INTEGRALES_DEFINIDAS - Mariel Lorena Tevez

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IES TACO POZO
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
PROFESOR: RUIZ ADRIAN 
INTEGRALES DEFINIDAS
	
Al tratar de resolver el área del rectángulo o del triángulo, se contesta con facilidad pues las regiones están limitadas por lados rectos, como el producto de la longitud por el ancho o como la mitad de la base por la altura, y en el caso del polígono se calcula dividiendo en triángulos y sumando las áreas de los triángulos. 
 
	Pero cuando una región está limitada por curvas ya no es tan sencillo, pues las fórmulas ya no sirven de mucho y se puede tener una idea aproximada del área de esa región, pero parte del problema es precisar esa apreciación mediante una definición exacta. 
Un camino es realizar particiones en el intervalo considerado, que genera rectángulos cuyas áreas se puede calcular más fácilmente. A medida que las particiones tienden a infinito nos aproximaremos cada vez más al área de la región solicitada. 
	
Para calcular este tipo de áreas surge la integral definida, indicándose 
 donde:
· a y b son los extremos superior e inferior de integración.
· 
 intervalo de integración
· función integrando
Definición 
Teniendo en cuenta los siguientes considerandos:
· 
f(x) función continua en 
· 
sea una partición en 
· 
amplitud de cada subintervalo 
· 
sea 
· 
la función f(x) se hace corresponder en cada punto, luego se tiene 
 	
Luego se halla el área de cada rectángulo que resultó de la partición, ya sea por exceso o por defecto, teniéndose:
	Para encontrar el área total, efectuamos la suma de las áreas parciales.
	Aplicamos límite a la sumatoria cuando el incremento tiende a cero, y la partición tiende a infinito.
Suma inferior y superior
 
Sea:
· 
f(x) una función continua, acotada y definida en el 
· 
Ik subintevalo en la partición
· 
 la amplitud
· mk = ínfimo de f(x)
· Mk = supremo de f(x)
Suma inferior: de la función f(x) en en la partición es la suma de los productos que se obtienen multiplicando el ínfimo de f(x) en cada subintervalo por la amplitud.
	
 
 Suma superior: de la función en en la partición es la suma de los productos que se obtienen multiplicando el supremo de f(x) en cada subintevalo de por la amplitud.
Teorema del valor medio del cálculo integral: (para funciones continuas)
Hip.) /
Tesis) 	
Demostración: la función f(x) por ser continua en el intervalo , tiene máximo y mínimo absolutos. Sean m y M dichos extremos. Además por ser continua es integrable, por lo tanto
	
Regla de Barrow
Hip:) f(x) continua en y G(x) es una primitiva de f(x)
Tesis) 
Demostración: G(x) es una primitiva de f(x) 
Si F(x) es una función integral 
Además 
APLICACIONES GEOMÉTRICAS
· área comprendida entre la gráfica de una función, el eje de abscisas y recta x1 = a y x2 = b
· área de una región comprendida entre dos curvas correspondientes a las gráficas de dos funciones.
Cálculo de la longitud de un arco de curva
	Sea la poligonal de n lados inscripta, en el arco ABC...M.Por los vértices trazamos segmentos perpendiculares al eje de las abscisas, tal que el intervalo queda dividido en n subintervalos de amplitud con .
	
Consideramos un lado cualquiera de la poligonal, por ejemplo el lado cuya longitud la indicaremos como li. Este lado a su vez es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son ∆xi ∆yi
Por el teorema de Pitágoras ; pero por el teorema del Valor Medio con , luego tendremos y reemplazando en (A) se obtiene:
La longitud total de la poligonal está dada por:
y la longitud del arco será : 
Volumen de un cuerpo de revolución
	Se hace girar alrededor del eje E, cada uno de los segmentos y arcos, obteniéndose:
· 
 genera la superficie lateral de un cono, mientras que el triángulo rayado da lugar al cuerpo cono.
· 
 origina la superficie lateral de un cilindro, y el rectángulo rayado el cuerpo cilíndrico.
· 
 superficie lateral de un tronco de cono y el trapecio genera el cuerpo tronco de cono.
· 
La semicircunferencia de radio da lugar a la superficie esférica de diámetro y el semicírculo genera el cuerpo esfera.
Determinación de los volúmenes mediante integrales
	El arco de curva de la figura es parte de la función continua f(x). Se proyecta sobre el eje de las abscisas originando el intervalo . Se quiere obtener el volumen generado de la zona limitada por la curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, cuando gira alrededor del eje x.
	Para ello el intervalo se divide en n subintervalos de amplitud 
 
Consideramos un subintevalo de amplitud , y sea xi . Por xi se traza una perpendicular al eje x que intercepta a la curva en el punto P. Por este punto P se traza una paralela el eje de las abscisas y se obtiene un rectángulo de base y de altura f(xi). Al girar el rectángulo genera un cilindro de altura y de radio de la base f(xi).
Recordando que el volumen de un cilindro es valor que se repite a todos los subintervalos, y se tiene:
Esta suma de los n volúmenes se aproxima al volumen del cuerpo de revolución originado por la figura rayada, , se llega a que:
BIBLIOGRAFÍA:
· INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO (Cálculo 2) – Hebe T: Rabuffetti - Editorial: El Ateneo – Ed. 1992
· CÁLCULO DE UNA VARIABLE, Trascendentes tempranas – Stewart – Editorial: Thomson – Ed. 1998
· INTEGRALES INDEFINIDAS – Prof. Ing. Raúl J. Binaghi – UTN – Regional Resistencia
· MANUAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 2° parte - Celina Repetto - Editorial Macchi – Ed. 2001
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