INTEGRALES_INDEFINIDAS - Mariel Lorena Tevez

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IES TACO POZO
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
PROFESOR: RUIZ ADRIAN 
INTEGRALES INDEFINIDAS
EJE TEMÁTICO Nº 1: INTEGRAL INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA
· Función primitiva. Integral indefinida. Propiedades. Métodos de integración: por descomposición, por cambio de variables o sustitución, por partes. Integración de funciones racionales. Integración de funciones trigonométricas.
· Integral definida. Definición. Fórmula de Barrow. Propiedades. Teorema del valor medio de la integral. Aplicaciones geométricas: cálculo del área, longitud de un arco, volumen de un cuerpo de revolución.
FUNCIÓN PRIMITIVA – INTEGRAL INDEFINIDA
Sea una función f (x), llamándose primitiva de ella en un cierto intervalo de su dominio, a la función F (x), tal que su derivada es la función dada.
Ejemplos: f (x) = cos x tiene por primitiva a F (x) = sen x ya que F‘ (x) = (sen x)‘ = cos x
 g(x) = 3x2 es F(x) = x3 pues F‘(x) = (x3)‘ = 3x2
En símbolos:
Si una función tiene primitiva, no es la única pues si se le suma un número cualquiera, resulta otra primitiva:
Generalizando:
F(x) es primitiva de f (x) F(x) + C también es primitiva de f (x)
Si F (x) es una primitiva de f (x), el conjunto de las infinitas primitivas expresado en F (x) + C, se llama integral indefinida de f (x) y se indica
La función f(x) se llama función integrando. El nombre de integral indefinida se debe a que el resultado no es único, ya que no define una sola función, sino infinitas funciones que dependen del valor que tiene la constante C.
PROPIEDADES
1) La diferencial de una integral indefinida, es igual al producto de la función integrando por la diferencial de la variable.
Demostración:
Sabemos que ,
 Hallamos la diferencial a cada miembro de la igualdad 
Por propiedad de diferenciales 
Como F‘(x) = f(x) resulta 
2) La derivada de una integral es igual a la función integrando 
Demostración:
Sea derivamos cada miembro de la igualdad
3) La integral del producto de un número por una función es igual al número por la integral de la función. 
Demostración:
Derivamos el primer miembro de la igualdad (A) por la propiedad (2)
Derivamos el segundo miembro de la igualdad (B) 
Observamos que las expresiones (A) y (B) son iguales.
4) La integral de la suma algebraica de dos o más funciones, es la suma algebraica de sus respectivas integrales. 
Demostración:
Derivamos el primer miembro de la igualdad
Hacemos lo mismo con el segundo miembro de la igualdad
 Luego (A) = (B)
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN: 
Este método permite resolver la integral que no es inmediata, cuando se puede descomponer el integrando en suma de funciones que se integran de inmediato.
Ejemplo:
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN: 
Consiste en sustituir una combinación de la variable independiente x, por otra variable t que facilite el cálculo. 
Sea la integral que no puede resolverse en forma inmediata, pero existen funciones primitivas y hacemos continua y tiene inversa, por lo tanto . Luego la integral dada en x se transforma en la integral de variable t, donde:
 tiene integración inmediata.
	Una vez obtenido el resultado en t, se reemplaza por su expresión en x para obtener el resultado dado por 
Ejemplo: 
Reemplazando 
INTEGRACIÓN POR PARTES:
 Es una técnica para transformar una integral a formas más sencillas que la dada originalmente y así poder resolverla. Su fundamentación se basa en el cálculo de la diferencial de un producto de dos funciones:
d (u.v) = u = u (x) v= v (x)
Es igual a: 
Si tenemos en cuenta que:
Reemplazando convenientemente resultará: 
Y realizando pasajes de términos: 
Si a continuación se integran ambos miembros y se aplican propiedades de la integral indefinida, tendremos: 
Entonces: que resulta la fórmula a utilizar.
Para aplicar el método, aparentemente deben existir dos funciones. Cuando se deba integrar el producto de dos funciones, generalmente es mejor elegir la forma más complicada como parte de dv.
Ejemplo: en primer término vamos a elegir 
Reemplazando en la fórmula encontrada tenemos: 
La constante de integración C, recién fue colocada al finalizar con las integraciones y no en el cálculo de las integraciones intermedias ya que de hacerlo, se llega al mismo resultado. 
Trataremos de resolver el ejercicio, con otra elección 
De donde resulta: en la que se puede ver que la integral que se obtiene en más complicada que la anterior y esto nos indica que la elección realizada nos es la más apropiada.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (por descomposición en fracciones simples)
Sea una función con P(x) y Q(x) polinomios de “x“, por lo tanto
 Denominaremos fracción racional.
Teniendo en cuenta el grado de ambos polinomios, resulta que:
· n ≥ m la función es fraccionaria impropia.
· n < m la función es fraccionaria propia.
Los métodos que trabajaremos estarán referidos a funciones fraccionarias propias, en caso de serlo, se podrá convertir por medio de la operación algebraica de división de polinomios. Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del denominador, al efectuar el cociente se obtiene un polinomio C (x) y un polinomio resto R (x), o sea: 
	El grado de R(x) debe ser menor que el de Q(x), de no ser así, la división esta incompleta y se debe seguir hasta obtenerlo.	
	De acuerdo a la definición de división resulta que: P (x) = Q (x) . C (x) + R (x)
Dividiendo ambos miembros por Q (x) :
Convirtiéndose la fracción impropia en la suma de un polinomio C(x) y una función fraccionaria propia, donde el grado del numerador en menor que el del denominador, por lo tanto:
, donde C(x) se podrá resolver por el método de integración por descomposición, quedando por resolver la integral que es una función racional propia.
	Los casos que estudiaremos serán aquellas funciones racionales propias y que difieren en las raíces que tiene el polinomio del denominador:
I. raíces del denominador reales o ceros simples 
II. raíces del denominador múltiples
I – Raíces reales simples o ceros simples
Sea el polinomio de grado m, por lo tanto tendrá “m“raíces y si son simples serán todas distintas, luego tendremos: x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xm ; y aplicando la descomposición del polinomio en factores binomiales, resultará :
Q(x) = bm .(x – x1) . (x – x2) ... (x – xm)
Si consideramos a bm = 1,es decir, el coeficiente del término de mayor grado de Q(x) es igual a la unidad, nos quedaría:
obteniéndose un nuevo polinomio Q1(x) cuyas raíces son iguales a las de Q(x), luego la integral nos queda:
Al hacer bm = 1 podemos hacer la descomposición de la función fraccionaria en una suma de fracciones simples, con A; B; C; y M constantes, cuyo valor debemos encontrar:
 (*)
luego: 
Si en la expresión anterior (*), realizamos el pasaje del Q(x) al otro miembro y luego reemplazando por su igual, nos queda:
Para calcular el valor A damos valores a x de tal manera que anule B, C ..... y M. Repitiendo el procedimiento se llega a encontrar los demás valores.
Ejemplo:
Para encontrar el valor de A , damos el valor de x = 3 , que me anula el sumando correspondiente a B.
Luego si x = 3 tendremos 4 . 3 + 1 = A (3 - 2) + B ( 3 – 3) , entonces A = 13
Igual procedimiento para encontrar B, luego: x = 2 reemplazando 4. 2 + 1 = B (2 – 3 )
 luego 9 = - B quedando B = - 9
Volviendo a la integral del ejercicio:
Raíces reales múltiples o combinación de reales múltiples y simples:
Consideramos al polinomio Q(x) de grado m y que sus raíces sean:
· x1 múltiple h veces
· x2 múltiple k veces
· x3 múltiple s veces
y además bm = 1, quedándonos el polinomio de la siguiente forma:
Q(x) = (x – x1)h . (x – x2)k . (x – x3)s
Haciendo la descomposición se tiene:
Luego: 
Se procede de igual manera que el caso anterior, llegando a un sistema de ecuaciones (m) con la misma cantidad de incógnitas, que se puede resolver, obteniéndose así los coeficientes.
Ejemplo:
	Observamos que el denominador de la función fraccionaria ya se encuentra expresadocon las raíces del polinomio, donde las raíces x1 = x2 = 1 (raíz múltiple dos veces) y x3 = 2 ( raíz simple ).
	Teniendo en cuenta esto, podemos hacer la descomposición siguiente:
	Haciendo pasajes de términos y multiplicando se tiene:
Resolviendo el segundo miembro y sacando factores comunes de los distintos grados se tendrá:
lo que resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: A0 ; A1 y B que podemos resolver por cualquiera de los métodos conocidos, por ejemplo, por determinantes:
Luego:
	Encontrados los valores de los coeficientes estamos en condiciones de integrar:
y las calculamos por separado:
las otras integrales son inmediatas y se las resuelven usando las tablas de integración, por lo tanto:
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Integración de Potencias impares de la Función Seno y Coseno:
	Son de la forma donde el exponente , en nuestro caso n = 2k + 1 
Donde dando valores a k, obtendremos todos los números impares:
entonces:
si hacemos
 
Sea la integral de la forma , en donde son naturales y m ó n es impar.
a) Si la potencia del coseno es impar, se aparta un factor de coseno y se emplea cos2 x = 1-sen2 x para expresar los factores restantes en términos del seno:
A continuación se sustituye u = sen x
b) Si la potencia del seno es impar, se aparta un factor de seno y se usa sen2 x = 1 – cos2 x para expresar los factores restantes en términos del coseno:
Luego, se reemplaza u = cos x
Ejemplo:
	
Si las potencias del seno y del coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad de ángulo: . 
A veces es útil emplear la identidad 
2. Integración de Potencias de la Función Tangente y Cosecante:
	De la forma 
a) Si la potencia de la secante es par (n = 2k), se separa un factor de sec2 x y se usa sec2 x = 1+ tan2 x a fin de expresar los factores restantes en términos de tan x: 
 a continuación, se sustituye u = tan x.
b) Si la potencia de la tangente es impar ( m = 2k + 1), se aparta un factor de sec x . tan x y se emplea tan2 x = sec2 x – 1 para expresar los factores restantes en términos de sec x:
luego se reemplaza u = sec x.
Ejemplo:
	Para evaluar las integrales de la forma: 
se emplean las identidades correspondientes: 
Ejemplo:
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