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Capítulo 5. Determinantes 125125 También sabemos que A�1 � F1F2 ⋅ ⋅ ⋅ Fs. Aplicando el determinante a esta últi- ma ecuación y usando nuevamente la propiedad 1 y la ecuación 5.2, se concluye �A�1� � 1 �A � 3. Para demostrar esta propiedad, notemos que el producto de matrices tiene inversa ⇔ cada factor la tiene. Por esta observación y la parte 2 se tiene que si alguna de A o B no tiene inversa, entonces tampoco AB, por lo que �AB � � 0 y como alguna de A o B no tiene inversa, entonces uno de �A � o �B � es cero, por lo que �A � �B � � 0, y de esto �AB � � �A � �B �. Si A y B son inversibles, entonces existen matrices elementales F1, ..., Fk y H1, ..., Hr tales que A � F1 ⋅ ⋅ ⋅ Fk y B � H1 ⋅ ⋅ ⋅ Hr. De estas dos ecuaciones y la parte 1 se tiene: �AB � � �F1 ⋅ ⋅ ⋅ FkH1 ⋅ ⋅ ⋅ Hr� � �F1� ⋅ ⋅ ⋅ �Fk� �H1� ⋅ ⋅ ⋅ �Hr� � �A � �B �. 4. Esta parte la dejamos como ejercicio al lector y le sugerirnos un camino. a) Defi na operaciones elementales en las columnas de A. b) Examine la relación que hay entre operaciones elementales en fi las y opera- ciones elementales en columnas. c) Observe qué ocurre al aplicar reducción en las columnas de A iniciando con la primer columna. d) Si las operaciones elementales en las fi las de A, que la llevan a forma escalo- nada reducida R, están representadas por las matrices elementales F1, ..., Fk, es decir, F1 ⋅ ⋅ ⋅ FkA = R, entonces A t F tk ⋅ ⋅ ⋅ F t 1 � R t. e) Una matriz triangular y su transpuesta tienen el mismo determinante, pro- piedad 5, teorema 5.1.1. 5. Para este punto le pedimos al lector que aplique la parte 4 del teorema 5.1.1, y como ya demostró la parte 4 comentada arriba, se obtiene la conclusión. 5.1.2. Existencia y unicidad del determinante Una vez hecha la discusión de las propiedades del determinante, es muy importante justifi car la existencia de una función que satisfaga dichas propiedades. La justifi ca- ción de la existencia la proporciona el siguiente: Teorema 5.1.3. Existe una única función D : R R veces n n n � �··· 1 244 344 → R que satisface las pro- piedades de la defi nición 5.1.1. Demostración. Si r e1, r e2, ..., r en son los vectores canónicos, defi namos la función D que satisfaga las siguientes dos condiciones. 1. D( r e1, r e2, ..., r en) :� 1 2. D( r e1, r e2, ..., r e i, ..., r e j, ..., r en) :� �D( r e1, r e2, ..., r e j, ..., r e i, ..., r en) para cualesquiera dos índices diferentes i, j. Las condiciones anteriores implican directamente D( r ej1, r ej2, ..., r ejn) � �1 para cualquier posible elección de los índices {j1, j2, ..., jn}. El signo se puede determinar notando que cualquier elección de los índices {j1, j2, ..., jn} se puede llevar al orden na- tural intercambiando dos cada vez. Álgebra Lineal Capítulo 5 Determinantes 5.1. Determinantes y volúmenes de paralelepípedos 5.1.2. Existencia y unicidad del determinante
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JENNY SOFIA DIAZ MUÑOZ
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