4-Funciones_Sistemas de ecuaciones lineales (2020)_Teoría y Práctico - Agostina Salas

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Facultad de Ciencias Económicas 
Módulo de Matemática – 2020 
 
 
 
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Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
 
Unidad N° 4: Funciones y sistemas de ecuaciones lineales 
 
Contenidos: Concepto de Función. Dominio e Imagen. Representación gráfica. 
Función lineal. Función cuadrática. Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de 
resolución: analíticos y gráfico. 
 
Función 
En casi todos los fenómenos físicos, económicos, etc., observamos que una 
cantidad depende de otra. Por ejemplo, la curva de demanda de un producto depende de 
la cantidad, el ingreso depende de las unidades vendidas, el costo de enviar un paquete 
por correo depende de su peso. Usamos el término función para describir esta 
dependencia de una variable con respecto a otra. 
Podemos representar estas situaciones de la siguiente manera: 
 
Tabla de precios para el envío de cartas 
simples. 
Las tarifas incluyen IVA y son válidas para todo el 
Territorio Nacional excepto Tierra del Fuego. 
 
Peso Precio 
Hasta 100 gramos $48 
Más de 100 gramos, hasta 200 
gramos 
$52 
Más de 200 gramos, hasta 500 
gramos 
$70 
 
Es decir que una función puede representarse a través de una gráfica (visualmente) o 
una tabla (numéricamente). En matemática también pueden describirse verbalmente o 
algebraicamente por una fórmula explícita. Usaremos letras como f, g, h,… para 
nombrar funciones. Por ejemplo, podemos usar la letra f para representar una regla 
como sigue: 
“f es la regla que asigna a cada número real su cuadrado” 
 
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Cuando escribimos f(2) queremos decir “aplicar la regla f al número 2”, es decir f(2) = 
2
2
= 3. Del mismo modo, f(3) = 3
2
. En general se puede escribir simbólicamente 
f(x) = x
2 
Pero no toda regla de asignación es función, por ejemplo la regla que asocia cierto 
día como fecha de cumpleaños a un conjunto de personas. Posiblemente haya al menos 
dos personas que tengan la misma fecha de cumpleaños. 
 
Definición: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A 
de números reales un único elemento y = f(x) de un subconjunto B de 
 
Notación f: A  B/ y = f(x); A  , B 
Por lo general consideramos funciones para los cuales los conjuntos A y B son 
conjuntos de números reales. El símbolo f(x) se lee “f de x” y se denomina valor de f en 
x o la imagen de x bajo f. Al valor de x que representa cualquier número del dominio de 
la función se le llama variable independiente. El valor que representa un número 
cualquiera en el rango de f se llama variable dependiente. Por tanto, si escribimos 
y = f(x), entonces x es la variable independiente e y es la variable dependiente. 
f(x) significa f evaluada en x, y no f por x 
 
El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función. B es el codominio. 
El rango o conjunto imagen de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) 
cuando x varia en todo el dominio. 
 
El costo C(x) en dólares por producir x metros de cierta tela está dado por la función 
C(x) = 1500 + 3x + 0,02x
2
 + 0,0001x
3
 
a) Determine C(10) y C(100) 
b) ¿Qué interpretación tienen los valores hallados en a) 
c) ¿Qué representa C(0)? 
d) ¿Cuál es el dominio de C? 
 
 
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Es importante destacar que no toda relación entre dos variables es función. 
Veamos algunos ejemplos: 
Ejemplo 1 
 
Podemos ver de que no se trata de una 
función porque a x = 3, le corresponden 
dos valores de y en la gráfica dada. 
Ejemplo 2 
x 5 10 15 15 20 25 
y 2 4 6 8 10 12 
 
No es función porque a un valor de x 
(x = 15 le corresponden dos valores de y 
(y =6; y = 8) 
 
Función lineal 
La función f es una función lineal si ( )f x mx b  , donde ,m b 
 
También es usual escribir a las funciones lineales como y mx b  
La gráfica de una función lineal es siempre una recta. Y ésta queda determinada por dos 
puntos sobre ella. 
 
m : es la pendiente de la recta e indica la variación de la variable dependiente y 
cuando la variable independiente x aumenta una unidad. 
b : es la ordenada al origen, pues representa la intersección de la recta con el eje y. 
 
Ejemplos: ( ) 2 3f x x  ; 2y x   ; 
3
( ) 1
2
g x x   
 
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Representación gráfica de funciones lineales 
Para graficar funciones lineales podemos seguir al menos dos caminos: 
1º) Construir una tabla de valores, asignando a x cualquier valor real. Luego representar 
los puntos determinados y trazar una recta que pasa por todos ellos. Es necesario 
recalcar que solo basta con darle a x dos valores distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Considerar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 
b = 3, esto significa que la recta intersecta al eje y en 3, es decir corresponde al 
punto (0; 3) 
m = 2, por cada unidad que aumenta x ( 1x  ), la variable dependiente y aumenta 2 
unidades ( 2y  ). Esto hace que se obtenga el punto (1; 5) 
 
x ( ) 2 3y f x x   Punto (x, y) 
0 2. 0 + 3 = 3 (0; 3) 
1 2. 1 + 3 = 5 (1; 5) 
–1 2. (–1) + 3 = 1 (–1; 1) 
 
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Para el caso de que la pendiente fuera fraccionaria, en lugar de considerar una unidad de 
aumento para x, conviene aumentarla en el valor del denominador. Es decir en 
3
( ) 1
2
g x x   , por cada 2 unidades que aumenta x, el valor de la ordenada y 
disminuye 3. 
 
 
Relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento de la función lineal 
 Si 0m  (pendiente positiva) la función lineal es creciente. Ver gráfico de 
( ) 2 3f x x  
 
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 Si 0m  (pendiente negativa) la función lineal es decreciente. Ver gráfico de 
3
( ) 1
2
g x x   
 Si 0m  (pendiente nula) la función lineal es constante. Su gráfica es una recta 
paralela al eje x, que pasa por el punto (0, b) 
 
 
Función cuadrática 
La función f es una función cuadrática si 2( )f x ax bx c   , donde 
, , con 0a b c a  . Es decir, una función cuadrática tiene como expresión un 
polinomio de grado 2. 
 
Ejemplos: 2 2 2( ) 2 1; 2 4 ; ( ) 9f x x x y x x g x x        
La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola. 
 
 
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 La orientación de la parábola depende del signo de a y es importante conocerla para 
poder graficarla (relación entre el coeficiente cuadrático y la concavidad de la parábola) 
 
 a > 0 (a positivo) las ramas se abren hacia arriba  función cóncava. 
 a < 0 (a negativo) las ramas se abren hacia arriba  función convexa. 
 
 El punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por el punto (0; c). 
 Los puntos de intersección, si existen, con el eje de abscisas (x) vienen dados por las 
soluciones de la ecuación de segundo grado
2 0ax bx c   es decir 
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
  
 (aunque pueden utilizarse otros métodos si el coeficiente lineal 
o término independiente es nulo) 
 x1 y x2 también se llaman raíces o ceros de la función cuadrática. La existencia o no de 
raíces está dado por el discriminante:
El discriminante 
2 4b ac   
 
 
 
a < 0 ;  = 0 a > 0;  < 0 
 El vértice V (xv, yv) de la parábola tiene por abscisa 
2.
v
b
x
a
  
x 
x 
y 
y 
 > 0  la parábola interseca al eje x en dos puntos 
distintos x1, x2 (ver gráfico inicial) 
 = 0  la parábola interseca al eje x en un solo punto 
 x1 = x2 
 < 0  la parábola no interseca al eje x. 
 
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 La ordenada la determinaremos sustituyendo el valor de xv en la función, es decir 
yv = f(xv) = 
2.
b
f
a
 
 
 
 
En la función cuadrática el vértice V (xv, yv) es: 
 El eje de simetría es la recta perpendicular al eje x que pasa por el vértice. Su ecuación 
viene dado por la recta 
2.
b
x
a
  , pero también puede calcularse como el promedio de 
las raíces, sabiendo que éstas existen y se han calculado: 1 2
2
x x
x

 
 Valores simétricos: son los valores del dominio de la función que tienen la misma 
imagen. Equidistan del eje de simetría. 
 Forma o expresión factorizada de la función cuadrática: 1 2( ) .( ).( )f x a x x x x   
siendo 1 2yx x las raíces. 
 Forma canónica de la función cuadrática f(x) 2( ) .( )v vf x a x x y   siendo v vx e y las 
coordenadas del vértice. 
 
Representación gráfica de funciones cuadráticas 
1º) Al igual que para las funciones lineales, podemos construir una tabla de valores y 
trazar en forma aproximada la parábola. A diferencia de las lineales, no basta con 
determinar dos puntos. Por ello, se suele seguir el siguiente procedimiento: 
2º) Hallar los elementos de la parábola: vértice, ordenada al origen, raíces, eje de 
simetría, punto simétrico. Por ejemplo para la función 2( ) 3f x x x  , hallamos: 
 Puntos de intersección con el eje y: c = 0 
 Puntos de intersección con el eje x (raíces): 
2
1 23 0 .( 3) 0 0 o 3x x x x x x        
 Eje de simetría,
 
3 3
2.1 2
x

  
 
o bien 
0 3 3
2 2
x

  
 Vértice 
 
2
3 3 3 3 9 3 9
; 3. V ;
2 2 2 2 4 2 4
v vx y f
     
            
     
 
Representamos lo hallado en un sistema de coordenadas cartesianas 
máximo si a > 0 
mínimo si a < 0 
 
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Sistemas de Ecuaciones Lineales 
Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación del tipo ax by c  con 
, ,a b c  . Por ejemplo 2 3 5x y  . En esta sección veremos distintos métodos para 
resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x e y . Es decir un 
sistema de la forma 
ax by c
dx ey f
 

 
 
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales consiste en determinar, si existe, 
un par de números reales  0 0;x y que verifica ambas ecuaciones, es decir 0 0ax by c  
y 0 0dx ey f  
Es posible clasificar a los sistemas de ecuaciones lineales según su conjunto 
solución. Como cada ecuación representa una recta en el plano, podemos tener además 
la siguiente interpretación de cada uno de ellos: 
 
 
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Métodos de Resolución Analíticos 
1. Método de Sustitución 
a) Se despeja una incógnita, por ejemplo y, en una de las dos ecuaciones y se la 
sustituye por la expresión obtenida, en la otra ecuación. 
b) Se resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado con una incógnita: x 
(ya que habíamos despejado y en a). 
c) Se reemplaza x por su valor en la expresión hallada en a) para obtener el valor de 
y. 
Es conveniente utilizarlo cuando el coeficiente de alguna de las incógnitas es 1 
 
Ejemplo: Dado el sistema 
2 1 (1)
3 2 3 (2)
x y
x y
 

 
 
Paso a) De (1): y = 1 – 2x 
Paso b) Sustituimos y por 1 – 2x en (2) 
 3x + 2. (1 – 2x) = 3  3x + 2.1 – 2.2x = 3  3x + 2 – 4x = 3  – x = 3 – 2  x = –1 
Paso c) y = 1 – 2. ( –1) = 3 
El conjunto solución es S =   3;1 
Podemos verificar el sistema reemplazando x e y por los valores hallados: 
2.( 1) 3 1
3.( 1) 2.3 3
  

   
2. Método de Igualación 
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo: y. 
b) Se igualan las expresiones obtenidas en a) y se resuelve la ecuación resultante, 
que es de primer grado en x (pues hemos supuesto que despejamos y) 
c) El valor de x se reemplaza en cualquiera de las expresiones halladas en a) 
Ejemplo: Dado el sistema 
2 6 (1)
2 3 (2)
x y
x y
 

  
 
Paso a) De (1) y (2): 
6
(3)
2
2 3 (4)
x
y
y x



  
 
Paso b) Igualamos las expresiones (3) y (4): 32
2
6


x
x
 
 
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Luego 32
2
6


x
x
  6 – x = 2. (2x +3)  6 – x = 4x + 6  –5x = 0  x = 0 
Paso c) Reemplazamos x por 0 en (3) o (4): y = 2 . 0 + 3 = 3 
El conjunto solución es S =   3;0 
 
3. Método de reducción o eliminación 
a) Multiplicar uno o los dos miembros de ambas ecuaciones por números 
convenientes, a fin de que los coeficientes de la misma variable sean números de 
igual valor absoluto en las dos ecuaciones resultantes. 
 Si el sistema es 
2 3 7
6 4 8
x y
x y
 

  
al multiplicar la primera ecuación por (–3), resulta 
6 9 21
6 4 8
x y
x y
   

  
b) Se suman o restan ambas ecuaciones según que los coeficientes mencionados sean 
opuestos o iguales respectivamente, y la variable correspondiente queda 
eliminada. 
6 9 21
6 4 8
x y
x y
   

  
–13y = –13
 y = 1 
c) Sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales el valor hallado en b) y 
despeje la incógnita restante. 
 2 3.1 7 (7 3) : 2 4x x     
 
 La solución es S =(4; 1) 
 
 
 
4. Método de Determinantes 
Consideremos el sistema 
ax by c
dx ey f
 

  
. El símbolo 
a b
d e
 se llama determinante 
de orden 2. Por definición, es .
a b
a e bd
d e
  
 
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Para resolverlo por este método, se procede de la siguiente manera: 
 
a) Se calculan tres determinantes de orden 2: 
Determinante principal o de los coeficientes 
a b
ae bd
d e
    
Determinante asociado a x (sustituir los coeficientes de x por los términos 
independientes) 
c b
x ce bf
f e
    
Determinante asociado a y: (sustituir los coeficientes de y por los términos 
independientes) 
a c
y af cd
d f
   
 
b) Si 0  , entonces 
x
x



 e 
y
y



. En este caso la solución es única. 
c) Si 0, 0, 0x y      , no existe solución, o sea el sistema es incompatible. 
d) Si 0, 0, 0x y      , el sistema es indeterminado. 
Ejemplo, resolver por determinantes
2 4 0
2 3
x y
x y
  

 
 
Antes de aplicar el método, es necesario reescribir el sistema: 
2 4
2 3
x y
x y
 

 
 
Paso a) Calculamos 
1 2
1.( 1) 2.2 5
2 1
      

 
4 2
4.( 1) 2.3 10
3 1
x      

 
1 4
1.3 4.2 5
2 3
y     
 
 Paso b) La única solución está dada por 
10
2
5
x
x
 
  
 
 ; 
5
1
5
y
y
 
  
  
 S =   2; 1 
 
 
 
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Método de Resolución
Gráfica 
Para resolver gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se 
representan en un plano cartesiano las rectas definidas por ambas ecuaciones. 
Ejemplos: resolver gráficamente los sistemas 
a) 
5
2 4
x y
x y
 

 
 b) 
2 1
2 4 2
y x
x y
  

   
 c)
 
1 2 0
2 2
y x
x y
  

 
 
Solución 
5
a) Despejamos en ambasecuaciones
2 4
y x
y
y x
  

  
Representamos cada recta en el mismo sistema de coordenadas. 
 
El sistema es compatible determinado. 
Gráficamente, las rectas se intersecan en 
el punto (3; 2) 
 
1 1
2 2
b) Despejamos en ambasecuaciones
1 1
2 2
y x
y
y x

 

  

 
Observamos que obtenemos la misma recta. 
 
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El sistema es compatible indeterminado. 
Gráficamente, las rectas son coincidentes. 
El conjunto solución está dado por los 
infinitos pares que verifican 
1 1
obien 1 2
2 2
y x x y   
 
 
2 1
c) Realizandoelmismo procedimiento
2 2
y x
y x
  

   
Ambas ecuaciones difieren únicamente en el valor de la ordenada al origen, por lo cual 
el sistema es incompatible. 
 
Las rectas resultan paralelas, pues tienen 
las misma pendiente. En este caso se dice 
que el conjunto solución es el conjunto 
vacío, y se lo denota S = 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía 
Rojo, Sánchez, Greco (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. Buenos 
Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Stewart J., Redlin L. y Watson S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 6ª 
ed. San Niccolás Tolentino, México: Cengage Learning. 
 
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Guía de Trabajos Prácticos N° 4 
 
ACTIVIDAD 1 
El alquiler de un salón de fiestas cuesta $12000; si se incluye la cena, ésta tiene un costo 
de $300 por persona. 
a) ¿Cuánto hay que pagar por una fiesta en ese salón, con cena y 50 invitados? Y 
si son 150 invitados, ¿cuánto se debe pagar? 
b) Se alquiló el salón con cena incluida para todos los invitados a una fiesta y se 
gastó $72000 en total, ¿cuántos invitados hubo en la fiesta? 
c) Escriban la función que da el precio de una fiesta en ese salón según el número 
de invitados. 
 
ACTIVIDAD 2 
 a) Identifica la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes funciones lineales. 
 i) y = –2x + 3 ii) y = 2x iii) 1
2
3
 xy
 
 b) ¿Cuáles son las intersecciones de dichas rectas con el eje de ordenadas? ¿Y con el 
eje de abscisas? 
 c) Representa gráficamente las funciones. 
 
 
ACTIVIDAD 3 
Dadas las gráficas, escribe las fórmulas de las funciones. ¿Qué estrategia utilizaste? 
a) b) c) 
 
 
 
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ACTIVIDAD 4 
En una función de cine organizada por el club del barrio, se cobró $50 la entrada para 
adultos y $30 la entrada para menores. Los organizadores saben que recaudaron $5160 y 
que asistieron a la función 140 personas. ¿Cuántos adultos y cuántos menores vieron la 
película? 
 
ACTIVIDAD 5 
Resuelve analítica y gráficamente, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 
a) 





923
62
yx
yx
 b)





xy
yx
13
53
 c)





022
0423
yx
yx
 
 
 
ACTIVIDAD 6 
Con una soga de 20 cm se pueden construir rectángulos, como por ejemplo los 
siguientes: 
 
 
 
 
 
a) Si se utiliza toda la soga, ¿cuál de todos los rectángulos que pueden construirse es 
el que tendrá mayor área? 
b) ¿Qué tipo de función se obtiene en el ítem a.? ¿Cuál es su dominio? ¿Y su 
conjunto imagen? 
c) ¿Qué interpretación se da, en la función anterior, al punto P(9;9)? Justifique. 
 
ACTIVIDAD 7 
Dadas las funciones polinómicas de segundo grado: 
 i) y = –x
2
 + 4x – 3 ii) y = x
2
 – 4 iii) f (x) = x
2
 – 3x 
 7.1. Para cada una de ellas, completa: 
a) Los coeficientes de los términos de la función son: a = …; b = …; c =… 
b) El vértice de la parábola es el punto …… 
c) El eje de simetría de la parábola es la recta ….. 
3 cm 
7 cm 8,5 cm 
1,5 cm 
6 cm 
4 cm 
5,5 cm 
4,5 cm 
 
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Facultad de Ciencias Económicas 
Módulo de Matemática – 2020 
 
 
 
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d) La ordenada al origen de la función es ….. 
e) La o las raíces de la función, si existen, son ….. 
f) El dominio de la función es …… 
g) El conjunto imagen de la función es……. 
7.2. Represéntalas gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonales. 
 
ACTIVIDAD 8 
Si g (x) = 3. (x – 4)
2
 + k, ¿cuál debe ser el valor de k para que la gráfica de la función 
pase por (5; 0)? 
 
ACTIVIDAD 9 
La función 2I( ) 1500 50x x x  representa el ingreso total por la venta de un producto. 
¿Cuál es el valor de “x” que produce el máximo ingreso? 
 
Actividades Complementarias 
ACTIVIDAD 1 
En un parque de diversiones la entrada general vale $500 y los tickets para los distintos 
juegos, $200 cada uno. 
a) ¿Cuánto tiene que pagar una persona que ingresa al parque y sube a 3 juegos? Y 
si son 3 personas, ¿cuánto se debe pagar en total? 
b) Suponiendo que una persona ingresó al parque y solamente subió a los juegos, 
¿a cuántos de ellos subió si en total gastó $1500? 
c) Escriban la fórmula correspondiente a la función que dé lo que gasta una 
persona que sube en “x” juegos de ese parque. 
ACTIVIDAD 2 
a) Identifica la pendiente y la ordenada al origen de las funciones lineales 
i_ 
 
 
 ii_ iii_ iv_ 
 
 
 
 b) ¿Cuáles son las intersecciones de dichas rectas con el eje de ordenadas? ¿Y con el 
eje de abscisas? 
 
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 c) Representa gráficamente las funciones. 
 
ACTIVIDAD 3 
Dadas las gráficas, escribe las fórmulas de las funciones. ¿Qué estrategia utilizaste? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDAD 4 
Un cliente compra en un supermercado mayorista 4kg de azúcar y 3kg de café y paga 
$280. Más tarde, otro cliente compra 7kg de azúcar y 5kg de café y paga por ello $470. 
¿Cuánto cuesta el kg de azúcar y el kg de café? 
ACTIVIDAD 5 
Resuelve analítica y gráficamente, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 
 {
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
ACTIVIDAD 6 
Los cuadrados que se ven a continuación fueron construidos y pintados respetando la 
siguiente regularidad. 
Determinar una fórmula que permita calcular la cantidad de cuadraditos pintados en 
cada figura, en función de la cantidad de cuadraditos que tiene en cada lado el cuadrado 
mayor. 
 
 
y 
x 
x 
y 
y 
x 
 
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ACTIVIDAD 7 
Dadas las funciones polinómicas de segundo grado: 
 i) y = 
 
 
x
2
 + 
 
 
x +
 
 
 ii) y = 
 
 
x
2
 +2 iii) f (x) = x
2
 – 9 
 7.1. Para cada una de ellas, completa: 
a) Los coeficientes de los términos de la función son: a = …; b = …; c =… 
b) El vértice de la parábola es el punto …… 
c) El eje de simetría de la parábola es la recta ….. 
d) La ordenada al origen de la función es ….. 
e) La o las raíces de la función, si existen, son ….. 
f) El dominio de la función es …… 
g) El conjunto imagen de
la función es……. 
 7.2. Represéntalas gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonales. 
ACTIVIDAD 8 
Teniendo en cuenta las siguientes funciones, calcular el valor de k para que: 
a) ( ) tenga un mínimo en el punto ( ) 
b) ( ) tenga un máximo en el punto ( ) 
 
ACTIVIDAD 9 
¿Cuál es la ganancia máxima G (en $) que se obtiene por fabricar y vender “x” unidades 
de un producto, si la función ganancia está dada por ( ) 
Figura 1 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
	a) Si se utiliza toda la soga, ¿cuál de todos los rectángulos que pueden construirse es el que tendrá mayor área?
	Dadas las funciones polinómicas de segundo grado:
	i) y = –x2 + 4x – 3 ii) y = x2 – 4 iii) f (x) = x2 – 3x
	7.1. Para cada una de ellas, completa:
	Dadas las funciones polinómicas de segundo grado:
	i) y = ,𝟏-𝟒.x2 + ,𝟑-𝟐.x +,𝟐𝟗-𝟒. ii) y = −,𝟏-𝟐.x2 +2 iii) f (x) = x2 – 9
	7.1. Para cada una de ellas, completa: