problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (148)

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5.24 Binomio de Newton en un anillo
Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para n, y veamos
que es cierta para n+ 1. Se verifica:
(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)n
= a
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk + b
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk
=
n∑
k=0
(
n
k
)
an−k+1bk +
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk+1 (∗)
(en la última igualdad hemos usado que ab = ba).
El primer sumando de la linea (∗) se puede expresar en la forma
n∑
k=0
(
n
k
)
an−k+1bk =
(
n
0
)
an+1b0 +
n∑
k=1
(
n
k
)
an−k+1bk
=
(
n+ 1
0
)
an+1b0 +
n∑
k=1
(
n
k
)
an−k+1bk.
El segundo sumando de la linea (∗) se puede expresar en la forma
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk+1 =
n−1∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk+1 +
(
n+ 1
n+ 1
)
a0bn+1
(haciendo el cambio k = j − 1)
=
n∑
j=1
(
n
j − 1
)
an+1−jbj +
(
n+ 1
n+ 1
)
a0bn+1.
Por tanto, (a+ b)n+1 es igual a:(
n+ 1
0
)
an+1b0 +
n∑
k=1
[(
n
k
)
+
(
n
k − 1
)]
an+1−kbk +
(
n+ 1
n+ 1
)
a0bn+1.
Usando la conocida fórmula de combinatoria
(
n
k
)
+
(
n
k − 1
)
=
(
n+ 1
k
)
:
(a+ b)n+1 =
(
n+ 1
0
)
an+1b0 +
n∑
k=1
(
n+ 1
k
)
an+1−kbk +
(
n+ 1
n+ 1
)
a0bn+1
=
n+1∑
k=0
(
n+ 1
k
)
an+1−kbk.
Es decir, la fórmula es cierta para n+ 1.
	Anillos y cuerpos
	Anillo de las funciones reales