Vista previa del material en texto
Caṕıtulo 14. Producto escalar Al ser B ortonormal, la matriz de T t en B es At, es decir At = 2 0 −10 2 5 0 0 1 . 3. Para todo x, y ∈ E se verifica 〈x, S(y)〉 = 〈St(x), y〉 y 〈x, T (y)〉 = 〈T t(x), y〉. Por tanto, para todo x, y ∈ E : 〈x, (S + T )(y)〉 = 〈x, S(y) + T (y)〉 = 〈x, S(y)〉+ 〈x, T (y)〉 = 〈St(x), y〉+ 〈T t(x), y〉 = 〈St(x) + T t(x), y〉 = 〈(St + T t)(x), y〉 ⇒ (S + T )t = St + T t. 〈x, (λT )(y)〉 = 〈x, λT (y)〉 = λ〈x, T (y)〉 = λ〈T t(x), y〉 = 〈λT t(x), y〉 = 〈(λT t)(x), y〉 ⇒ (λT )t = λT t. Para demostrar (S ◦ T )t = T t ◦ St vamos a usar un argumento matricial. Elijamos una base ortonormal B de E. Si M y N son respectivamente las matrices de S y T en B, entonces las matrices de St y T t en B son respec- tivamente M t y N t. La matriz de S◦T en B es MN y la de (S◦T )t en B es (MN)t = N tM t. Por otra parte, la matriz de T t◦St en B es N tM t. Los operadores (S◦T )t y T t◦St tienen la misma matriz en la base B, lo cual implica que (S ◦ T )t = T t ◦ St. 4. Primeramente veamos que F está bien definida, es decir que fa ∈ E∗ o de forma equivalente, que fa : E → R es lineal. Para todo λ, µ ∈ R, para todo x, y ∈ E y usando las propiedades del pro- ducto escalar: fa(λx+ µy) = 〈a, λx+ µy〉 = λ 〈a, x〉+ µ 〈a, x〉 = λfa(x) + µfa(y), luego fa es lineal. Veamos ahora que F es lineal. Para todo λ, µ ∈ R, para todo a, b ∈ E, para todo x ∈ E y usando las propiedades del producto escalar: F (λa+ µb)(x) = fλa+µb(x) = 〈λa+ µb, x〉 = λ 〈a, x〉+ µ 〈b, x〉 = λfa(x) + µfb(x) = (λfa + µfb) (x) = (λF (a) + µF (b)) (x). Por definición de igualdad de funciones, F (λa+ µb) = λF (a) + µF (b) luego F es lineal. El núcleo de F es: kerF = {a ∈ E : F (a) = 0} = {a ∈ E : fa = 0}