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Álgebra lineal 112 Discusión. Por la observación anterior, es sufi ciente llevar a A a forma escalonada reducida y el número de fi las no cero será el rango buscado. Aplicando operaciones elementales en las fi las de A se tiene: 1 1 �1 1 2 �1 3 0 1 0 �1 2 ~ 1 1 �1 1 0 �3 5 �2 1 0 �1 2 ~ 1 0 �1 2 0 0 5 �5 0 �1 0 1 ~ 1 0 �1 2 0 1 0 �1 0 0 1 �1 ~ 1 0 0 1 0 1 0 �1 0 0 1 �1 La última matriz es la forma escalonada reducida de A; de esto concluimos que el rango de A es tres. 4.4.2. El espacio de las transformaciones lineales Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente; el espacio de las transformaciones lineales, denotado L(V; W), es el conjunto de todas las transformacio- nes lineales de V en W. Las operaciones que hacen de L(V; W) un espacio vectorial son: • Suma. Dados T, T1 ∈ L(V; W) se defi ne (T T1)(α) :� T(α) T1(α1). • Producto por escalar. Dado un escalar λ y un elemento T ∈ L(V; W) se defi ne el producto (λT)(α) : � λT(α). Se deja como ejercicio verifi car que con la suma y producto por escalar defi nidos antes, L(V; W) es un espacio vectorial. Recordemos que dadas {α1, α2, ..., αn} y {β1, β2, ..., βm}, bases de V y W, respectiva- mente, al considerar T ∈ L(V; W) se construye la matriz asociada a T, entonces al con- siderar dos transformaciones lineales T, T1 ∈ L(V; W), hay dos matrices A y B asociadas a T y T1. ¿Cuál es la matriz asociada a T T1? De la defi nición de matriz asociada a una transformación lineal se tiene que la columna j-ésima de A se obtiene de los escalares que aparecen en T(αj) � a1jβ1 a2jβ2 · · · amjβm; análogamente, la columna j-ésima de B se obtiene de los escalares que aparecen en T1(αj) � b1jβ1 b2jβ2 · · · bmjβm. Usando la defi nición de la suma de transformaciones lineales se tiene: (T T1)(αj) � T(αj) T1(αj) � (a1jβ1 a2jβ2 · · · amjβm) (b1jβ1 b2jβ2 · · · bmjβm) � (a1j b1j)β1 (a2j b2j)β2 · · · (amj bmj)βm De la ecuación anterior concluimos que la transformación T T1 tiene asociada a la matriz A B. Un cálculo como el anterior muestra que si λ es un escalar, entonces λT tiene asociada a la matriz λA. De la discusión anterior se tiene defi nida una función ϕ : L(V; W) → Mm×n(R) por la regla: ϕ(T) :� A. Las propiedades de ϕ se enuncian en el siguiente: Teorema 4.4.4. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente. Entonces ϕ es un isomorfi smo, consecuentemente, la dimensión de L(V; W) es mn. Demostración. El lector está invitado a probar que ϕ es un isomorfi smo, la segunda parte la probaremos directamente, pues consideramos de cierta importancia el pre- sentar una prueba en donde se construya una base de L(V; W), ya que en este proceso tendremos la oportunidad de ilustrar el uso de varios conceptos y resultados. Sean α1, α2, ..., αn y β1, β2, ..., βm, bases de V y W, respectivamente; defi niremos transformaciones Álgebra Lineal Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices 4.4. Matrices y transformaciones lineales 4.4.2. El espacio de las transformaciones lineales
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