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Capítulo 7. Espacios con producto interno 185 se puede representar en la forma: [ x y ] x y a b 2 b 2 c dx ey f � 0 (7.12) Haciendo A � a b 2 b 2 c y aplicando el teorema de los ejes principales, teorema 7.3.4, existe una matriz ortogonal P tal que: P tAP � diag{λ1, λ2} (7.13) con λ1 y λ2 los valores característicos de A. Poniendo x y � P x ′ y ′ � p11x ′ p12y ′ p21x ′ p22y ′ , y de lo anterior se tiene: ax2 bxy cy2 dx ey f � [ x y ] x y a b 2 b 2 c dx ey f � λ1x ′ 2 λ2y ′ 2 d(p11x ′ p12y ′) e(p21x ′ p22y ′) + f � λ1x ′ 2 (p11d p21e)x ′ λ2y ′ 2 (p12d p22e)y ′ f De la representación anterior y de lo que sabemos de geometría analítica se tiene que la ecuación 7.11 representa: 1. Una parábola, si exactamente uno de los valores característicos es cero. 2. Una circunferencia si, λ1 � λ2. 3. Una elipse si, λ1λ2 > 0. 4. Una hipérbola si, λ1λ2 < 0. Para determinar cada uno de estos casos procedemos a encontrar los valores de λ1 y λ2. El polinomio característico de A es: p(x) � a�x b 2 b 2 c�x � x2 � (a c)x ac � b2 4 , por lo que sus valores característicos son: λ� � � � � � a c a c ac b a c a c b( ) ( )2 2 2 24 2 2 (7.14) Notemos que si los dos valores característicos de A son cero, entonces de la ecua- ción 7.13 se tiene que A � 0 y por tanto no tenemos una ecuación cuadrática. Pode- mos suponer que A ≠ 0. 185
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