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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores 153 Multiplicando la segunda columna de A5 por (1 � x) y sumándola a la tercera se obtiene: A6 � 1 0 0 0 0 �1 (1�x)3 0 �1 0 Multiplicando las columnas dos y tres de A6 por –1 e intercambiando las fi las dos y tres se obtiene: A7 � 1 0 0 0 1 0 0 0 (x�1)3 1 . Con este proceso hemos obtenido la siguiente infor- mación: 1. El polinomio mínimo de A es (x � 1)3 1 � x(x2 � 3x 3) � x3 � 3x2 3x. 2. La matriz A es diagonalizable, pues su polinomio mínimo tiene raíces diferentes. 3. La forma racional de A es: 0 0 0 1 0 �3 0 1 3 . 4. La matriz A es singular. Ejercicio 6.2.3. Si m1(x), ..., mk(x) son los factores invariantes de A, ¿cómo se obtiene el polinomio característico de A? 6.3. Forma canónica de Jordan Sea V un espacio de dimensión fi nita, T un operador en V y mT(x) � p1 e1 (x) p2 e2 (x) · · · pr er (x), la representación del polinomio mínimo de T como producto de irreducibles. Por el teorema 6.1.3 (teorema de la descomposición primaria) se tiene: V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk, con Wi � Vp i ei (T) También sabemos que el polinomio mínimo de T restringido a Wj es pj ej (x). Apli- cando el teorema 6.2.4 (teorema de la descomposición cíclica) a cada Wj se tiene que Wj � W1j ⊕ W2j ⊕ · · · ⊕ Wij j, en donde cada Wij es T-cíclico con anulador pj eij (x); los exponentes satisfacen ej � e1j � e2j � · · · � eij j. Defi nición 6.3.1. Los polinomios py eij (x) se llaman divisores elementales de T. Supongamos que algún pj(x) es lineal y que el anulador de Wij es (x � cj) eij . Si v es un vector cíclico de Wij entonces: {v, (T – cjI)v, ..., (T – cjI) eij�1} es una base. 153 Álgebra Lineal Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores 6.3. Forma canónica de Jordan
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