problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (392)

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10.29 Endomorfismo en C sobre R
De lo cual deducimos
A5 = −4A
A6 = −4A2
A7 = −4A3
A8 = (−4)2I

A9 = (−4)2A
A10 = (−4)2A2
A11 = (−4)2A3
A12 = (−4)3I
. . .

A4k+1 = (−4)kA
A4k+2 = (−4)kA2
A4k+3 = (−4)kA3
A4k = (−4)kI
para todo entero k ≥ 0.
5. Fijada una base B en un espacio vectorial E de dimensión n sobre el cuer-
po K, sabemos que la aplicación entre el álgebra End E de los endomorfis-
mos sobre E y el álgebra de matrices Kn×n que asocia a cada endomorfismo
f ∈ End E su matriz con respecto a B, es un isomorfismo de álgebras. En
consecuencia bastará hallar la dimensión del subespacio vectorial de R2×2
dado por F1 = {
∑
n∈N anA
n : an ∈ R}.
De los resultados del apartado 4. deducimos que este espacio está generado
por el sistema de vectores {I, A,A3, A3}, es decir por los vectores
I =
[
1 0
0 1
]
, A =
[
1 −1
1 1
]
, A2 =
[
0 −2
2 0
]
, A3 =
[
−2 −2
2 −2
]
.
Expresando estos vectores en coordenadas respecto de la base canónica de
R2×2 tenemos
dimF = dimF1 = rg

1 0 0 1
1 −1 1 1
0 −2 2 0
−2 −2 2 −2
 = 2.