Capitulo 1 (F1) (3) - Carla Justiniano

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Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología. 
 
1 
M. Arias 
 
Capítulo 1: Conjuntos Numéricos. Ecuación de una recta 
El conocimiento de los elementos que constituyen los conjuntos numéricos permite identificar a 
qué conjunto pertenece un determinado número. 
Conjunto de Números Naturales 
Los números naturales son los que se utilizan para contar, para numerar… 
 Simbólicamente:  ...4,3,2,1=N es un conjunto infinito (no hay un último número) 
Ejemplos: 
Numeración de hojas en un libro 
 
 
Numerar posiciones en una fila 
 
 
Contar surcos en un sembrado 
 
El cero 
El número cero (0) surge para dar solución la diferencia entre dos números naturales iguales. 
Simbólicamente:𝑂 = {0} Conjunto unitario, cuyo elemento es el cero. 
Conjunto de Números Enteros Negativos 
Los números enteros negativos surgen para dar solución a la sustracción de números naturales 
cuando el minuendo es menor que el sustraendo. 
Simbólicamente: 𝑍− = {… , −3, −2, −1}es un conjunto infinito (no hay un primer número) 
Conjunto de Números Enteros 
El conjunto de los números enteros resulta de la unión de los tres conjuntos anteriores: 
𝑍 = 𝑍− ∪ {0} ∪ 𝑁 
De modo que: 𝑍 = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
Ejemplos:3 ∈ 𝑁en consecuencia ;3 Z ;2 Z− pero ;2 N− 
Conjunto de Números Racionales 
El conjunto de los números racionales tiene como elementos a los números fraccionarios y los 
números enteros: FZQ = 
Por comprensión se define como: 






== 0,/ nZnZm
n
m
rQrQ 
Ejemplos:
2
5
; 
2
1
− ; 2− son números racionales y se representan en la recta numérica. 
 
Capítulo 1 
2 
M. Arias 
 
Conjunto de Números Irracionales 
Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como una fracción. 
Se simbolizan con la letra I 
Ejemplos: 3 ; ; 𝑒;….( 3 1.7320...; π 3.1415…; e  2.7182….) 
Conjunto de Números Reales 
El conjunto de los números reales es un conjunto infinito cuyos elementos son los números 
racionales e irracionales. 
Se simbolizan con la letra R 
IQR = 
Ejemplo: Z− 2 en consecuencia Q− 2 de modo que R− 2 y N− 2 
I entonces, R sin embargo, Q 
Representación gráfica 
Los números reales se representan en la recta real. Cada punto de la recta real representa un 
número real. 
 
Esquemáticamente se interpreta la constitución de los números reales del siguiente modo: 
 
Orden entre dos números reales 
Si a y b son dos números reales, entonces exactamente una de las siguientes proposiciones es 
verdadera. 
a= b a < b a > b 
 
El valor de a coincide con b El número a se ubica a la 
izquierda de b 
El número a se ubica a la 
derecha de b 
Capítulo 1 
3 
M. Arias 
 
Intervalos numéricos 
Un intervalo numérico es un subconjunto de números reales. 
Simbólicamente: RI  
Su representación gráfica es un segmento de recta, una semirrecta o la misma recta real. 
Intervalos abiertos 
Es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números, que no pertenecen a dicho 
conjunto. 
Simbólicamente: 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} se entiende que Ia y Ib 
Expresado en notación de intervalo: ),( baI = 
Gráficamente: 
 
Ejemplo: 𝐼 = (−3, 2) 
 
Intervalos cerrados 
Es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números pertenecientes a dicho 
conjunto. 
Simbólicamente: 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} se entiende que Ia y Ib 
Expresado en notación de intervalo: 𝐼 = [𝑎, 𝑏] 
Gráficamente: 
 
Ejemplo: 𝐼 = [
4
3
, 4] 
Intervalos semi-abiertos o semi-cerrados 
Es un conjunto de números reales comprendidos entre dos valores, tales que uno de los valores 
extremos del intervalo no pertenece a dicho conjunto. 
Semi-abierto 
Simbólicamente: 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
Expresado con notación intervalo:  )baI ,= 
Gráficamente: 
Semi-cerrado 
Simbólicamente: 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
Expresado con notación intervalo: ( baI ,= 
Gráficamente: 
Capítulo 1 
4 
M. Arias 
 
Intervalos infinitos 
Es un conjunto de números reales mayores o menores que un cierto valor o bien, todos los números 
reales. 
Gráficamente se representan con semirrectas o la misma recta real. 
Intervalo Notación de Intervalo Gráfica 
 axRxI = / 
𝐼 = (𝑎, ∞) valores mayores que 𝑎. 
Observar que Ia 
 
 axRxI = / 
𝐼 = [𝑎, ∞) valores mayores o iguales al nº 𝑎. 
Es decir, Ia 
 axRxI = / 𝐼 = (− ∞, 𝑎) valores menores al nº 𝑎. 
 axRxI = / 𝐼 = (−∞, 𝑎] valores menores o iguales al nº 𝑎. 
 RxI = 𝐼 = (−∞, ∞) 
 
Propiedades de los números reales 
Sean Ra ; Rb ; Rc 
Conmutativa De la adición: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
 De la multiplicación: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 
Asociativa De la adición: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 
 De la multiplicación: 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 
Identidad (elemento neutro) Aditiva: 𝑎 + 0 = 𝑎, siendo 0 (neutro aditivo) 
 Multiplicativa: 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, siendo 1(neutro multiplicativo) 
Inverso Aditivo: 𝑎 + (−𝑎) = 0 siendo" − 𝑎"(inverso aditivo) 
 Multiplicativo: 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1siendo 𝑎 ≠ 0 y 
1
𝑎
 (inverso multiplicativo) 
Distributiva De la suma con respecto a la multiplicación: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 
 De la multiplicación con respecto a la suma: 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 
Propiedades del orden 
Sean Ra ; Rb ; Rc 
1) Si 𝑎 = 𝑏  𝑐 ∈ 𝑅  𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 
2) Si 𝑎 = 𝑏  𝑐 ∈ 𝑅  𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 y 
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑐
 con 𝑐 ≠ 0 
3) Si 𝑎 ∙ 𝑏 = 0  (𝑎 = 0  𝑏 = 0) 
4) Si 𝑎 < 𝑏  𝑐 ∈ 𝑅  𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 
5) Si 𝑎 > 𝑏  𝑐 ∈ 𝑅  𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 
Capítulo 1 
5 
M. Arias 
 
6) Si 𝑎 < 𝑏  𝑐 > 0  𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 y 
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
 
7) Si 𝑎 > 𝑏  𝑐 > 0  𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 y 
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
 
8) Si 𝑎 < 𝑏  𝑐 < 0  𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 y 
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
 
9) Si 𝑎 > 𝑏  𝑐 < 0  𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 y 
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
 
10) Si 𝑎 < 𝑏  𝑏 < 𝑐  𝑎 < 𝑐 
11) Si 𝑎 ∙ 𝑏 < 0  (𝑎 > 0  𝑏 < 0)  (𝑎 < 0  𝑏 > 0) 
12) Si 𝑎 ∙ 𝑏 > 0  (𝑎 > 0  𝑏 > 0)  (𝑎 < 0  𝑏 < 0) 
13) Si 
𝑎
𝑏
≤ 0  (𝑎 ≤ 0  𝑏 > 0)  (𝑎 ≥ 0  𝑏 < 0) 
14) Si 
𝑎
𝑏
≥ 0  (𝑎 ≥ 0  𝑏 > 0)  (𝑎 ≤ 0  𝑏 < 0) 
Observación: Las propiedades de 8 y 9 expresan que: “si se multiplica o divide en una desigualdad 
por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad”. 
Ejemplo 1: Expresar la solución en notación de intervalo numérico. ¿Cuáles son los valores de 𝒙 
que satisfacen las siguientes desigualdades? 
a) 2𝑥 + 3 (4 −
1
2
𝑥) ≥
5
2
 b) 
4−𝑥
𝑥+1
− 2 > 0 
Desarrollo: 
a) 2𝑥 + 12 −
3
2
𝑥 ≥
5
2
 (por propiedad distributiva) 
 (2𝑥 −
3
2
𝑥) + 12 − 12 ≥
5
2
− 12 (por propiedad asociativa e identidad aditiva) 
 Resolviendo las operaciones correspondientes: 
𝟏
𝟐
𝒙 ≥ −
𝟏𝟗
𝟐
 
 2 ∙
1
2
𝑥 ≥ 2 ∙ (−
19
2
) (inverso multiplicativo)  19−x  )−= ,19S 
 
b) 
4−𝑥
𝑥+1
− 2 > 0 
4−𝑥−2(𝑥+1)
𝑥+1
> 0 (suma de fracciones) 
4−𝑥−2𝑥−2
𝑥+1
> 0 (propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma) 
Luego 
2−3𝑥
𝑥+1
> 0 
Aplicando propiedad de desigualdad de un cociente. 
0103201032 +−+− xxxx 
Despejando 𝒙 en cada desigualdad y realizando la operación entre los conjuntos resultantes: 
123123 −−−−−− xxxx 
1)2.(
3
1
)3.(
3
1
1)2.(
3
1
)3.(
3
1
−−





−−





−−−





−−





− xxxx 
Capítulo 1 
6 
M. Arias 
 
En la primera posibilidad se tiene: 1
3
2
− xx 
 
Los valores de x que cumplen las dos condiciones resultan de la intersección entre los conjuntos: 
3
2
1 − x
 
En la segunda posibilidad se tiene: 1
3
2
− xx 
 
La intersección entre los conjuntos es vacía: Ø. 
Finalmente, de la unión entre los conjuntos resulta: 





−=
3
2
,1S 
 
Ejemplo 2: La temperatura T en °C a una distancia𝑥 metros del centro de una 
fogata está dada por 𝑇 =
600000
𝑥2+300
 . Calcule las posibles distancias para las que desde 
el centro de la fogata la temperatura es menor de 500°C. 
Planteo y resolución: 
Temperatura < 500°C ; distancia: 𝑥 
 𝑇 < 500° ; 𝑥 > 0 
 
600000
𝑥2+300
< 500  𝑥 > 0 ;  
600000
𝑥2+300
− 500 < 0  𝑥 > 0 
 
600000−500𝑥2−150000
𝑥2+300
< 0  𝑥 > 0 
 
450000−500𝑥2
𝑥2+300
< 0  𝑥 > 0 (Como el denominador es positivo, solo el numerador es negativo) 
 450000 − 500𝑥2 < 0  𝑥 > 0 
 900 − 𝑥2 < 0  𝑥 > 0 (se dividió por 500) 
 (30 − 𝑥)(30 + 𝑥) < 0  𝑥 > 0 (por factorización: diferencias de cuadrados) 
Aplicando propiedad de desigualdades, resulta: 
(30 − 𝑥 > 0  30 + 𝑥 < 0  30 − 𝑥 < 0  30 + 𝑥 > 0 )  𝑥 > 0 
 ( 30 > 𝑥  𝑥 < −30  30 < 𝑥  𝑥 > −30 )  𝑥 > 0 
 (𝑥 < −30  𝑥 > 30 )  𝑥 > 0 
Siendo 𝑥 > 0  𝑥 > 30 
Respuesta: La distancia debe ser superior a 30 metros. 
Capítulo 1 
7 
M. Arias 
 
Puntos en el Plano 
Una recta real vertical que se corta con otra recta real horizontal constituye un sistema de 
coordenadas cartesianas o rectangulares, el plano se divide en cuatro regiones denominadas 
cuadrantes y el punto de intersección de las rectas es el origen de coordenadas: 𝑃(0, 0) 
 
I, II, III, IV cuadrantes. 
𝑥 e 𝑦 coordenadas de cada punto del plano. 
Rx e Ry 
Par ordenado ( )yx, : donde “𝑥” recibe el nombre de primera 
componente e “𝑦” segunda componente. 
Cada punto del plano queda identificado por sus coordenadas 
),(
11
yxP donde, 
1
x es la abscisa e 
1
y la ordenada del punto P. 
Ejemplo: Ubicar en el plano los puntos )1,2(−P ; )0,2(Q ; )1,1(S ; )2,1( −T ; )3,0( −R 
 
.cuadranteIIP 
.cuadranteIS 
.abscisaslasdeejeelenubicaseQ 
.cuadranteIVT 
.ordenadaslasdeejeelenubicaseR 
.cuadranteningúnapertenecennoQyR 
 
Distancia entre dos puntos. 
Sean ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ dos puntos del plano, la distancia entre los mismos se calcula mediante 
la fórmula: ( ) ( ) ( )212212 yyxxPQd −+−= 
 
Deducción de la fórmula: 
Considerando al triángulo rectángulo

PRQ : 
Hip.: 𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ); Cat.1: 𝑑(𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ) y Cat.2: 𝑑(𝑃𝑅̅̅ ̅̅ ) 
Teorema de Pitágoras: 
𝐻𝑖𝑝.2 = 𝐶𝑎𝑡12 + 𝐶𝑎𝑡22 
[𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ )]2 = [𝑑(𝑄𝑅̅̅ ̅̅ )]2 + [𝑑(𝑃𝑅̅̅ ̅̅ )]2 
[𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ )]2 = (𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ) = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2  Fórmula 
 
Capítulo 1 
8 
M. Arias 
 
Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos )2,1(−P y )1,3( −Q . 
Coordenadas de 𝑃: 𝑥1 = −1; 𝑦1 = 2 y coordenadas de 𝑄: 𝑥2 = 3; 𝑦2 = −1 
( ) ( ) ( ) 212212 yyxxPQd −+−= 
( ) ( ) ( ) 22 21)1(3 −−+−−=PQd 
( ) ( ) ( ) 22 313 −++=PQd 
( ) 916+=PQd 
( ) 25=PQd 
( ) longituddeunidadesPQd 5= 
 
 
Gráficamente:
 
 
Punto medio de un segmento de recta. 
Sean ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ puntos extremos de un segmento PQ . El punto medio ),( MM yxM
tiene como coordenadas: 
2
21
xx
x
M
+
= e 
2
21
yy
y
M
+
=
 
Deducción de las coordenadas: 
Considerando el gráfico se observa que las distancias de los segmentos 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ y 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ son iguales, 
entonces: ( ) ( )MQdPMd = 
Además, 𝑑(𝑃𝑆̅̅̅̅ ) = 𝑑(𝑀𝑅̅̅ ̅̅̅) (1)  𝑑(𝑀𝑆̅̅ ̅̅ ) = 𝑑(𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ) (2) 
Siendo 𝑑(𝑃𝑆̅̅̅̅ ) = 𝑥𝑀 − 𝑥1; 𝑑(𝑀𝑅̅̅ ̅̅̅) = 𝑥2 − 𝑥𝑀; 𝑑(𝑀𝑆̅̅ ̅̅ ) = 𝑦𝑀 − 𝑦1 ; 𝑑(𝑀𝑆̅̅ ̅̅ ) = 𝑦2 − 𝑦𝑀 
 
Reemplazando en las igualdades (1) y (2) 
𝑑(𝑃𝑆̅̅̅̅ ) = 𝑑(𝑀𝑅̅̅ ̅̅̅)  𝑑(𝑀𝑆̅̅ ̅̅ ) = 𝑑(𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ) 
 MM xxxx −=− 21  MM yyyy −=− 21 
21 xxxx MM +=+  21 yyyy MM +=+ 
212 xxxM +=  212 yyyM += 
Despejando: 

+
=
2
21 xxxM abscisa 

+
=
2
21 yyyM ordenada. 
Punto medio 




 ++
→
2
,
2
2121
yyxx
M 
Capítulo 1 
9 
M. Arias 
 
Ejemplo 1: Obtener el punto medio del segmento PQ
cuyos puntos extremos son )2,1(−P y )1,3( −Q . 





 ++
2
,
2
2121 yyxxM 
Reemplazando las coordenadas de cada punto: 





 +−+−
2
21
,
2
31
M  





2
1
,1M 
Gráficamente: 
 
Ejemplo 2: Determine las coordenadas del punto extremo del segmento PQ de origen )1,5( −P y 
su punto medio es )1,3(M . 
Las coordenadas del punto medio son: 
𝑥1+𝑥2
2
= 𝑥𝑚 y 
𝑦1+𝑦2
2
= 𝑦𝑚 siendo, 𝑥𝑚 = 3 𝑒 𝑦𝑚 = 1 
Reemplazando las coordenadas de )1,5( −P en x1 e y1: 
Se obtienen las igualdades: 
5+𝑥2
2
= 3 y 
−1+𝑦2
2
= 1 
Despejando las coordenadas x2 e y2 se obtiene: 12 =x e 32 =y  ( )3,1Q . 
Ejemplo 3: La distancia entre los puntos 𝑃(1, 5) y 𝑄(−3, 𝑦) es de 5 cm. Obtenga las posibles 
posiciones del punto 𝑄, calculando el valor de sus ordenadas. 
𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ) = 5  5 = √(1 + 3)2 + (5 − 𝒚)2 
25 = (1 + 3)2 + (5 − 𝒚)2 
25 = 16 + 25 − 10𝑦 + (−𝒚)2 
0 = 16 − 10𝒚 + 𝒚2 
𝑦1 = 2 e 𝑦2 = 8  𝑄1(−3,2) y 𝑄2(−3,8) 
 
 
Ecuación de una Recta 
Ecuación explícita de una recta 
La expresión bmxyr +=: con RbRm  es la ecuación explícita de una recta .r 
m : Pendiente de la recta y :b Ordenada al origen. 
Pendiente 
La pendiente de una recta se define como: ̂tgm = siendo ̂ el ángulo positivo que forma la recta 
r con el eje de las abscisas (̂ se mide desde el eje x en sentido antihorario). 
Si 0m el ángulo varía º180ˆº0  con º90ˆ  , las gráficas ilustran la situación: 
Capítulo 1 
10 
M. Arias 
 
 
Las pendientes son positivas 0m 
Las rectas representan aumentos constantes 
 
Las pendientes son negativas 0m 
Las rectas representan disminuciones constantes 
Si 0m la recta representa aumentos constantes y el ángulo ̂ que forma la recta con el eje de las 
abscisas está comprendido º90ˆº0  . 
Si 0m la recta representa disminuciones constantes y º180ˆº90  
Ejemplo: Obtener la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45º con el eje de las abscisas. 
Por definición: ̂tgm = 
 reemplazando el ángulo: º45tgm =  1=m 
Pendiente de una recta a partir de dos puntos. 
Axioma: “Por dos puntos pasa una y solo una recta” 
Sean ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ dos puntos del plano que pertenecen a una recta r . 
Deducción de la expresión: 
Por definición ̂tgm = 
La tangente del ángulo agudo ̂ del triángulo 
rectángulo 

PRQ es: 
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑑(𝑅𝑃̅̅ ̅̅ ) y 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑑(𝑅𝑃̅̅ ̅̅ ) 
Siendo: 𝑑(𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ) = 𝑦2 − 𝑦1  𝑑(𝑅𝑃̅̅ ̅̅ ) = 𝑥2 − 𝑥1 
Reemplazando: 
12
12ˆ
xx
yy
tg
−
−
= en consecuencia: 
12
12
xx
yy
m
−
−
= 
xencambio
yencambio
xx
yy
m


−
−
=
12
12 , pendiente expresada como una razón de cambio. 
Siendo: yyy =−
12
 variación o incremento de la ordenada “𝑦”. 
 
xxx =−
12
variación o incremento de la abscisa “𝑥”. 
De modo que la pendiente se puede expresar: 
x
y
m


= 
Capítulo 1 
11 
M. Arias 
 
Significado: Cuando “𝑥”aumenta ∆𝑥, la ordenada “𝑦” aumenta o disminuye una cantidad y 
Ejemplos: Si
2
3
=m significa que cada 2 unidades que aumenta la abscisa “𝑥 , la ordenada “𝑦” 
aumenta 3 unidades. 
Si 2−=m significa que cada 1 unidad que aumenta la abscisa “𝑥”, disminuye 2 unidades la 
ordenada “𝑦”. 
Ordenada al origen 
La ordenada al origen: es el valor de 𝑦 cuando 𝑥 = 0 y corresponde a la ordenada del punto donde 
la recta interseca al eje de las ordenadas. 
El punto tiene coordenadas 𝑃(0, 𝑏) 
 
Ordenadas al origen: 
En la recta r1: 01 b 
En la recta r2: 02 b 
En la recta r3: 03 =b 
Puntos de intersección con el eje de las ordenadas son: 
),0(
1
bP ; ),0(
2
bQ ; )0,0(R 
 
Ejemplo: Un geólogo usa una sonda para medir la temperatura 𝑇(en º𝐶) del suelo, a distintas 
profundidades debajo de la superficie y se determina que a una profundidad de 𝑥 cm la 
temperatura se modela con la ecuación 𝑇 = 0.08𝑥 − 4. 
a) ¿Cuál esla temperatura a una profundidad de un 1 metro? 
𝑥 = 1𝑚  𝑇 = 0.08 
°𝐶
𝑚
. (1𝑚) − 4°𝐶 la temperatura a una profundidad de 1 m es de −3.92°𝐶 
b) En el contexto en del problema, ¿qué representa la pendiente, la intersección en 𝑥 y la 
intersección en 𝑇 de la recta? 
Pendiente = 0.08  𝑚 =
8
100
(
°𝐶
𝑚
) 
Significa que por cada 100 metros que aumenta la profundidad la temperatura aumenta 8°C. 
Intersección con x: T=0 (0 = 0.08𝑥 − 4  50 = 𝑥) 
Significa que a una profundidad de 50 metros la temperatura es de 0°C. 
Intersección con T: x=0 (𝑇 = 0.08 (0) − 4  𝑇 = −4) 
Significa que a una profundidad 0 metros (nivel del suelo) la temperatura es de -4°C. 
c) ¿Cuál sería la profundidad cuando la temperatura es de 10°C? 
10°𝐶 = (
8°𝐶
100𝑚
) 𝑥 − 4°𝐶  14°𝐶. (
100𝑚
8°𝐶
) = 𝑥  175𝑚 = 𝑥 
 
 
Las rectas con 0m 
representan aumentos o 
disminuciones constantes. 
 
Capítulo 1 
12 
M. Arias 
 
Rectas horizontales 
Si �̂� = 0° , la 𝑡𝑔0° = 0  𝑚 = 0 y la recta es horizontal, siendo su ecuación: by = con Rb 
Ejemplo 1: Graficar la recta 
2
3
: =yr 
 
 
 
Ejemplo 2: ¿Cuál es la recta horizontal que pasa por el punto ?)2,1( −P 
Si − rP )2,1( 2−=y  2: −=yr 
 
 
 
 
Rectas verticales 
Las rectas verticales forman un ángulo recto con el eje de las abscisas (eje 𝑥) y la tangente del 
ángulo recto no está definida, por lo tanto, la pendiente de dichas rectas no está definida. 
La ecuación de las rectas es: cx = con Rc . 
Gráficamente 
 
Expresión de una recta a partir de un Punto y la Pendiente u Ordenada al origen. 
Información: Pendiente (valor de m ) u ordenada al origen (valor de b ) y un punto ryxP ),( 11 . 
Procedimiento: 
1º. Reemplazar el valor de la pendiente o de la ordenada al origen según corresponda en la 
expresión de la recta𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
2º. Reemplazar las coordenadas del punto en la expresión de la recta y se obtiene el valor de m 
o b según corresponda. 
3º. Escribir la ecuación la recta correspondiente. 
Ejemplo: Obtenga la expresión de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por )2,3(−P . 
1º Reemplazar el valor de la pendiente: 𝑚 = 2 
bmxyr +=: bxy += 2 
Capítulo 1 
13 
M. Arias 
 
2º Reemplazar las coordenadas del punto en la expresión de la recta. 
𝑃(−3, 2) ∈ 𝑟  2 = 2 ∙ (−3) + 𝑏  2 = −6 + 𝑏  b=+ 62  b=8 
3º La ecuación es: 𝑦 = 2𝑥 + 8 
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 
Información: Los puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) ∈ 𝑟 y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) ∈ 𝑟. 
Procedimiento: 
1º Determinar la pendiente de la recta r utilizando la expresión𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 . 
2º Aplicar el procedimiento anterior, Punto-Pendiente, para obtener la expresión de r . 
3º Escribir la ecuación la recta. 
Ejemplo: ¿Cuál es la expresión de la recta que pasa por los puntos )2,3(−P y )2,1( −Q ? 
1º Determinar la pendiente de la recta r : 
12
12
xx
yy
m
−
−
=
)3(1
22
−−
−−
=m
31
4
+
−
= m  1−=m 
2º Obtener el valor de b reemplazando, en la ecuación de la recta, las coordenadas de 
cualesquiera de los puntos. 
 brP +−−=− )3(12)2,3( 
2 = 3 + 𝑏  2 − 3 = 𝑏  −1 = 𝑏 
3º La ecuación de 𝑟 es: 𝑦 = −𝑥 − 1 
Ecuación general o implícita de la recta 
La ecuación general de una recta es: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 siendo RA ; RB y RC  con A y B
no simultáneamente nulos. 
1) Si 0A ; RCB  0 
0=++ CByAx 
Despejando “𝑦” de la ecuación general se obtiene la ecuación explícita de la recta: 𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
 
donde: 𝑚 = −
𝐴
𝐵
  𝑏 = −
𝐶
𝐵
 
Ejemplo: ¿Cuáles son los posibles valores de los parámetros 𝐴, 𝐵 y 𝐶 para que la recta represente 
aumentos constantes y pase por el origen de coordenadas? 
Condición: 0m y 0=b 
Haciendo: 00 =−−
B
C
B
A
 
Por propiedad: 0)1()1( −





−−
B
A
 
𝐴
𝐵
< 0por propiedad: (𝐴 > 0 𝐵 < 0)(𝐴 < 0 𝐵 > 0) 
Capítulo 1 
14 
M. Arias 
 
Además, 0=
B
C
 siendo 0B entonces 0=C 
Respuesta: Los valores de A y B deben tener distinto signo y C nulo. 
2) Si 0=A ; RCB  0 
Con 0=A la ecuación general resulta: 0=+CBy 
Despejando “𝑦” de la ecuación:𝑦 = −
𝐶
𝐵
siendo la ordenada al origen: 𝑏 = −
𝐶
𝐵
 
Las rectas son horizontales ( 0=m ). 
3) Si 0A ; RCB = 0 
Con 0=B la ecuación general resulta: 0=+CAx 
Despejando “x” de la ecuación: 𝑥 = −
𝐶
𝐴
 
Las rectas son verticales y forman con el eje de las abscisas un ángulo recto. 
Rectas paralelas 
Dos rectas 1r y 2r , no verticales, son paralelas si sus pendientes son iguales. 
Condición de paralelismo 
Sean 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += , entonces 2121 // mmrr = 
Gráfica 
 Demostración 1 
 Si 𝛼1̂ = 𝛼2̂  𝑟1// 𝑟2 
 La pendiente de cada recta es: 
 De 𝑟1: 𝑡𝑔𝛼1̂ = 𝑚1; de 𝑟2: 𝑡𝑔𝛼2̂ = 𝑚2 
 Los ángulos 𝛼1̂ = 𝛼2̂entonces: 
 𝑡𝑔𝛼1̂ = 𝑡𝑔𝛼2̂ 
 En consecuencia: 𝑚1 = 𝑚2 
 
Gráfica 
 
La recta auxiliar 𝑥 = 𝑥1 no coincide con 
el eje de las ordenadas (𝑥1 ≠ 0) 
Demostración 2 
Si 2121 // ddrr = 
Siendo: ( )PQdd =1 y ( )RSdd =2 ( ) ( )  1RSdPQd = 
Calculando las distancias: ( ) 21 yyPQd −=
( ) )( 212111 bxmbxmPQd +−+= y ( ) 21 bbRSd −= 
Reemplazando en  1 : 
21212111 bbbxmbxm −=−−+ 
Los términos 1b y 2b se cancelan y resulta: 
01211 =− xmxm  0)( 211 =−mmx factor común 1x 
Por propiedad: 021 =−mm 
En consecuencia: 21 mm = 
Capítulo 1 
15 
M. Arias 
 
Ejemplo: Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto 𝑃 (−
1
2
,
1
3
) y es paralela a la 
recta 𝑟1: 𝑦 =
2
3
𝑥 +
3
4
 
Si 𝑟1: 𝑦 =
2
3
𝑥 +
3
4
 es paralela a una recta 222 : bxmyr += se cumple: 21 mm = . 
 3
2
2 = m 2
3
2
bxy += 
𝑃 (−
1
2
,
1
3
) ∈ 𝑟2  
1
3
=
2
3
(−
1
2
) + 𝑏2 
Despejando :2b 
 
22
3
2
3
1
3
1
bb ==+ 
La ecuación de 𝑟2 es 𝑦 =
2
3
𝑥 +
2
3
 
Rectas coincidentes 
Dos rectas 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += son coincidentes si 21 mm = y 21 bb = . 
Ejemplo: Las 52:1 +−= xyr y kxkyr 23)3(:2 −+−−= son coincidentes, ¿Cuál es el valor de 
k para que ello suceda? 
Las rectas son coincidentes 21 mm = y 21 bb = 
La pendiente y ordenada de cada recta son: 
21 −=m y km −−= 32 ; 51 =b y kb 232 −= 
Igualando: si 21 mm = entonces, k−−=− 32 (1) 
Si 21 bb = entonces, k235 −= (2) 
Despejando en (1): −1 = 𝑘 
Despejando en (2): −1 = 𝑘 
Respuesta: Las rectas son coincidentes si 1−=k 
Verificación: )1(23))1(3(:2 −−+−−−= xyr 52:2 +−= xyr 
Rectas secantes o concurrentes 
Dos rectas 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += son secantes o concurrentes si 21 mm  . 
(son rectas que se intersecan en un punto) 
 
Rectas secantes 
21 mm  
Perpendiculares (al cortarse forman un ángulo recto) 
Oblicuas (al cortarse no forman un ángulo recto) 
 
Capítulo 1 
16 
M. Arias 
 
Rectas perpendiculares 
Dos rectas secantes, 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += (con 01 m y 02 m ), son 
perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a menos uno ( 1. 21 −=mm ). 
Condición de perpendicularidad 
Sean 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += , entonces 12121 −=⊥ mmrr 
Gráfica 
 
Demostración 
Las rectas consideradas pasan por el origen de 
coordenadas xmyr
11
: = ; xmyr 22 : = 
De modo que: 111 xmy = e 122 xmy = 
En el triángulo rectángulo 

POQ 
( )PQdhipotenusa = siendo ( ) 21 yyPQd −= 
Reemplazando 1y e 2y : ( ) 1211 xmxmPQd −=  1 
Sus catetos son: ( )OQdC =1 y ( )OPdC =2 
Por teorema de Pitágoras: 
[𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ]2=[𝑑(𝑂𝑄̅̅ ̅̅ ]2 + [𝑑(𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ]2 [2] 
En el triángulo rectángulo 

ORQ :
hipotenusaC =1 y por teorema de Pitágoras: 
( )  21221
2
)( xmxOQd +=  3 
En el triángulo rectángulo 

ORP : 
hipotenusaC =2 y por teorema de Pitágoras: 
( )  21121
2
)( xmxOPd +=  4 
Reemplazando  1 ,  3 y  4 en  2 :   211
2
1
2
12
2
1
2
1211 )()( xmxxmxxmxm+++=− 
 [𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ]2 [𝑑(𝑂𝑄̅̅ ̅̅ ]2 [𝑑(𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ]2 
Luego, se desarrolla el cuadrado del binomio y se aplican propiedades de potencias: 
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
21211
2
1
2
1 22 xmxmxxmxmxmxm ++=+− 
Cancelando los términos correspondientes se obtiene: 
2
11211 22 xxmxm =−
2
1
2
121
22 xxmm =− 
Siendo 01 x se divide en 
2
12x− y resulta: 121 −=mm 
Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a: 𝑦 = −
1
2
𝑥 − 3 que pasa por 𝑃 (
1
2
, 5)? 
Si 3
2
1
:1 −−= xyr es perpendicular a una recta 222 : bxmyr += se cumplirá: 121 −=mm . 
1)
2
1
( 2 −=− m despejando: 22 =m 
Capítulo 1 
17 
M. Arias 
 
 
De modo que: 22 bxy += 
22
2
1
255,
2
1
brP +





=





 
Despejando :2b 
22 415 bb ==−  42:2 += xyr . 
 
 
 
Rectas oblicuas 
Dos rectas secantes, 111 : bxmyr += y 222 : bxmyr += , son oblicuas si el producto de sus 
pendientes es distinto a menos uno ( 1
21
−mm ) 
Ejemplo: Las rectas 3
8
1
:1 +−= pxyr , y 12:2 −= pxyr son oblicuas ¿cuál es el valor o 
valores de p para que ello suceda? 
pm
8
1
1 −= pm 22 = por condición se debe cumplir que:  21 mm 121 −mm 
Reemplazando: − pp 2
8
1
12
8
1
−− pp 
00
8
17
02
8
1
−−− pppp
 
Además, 2441
4
1 22 −− pppp
 
Para que las rectas al cortarse no formen un ángulo recto p debe ser distinto de: 0, 2 y 2− . 
Considerando algunos valores permitidos de 𝑝 las ecuaciones de las rectas correspondientes son: 
Si 4=p  3
2
1
:1 +−= xyr y 18:2 −= xyr 
Si 1−=p  3
8
1
:1 += xyr y 12:2 −−= xyr 
Tarea 
 
Con GeoGebra, trace las gráficas para los distintos valores de 𝑝 incluyendo 𝑝 = 0 
y confirme los resultados obtenidos en el estudio realizado. 
 
 
¡¡Atención!! 
En este caso, si 𝑝 = 0 
las rectas son 
paralelas. 
 
Capítulo 1 
18 
M. Arias 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina intervalo numérico. Realice una clasificación de los intervalos numéricos 
 ¿Cuándo un conjunto está expresado por comprensión? ¿Cuándo por extensión? 
 ¿Cómo determina la distancia entre dos puntos del plano? Desarrolle el procedimiento para dos 
puntos cualesquiera. 
 Realice la deducción de las coordenadas del punto medio entre dos puntos del plano. 
 Explique cómo determinaría el punto donde se cortan las diagonales de un paralelogramo. 
 Considerando la ecuación general de una recta (𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0), determine las condiciones de 
los parámetros 𝐴, 𝐵, y 𝐶 para que la expresión represente una recta: a) con pendiente distinta de 
cero; b) con pendiente igual a cero; c) vertical. 
 Analice los posibles valores de los parámetros A, B y C de (𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0), para que la recta: 
a) Represente aumentos constantes; 
b) Represente disminuciones constantes; 
c) Sea horizontal positiva; 
d) Sea vertical y corte al eje de las abscisas en un valor negativo. 
 Dada la recta bxmy += , escriba la expresión de la pendiente: 
a) Si conoce el ángulo positivo que forma la recta con el eje de las abscisas; 
b) Si conoce dos puntos pertenecientes a la recta. 
 Indique el significado de la pendiente y de la ordenada al origen. 
 Si el signo de la pendiente es positivo ¿Qué tipo de ángulo forma la recta con el eje de las abscisas? 
 ¿Cuándo dos rectas son paralelas?, ¿Cuándo son coincidentes? Proporcione ejemplos. 
 Considere dos rectas paralelas no verticales y demuestre la condición de paralelismo. 
 ¿Cuándo dos rectas se dicen secantes?, proporcione la condición para sus pendientes. 
 ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares? Proporcione ejemplos. 
 Considere dos rectas perpendiculares 
111
: bxmyr += y 
222
: bxmyr += . Demuestre la condición 
de perpendicularidad. 
 ¿Cuándo se dice que dos rectas son oblicuas? Proporcione ejemplos. 
 Escriba la ecuación de las rectas, vertical y horizontal que pasan por un punto 𝑃(𝑎, 𝑏) 
 Analice y responda proporcionando los fundamentos teóricos o algebraicos si las siguientes 
afirmaciones son correctas: 
a) Si dos rectas son perpendiculares entonces se cortan formando un ángulo recto. 
b) Dos rectas secantes son perpendiculares. 
c) Si 𝑟1: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 3 y 𝑟2: 𝑦 = 1, ∄𝑘 ∈ 𝑅 para que las rectas sean perpendiculares. 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
19 
M. Arias 
 
Ejercitación 
 
 Exprese los siguientes conjuntos en notación de intervalo y grafíquelos 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 3  𝑥 ≠ 0} 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅  𝑥 ≤ 0  𝑥 > 2} 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅  − 1 < 𝑥 < 3} 
 Escriba cada intervalo en notación de conjunto. 
𝐼1 = [2, 6] 𝐼2 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) 𝐼3
= [−4, 7] ∩ (−1, ∞) 
 
 La temperatura del aire se enfría a razón de 1°C por cada 100 
metros de ascenso hasta los 12000 metros. Cuando la temperatura 
del suelo es de 20°C, la expresión para calcular la temperatura en 
función de la altura alcanzada es: 𝑇 = −
1
100
ℎ + 20, (h en metros y 
T en °C). Determine el intervalo de temperatura que se puede 
esperar desde que un avión despega hasta alcanzar una altura de 
5km. ¿Cuál es la temperatura a los 2 km de altura? 
 
 Dados los puntos 𝑃(0, 2𝑘) y 𝑄(5, 0), 𝑘𝑅. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio? 
 El punto medio del segmento con origen en 𝐴 (−1,3) es 𝑀(2, 2). ¿Cuál es el punto extremo del 
segmento? 
 Los puntos extremos del diámetro de una circunferencia son 𝐴(−1, 2) y 𝐵( 5, −3). Determine el 
centro y el radio de la circunferencia. 
 La ecuación de una recta es, 𝑦 − 𝑝𝑥 + 𝑞 = 2𝑦 −
1
2
𝑥 donde 𝑝 y 𝑞 son constantes. Obtenga los 
valores de los parámetros correspondientes de modo que la recta: 
a) Sea horizontal y su ordenada -3. 
b) Tenga pendiente 1 y pase por el origen de coordenadas. 
c) Forme un ángulo de 135º y corte al eje de las abscisas en 2. 
d) Con pendiente y ordenada al origen iguales, interseque al eje de las ordenadas en 4. 
 En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la del aire que está sobre el agua, 
15 𝑙𝑏1/𝑝𝑢𝑙𝑔2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta a razón de 4,34 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 por 
cada 10 pie de descenso. 
a) Obtenga la expresión de la recta que representa el aumento de la presión del agua de acuerdo 
a la profundidad. 
b) En el contexto del problema, ¿Qué representa la pendiente y ordenada de la recta? 
c) ¿A qué profundidad la presión es de 100 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2? 
 Considere la recta 𝑟: 𝑥 + 3𝑦 = 4 −
3
2
𝑥. Determine la ecuación de una recta 𝑟2: 
a) Paralela a r que pase por el punto P(−1,1) 
b) Perpendicular a r que pase por Q (
2
3
, 3). 
 Determine el o los valores de 𝑘 de modo que las rectas 𝑟1: 2𝑦 − 6𝑘𝑥 = 3 y 𝑟2: 3𝑘𝑥 + 3𝑦 = 6 +
2𝑥 resulten: a) secantes; b) paralelas; c) perpendiculares y d) oblicuas. Ilustre cada inciso con 
algunos valores de 𝑘. 
 
 
 
1Libra (lb): unidad de masa equivalente a 0.453 kg. 
Pulgada (pulg): unidad de medida de longitud equivalente a 2.54 cm 
Pie: unidad de medida de longitud equivalente a 30.48 cm