problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (46)

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2.7 Orden total, buen orden
3. Demostrar que todo buen orden es un orden total.
4. Sea (R,≤) el conjunto ordenado de los números reales con el orden usual
≤ . En C = R× R se define la relación:
(x1, y1)R(x2, y2)⇔
{
si x1 6= x2 entonces x1 < x2
si x1 = x2 entonces y1 ≤ y2.
(a) Demostrar que R es una relación de orden sobre C.
(b) Demostrar que R es una relación de orden total sobre C.
5. ¿Existe un conjunto parcialmente ordenado que posea un único elemento
maximal y que sin embargo este no sea máximo?
Solución. 1. Se verifica 2 6≤ 3 y 3 6≤ 2, es decir ≤ no es orden total, en
consecuencia tampoco es buen orden.
2. Reflexiva. Para todo x ∈ Z se verifica x = x1, es decir xRx.
Antisimétrica. Para todo par de elementos x, y ∈ Z :{
xRy
yRx
⇒
{
x = yn (n entero positivo)
y = xm (m entero positivo)
⇒ x = xnm.
Si x 6= 0, entonces ha de ser necesariamente mn = 1 lo cual implica m =
n = 1 y por tanto x = y. Si x = 0, entonces y = 0m = 0. Es decir, en
cualquier caso x = y.
Transitiva. Para toda terna de elementos x, y, z ∈ Z :{
xRy
yRz
⇒
{
x = yn (n entero positivo)
y = zm (m entero positivo)
⇒ x = znm.
Dado que mn es entero positivo, se cumple xRz. Hemos demostrado que R
es relación de orden en Z.
No es relación de orden total, basta elegir los elementos de Z, 2 y 3. Cla-
ramente 2 6= 3k para todo k entero positivo y 3 6= 2k para todo k entero
positivo. Entonces, 2 6 R3 y 3 6 R2. Como consecuencia, no es buen orden.
3. Si ≤ es buen orden en A, todo subconjunto de A distinto del vaćıo tiene
elemento mı́nimo. Sean x, y dos elementos de A, entonces {x, y} tiene ele-
mento mı́nimo. Si el mı́nimo es x, se verifica x ≤ y, y si es y, se verifica
y ≤ x. Es decir, ≤ es orden total.
4. (a) Reflexiva. Para todo (x, y) ∈ C se verifica x = x e y ≤ y, lo cual
implica (x, y)R(x, y).
Antisimétrica. Sean (x1, y1) y (x2, y2), elementos de C con (x1, y1)R(x2, y2)