problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (19)

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Caṕıtulo 1. Conjuntos
5. Idempotentes de la unión y de la intersección: A ∪A = A, A ∩A = A.
6. Elemento ı́nfimo para la unión e intersección: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
7. Distributiva de la intersección respecto de la unión: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩
B) ∪ (A ∩ C).
8. Distributiva de la unión respecto de la intersección: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪
B) ∩ (A ∪ C).
9. Leyes de simplificación: (a) (A ∪B) ∩A = A. (b) (A ∩B) ∪A = A.
Solución. 1. Quedará demostrada la igualdad si demostramos los conteni-
dos:
(A ∪B) ∪ C ⊂ A ∪ (B ∪ C). (1)
A ∪ (B ∪ C) ⊂ (A ∪B) ∪ C. (2)
Sea x ∈ (A∪B)∪C. Esto significa x ∈ A∪B o x ∈ C. Si ocurre lo primero,
será x ∈ A o x ∈ B. Si x ∈ A, será x ∈ A∪ (B ∪C); si x ∈ B será x ∈ B ∪C
y por tanto x ∈ A ∪ (B ∪ C). Por último, si x ∈ C, será x ∈ B ∪ C y por
tanto x ∈ A ∪ (B ∪ C). Hemos demostrado (1).
Sea x ∈ A∪ (B ∪C). Esto significa x ∈ A o x ∈ B ∪C. Si ocurre lo primero,
será x ∈ A ∪ B y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Si x ∈ B ∪ C, será x ∈ B o
x ∈ C. Si x ∈ B, será x ∈ A ∪ B y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∪ C; si x ∈ C
será x ∈ (A ∪B) ∪ C. Hemos demostrado (2).
2. Sea x ∈ (A∩B)∩C. Esto significa x ∈ A∩B y x ∈ C y por tanto, x ∈ A y
x ∈ B y x ∈ C lo cual implica que x ∈ A y x ∈ B∩C, es decir x ∈ A∩(B∩C).
Sea x ∈ A∩ (B ∩C). Esto significa x ∈ A y x ∈ B ∩C y por tanto, x ∈ A y
x ∈ B y x ∈ C lo cual implica que x ∈ A∩B y x ∈ C, es decir x ∈ (A∩B)∩C.
Del doble contenido demostrado, concluimos que
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
3. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Sea x ∈ A∪B. Esto significa que x ∈ A
o x ∈ B y, en cualquiera de los dos casos, x ∈ B ∪ A. Hemos demostrado
A ∪B ⊂ B ∪A.
Sea x ∈ B ∪A. Esto significa que x ∈ B o x ∈ A y, en cualquiera de los dos
casos, x ∈ A∪B. Hemos demostrado B∪A ⊂ A∪B. Podemos pues concluir
que A ∪B = B ∪A.
4. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Sea x ∈ A∩B. Esto significa que x ∈ A
y x ∈ B lo cual implica que que x ∈ B y x ∈ A, es decir x ∈ B ∩A. Hemos
demostrado A ∩B ⊂ B ∩A.