Analisis-cuad-4-limites - Perla Campos

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Análisis Matemático
Cuadernillo 4
Límites - Continuidad
1
TEMA PÁGINA
1) Límite de una función en un punto
a) Definición 2
b) Clasificación de límites 3
c) Indeterminaciones 8
i) Caso 0
0
ii) Caso ∞∞
iii) Caso ∞−∞
iv) Caso 1∞
2) Asíntotas lineales 16
a) Asíntota vertical
b) Asíntota horizontal
c) Asíntota oblicua
3) Continuidad de una función en un punto 21
2
1
1) Límite de una Función en un Punto
a) Definición
El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en
los alrededores de dicha x. 
Ilustraremos este concepto con un ejemplo. En hombre camina dirigiéndose
hacia una pared con la siguiente particularidad: en cada etapa recorre la mitad de la
distancia que lo separa de su objetivo.
Por ejemplo, supongamos que se encuentra a 400 m. Primero recorre 200 m y
se detiene. Luego recorre 100 m, y luego 50 m y así sucesivamente. 
¿El hombre llega a tocar la pared?
No, ya que siempre le faltará la mitad de la distancia. Sin embargo, está claro
que el límite se su recorrido es la pared.
Ese es el concepto de límite de una función en un punto: no importa lo que
ocurre en ese punto, sino en los alrededores del punto.
Veamos un ejemplo más “matemático” 
Tomemos la función 
El dominio de esta función excluye al número uno, ya que dicho valor anula el
denominador.
2
Vamos a hacer una tabla para analizar que valores asume la función en un
entorno de .
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
1
1,001 2,001
1,01 2,01
1,1 2,1
Si bien la función no existe para el límite de la función cuando tiende a 1
es 2, ya que cuando más se acerque a 1, más se acercará a 2.
Es decir, que lo que estamos estudiando es el comportamiento de la función en
un “entorno reducido de ”. (Valores muy cercanos a , excluyendo ) 
b) Clasificación de límites
El límite de una función en un punto puede ser:
Definido
Es el caso en el que el valor del límite de la función en un punto coincide con el
valor de la función en el mismo.
 Por ejemplo: f (x)=x2−1 
f (2)=22−1=3
lím
x→2
(x2−1)=3
 Inexistente:
Decimos que no existe el límite de una función en un punto en dos casos.
3
 Límites laterales diferentes
Por ejemplo: 
f (x)={
x+2 x<3
1
3
x2+1 x≥3
 
lím
x→3⁻
(−x+2)=−3+2=−1
lím
x →3⁺(
1
3
x2+1)=
1
3
.32+1=4
 
En esta función, si nos acercamos a desde los valores menores que tres
(por la izquierda), la función tiende a . Si nos acercamos por los valores mayores que
3 (por la derecha), la función tiende a 4.
Como los límites laterales son distintos decimos que no existe el límite de la
función cuando tiende a 3.
4
 Resultado Infinito
Ejemplo: 
lím
x→1 (
2 x+1
x2−1 )=
1
→0
=∞
La división por cero no está definida: pero si dividimos un número cualquiera por
otro cada vez más pequeño, el resultado obtenido tiende a un valor cada vez mayor. 
Límites indeterminados
En este caso el primer resultado que se obtiene es una contradicción
matemática, por ejemplo: 0
0
; ∞∞ ; 1
∞ ; ∞−∞
En estos casos lo que debemos hacer es “salvar la indeterminación” mediante
procedimientos matemáticos.
Para ilustrar estas definiciones vamos a analizar los límites en varios puntos de
la siguiente función:
5
lím
x→−4⁺
f ( x)=−∞
A medida que nos acercamos a desde su derecha, la función asume
valores cada vez más elevados y negativos.
lím
x →−4 ⁻
f (x)=+∞
A medida que nos acercamos a desde su izquierda, la función asume
valores positivos cada vez más altos.
lím
x →−2
f (x )=0
Este es un límite definido: en un entorno reducido de x = -2, la función vale 0.
lím
x →3
f (x)=27
5
Este también es un límite definido, no importa que la función no tenga imagen
para x= 3; lo que importa es que en un entorno reducido de x = 3 función tiende a 27
5
.
lím
x →6⁻
f (x)= 63
5
Si nos acercamos a desde la izquierda (es decir, desde valores de 
menores que 6), la función tiende a 63
5
.
lím
x →6⁺
f (x)=−1
Si nos acercamos a desde la derecha (desde los valores mayores que
), la función tiende a - 1.
Como los límites laterales son diferentes, no existe el límite para tendiendo a
6 en esta función
lím
x→6
f (x)=∄
6
lím
x →−∞
f ( x)=1
Si tomamos valores de cada vez más negativos, los valores de la función se
acercarán cada vez más a y = 1.
lím
x →−∞
f ( x)=−∞
Si tomamos valores de cada vez mayores, los valores de y decrecen
indefinidamente. 
7
c) Indeterminaciones
i. Caso
Cociente de dos polinomios
Para resolver este tipo de indeterminaciones debemos factorear el numerador y
el denominador con cualquiera de los casos vistos.
Ej: 
lím
x→ 2(
5 x3−4 x2−15 x+6
x4−16 )
Primero reemplazamos la variable por el valor al que tiende el límite.
lím
x→2 (
5.23−4.22−15.2+6
24−16 )=
0
0
Para salvar la indeterminación factoreamos:
En el numerador aplicamos el Teorema de Gauss:
5 x3−4 x2−15 x+16=(x−2)(5 x2+6 x−3)
En el denominador podemos aplicar diferencia de cuadrados
x4−16=(x2−4) .(x2+4)=(x−2)(x+2)(x2+4)
Nuestro límite nos queda:
8
 
2
5 -4 -15 6
 10 12 -6
5 6 -3 0 
lím
x→2 [
5 x3−2x2−15 x+6
x4−16 ]=
= lím
x→∞ [
(x−2)(5 x2+6 x−3)
(x−2)(x+2)(x2+4) ]
 
Una vez que simplificamos, volvemos a reemplazar, y obtenemos el valor del
límite.
lím
x→ 2(
29
4.8 )=
29
32
Funciones irracionales
En estos casos vamos a tener raíces: y para salvar las indeterminaciones vamos
a tener que racionalizar:
Ej 1
lím
x→5 [ √
x+4−3
x2−4 x−5 ]=
0
0
Multiplicamos y dividimos por el conjugado de , que será 
lím
x→5 [ √
x+4−3
x2−4 x−5
. √
x+4+3
√ x+4+3 ] 
=lím
x→5 [ (√ x+4)
2
−32
(x2−4 x−5).(√x+4+3) ]=
=lím
x→5 [
x−5
(x−5)(x+1)(√x+4+3) ]=
=lím
x→5 [
1
6(√9+3) ]=
1
36
Si la expresión tiene raíces tanto en el numerador como en el denominador, hay
que multiplicar y dividir por ambos conjugados.
9
Factorización de un trinomio de 
segundo grado
Ejemplo: 
lím
x →4 [
√ x−2
x−√2 x+8 ]=
0
0
lím
x→ 4 [
√x−2
x−√2 x+8
.
x+√2 x+8
x+√2 x+8
.
√x+2
√x+2 ]
Ordenamos
 lím
x→ 4 [
(√ x−2)(√x+2)
(x−√2 x+8).(x+√2 x+8)
.
x+√2 x+8
√x+2 ] 
Multiplicamos
lím
x →4 [
x−4
x2−2 x−8
.
x+√2 x+8
√x+2 ]
Factoreamos y simplificamos
lím
x→4 [
x−4
( x−4)(x+2)
.
x+√2 x+8
√ x+2 ]
Reemplazamos 
límx→4( 14+2 .
4+√2 .4+8
√4+2 )=
1
3
 
ii. Indeterminación ∞∞
Para resolver esta indeterminación, sacamos como factor común la de mayor
grado, tanto en el numerador, como en el denominador.
Por ejemplo:
lím
x→∞(
4x3−2x+1
7x4+x3 )=
∞
∞
10
RM 1: Indetermina
ción 0/0
https://youtu.be/k_D-ft6hxJ0
https://youtu.be/k_D-ft6hxJ0
Sacamos como factor común en el numerador, y en el denominador.
lím
x→∞[
x3 .(4−
2
x2
+
1
x3 )
x4 .(7+ 1x ) ]
 Simplificamos
lím
x→∞[
4−
2
x2
+
1
x3
x .(7+ 1x ) ]
Debemos tener en cuenta que
límx→∞
k
x
=0 k∈ℝ
Ya que si dividimos cualquier número por otro infinitamente grande el resultado
tenderá a cero. Además, todos los números que quedaron divididos por x tienden a
cero.
Entonces:
lím
x→∞ (
4
7 x )=0
Otra manera de resolver estos límites es dividir todos los términos por la de
mayor exponente.
lím
x→∞(
6x5−2x2
2x3+x−1 )=
∞
∞ 
Dividimos cada término por 
lím
x→∞(
6x⁵
x5
−
2x2
x5
2x3
x5
+
x
x5
−
1
x5
)=
Simplificamos
11
lím
x→∞(
6−
2
x3
2
x2
+
1
x 4
−
1
x5
)
El numerador tiende a 6, y denominador tiende a 0.
lím
x→∞
( 6→0 )=∞
Ya que si dividimos cualquier número por otro cada vez más pequeño el
resultado tiende a infinito.
iii. Indeterminación ∞−∞
Esta indeterminación se resuelve transformándola en ∞∞
lím
x→∞(
7x2
x−1
−
x3
x2+1 )=∞−∞ 
sacamos común denominador:
lím
x→∞[
7x2 ( x2+1 )−x3 . (x−1 )
( x−1 ) . ( x2+1 ) ] 
Aplicamos propiedad distributiva
lím
x→∞[
7x4+7x2−x 4+x3
x3 +x−x2−1 ] = límx→∞[
6x4 +x3+7x2
x3−x2+x−1 ]
Nos quedó una indeterminación de ∞∞ , que resolvemos como ya vimos:
lím
x→∞[
6x4
x4
+
x3
x4
+
7x2
x 4
x3
x4
−
x2
x4
+
x
x4
−
1
x4
]= 6→0=∞
12
RM2: 
Indeterminaciones 
de infinito
iv. Indeterminación 1∞
Para resolver esta indeterminación nos basaremos en estas dos fórmulas:
lím
x→∞[1+
1
p ( x ) ]
p ( x )
=e 
lím
x→ 0
[1 +p ( x ) ]
1
p ( x )
=e
Ejemplo 1:
lím
x→∞
(2x+52x−1 )
4x−1
 (la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito) 
Para llegar a la expresión del número “e”, operamos del siguiente modo:
1º) Sumamos y restamos 1, en el siguiente orden:
lím
x→∞
(1+2x+52x−1 −1)
4x−1
2º) Sacamos común denominador entre el segundo y el tercer término de la
base:
lím
x→∞
(1+2x+5−2x+12x−1 )
4x−1
=lím
x→∞
(1+ 62x−1 )
4x−1
3º) Invertimos la fracción obtenida, de manera que su numerador sea 1:
lím
x→∞(1+
1
2x−1
6 )
4x−1
13
Para llegar a la expresión del número “e”, el denominador de la fracción de la
base debe figurar como exponente. Para lograr esto, pero sin alterar la expresión,
colocaremos como exponente a este numerador, primero tal cual está, y a
continuación, invertido. De esta manera estaremos elevando la base a potencia 1, por lo
cual no la modificamos pero le damos la forma que necesitamos para poder resolver
nuestro límite.
lím
x→∞(1+
1
2x−1
6 )
2x−1
6 .
6
2x−1
. 4x−1
 
Ya llegamos a la expresión del numero “e”:
lím
x→∞[(1+
1
2x−1
6 )
2x−1
6 ]
6 .( 4x−1 )
2x−1 =e
lím
x→∞(
6 .( 4x−1 )
2x−1 ) 
5º) Calculamos el límite del exponente:
e
lím
x→∞(
6 .( 4x−1 )
2x−1 )
=e12
Ejemplo 2:
lím
x→ 0(
x+ 4
4−x2 )
5
x
Como en el ejemplo anterior, la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito.
Pero como es un límite para x tendiendo a cero, debemos usar la otra expresión del
número e.
14
RM3: Indeterminaciones
 1 a la infinito
https://youtu.be/rs9-1EPWozM
https://youtu.be/rs9-1EPWozM
1º) Igual que antes, sumamos y restamos 1, y sacamos común denominador
entre el segundo y el tercer término:
lím
x→ 0(
x+4
4−x2 )
5
x =lím
x→0 (1+
x+ 4
4−x2
−1)
5
x =lím
x→0 (1+
x+ 4−4+x2
4−x2 )=límx→0 (1+
x+x²
4−x2 )
5
x
2º) Colocamos la expresión algebraica resultante como exponente, primero
invertida y luego tal cual está:
lím
x→ 0(1+
x+x2
4−x2 )
4− x
2
x+x
2
.
x+x
2
4− x
2
.
5
x 
3º) Ya llegamos a la expresión del número “e”
lím
x→0(1+
x+x2
4−x2 )
4− x2
x+x 2
.
x+x 2
4− x2
.
5
x =lím
x→ 0 [(1+ x+x
2
4−x2 )
4− x2
x+x 2 ]
5 .( x+x 2)
x .( 4−x2)
=
e
lím
x→ 0[
5x ( 1+x )
x . (4− x2) ]
= e
5
4
 
15
Asíntotas lineales
En la unidad de funciones ya vimos asíntotas verticales y horizontales, y
aprendimos a calcularlas de una manera “pragmática”.
Ahora vamos a aplicar el concepto de límite para comprender cómo se calcula
una asíntota.
a) Asíntota vertical
Tiene una asíntota vertical en si se cumple:
1º) x0∉ f (x ) 
2º) lím
x→ x 0
f ( x )=∞
Ejemplo:
Primero calculamos el dominio:
x2−2x−3≠0 → x≠3 ;x≠−1
Dom=ℝ−{−1;3 }
Calculamos el límite de la función cuando 
lím
x→−1(
4x−12
x2−2x−3 )=∞
Por lo tanto tiene una asíntota vertical en 
Calculamos el límite de la función x tendiendo a 3
lím
x→3 (
4 x−12
x2−2 x−3 )=
0
0
Salvamos la indeterminación
16
lím
x→3 [
4 (x−3)
(x+1)(x−3) ]=1 
Por lo tanto la función no tiene asíntota vertical en x=3
La gráfica de esta función es: 
Si bien la función no tiene imagen en x=3, el límite en ese punto existe.
a) Asíntota Horizontal 
 Tiene asíntota horizontal en Si:
lím
x→∞
f (x )=y0
Para la misma función
17
f(x)=(4X-12)/(X^2-2X-3)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
lím
x→∞(
4x−12
x2−2x−3 )=
∞
∞
lím
x→∞(
4x
x2
−
12
x2
x2
x2
−
2x
x2
−
3
x2
)=0
Por lo tanto la función tiene una asíntota horizontal en y = 0
c) Asíntota oblicua
Las funciones racionales cuyo numerador es un grado mayor que el
denominador tienen asíntotas oblicuas.
La ecuación de la misma es la de una recta: , y se calcula del siguiente
modo:
m=lím
x→∞
[ f ( x )x ] 
b=lím
x→∞
[ f ( x )−m . x ]
Ejemplo:
f ( x )=
4x3−6x2+x−1
2x2+3x
m= lím
x→∞
( 4x
3
−6x2+x−1
2x²+3x
.
1
x )=límx→∞ (
4x3−6x2 +x−1
2x3+3x2 )=2
 
b= lím
x→∞[
4x3−6x2+x−1
2x2+3x
−2x ]=∞−∞
b=lím
x→∞ [
4x3−6x2 +x−1−2x (2x2+3x )
2x2+3x ]= límx→∞[
−12x2+x−1
2x2+3x ]=−6
La asíntota oblicua de esta función tiene como ecuación
18
Esta función tiene, además, dos asíntotas verticales:
Dominio:
2x2+3x≠0
x (2x+3 )≠0→ x≠0 ;x≠−
3
2
Dom=ℝ−{−32 ;0}
Calculamos el límite de la función en los puntos que no pertenecen al dominio:
lím
x→ 0(
4x3−6x2+x−1
2x2+3x )=∞
lím
x→−
3
2
(4x
3−6x2+x−1
2x2+3x )=∞
la función tiene dos asíntotas verticales, en .
Entonces su gráfica tiene esta forma:
19
f(x)=(4x^3-6x^2+x-1)/(2x^2+3x)
f(x)=2x-6
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
RM4 - Asíntotas
https://youtu.be/rs9-1EPWozM
3) Continuidad de una función en un punto
Intuitivamente, decimos que una función es continua en un tramo cuando
podemos recorrerlo sin levantar el lápiz.
Por ejemplo:
En x= - 2, la función es continua.
En x=2; x=5; x=8, la función es discontinua.
En x=2 tienen un agujero, algo así como un bache en el camino. Este bache
podría rellenarse, para que el camino quede sin interrupciones. Entonces decimos que
en x=2 la función tiene una “discontinuidad evitable”.
En x=8 la interrupción es más grave, es como un escalón que no puede salvarse.
Este tipo de discontinuidad se denomina “discontinuidad esencial de salto finito”.
20
f(x)=-x^2+6
f(x)=(-2x-2)/(x-5)
f(x)=1/2*x+4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-23
-22
-21
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
x
y
En x=5 la discontinuidad también es esencial, pero como la función se va al
infinito, se denomina “discontinuidad esencial de salto infinito”.
Matemáticamente, definimos:
 Si el límite existe pero no se cumplen la primera o la tercera
condición, la función tendrá una discontinuidad evitable en .
 Si el límite no existe, la discontinuidad es esencial.
 Si los límites laterales son distintos pero finitos, es una
discontinuidad esencial de salto finito.
 Si los límites laterales tienen a infinito, es una discontinuidad
esencial de salto infinito.
Ejemplo 1:
Analizar la continuidad de la siguiente función:
f ( x )= √
x+ 5−3
1
2
x2−x−4
Lo primero que hacemos es calcular el dominio de la función.
Las restricciones que tenemos son:
21
Una función es continua en si:
1º) Existe ( pertenece al dominio)
2º) Existe lím
x→ x0
f (x ) 
3º) f (x0)=lím
x→ x0
f (x) 
1
2
x2−x−4≠0 y x+5≥0
De la primera restricción calculamos que los valores que no pertenecen al dominio son 
-2 y 4 (resolviendo por Bhaskara)
De la segunda restricción obtenemos que los valores de x deben ser mayores o iguales 
que -5
Entonces el dominio es:
Dom= [−5 ;−2 ]∪(−2 ;4 )∪(4 ;+∞ )
Los puntos de discontinuidad son x=-2 y x= 4
Continuidad en x= 4
1º] f ( 4 )=∄
2º] Lím
x→ 4 (
√x+5−3
1
2
x2−x−4 )=
0
0
Para resolver esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por el conjugado del 
numerador
Lím
x→ 4 (
√x+5−3
1
2
x2−x−4
. √
x+ 5+3
√x+ 5+3 )
Lím
x→ 4
[ (√x+ 5 ) ²−32]
( 12 x
2−x−4). (√ x+5+3 )
Factoreamos el polinomio del denominador y resolvemos los cuadrados del numerador
Lím
x→4 [
x+ 4
1
2
. ( x+4 ) . ( x+2 ) . (√x+5+3 ) ]
22
Simplificamos y calculamos 
Lím
x→ 4 (
1
1
2
. 6 .6 )=
1
36
Para x = 4, la función no existe pero el límite sí, por lo tanto la función presenta una 
discontinuidad evitable en x=4
Continuidad en x = -2
1º] f (−2 )=∄
2º] Lím
x→−2 (
√ x+5−3
1
2
x2−x−4 )=
√3−3
→0
=∞
Como el límite no existe, la funcióntiene una discontinuidad esencial en x = -2
23
Ejemplo 2
Hallar k∈ℝ para que la función sea continua en x = 6
3x2−15 x−18
x²−36
 si x<6
 f(x) =
(k+1 ) . x
x−2
 si x≥6
Planteamos las condiciones para la continuidad:
1º] f (6 )=
(k+1 ) . 6
6−2
=
3
2
(k+ 1 )
Para calcular el límite para x tendiendo a 6, tenemos que plantear los límites laterales:
Lím
x→ 6⁻(
3x2−5x−6
x2−36 )=
0
0
Para salvar la indeterminación, factoreamos:
Lím
x→ 6⁻(
3 ( x−6 ) (x+ 1 )
( x−6 ) . ( x+ 6 ) ) simplificamos y reemplazamos
Lím
x→ 6⁻(
3 .7
12 )=
7
4
Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales 
3
2
(k+ 1 )=
7
4
k+1=
7
6
k=
1
6
Para este valor de k, la función queda definida como:
24
3x2−15 x−18
x²−36
 si x<6
 f(x) =
7
6
x
x−2
 si x≥6
Y se cumplen las tres condiciones para que la función sea continua en x = 6:
1º] f (6 )=
7
6
.6
6−2
=
7
4
2º] Lím
x→6
f ( x )=
7
4
3º] f (6 )=Lím
x→6
f ( x ) 
25
RM5 - Continuidad
https://youtu.be/gTAsW1Su5Pw