AyGA, 2022, ud-4 - Agostina Salas

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2022 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Unidad 4
 Vectores 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 1 Unidad 4 
 
UNIDAD 4: VECTORES 
 
Dos puntos a y b que pertenecen a una recta R, determinan un segmento denotado por ab . 
 
Si esos dos puntos se dan con un cierto orden, queda determinado un vector. El primer punto 
dado a, se llama origen del vector o punto de aplicación, y el segundo, b, extremo. 
Se llama vector geométrico a todo segmento orientado. Al vector geométrico de origen a y 
extremo b lo podemos escribir: ab
���
 
 
 
Características de un vector 
Un vector queda determinado por su: 
dirección
sentido
módulo o norma





 
 La dirección del vector está determinada por la recta R que lo contiene – llamada recta 
soporte – o la dirección de sus paralelas. 
 El sentido del vector 
→
ab está determinado por el orden de los puntos a y b, origen y 
extremo. Y lo indicamos mediante una punta de flecha situada en un extremo, que muestra 
hacia qué lado de la línea de acción – recta soporte – se dirige el vector. 
 El módulo o norma de un vector es la longitud del vector. Para conocer el módulo de 
un vector es preciso conocer el origen y el extremo del mismo, porque debemos medir desde 
su origen hasta su extremo. En el vector 
→
ab el módulo es la longitud del segmento ab . Al 
módulo del vector 
→
ab lo simbolizamos:
→
|| ab 
 
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 2 Unidad 4 
A partir del conocimiento del módulo podemos definir: 
Vector Nulo o Cero: es aquel vector cuyo módulo es cero y no tiene dirección. Lo denotamos 
como 0.
��
 Simbólicamente 0 0=
��
 
Versor o vector unitario: es todo vector v0 de módulo uno. En símbolos, 0 1v =
���
 
 
Introduciendo un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, podemos trabajar con 
vectores en el plano, que lo denotaremos ( ){ }2 , / ,x y x y= ∈ ���R R (dos dimensiones) o bien, en 
el espacio, es decir ( ){ }3 , , / , ,x y z x y z= ∈ ���R R (tres dimensiones). Para hacer referencia 
simultánea de ambos conjuntos utilizaremos la notaciónV . 
 
 
 
En el plano o 2���R 
Para describir un vector analíticamente en el plano, consideramos un vector con origen en el 
origen de coordenadas (0,0) y como extremo un punto P(x1,y1), es decir ( )1 1,v OP x y= =
� ����
Los 
números 1 1,x y se denominan las componentes del vector .v
�
 En general, cualquier vector en el 
espacio bidimensional puede identificarse con las coordenadas de su extremo. 
 
 
En el gráfico, el vector oa
���
 tiene componentes 4 y 3. Y lo simbolizamos ( )4;3oa =
���
 
 
 
 
a 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 3 Unidad 4 
En el espacio de tres dimensiones o 3���R 
 
El vector 
→
a en el espacio de tres dimensiones también puede expresarse como O P
����
. Por lo 
cual ( )3;3;2a OP= =
� ����
 
 
 
Módulo o norma de un vector en función de sus componentes 
A partir de lo expuesto hasta el momento, veremos cómo calcular el módulo o norma de un 
vector conociendo sus componentes. 
 
En 2R : Dado el vector v op
→ →
= : 
|| v
� es la hipotenusa del triángulo rectángulo 
1 1ex y son los catetos 
Por el teorema de Pitágoras podemos expresar 
2 2 2 2 2
1 1 1 1| | | |v x y v x y= +  = + +
� � 
 
 
En 3R : 2
1
2
1
2
1
|| zyxv ++=� 
 
Por el teorema de Pitágoras, la diagonal O Q 
verifica: 
2 2 2
1 1OQ x y= + 
Para hallar el módulo de v
�
, aplicamos 
nuevamente el teorema mencionado. 
2 22 2 2 2 2
1 1 1| | | |v OQ QP v x y z= +  = + +
� �
 
Finalmente: 
2 2 2
1 1 1| |v x y z= + +
� 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 4 Unidad 4 
Vector libre es el vector que puede trasladarse sin modificar su módulo, su dirección y su 
sentido. 
Igualdad de vectores: dos vectores libres son iguales si tienen igual dirección, sentido y 
módulo. Los vectores iguales se llaman también vectores equipolentes. 
 
En el gráfico los vectores , ,v w z
� �� �
 son equipolentes entre sí y a
�
equipolente a b
�
. 
 
 
Igualdad de vectores en función de sus componentes: dos vectores de V son iguales si se 
verifica la igualdad de sus respectivas componentes. 
En 2���R : Sean ( )1 1;u x y=
�
y ( )2 2;v x y=
�
dos vectores del plano 
1 2 1 2u v x x y y= ⇔ = ∧ =
� �
 
En 3���R : Si ( )1 1 1; ;u x y z=
�
y ( )2 2 2; ;v x y z=
�
dos vectores del espacio. 
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z= ⇔ = ∧ = ∧ =
� �
 
 
 
Vectores opuestos: Un vector 
→
v y otro v
→
− se llaman vectores opuestos si tienen igual 
dirección, módulo y sentidos contrarios. Por lo tanto, los vectores opuestos no son 
equipolentes. 
Si ( ) 21 1;v x y
→
= ∈R , se define su opuesto como ( )1 1;v x y
→
− = − − . De manera análoga se lo 
define en el espacio. 
 
 
OPERACIONES CON VECTORES 
Las operaciones con vectores que estudiaremos en este curso son: 
 Suma de vectores. 
 Resta de vectores. 
 Producto de un vector por un escalar. 
 Producto escalar de vectores. 
 Producto vectorial de vectores. 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 5 Unidad 4 
Suma de vectores 
La suma de dos vectores libres 
→
u y
→
v es otro vector obtenido de la siguiente manera: 
→
u +
→
v 
1. Trasladamos
→
v a continuación de 
→
u , haciendo coincidir origen de 
→
v con extremo de 
→
u . 
2. El origen de la suma 
→
u + 
→
v es el origen de 
→
u . 
3. El extremo de la suma 
→
u +
→
v es el extremo de
→
v . 
Es decir,
→
u +
→
v es el vector que va desde el origen de 
→
u hasta el extremo de 
→
v . 
 
La suma de vectores posee propiedades que serán definidas simbólicamente en la página 9, 
pero consideraremos dos de ellas para realizarlas gráficamente. 
1- La suma de vectores es asociativa: ( ) ( )a b c a b c+ + = + +� �� � � � 
2- La suma de vectores es conmutativa: a b b a+ = +
� �
� �
 
 
Estas propiedades facilitan la realización de la suma de dos o más vectores. 
La propiedad conmutativa permite la utilización de la regla del paralelogramo y la asociativa 
la posibilidad de sumar de a dos cuando tenemos dos o más vectores. 
Si sumamos un vector libre 
→
v con su opuesto 
→
− v obtenemos un vector reducido a un punto 
(su origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo. 
 
 ( ) 0v v+ − =� � � 
 
 
 
 
 
Regla del paralelogramo 
1. Dibujamos los dos vectores 
→
u y 
→
v con el mismo origen. 
2. Completamos un paralelogramo trazando: 
o por el extremo del vector 
→
u un segmento de recta paralelo al vector 
→
v 
o por el extremo del vector 
→
v un segmento de recta paralelo al vector 
→
u 
3. La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido, que tiene 
su origen en el origen común de los dos vectores 
→
u y 
→
v . 
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Álgebra y Geometría Analítica 20226 Unidad 4 
 
 
 
 
Regla de la poligonal 
Conviene utilizarla cuando se suman más de dos vectores: 
1. A partir de un punto, se traza un vector paralelo a uno de los dados, por ejemplo, paralelo 
al vector 
→
u , con igual módulo y sentido que él, al que llamamos '
→
u . 
2. Por el extremo de '
→
u , trazamos un vector paralelo a 
→
x , '
→
x también con igual módulo y 
sentido. 
3. Se trabaja de igual manera con todos los otros vectores, trazando vectores equipolentes a 
los dados, uno a continuación del otro. 
4. El vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último 
vector. 
 
 
Resta de vectores: 
La resta o diferencia entre dos vectores 
→
u y 
→
v se expresa 
→
u – 
→
v y se define como la suma 
del primero de ellos con el opuesto del segundo:
→
u – 
→
v = 
→
u + (
→
− v ) 
Para dibujar la diferencia 
→
u – 
→
v podemos colocar 
→
− v a continuación de 
→
u y unir el origen 
de 
→
u con el extremo de 
→
− v . 
 
 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 7 Unidad 4 
Otro ejemplo: 
 
 
 
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales del 
paralelogramo, la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. 
 
 
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar 
la propiedad asociativa. 
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. 
 
Expresión analítica de la suma y resta de vectores 
Dados los vectores ( ) ( ) 21 1 2 2; ;u x y , v x y
→ →
= = ∈R , se definen la suma y la resta entre 
los vectores 
→→
v u y a los vectores: 
( ) ( ) ( ) yyxxyx yxvu 21212211 ;;; ++=+=+
→→
 ( ) ( ) ( ) yyxxyx yxvu 21212211 ;;; −−=−=−
→→
 
 
De manera similar, se definen estas operaciones en el espacio tridimensional. Sean 
( ) ( ) 31 1 1 2 2 2; ; ; ;u x y z , v x y z
→ →
= = ∈R : 
( ) ( ) ( ) zzyyxxzyxzyxvu 212121222111 ;;;;;; +++=+=+
→→
 
( ) ( ) ( ) zzyyxxzyxzyxvu 212121222111 ;;;;;; −−−=−=−
→→
 
 
La suma (resta) de dos vectores es otro vector cuyas componentes es la suma (resta) de sus 
componentes homólogas. 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 8 Unidad 4 
Ejemplos 
( ) ( )2;13;2 =−=
→→
v ,u 
( ) ( ) ( ) ( )5;123;122;13;2 −=++−=+−=+
→→
 vu 
( )1;3−=−
→→
vu 
 
 
 
 
Propiedades de la suma de vectores 
1. Ley de composición interna: 1 2 1 2 )1v , v : ( v v
→ → → →
∀ ∈ + ∈V V (V es el conjunto de todos 
los vectores libres) 
 
2. Propiedad asociativa: 1 2 3 1 2 3 1 2 3) ), , : ( (v v v v v v v v v
→ → → → → → → → →
+ +∀ ∈ + = +V 
 
3. Existencia de elemento neutro: 0 / :0 0v v v v∃ ∈ ∀ ∈ + = + =
� � � � � � �
V V 
 0 0v v v+ = + =
� � � � �
 v 
 
4. Existencia de elemento simétrico u opuesto: 
 , ( ) / ( ) ( ) 0v v v v v v∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =
� � � � � � �
V V 
 
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 9 Unidad 4 
5. Propiedad conmutativa: 1 2 1 2 2 1, :v v v v v v∀ ∈ + = +
�� ��� �� ��� ��� ��
V� 
 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
Para hallar la distancia entre dos puntos, definiremos previamente las componentes de un 
vector determinado por dos puntos del plano. 
 
VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS 
En 2R 
Los puntos ( )1 1 ,A x y y ( )2 2 ,B x y , determinan los vectores ; yOA OB AB
���� ���� ����
 
Por la suma y resta de vectores es: 
 O A A B O B+ =
���� ���� ���� 
 A B O B O A= −
���� ���� ���� 
Reemplazando por las componentes de los 
vectores: 
2 2 1 1( ; ) ( ; )AB x y x y= −
����
 
Por definición de resta de vectores, 
tenemos: 
2 1 2 1( ; )AB x x y y= − −
����
 
 
El módulo de este vector será: 2 2
2 1 2 1( ) ( )AB x x y y= − + −
����
 
 
Esta fórmula también define la distancia entre dos puntos del plano, es decir, distancia entre 
A y B: 2 22 1 2 1( , ) ( ) ( )d A B x x y y= − + − 
 
 
En 3R 
Si trabajamos de igual forma que en el plano, tendremos que las componentes de un vector 
determinado por dos puntos son: 
2 1 2 1 2 1( ; ; )AB x x y y z z= − − −
����
 
Siendo el módulo de dicho vector: 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )AB x x y y z z= − + − + −
�����
 
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 10 Unidad 4 
Al calcular el módulo del vector determinado por A
��
 y B
��
, estamos calculando la longitud 
del segmento A B y la distancia entre dos puntos en el espacio A y B: 
2 2 2
2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( )d A B x x y y z z= − + − + − 
 
 
 
 
Ejemplo: Dados los puntos A (1; 2; 5) y B (-4; 0; 3) hallar la distancia entre ellos: 
Ocupamos la fórmula obtenida para el espacio: 
( ) ( ) ( )2 2 24 1 0 2 3 5 33AB = − − + − + − =
����
 
La distancia entre los puntos A y B es: 5, 74AB ≅
����
 
 
 
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 
 
Consideramos dos puntos sobre un vector 21PP donde );();( 222111 yxPyyxP 
);( mmm yxP punto medio del segmento 21PP , por lo tanto, es: 1 2 m mPP P P=
����� �����
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 1 2( ; ) ;
2 2m m m
x x y y
P x y
+ + = =  
 
 
1 2
1 2
2
2 1
2
2 1
 
2
2
2
2
m m
m m
m m
m m
x - x x - x
 
y - y y - y
x x
x x x x
y y
y y y y
=
  =
+
 = +  =
+= +  =
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 11 Unidad 4 
 
Ejemplo: 
Determinar el punto medio del segmento de extremos P1(1; 2) y P2(7; 6) 
 
 
( )
1 7
 4 
2
 4;4
2 6
 4
2
m
m
x
P
y
+ = = 


+
= =

 
 
 
 
 
En el espacio tridimensional, las coordenadas del punto medio del segmento que une los 
puntos 
1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ) ( ; ; )P x y z y P x y z son: 
1 2 1 2 1 2( ; ; ) ; ;
2 2 2m m m m
x x y y z z
P x y z
+ + + = =  
 
 
 
 
Producto de un vector por un escalar 
 
Se define el producto de un número real k por un vector 
→
u como el vector que tiene: 
1) Dirección: la misma que 
→
u 
2) Sentido: el mismo que 
→
u , si k es positivo y opuesto 
al de 
→
u , si k es negativo. 
3) Módulo: el módulo es el valor absoluto de k 
multiplicado por el módulo de 
→
u . 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
u.kuk |||| =
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 12 Unidad 4 
De los ejemplos anteriores, vemos que: 
1
0
Sea si
0 1
k k v
k k v
v
k k v
 > 


 < ∈ → 

 < < 

�
�
�
�
V 
 
 
 
Observación: Si k = 0, el vector k. 0u
→ →
= (vector nulo). 
Resumiendo: multiplicar un vector por un número real k equivale a alargar (o encoger) su 
módulo tantas veces como indica el valor absoluto de k, e invertir su sentido si k es negativo. 
El número real k por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar. 
Dos vectores son paralelos si y solo si son múltiplos escalares uno del otro. 
 
Analíticamente, si ( ) 2, ;k v x y∈ = ∈
�
R R el producto escalarvector se define de la siguiente 
manera: ( ). ; ,k v kx ky=� es decir cada componente del vector v queda multiplicada por el 
escalar k. 
Análogamente en ( ) ( )3 : . ; ; ; ; ,k v x y z kx ky kz k= = ∈
�
R R 
 
Ejemplo en 2R : 
( ) ( ) ( )2; 2; 1 . 2. 2; 1 4;2k v k v= =  = =
� �
 
 
( ) ( ) ( )1; 2; 2 . 1. 2; 2 2; 2k u k u= − =  = − = − −
� �
 
 
 
Propiedades del producto de un vector por un escalar: 
1. Ley de composición externa: , :k v k v∀ ∈ ∀ ∈ ∈
� �
R V V 
2. Asociatividad mixta: 1 2 1 2 1 2, , : ( . ) ( . )k k v k k v k k v∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⋅
� � �
R V 
3. Propiedad distributiva del producto de un vector respecto a la suma de escalares: 
 1 2 1 2 1 2:( )k ,k , v k k v k v k v∀ ∈ ∀ ∈ + ⋅ = +
� � � �
R V 
 
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 13 Unidad 4 
4. Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores: 
 1 2 1 2 1 2: ( )k , v ,v k v v kv kv∀ ∈ ∀ ∈ + = +
�� ��� �� ��� �� ���
R V 
5. El elemento neutro para el producto de un escalar por un vector, es el mismo neutro de la 
multiplicación en R : 1 : 1 1/ v .v v. v∃ ∈ ∀ ∈ = =� � � �R V 
Por las propiedades de la suma de vectores y el producto escalar vector, se tiene que la 
cuaterna ( ), , ,.+V R es un espacio vectorial. De esta manera ( )2 , , ,.+R R y ( )3 , , ,.+R R son 
espacios vectoriales reales. 
 
 
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES 
 
Dado un conjunto 21A { }nv , v , ..., v= ⊂
� � �
V y sean los escalares 1 2, , ......, nk k k se llama 
combinación lineal, a todo vector de la forma: nnvkvkvkvkv
����� ++++= ...332211 
Utilizando el símbolo de sumatoria, podemos escribir esta suma de la siguiente manera: 
1
.
n
i i
i
v k v
=
=
�� ��
 siendo A, Ai ik v∈ ∧ ∈ ⊂
�
R V 
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar los 
productos entre los vectores y escalares dados. 
Los escalares se denominan coeficientes de la combinación lineal. 
 
En otras palabras, diremos que un vector v es combinación lineal de los vectores del conjunto 
A sí y solo sí existen escalares 
nkkk ......,,, 21 tales que v puede expresarse como 
i
n
i
i vkv 
=
=
1
. 
 
 Ejemplo 1 Ejemplo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 1 2 2 3 3v k v k v k v= + +
�� �� ��� ��
 
 
Dado el conjunto }{A u,v ��= ; ( 1; 2)v = −
�
 
y (3;1)u =�
 
y los escalares, 3; 2 podemos expresar 
al vector w
�
= (1; 8) como la combinación lineal de los vectores u
�
 y v
�
: 
3 2 3 .( 1; 2) 2 .(2;1) (1;8)w v u= + = − + =� � � 
11.vk
v
�
1
v
�
3
v
�
2v
�
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Álgebra y Geometría Analítica 2022 14 Unidad 4 
 
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES 
 
Vectores linealmente dependientes: un conjunto de vectores 
1 2A { }nv , v , ..., v= ⊂
� � �
V es 
linealmente dependientes (L. D.) si y solo si existe una combinación lineal de ellos que dé 
como resultado el vector nulo, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación 
lineal. 
1 21 2
1
A es L.D. ... 0 0/
n
n i i in
i
i k v k v k v k v k
=
⇔ ∃ + + + ∧ ≠= =
�� ��� ���
�
� 
 
Propiedades de vectores linealmente dependientes 
 
1. Si un conjunto finito y no vacío de vectores son linealmente dependientes, entonces al 
menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 
Demostración: 
Sea 
1 2A { }nv , v , ..., v= ⊂
� � �
V un conjunto de vectores L.D. de V 
Por definición de dependencia lineal, existen escalares 
1 2, , .., nk k k no todos nulos tales que: 
1 1 2 2 3 3... 0n nk v k v k v k v+ + + =
�� ��� �� ��� �
 
Como al menos uno de los coeficientes debe ser distinto de cero, podemos suponer sin 
perder generalidad que k1 ≠ 0; por lo que existe su inverso. Despejando 1v
�
: 
32
1 2 3
1 1 1
n
n
k kk
v v v v
k k k
= − − − −
�� ��� �� ���
⋯
 
 
También se cumple el recíproco: 
2. Si un vector de 1 2A { , , ......, }nv v v=
�� ��� ���
,es combinación lineal de los demás vectores de A, 
entonces los vectores de A son linealmente dependientes. 
Demostración: 
Suponemos que 
1v
�
 es C.L. de los vectores de A: 2 2 3 3 1... n nk v k v k v v+ + + =
��� �� ��� ��
 
Sumando a ambos miembros el opuesto del vector 1v
��
 1 2 2 3 3 ... 0n nv k v k v k v− + + + + =
�� ��� �� ��� �
 
Teniendo en cuenta que ( )1 11 .v v− = − 
�� ��
 ( ) 1 2 2 3 31 ... 0n nv k v k v k v− + + + + =
�� ��� �� ��� �
 
En la última igualdad, se observa que al menos existe un coeficiente distinto de cero (–1), 
en consecuencia, A es L.D. 
Ejemplo: si al vector
1 2 32 3 4.v . v .v v+ + =
� � � � 
Le sumamos )( v− obtenemos 0)1(432 321
����� =−+++ vv.v.v. 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 15 Unidad 4 
 
{ }1 2 3, , ,v v v v� �� ��� �� es un conjunto de vectores linealmente dependiente. 
 
3. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si y sólo si, son paralelos. 
4. Dos vectores libres del plano 
1 1( ; )u x y=
� y 
2 2( ; )v x y=
� son linealmente dependientes si 
sus componentes son proporcionales. 
1 1
1 1 2 2
2 2
. ( ; ) . ( ; )
x y
u k v x y k x y k
x y
=  =  = =� � 
 
Vectores linealmente independientes: el conjunto de vectores
1 2A { }nv , v , ..., v= ⊂
� � �
V , 
es linealmente independientes (L. I.) si y solo si la única manera de obtener el vector nulo 
como combinación lineal de ellos, es que todos los coeficientes sean ceros. 
A es L.I. 1 1 2 2
1
... 0, : 0
n
n n i i i
i
k v k v k v k v i k
=
⇔ + + + = = ∀ =
�� ��� ��� �� �
 
 
Propiedades de los vectores linealmente independientes 
1. Un conjunto de vectores es L.I. sí y sólo si ningún vector se puede expresar como 
combinación lineal de los demás. 
2. Si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independiente, 
entonces dicha combinación lineal es única. 
3. Dos vectores del plano son L. I. sí y sólo si no son paralelos. 
4. Dos vectores del plano son L. I. sí y sólo si sus componentes no son proporcionales. 
 
Para investigar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores, se propone 
una combinación lineal de dicho conjunto, con escalares a determinar, que sea igual al vector 
nulo. Si algún escalar es no nulo, el conjunto es L. D.; mientras que, si todos los escalares son 
necesariamente nulos, el conjunto es L.I. 
 
En 2�R 
• Dos vectores paralelos son L.D. 
 
 
1v
�
2v
�
3v
�
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 16 Unidad 4 
0.)1(2
2
4321
3214
�
����
����
=−+++
++=
vvv.v
vv.v v
 
• Dos vectores no paralelos son L.I. 
 
• Tres vectores son L.D. 
 
 
 
 
 
En 3�R 
• Tres vectores no coplanares son L.I. 
 
 
 
 
1 1 2 2 3 3 1 2 30 0k v k v k v k k k+ + = ⇔ = = =
�� ��� �� ���
 
 
• Cuatro vectores son L.D. 
 
 
 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 17 Unidad 4 
 
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 
 
En 2�R 
Anteriormente hemos definido los versores o vectores unitarios como aquellos vectores de 
módulo uno. 
En el plano existen dos vectores de módulo uno,denominados versores fundamentales: 
 (1; 0)i =
�� ubicado sobre el semieje positivo de las abscisas “y” (0;1)j =
��
 ubicado sobre el 
semieje positivo de las ordenadas. 
 
En el plano o espacio de dos dimensiones 2�R , todos los vectores pueden expresarse como 
una combinación lineal de los vectores del conjunto };{ jiB
��
= , entonces los vectores de B 
constituyen un sistema de generadores. Además, los vectores ji
��
; son linealmente 
independientes. Por lo tanto, el conjunto };{ jiB
��
= constituye una base de 2R . En particular,
};{ jiB
��
= se denomina base canónica de 2�R . 
Puede demostrarse que: 
Un conjunto de vectores del plano 1 2A { }v ,v=
� �
es base de 2R si A es L.I. 
 
 
En 3�R 
Análogamente, en el espacio R3, existen tres vectores de módulo uno: )0;0;1( =i ubicado 
sobre el semieje positivo de las “x”; )0;1;0( =j ubicado sobre el semieje positivo de las “y”;
 (0; 0;1)k =
����
ubicado sobre el semieje positivo de las “z”. 
 
 
En 3�R todos sus vectores pueden expresarse como una 
combinación lineal de los vectores del conjunto 
{ ; ; }B i j k=
���� �
 y los versores ; ; i j k
���� �
son linealmente 
independientes. El conjunto B, se denomina base canónica 
de 3�R . 
 
Un conjunto de vectores 1 2 3A { , }v ,v v=
� � �
de 3R es base de 3R si A es L.I. 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 18 Unidad 4 
 
EXPRESIÓN CANÓNICA DE UN VECTOR 
 
En el plano 
 
Sea ( )1 1,v x y=
�
 
un vector del plano. Justificamos lo 
mencionado anteriormente: todo vector del plano 
puede escribirse como combinación lineal de ,i j
� �
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1, ,0 0, 1;0 0;1v x y x y x y x i y j= = + = + = +
� � �
 
Ejemplo: 
(5;4) 5 4u i j= = +
� ��
 
5componente horizontal
 
4componente vertical
 
(5; 4) coordenadas del punto extremo del 
vector. 
 
 
En el espacio ( 3R ): 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ,1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
, 0, 0 0, , 0 0, 0,
. 1, 0, 0 . 0,1, 0 . 0, 0,1
v x y z x y z
x y z x i y j z j
= = + + =
= + + = + +
�
� ��
 
 
 
Ejemplo: 
Componente del vector a lo largo del eje x: 2 
Componente del vector a lo largo del eje y: 3 
Componente del vector a lo largo del eje z: 4 
 
 
 
 
 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 19 Unidad 4 
 
ÁNGULOS DIRECTORES 
 
En 2R 
Los ángulos directores de un vector no nulo 
1 1v x i y j= +
� � �
 son los ángulos α y β en el intervalo 
[ ]0;π que el vector forma con los semiejes positivos 
“x” e “y”. 
 
 
 
 
Los ángulos directores de un vector determinan de manera única su dirección, pero no su 
longitud. 
En 3R 
La dirección de un vector en el espacio de tres 
dimensiones está determinada por los ángulos α; 
β; γ que el vector forma con los semiejes 
positivos de los ejes x, y, z. Los ángulos α; β; γ 
se denominan ángulos directores. 
 
1 2 3v OP x i x j x k= = + +
���� �� ��
 
 
 
 
COSENOS DIRECTORES 
 
Los cosenos directores de un vector v
�
 no nulo son 
los cosenos de sus ángulos directores. 
 
En el plano 
 
1cos
| |
x
v
α = � 
||
cos; 1
v
y
�=β 
 
jyixv 11 +=
��
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 20 Unidad 4 
Propiedad de los cosenos directores 
 
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector no nulo del plano es igual a 
uno. 
 
Simbólicamente: cos2 α + cos2 β = 1 
 
Demostración: 
Del gráfico anterior, observamos que: 1cos ;
x
v
α = �
 
1cos
y
v
β = �
 
2 2
2 2 2 2
2 2 1 1 1 1 1 1
2 2 2cos cos
x y x y x y
v v v v v
    +   + = + = + =
   
   
� �
� � �
α β
 
Tenga en cuenta que 
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2cos cos 1
v
v x y v x y
v
= +  = +  + = =
�
� �
�
α β 
 
 
Componentes de un versor en una dirección dada (versor asociado a un vector) 
Si un vector tiene módulo uno, es decir, ( )0 0 0;v x y=
�
 es un versor, tenemos: 
0 0 0
0
0 0 0
| | cos cos
(cos ;sen )
| |
x v x
v
y v sen y sen
α α
α α
α α
=  = 
 ==  = 
�
�
�
 
Las componentes de un versor son simplemente sus cosenos directores. 
 
Cualquier vector ( )1 1;v x y=
�
no nulo del plano, se puede escribir como combinación lineal de 
un versor ( )0 0 0;v x y=
�
que tiene por componentes a sus cosenos directores: 
( ) ( ) ( )1 1 0; cos ; cos cos ;cos .v x y v v v v vα β α β= = = =� � � � � ��� 
Como 0v ≠
�
 se deduce: 
0
1
.v v
v
=
��� �
� , denominado vector unitario o versor en la dirección de v
�
 
Esto significa que: 
Las componentes de un versor – en la dirección de un vector dado (no nulo) – son sus cosenos 
directores. Los que pueden obtenerse como el producto escalar entre el vector y el inverso de 
su módulo. 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 21 Unidad 4 
Ejemplo: Determine el vector unitario en la dirección de ( )1; 2v = −
�
 
( )
( ) ( )0 22
1 1 1 1 2
. . 1; 2 . 1; 2 ;
5 5 51 2
v v
v
 = = − = − = − 
 + + −
��� �
� 
Del versor hallado, podemos extraer como información los cosenos directores de v
�
: 
1
cos
5
α = ; 
2
cos
5
β = −
 
En el espacio 
 Trabajando de la misma manera que en el 
plano, tenemos: kxjxixv
����
321 ++= 
 
1
1
1
1
1
1
cos | | cos
| |
cos | | cos
| |
cos | | cos
| |
x
α x v α
v
y
β y v β
v
z
z v
v
γ γ
=  =
=  =
=  =
�
�
�
�
�
�
 
 
Si | | 1v =� , observamos que las componentes del versor son simplemente sus cosenos 
directores. 
 
Además 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2cos cos cos 1
vx y z x y z x y z
v v v v v v v v
α β γ
      + +     + + = + + = + + = = =
     
     
�
� � �
� � � � � 
Puede probarse que 
0
1
.v v
v
=
��� �
� , es un vector unitario o versor en la dirección de v
�
: 
Propiedad de los cosenos directores de un vector no nulo del espacio es: 
1coscoscos 222 =++ γβα 
Las componentes de un versor en la dirección de v
�
 
es: )cos,cos;(cos0 γβα=v
� 
 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 22 Unidad 4 
 
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) DE DOS VECTORES 
 
El producto escalar de dos vectores a
�
y b
�
, se indica a
�
. b
�
, es el número real o escalar que 
se obtiene multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo α que forman (0º ≤ α ≤ 180º)
 
 
αcos... baba
�
�
�
� = 
 
 
 
Representación geométrica del producto escalar 
Si realizamos el producto escalar de .a b
� �
consideramos el ángulo formado entre ellos, en 
sentido positivo. Efectuando la proyección de a
�
 sobre b
�
resulta un triángulo rectángulo en el 
que utilizando la función trigonométrica αcos resulta: 
 
Geométricamente, el producto escalar es igual al producto de uno de los módulos de los 
vectores por la proyección del otro vector sobre él. 
 
Propiedades del producto escalar 
Sean ba
�
�
y dos vectores de V 
1. Conmutativo: . . ; ,a b b a a b= ∀ ∈
� � �
� � �
V 
2. Asociativo de la multiplicación por un escalar: .( . ) ( . ). .( . )a b a b a bλ λ λ= =
� � �
� � �
 
, , ,a b λ∈ ∈
� �
V R 
3. Distributivo respecto de la suma de vectores: .( ) . . con, ,c a b c a c b a b c+ = + ∈
� � �� �
� � � � �
V 
 
 
 
 
 
 
 cos
| |
aProy
b
a
α =
�
�
�
 
 αcos.||.||. baba
�
�
�
� = 
 Reemplazando :cosα 
 
. | | . | | .
| |
aProy
ba b a b
a
=
�
�
� �
� �
� 
 . | | . aa b b Proy
b
=
�� �
�
� 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 23 Unidad 4 
 
EXPRESIÓN EN COORDENADAS O PRODUCTO ESCALAR EN FUNCIÓN DE SUS 
COMPONENTES 
Producto escalar de los versores de la base canónica en R3: 
. . .cos 0 1.1.1 1i i i i °= = =
� � � �
 
Por lo anterior, el producto escalar de un versor por sí mismo es 1. En consecuencia, 
. . 1j j k k= =
� � � �
 
. . .cos 90 1.1.0 0i j i j °= = =
� � � �
 
. . .cos 90 1.1.0 0i k i k °= = =
� � � �
 
. . .cos 90 1.1.0 0j k j k °= = =
� � � �
 
Si realizamos todos los productos posibles entre los vectores de la base },,{ kji
���
resulta la 
siguiente tabla: 
 
 
El producto escalar de dos vectores 3ya b ∈
�
�
R expresados en la base canónica: 
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
;
. .
a x i y j z k b x i y j z k
a b x i y j z k x i y j z k
= + + = + +
= + + + +
� � �� � � ��
� � �� � � �� 
Aplicando propiedad distributiva del producto escalar: 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. . . . . . . . . . .a b x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k z x k i z y k j z z k k= + + + + + + + +
� � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
 
Teniendo en cuenta el producto de versores hallados, resulta: 
1 2 1 2 1 2.a b x x y y z z= + +
�
�
 
 
El producto escalar de dos vectores y ,a b
�
�
en función de sus componentes, es igual a la suma 
de los productos de las componentes correspondientes. 
 
. i
�
 j
�
 k
�
 
i
�
 1 0 0 
j
�
 0 1 0 
k
�
 0 0 1 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 24 Unidad 4 
Ejemplo: Sean los vectores ( ) ( )3;5 y 1;0,2a b= − = −
�
�
 
El producto escalar entre dichos vectores es: 
( ) ( ). 3;5 . 1;0,2 3.( 1) 5.0,2 3 1 4a b = − − = − − + = + =
�
�
 
 
 
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES 
 
Sean los vectores no nulos 
3,a b∈
�
�
R 
 
1 2 1 2 1 2
. | | . | | .cos ;0 180 (1)
. (2)
a b a b
a b x x y y z z
α α= ≤ ≤ °
= + +
� �
� �
�
�
 
 
 
de (1) y (2) el coseno del ángulo que forman los dos vectores expresado según las 
componentes es: 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.||.||
.
cos
zyxzyx
zzyyxx
ba
ba
++++
++== �
�
�
�
α 
 
La definición de ángulo entre vectores del plano es 
análoga a la dada. 
Ejemplo en 2R , encuentre el ángulo entre los vectores 
( ) ( )2;5 y 4; 3u v= = −
� �
 
. 2.4 5.( 3) 7
cos
| | . | | 4 25 . 16 9 5 29
u v
u v
α + −= = = −
+ +
� ��
� �
 
Entonces el ángulo entre estos vectores es: 
1 7cos 105 4 '7 ''
5 29
α −  = − ≅ ° 
 
 
 
 
Condición de perpendicularidad 
Sean los vectores no nulos ,a b∈
�
�
V 
. . . cosa b a b α=
� �
� �
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 25 Unidad 4 
ºS i . | | . | | c o s 9 0 0a b a b a b• ⊥  = =
� � �
� � �
 
Si . | | .| | .cos 0 cos 0, ya b a b a b• = =  =
� � �
� � �α α son no nulos, luego 90α = ° 
 
Dos vectores en el plano o en el espacio, no nulos, son perpendiculares sí y solo sí su producto 
escalar es cero. 
Como 0 . 0 . .cos 0 0,b b= =
� �� �
 para cualquier vector ,b
�
el vector nulo se considera 
perpendicular a todo vector. 
 
 
PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ) DE DOS VECTORES 
 
El producto vectorial de dos vectores ,a b
�
�
en 3R �es otro vector que llamamos bac ∧=� que 
tiene las siguientes características: 
1) Dirección: perpendicular al plano que forman los vectores bya
�
�
 
2) Módulo: . .c a b a b senα= ∧ =
� � � �
� 
3) Sentido: es el de la mano derecha o regla del tirabuzón, (desde del vector a
�
 al vector )b
�
y siguiendo la orientación de giro positiva. Si se coloca la mano derecha de manera que el 
índice apunte en la dirección del vector a
�
y el dedo mayor en la dirección de b
�
, entonces el 
pulgar dará el sentido de a b∧
� �
 
 
 
 
Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial 
Sean a
�
 y b
�
dos lados adyacentes de un paralelogramo y sea α el ángulo determinado por ellos 
como se puede observar en la figura dada. 
 
Área paralelogramo de lados a
�
 y b
�
 = .a h
�
 (1) 
sen .sen
| |
h
h b
b
α α=  =
�
� , reemplazando en (1) 
 
 
 
 
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 26 Unidad 4 
Área paralelogramo de lados a
�
 y b
�
 = . .sena b a bα = ∧
� � � �
, por definición del producto 
vectorial.
 Por lo tanto, considerando el paralelogramo determinado por los vectores ya b
�
�
 observamos 
que el área del mismo coincide con el módulo del producto vectorial de ba
�
� ∧ . 
 
El módulo del producto vectorial a b∧
� �
mide el área del paralelogramo que tiene por lados a 
los vectores ya b
� �
 
 
Producto vectorial de los vectores de la base canónica en 3R 
º
º
º
| | | | . | | . | | . | | 0 1.1.0 0
| | | | . | | . | | . | | . 0 1.1.0 0
| | | | . | | . | | . | | 0 1.1.0 0
| | | | | | 0
i i i i sen i i sen
j j j j sen j j sen
k k k k sen k k sen
i i j j k k
α
α
α
∧ = = = =
∧ = = = =
∧ = = = =
∧ = ∧ = ∧ =
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� �� � � �
 
jkiijkkij
jikikjkji
���������
���������
−=∧−=∧−=∧
=∧=∧=∧
 
 
Como ejemplo de los módulos de estos productos vectoriales, presentamos los siguientes: 
1)1.(1.1)90(.||.||||
11.1.190||.||||
º
º
−=−=−=∧
===∧
senijij
senjiji
����
����
 
Si realizamos todos los productos posibles entre los vectores de la base },,{ kji
���
resulta la 
siguiente tabla: 
∧ i
�
 j
�
 k
�
 
i
�
 0 k
�
 j
�
− 
j
�
 k
�
− 0 i
�
 
k
�
 j
�
 i
�
− 0 
 
El producto vectorial de dos vectores y ,a b
�
�
expresados en la base canónica es: 
 
 
 
 
 
 
1 1 1 2 2 2
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a b x i y j z k x i y j z k
a b x i x i y j z k y j x i y j z k z k x i y j z k
a b x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k
z x k i
∧ = + + ∧ + +
∧ = ∧ + + + ∧ + + + ∧ + +
∧ = ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧ +
+ ∧
� � �� � � ��
� � � � �� � � � � � � ��
� � �� � � � � � � � � ��
� �
1 2 1 2( ) ( )z y k j z z k k+ ∧ + ∧
� � ��
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 27 Unidad 4 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (*)
a b x y k x z j y x k y z i z x j z y i
a b y z z y i z x x z j x y y x k
∧ = + − + − + + + −
∧ = − + − + −
� � �� � � ��
� �� ��
 
 
Cada componente del vector ba
�
� ∧ se puede expresar como un determinante de orden 2. 
[ ]
1 1
1. 2 2 1
2 2
1 1 1 2 1 1 1 1
1 2 1 2
2 2 1 2 2 2 2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
( )
( )
( )
y z
y z y z
y z
x z y y x z x y
z x x z a b i j k
x z z z x z x y
x y
x y y x
x y

− = 

− − = −  ∧ = − +


− =

� �� ��
 
Está permitido que este vector ba
�
� ∧ se exprese simbólicamente en forma de un determinante 
222
111
zyx
zyx
kji
ba
���
�
� =∧ 
Desarrollando este determinante por loselementos de una línea (lo veremos en la unidad 5):
kxyyxjzxxziyzzyba
�����
)()()( 212121212121 −+−+−=∧ 
es la expresión obtenida en (*) 
 
Paralelismo de vectores 
Si dos vectores no nulos del espacio son paralelos su producto vectorial es el vector nulo. 
º0 , 0 , / / | | | | . | | . 0 0 0a b a b a b a b s e n a b≠ ≠  ∧ = =  ∧ =
� � �� � � � �
� � � � � 
Recíprocamente, si el módulo del producto vectorial de dos vectores es 0, entonces los 
vectores son paralelos. 
 
que exige esto,0
222
111 ==∧
zyx
zyx
kji
ba
���
�
� 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
0
y z
y z z y y z z y
y z
− =  =  = 
Análogamente: 
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
0
z x
z x x z z x x z
z x
− =  =  = y en definitiva se tiene: 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x ==
 
Las componentes del vector son proporcionales, por lo cual, los dos vectores son paralelos. 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 
Álgebra y Geometría Analítica 2022 28 Unidad 4 
 
AUTORES 
Prof. Gabriela Ferrarini 
Lic. Daniel Mosqueda 
Prof. Javier Salaj 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 Grossman, S. (2008) Álgebra lineal con aplicaciones. (6º ed.) México. Mc Graw-Hill. 
 
 
 
REFERENCIAS 
 
 García Venturini, A.; Kicillof, A. (2009). Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas. (2da. 
ed.). Buenos Aires: Ediciones Cooperativa. 
 Larson, R. (2015). Fundamentos de álgebra lineal. (7ma. ed.). México: Cengage Learning. 
 Gómez, M.L. Mosqueda, D., Rohde, G., (2016). Material específico de estudio: Vectores. 
Facultad de Ciencias Económicas. UNNE. Resistencia. Chaco. Argentina. 
 Sunkel, M. E. (2005) Geometría analítica: en forma vectorial y matricial. (2da. ed.). Argentina: 
Nueva Librería S.R.L. 
 Zill, D. (2011). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. (2da. ed.). México: McGraw-Hill.