problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (48)

Vista previa del material en texto

2.8 Diagramas de Hasse
a b
c
def
(a) Analizar la existencia de máximo y mı́nimo.
(b) Determinar los elementos maximales y minimales.
(c) Determinar los subconjuntos de A con tres elementos totalmente
ordenados.
3. En el conjunto A = {a, b, c, d} se considera la relación:
≤= {(a, a), (a, b), (b, b), (b, d), (a, c), (c, c), (c, d), (a, d), (d, d)} .
(a) Demostrar que ≤ es relación de orden en A.
(b) Dibujar el diagrama de Hasse de la relación.
(c) Analizar si ≤ es un orden total.
(d) Determinar, si existen, los elementos máximo y mı́nimo.
Solución. 1. Claramente es:
1
2
3
4
2. (a) No existe elemento de A mayor o igual que todos los demás, ni existe
elemento de A menor o igual que todos los demas, por tanto no existe ni
máximo ni mı́nimo.
(b) Los elementos maximales de A son d, e y f, pues son aquellos para los
cuales no hay ninguno mayor. Los elementos minimales de A son a b, pues
son aquellos para los cuales no hay ninguno menor.
(c) De acuerdo con la definición de orden total, los subconjuntos de A con
tres elemento y totalmente ordenados son:
{a, c, f}, {a, c, e}, {a, c, d}, {b, c, f}, {b, c, e}, {b, c, d}.
3. (a) El lector comprobará de forma sencilla que se verifican las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva.
(b) El diagrama de Hasse de ≤ es: