma escalonada reducida R de A y una 
matriz inversible P tal que PA � R.
 b) Para cada una de las siguientes matrices determine si tiene inversa, en caso 
afi rmativo, encuéntrela.
2 5 �1
4 �1 2
6 4 1 
, 
1 �1 2
3 2 4
0 1 �2
 
 3. En este ejercicio A y B son dos matrices n � n.
 a) Si A es inversible y AB � O. Demuestre que B � O.
 b) AB es inversible ⇔ A y B son inversibles.
 c) Si A no es inversible construya una matriz B � O tal que AB � O.
 d) Encuentre dos matrices A y B tales que AB � 0 y BA � 0.
 e) Sean A � 0 y B � 0 tales que AB � 0. Demuestre que A y B no tienen inversa.
55
	Álgebra Lineal
	Capítulo 2 Matrices
	2.5. Ejercicios