problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (547)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Al ser B ortonormal, la matriz de T t en B es At, es decir
At =
2 0 −10 2 5
0 0 1
 .
3. Para todo x, y ∈ E se verifica 〈x, S(y)〉 = 〈St(x), y〉 y 〈x, T (y)〉 =
〈T t(x), y〉. Por tanto, para todo x, y ∈ E :
〈x, (S + T )(y)〉 = 〈x, S(y) + T (y)〉 = 〈x, S(y)〉+ 〈x, T (y)〉
= 〈St(x), y〉+ 〈T t(x), y〉 = 〈St(x) + T t(x), y〉
= 〈(St + T t)(x), y〉 ⇒ (S + T )t = St + T t.
〈x, (λT )(y)〉 = 〈x, λT (y)〉 = λ〈x, T (y)〉 = λ〈T t(x), y〉
= 〈λT t(x), y〉 = 〈(λT t)(x), y〉 ⇒ (λT )t = λT t.
Para demostrar (S ◦ T )t = T t ◦ St vamos a usar un argumento matricial.
Elijamos una base ortonormal B de E. Si M y N son respectivamente las
matrices de S y T en B, entonces las matrices de St y T t en B son respec-
tivamente M t y N t.
La matriz de S◦T en B es MN y la de (S◦T )t en B es (MN)t = N tM t. Por
otra parte, la matriz de T t◦St en B es N tM t. Los operadores (S◦T )t y T t◦St
tienen la misma matriz en la base B, lo cual implica que (S ◦ T )t = T t ◦ St.
4. Primeramente veamos que F está bien definida, es decir que fa ∈ E∗ o
de forma equivalente, que fa : E → R es lineal.
Para todo λ, µ ∈ R, para todo x, y ∈ E y usando las propiedades del pro-
ducto escalar:
fa(λx+ µy) = 〈a, λx+ µy〉 = λ 〈a, x〉+ µ 〈a, x〉 = λfa(x) + µfa(y),
luego fa es lineal.
Veamos ahora que F es lineal. Para todo λ, µ ∈ R, para todo a, b ∈ E, para
todo x ∈ E y usando las propiedades del producto escalar:
F (λa+ µb)(x) = fλa+µb(x) = 〈λa+ µb, x〉 = λ 〈a, x〉+ µ 〈b, x〉
= λfa(x) + µfb(x) = (λfa + µfb) (x) = (λF (a) + µF (b)) (x).
Por definición de igualdad de funciones, F (λa+ µb) = λF (a) + µF (b) luego
F es lineal. El núcleo de F es:
kerF = {a ∈ E : F (a) = 0} = {a ∈ E : fa = 0}