Álgebra Lineal Mora (175)

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Álgebra lineal
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6.5. Aplicaciones
En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la teoría de valores y vectores 
característicos. Posiblemente no sean de los más importantes e interesantes; su obje-
tivo es sólo ilustrar la forma de usar la herramienta que hemos desarrollado. El lec-
tor tendrá oportunidad de aplicar la herramienta a mejores e interesantes ejemplos, y 
por qué no, desarrollar los propios.
6.5.1. Especies que interactúan
Las ideas centrales de lo que se presenta aquí fueron tomadas de [3]. Nuestra labor ha 
consistido en adaptar el caso continuo al discreto, con la fi nalidad de ilustrar lo que se 
llama un sistema dinámico lineal discreto y darle un sentido más “real” al caso continuo.
Cuando se analiza la interacción de las diferentes especies vivientes, es claro que el 
crecimiento de población de una, depende de la de otras. Las relaciones entre las dife-
rentes especies pueden ser de cooperación, competencia y depredación. Para entender 
estas complejas relaciones se puede iniciar considerando sólo dos especies.
Supongamos que se harán observaciones a intervalos de tiempo determinados 
para estimar las poblaciones de las dos especies bajo estudio. Los intervalos de tiem-
po serán numerados: k � 0, 1, 2, 3, etcétera. Si denotamos por xk y yk a las poblaciones 
en el tiempo k, nos interesa describir la relación que hay entre las cantidades xk y yk, 
dependiente del tipo de interacción que mantienen las especies.
El modelo que analizaremos es el llamado depredador y presa, para una discusión 
más completa de otras interacciones ver ([3]).
Bajo aislamiento de las especies y con las condiciones apropiadas de supervivencia 
y crecimiento es razonable suponer que la población en el tiempo k 	 1 sea propor-
cional a la que había en el tiempo k. En forma algebraica esto se expresa mediante el 
sistema de ecuaciones:
xk 	 1 � R1xk (6.16)
yk 	 1 � R2yk (6.17)
Suponiendo que las constantes de proporcionalidad, R1 y R2, no cambian con el 
tiempo y agregando que se conocen las poblaciones al momento de iniciar la experi-
mentación, las ecuaciones anteriores se resuelven directamente por sustitución suce-
siva, es decir, si x0 y y0 son las poblaciones iniciales, entonces x1 � R1x0; x2 � R1x1 � R1R1x0 
� R1
2x0; en general xk � R1
kx0. De manera análoga se obtiene yk � R2
ky0.
En general, R1 y R2 dependen tanto del tiempo como de las cantidades xk y yk. Para 
modelar la relación depredador presa supondremos que la población xk corresponde a 
los depredadores y la población yk a las presas; R1 � �a 	 byk y R2 � c � dxk, con a, b, c, 
y d constantes positivas. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones 6.16 y 6.17 
se tiene:
 xk 	 1 � (�a 	 byk)xk (6.18)
 yk 	 1 � (c � dxk)yk (6.19)
y la interpretación de estas nuevas ecuaciones es como sigue:
En la ecuación 6.18 se tiene que sin presas, la población de depredadores decre-
ce, mientras que con presas, el cambio neto en la población es el decrecimiento “natu-
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.5. Aplicaciones
	6.5.1. Especies que interactúan