Teórico Cinemática 2022 (apunte) - Matias Arredondo

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
CINEMÁTICA 
 
La parte de la mecánica que estudia el movimiento se denomina cinemática. El movimiento 
puede definirse como un cambio continuo de posición. En la mayor parte de los movimientos 
reales, las distintas partes del cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias diferentes. 
Consideraremos solo un punto móvil, o un cuerpo muy pequeño llamado partícula. 
 
El desplazamiento, la velocidad y aceleración de una partícula son vectores. El movimiento 
de una partícula es un problema que debe considerarse en tres dimensiones. Para 
simplificar estudiaremos el movimiento de una sola partícula a lo largo de una línea recta, o 
movimiento rectilíneo. 
 
Posición y desplazamiento: La descripción del movimiento consiste en saber la posición 
de una partícula y cómo su posición cambia con el movimiento de la partícula. En un 
movimiento en una dimensión, se suele elegir el eje x a lo largo de la línea por donde ocurre 
el movimiento. Es importante establecer la diferencia entre desplazamiento y distancia de 
la trayectoria recorrida. La distancia de la trayectoria es la longitud del camino que una 
partícula sigue desde su posición inicial hasta su posición final; es por lo tanto una magnitud 
escalar que siempre positiva. El desplazamiento es el cambio en la posición de la partícula. 
Es positivo si en dirección x creciente y es negativo si va en dirección x decreciente. El 
desplazamiento puede representarse por medio de vectores. 
 
Velocidad media: Suponga que un piloto conduce un auto por una pista recta. Para estudiar 
este movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas para describir la posición del 
auto. El eje x yace a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el origen en la línea de 
salida (Figura 1). Describiremos la posición del auto en términos de la de un punto 
representativo y lo tratamos como una partícula, digamos su extremo delantero. Suponga 
que 1,0 s después del arranque el frente del auto está en P1, a 19 m del origen O, y 4,0 s 
después del arranque está en P2, a 277 m del origen. El desplazamiento de la partícula es 
un vector que apunta de P1 a P2. La componente x del desplazamiento es simplemente el 
cambio en el valor de x (277 m – 19 m) = 258 m, que hubo en un lapso de tiempo de (4,0 s 
– 1,0 s) = 3,0 s. Definimos la velocidad media del auto durante este tiempo como una 
cantidad vectorial cuya componente en x es el cambio de x (∆x) dividido entre el intervalo 
de tiempo (∆t): (258 m)/(3,0 s) = 86 m/s. La velocidad media del auto es positiva. Esto 
significa que, durante ese intervalo de tiempo, la coordenada x aumentó y el auto se movió 
en la dirección +x. 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
Figura 1: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
 
Si una partícula se mueve en la dirección x negativa durante un intervalo de tiempo, su 
velocidad media en ese lapso es negativa. Suponga que una camioneta se mueve hacia la 
izquierda por una carretera. La camioneta está en x1 = 277 m del origen O, en t1 = 16,0 s y 
en x2 = 19 m en t2 = 25,0 s. Entonces, x = (19 m – 277 m) = -258 m y t = (25,0 s – 16,0 s) 
= 9,0 s, y la velocidad media es -29 m/s. 
 
 
Figura 2: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
 
La velocidad media positiva implica movimiento a la derecha y la velocidad negativa implica 
movimiento a la izquierda. Esto es así, si la dirección +x es hacia la derecha, como elegimos 
en las figuras anteriores. Igualmente, podríamos haber elegido que la dirección +x es hacia 
la izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el auto de carrera hubiera tenido 
velocidad media negativa y la camioneta positiva. En todos los problemas debemos elegir 
la dirección del eje de coordenadas, una vez seleccionada, deberá tomarse en cuenta al 
interpretar los signos de la velocidad media. La siguiente tabla muestra algunas reglas 
sencillas para identificar el signo de la velocidad. 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
Tabla 1: reglas del signo de la velocidad 
 
 
Generalicemos el concepto de velocidad media. En la Figura 1, el vector desplazamiento 
está dirigido de P1 hasta P2. En el instante t1, la partícula está sobre el punto P1, cuya 
abscisa es x1, y en el instante posterior t2 se halla en un punto P2, de abscisa x2. Los puntos 
correspondientes sobre la gráfica abscisa-tiempo se han designado por p1 y p2 (Figura 2). 
El vector p1p2, de magnitud x es el vector desplazamiento. El desplazamiento es el mismo 
cualquiera sea el movimiento para llegar de P1 a P2. La curva de la Figura 2 no representa 
la trayectoria del auto; esta es una línea recta, como se ve en la Figura 1. La gráfica es una 
forma de representar cómo cambia la posición de una partícula con el tiempo. Los puntos 
p1p2 corresponden a los puntos P1 y P2 de la trayectoria del auto (Figura 1). La línea p1p2 
es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cateto vertical x = x2 – x1 y cateto horizontal 
t = t2 – t1. Así, la velocidad media de la partícula es la pendiente de la línea p1p2 es decir, 
el cociente del cateto vertical x y el cateto horizontal t. 
 
 
Figura 3: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
El vector velocidad media se define por la relación entre el desplazamiento y tiempo 
 
 ( )
 
 ( )
x desplazamiento vector
v
t tiempo transcurrido escalar

= =

 
 
Excepto en casos especiales, el desplazamiento y la distancia de la trayectoria recorrida no 
tiene el mismo valor numérico. En general, la velocidad media sobre la distancia de la 
trayectoria y la velocidad media sobre el desplazamiento difieren numéricamente. Sin 
embargo, los dos se han definido como el cociente entre longitud y tiempo y se expresan en 
la misma unidad. A modo de ejemplo, el ganador de una competencia de natación estableció 
el récord mundial en 1994 nadando 100 m en 46,74 s, su velocidad media sobre la 
trayectoria fue de 2,14 m/s. Sin embargo, como nadó dos vueltas de 50 m, terminó en el 
punto de partida y el desplazamiento es cero y velocidad media sobre le desplazamiento es 
cero. 
 
Para evaluar tu comprensión: Un camión viaja a la derecha desde el punto A hasta B, una 
distancia de 60 km. Un auto viaja a la izquierda desde el punto A hasta C 30 km, se da 
vuelta y viaja a la derecha hasta el punto B. El camión y el auto salen de A simultáneamente 
y llegan a B simultáneamente. Explique porque el auto y el camión tienen la misma velocidad 
media. 
 
 
 
La tabla 2 muestra las unidades de velocidad para los diferentes sistemas de unidades. 
 
Tabla 2: unidades de velocidad en los diferentes sistemas 
CGS MKS TÉCNICO INGLÉS Otras de uso práctico 
km/h; mi/h 
nudo= 1 milla marina/h cm/s m/s m/s ft/s 
 
Velocidad instantánea 
 
Al definir velocidad media entre los puntos P1 y P2 vimos que está ligada al desplazamiento 
x y al intervalo de tiempo t. Imaginemos que el segundo punto P2 se toma cada vez más 
cerca del primero P1 y se calcula la velocidad media correspondiente a desplazamientos a 
intervalos de tiempo cada vez más pequeños. Definimos velocidad instantánea en un 
punto como la velocidad media durante un desplazamiento infinitamente pequeño que 
incluyaal punto. Aunque el desplazamiento es extremadamente pequeño, el intervalo de 
tiempo también es muy pequeño y en consecuencia el cociente no tiene que ser 
necesariamente pequeño. Utilizando la notación del cálculo diferencial, representando con 
v a la velocidad instantánea tendremos: 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
𝑣 = 𝑙í𝑚
𝛥𝑡→0
𝛥𝑥
𝛥𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando ∆t se aproxima a cero. 
La velocidad instantánea también un vector cuya dirección y sentido son los de la posición 
límite del vector desplazamiento x. Cuando un punto p2 se aproxima al p1, en la gráfica 
abscisa-tiempo. En el límite la pendiente de la cuerda p1p2 es igual a la pendiente de la 
tangente a la curva en el punto p1 (Figura 4). La velocidad instantánea en cualquier punto 
de una gráfica abscisa-tiempo es igual a la pendiente de su tangente en dicho punto. 
 
Figura 4: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
La Figura 5, muestra el ejemplo del movimiento de una partícula. Si la tangente sube hacia 
la derecha, la pendiente es positiva, la velocidad es también positiva, y el movimiento es +x 
(puntos A y B). Si la tangente desciende hacia la derecha, la velocidad es negativa y el 
movimiento es -x (puntos D y E). En un punto donde la tangente es horizontal, la pendiente 
es nula y la velocidad también (punto C). 
 
 
Figura 5: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
Aceleración media y aceleración instantánea 
 
Cuando la velocidad del cuerpo varía continuamente durante el movimiento, se dice que el 
cuerpo se mueve con movimiento acelerado o tiene aceleración. En la Figura 6 se muestra 
una partícula que se mueve a lo largo del eje x. El vector v1 representa la velocidad 
instantánea en el punto p1, y el v2, la velocidad instantánea en el punto p2. Además, se han 
graficado la velocidad instantánea en función del tiempo, los puntos p1 y p2 corresponde a 
P1 y P2 de la Figura 1. 
 
 
Figura 6: Extraído de Física Universitaria. Sears and Zemansky, 2013. 
 
La aceleración media de una partícula cuando se mueve de p1 a p2 se define como la 
variación de velocidad dividido por el tiempo transcurrido. 
 
2 1
2 1
v v v
a
t t t
− 
= =
− 
 
 
Puesto que v1 y v2 son vectores, la magnitud v2 - v1 es una diferencia vectorial, que para el 
caso particular del movimiento rectilíneo donde ambos vectores se hallan sobre la misma 
recta, el valor de la diferencia vectorial es igual a la diferencia entre los valores de los 
vectores. En la gráfica velocidad-tiempo (Figura 6), el valor de la aceleración media está 
representado por la pendiente de la cuerda p1p2. La aceleración media es un vector, por lo 
tanto, lo caracteriza un módulo y una dirección. Su dirección en el caso particular del 
movimiento rectilíneo es la de los vectores v1 y v2 y su módulo es v / t y se expresa en 
unidades de velocidad sobre unidades de tiempo, según la Tabla 3. 
 
Tabla 3: unidades de velocidad en los diferentes sistemas 
CGS MKS TÉCNICO INGLÉS 
cm/s2 m/s2 m/s2 ft/s2 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
Si la aceleración no es constante, debemos encontrar la aceleración de la partícula en un 
instante dado, llamada aceleración instantánea. En forma semejante a la velocidad 
instantánea se define como: 
 
𝑎 = 𝑙í𝑚
𝛥𝑡→0
∆𝑣
𝛥𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
Para calcular la aceleración instantánea en p1 (Figura 6), tomamos el segundo punto p2 
cada vez más cerca de p1 de modo que la aceleración media se calcula en intervalos más 
cortos. La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo 
del tiempo se acerca a cero. La aceleración instantánea de una partícula en un punto es el 
límite de la aceleración media cuando v y t se hacen infinitamente pequeños. La dirección 
y sentido de la aceleración instantánea son los correspondientes a la posición límite del 
vector variación de la velocidad (v). La aceleración instantánea en cualquier punto de la 
gráfica velocidad - tiempo (v-t) es igual a la pendiente de la tangente en dicho punto (Figura 
7). Si la pendiente es positiva, la aceleración instantánea es > cero (puntos A y B). Si la 
pendiente desciende hacia la derecha, la aceleración instantánea es < cero (puntos D y E). 
En un punto donde la tangente es horizontal, la pendiente es nula, la velocidad es mayor a 
cero y la aceleración instantánea es igual a cero (punto C). 
 
 
Figura 7: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
También podemos determinar la aceleración de una partícula utilizando la gráfica de su 
posición en función del tiempo (x-t) (Figura 8 y Tabla 4). La velocidad instantánea es igual 
a la pendiente de la recta en un punto y la aceleración está dada por la concavidad o 
curvatura de la gráfica. En un punto de la gráfica x-t la cóncava es hacia arriba, la 
aceleración es mayor a cero (puntos A y E). Si la concavidad es hacia abajo, la aceleración 
es menor a cero (punto C). Si no hay concavidad en el punto de inflexión la aceleración es 
igual a cero (puntos B y D). 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
Figura 8: Extraído de Física Universitaria. Sears and Zemansky, 2013. 
 
 
Tabla 4: análisis de velocidad y aceleración de la gráfica x-t de la Figura 8. 
 Gráfica x-t Movimiento de la partícula 
A Pendiente positiva, v > 0 
Curvatura hacia arriba a > 0 
 
Movimiento en la dirección +x 
acelerado 
B Pendiente positiva mayor que la anterior, v > 0 
Curvatura cero a = 0 
 
Movimiento en la dirección +x más rápido que 
en A, la rapidez no cambia 
C Pendiente cero, v = 0 
Curvatura hacia abajo, a < 0 
 
Instantáneamente en reposo, la velocidad 
cambia de + a - 
D Pendiente negativa, v < 0 
Curvatura cero, a = 0 
 
Movimiento en la dirección –x la rapidez no 
cambia 
E Pendiente negativa menor, v < 0 
Curvatura hacia arriba, a > 0 
Movimiento en la dirección –x más lento que 
en D, frenando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
 
Clasificación de los movimientos rectilíneos uniformemente variados: 
 
a) Movimiento con aceleración positiva (acelerado): 
El movimiento se llama acelerado si el valor absoluto de la velocidad escalar aumenta. 
Ejemplo: Si v1 = 10 m/s y 20 segundos después v2 =40m/s, el movimiento es acelerado con 
aceleración escalar positiva, (a = 1,5 m/s2). Si v1 = -10 m/s y 20 segundos después v2 = – 40 
m/s el movimiento es acelerado con aceleración escalar negativa, (a = -1,5 m/s2). 
 
b) Movimiento con aceleración negativa (retardado): 
El movimiento se llama retardado si el valor absoluto de la velocidad escalar disminuye. 
Ejemplo: Si v1=40 m/s y 20 segundos después v2=10m/s, el movimiento es retardado con 
aceleración escalar negativa. (a = -1,5 m/s2). Si v1= -40 m/s y 20 segundos después v2= –
10 m/s el movimiento es retardado con aceleración escalar positiva. (a = 1,5 m/s2). 
 
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 
El tipo más sencillo de movimiento acelerado es el rectilíneo con aceleración constante, es 
decir la velocidadvaría al mismo ritmo durante todo el movimiento. Significa que la velocidad 
aumenta (o disminuye) la misma cantidad en cada unidad de tiempo. 
 
El valor medio de la magnitud que no varía es sencillamente el valor constante de dicha 
magnitud. Por lo tanto, en el movimiento con aceleración constante la aceleración media a 
puede reemplazarse por la aceleración constante a, obteniendo la ecuación a a= cte. 
 
Haciendo t1 = 0 y t2 un tiempo cualquiera, v1 la velocidad para t1 y v2 para un tiempo t2, se 
obtiene: 
 
�̅� = 
𝑣2−𝑣1
𝑡2−𝑡1
 𝑣2 = 𝑣1 + �̅�(𝑡2 − 𝑡1) 
 
Para deducir la expresión de la posición x de una partícula que se mueve con aceleración 
constante partimos de las dos expresiones de velocidad media: 
 
�̅� = 
𝑣2+𝑣1
2
 
 
 
�̅� = 
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
 
 
Igualando ambas expresiones y despejando x se llega a: 
 
𝑥2 = 𝑥1 + (
𝑣2 + 𝑣1
2
) (𝑡2 − 𝑡1) 
 
Al sustituir en la expresión anterior v1 por: 
 
𝑣2 = 𝑣1 + �̅�(𝑡2 − 𝑡1) 
 
Válida sólo si la aceleración es constante 
Se cumple sea el movimiento acelerado o no 
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
Queda: 
 
𝑥2 = 𝑥1 + (
𝑣1 + 𝑎(𝑡2 − 𝑡1) + 𝑣1
2
) (𝑡2 − 𝑡1) 
 
𝑥2 = 𝑥1 +
2. 𝑣1. (𝑡2 − 𝑡1)
2
+
�̅�. (𝑡2 − 𝑡1)
2
2
 
 
Finalmente, la expresión de la posición en función del tiempo es: 
𝑥2 = 𝑥1 + 𝑣1(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
. �̅�. (𝑡2 − 𝑡1)
2 
 
En muchos problemas es útil tener la relación entre posición (x), velocidad (v) y aceleración 
y que no incluya a tiempo (t). Para ello despejamos ∆t (t2-t1) de la ecuación de aceleración 
y la reemplazamos en la ecuación de x: 
 
∆𝑡 =
𝑣2−𝑣1
𝑎 
 
 
 𝑥2 = 𝑥1 + �̅�∆𝑡 
 
𝑥2 = 𝑥1 + (
𝑣2 + 𝑣1
2
) (
𝑣2 − 𝑣1
�̅�
) 
 
𝑥2 = 𝑥1 +
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2�̅�
 
 
𝑣2
2 = 𝑣12 + 2�̅�(𝑥2 − 𝑥1) 
 
 
 
Gráficas
x-t v-t a-t
v
t
x
MRUV
a
t
aceleración positiva
La velocidad aumenta con el 
incremento del tiempo. La pendiente 
de la recta es la aceleración 
aceleración positiva y 
constante 
v
t
a
t
aceleración negativa
La velocidad disminuye con el 
incremento del tiempo. La pendiente 
de la recta es la aceleración 
aceleración negativa y 
constante 
t
x
t
Para intervalos iguales de 
tiempo, la variación de 
posición aumenta
Para intervalos iguales de 
tiempo, la variación de 
posición disminuye
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
Movimiento rectilíneo y uniforme 
 
Un caso particular es aquel en que la aceleración es nula, por lo tanto, la velocidad es 
constante. Las ecuaciones del movimiento serán: 
 
𝑣2 = 𝑣1 + �̅�(𝑡2 − 𝑡1) 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑣1(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
. �̅�. (𝑡2 − 𝑡1)
2 
 
Si a = 0 
 
𝑣2 = 𝑣1 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑣1(𝑡2 − 𝑡1) 
 
 
 
 
 
Caída libre de los cuerpos 
Cuenta la leyenda que Galileo Galilei (1564-1642) dejó caer cuerpos de diferente masa 
desde de la cima de la Torre Inclinado de Pisa para averiguar si la caída era la misma o 
diferente. El concluyó que la aceleración de caída era la misma independiente de su peso. 
Entonces, ¿Por qué, si se deja caer una pluma y una bala de cañón, no caen en la misma 
proporción? Esto no significa que Galileo estaba equivocado; significa que su teoría estaba 
incompleta. Si nosotros dejamos caer la pluma y la bala de cañón y eliminamos el efecto del 
aire, ellos caen con la misma aceleración. La teoría de Galileo se aplica sólo para cuerpos 
que la fuerza ejercida por el aire es mucho menor al peso del cuerpo. 
 
El ejemplo más sencillo de un cuerpo con movimiento acelerado de aceleración 
aproximadamente constante lo constituye un cuerpo que cae a la Tierra. Prescindiendo de 
la resistencia del aire, se encuentra que todos los cuerpos, independientemente de su 
tamaño o peso, caen con la misma aceleración a un mismo lugar de la superficie terrestre y 
si la distancia recorrida no es demasiado grande, dicha aceleración permanece constante 
Gráficas
x-t v-t a-t
v
t
x
t
MRU
a
t
Velocidad positiva
La posición aumenta con 
incremento del tiempo. La pendiente 
de la recta es la velocidad 
Velocidad positiva y 
constante 
Aceleración = 0
v
t
x
t
a
t
Velocidad negativa
La posición disminuye con 
incremento del tiempo. La pendiente 
de la recta es la velocidad 
Velocidad negativa y 
constante 
Aceleración = 0
Universidad Nacional de Mar del Plata Teórico 
Facultad de Ciencias Agrarias 
Física General y Biológica 
 
durante la caída. A este movimiento idealizado se le denomina "caída libre", aunque el 
término se refiere tanto a caída como ascenso. La aceleración de un cuerpo en caída libre 
se denomina aceleración de la gravedad. En la superficie terrestre es aproximadamente 9,8 
m/s2, 980 cm/s2 o 32 ft/s2. Por lo tanto, las ecuaciones para un cuerpo en caída libre son las 
del MRUA, utilizando aceleración igual a la aceleración de la gravedad (g). 
 
𝑣2 = 𝑣1 + 𝑔(𝑡2 − 𝑡1) 
ℎ2 = ℎ1 + 𝑣1(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
. 𝑔. (𝑡2 − 𝑡1)
2 
𝑣2
2 = 𝑣12 + 2𝑔(ℎ2 − ℎ1) 
 
(Se considera que el movimiento tiene lugar a lo largo del eje y) 
 
Estas ecuaciones son válidas para el caso en el que el vector velocidad inicial y aceleración 
tienen el mismo sentido. En caso contrario debe reemplazarse g por -g. La letra g representa 
la aceleración producida por la fuerza resultante del fenómeno de la gravedad. (La gravedad 
es un fenómeno y la fuerza de gravedad es la fuerza con la cual la Tierra atrae a un cuerpo). 
 
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. La pelota 
abandona la mano a la altura del barandal de la azotea con velocidad ascendente de 15 
m/s, llega a la altura máxima y cae libremente. La Figura 9 muestra las gráficas y-t y vy-t de 
la pelota. La gráfica y-t es una parábola cóncava hacia abajo que sube y luego baja, y la 
gráfica vy-t es una línea recta con pendiente hacia abajo. Observe que la velocidad de la 
pelota es cero cuando se encuentra en su punto más alto. 
 
 
Figura 9: Extraído de Física Universitaria. Sears et al., 2013. 
 
Referencias 
Sears, F., Zemansky, M., Young, H. y Freedman, R. 2013. Física universitaria. Volumen 1. 
Décimo tercera edición. Pearson. México. 744 pág. 
 
Tipler, P. y Mosca, G. 2010. Física para la ciencia y la tecnología. Sexta edición. Editorial 
Reverté, 1172 pág.