TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [13-15]

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TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [13-15] 
 
Eigenvalores complejos 
Hallar la solución general de los siguientes SLH’s 
13) 
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 6𝑥 − 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 5𝑥 + 2𝑦
 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 6 1
−5 𝜆 − 2
) = 0 ⇔ 𝜆2 − 8𝜆 + 17 = 0 
 Los eigenvalores son 4 + 𝑖 y 4 − 𝑖. 
 Eigenvectores asociados a 4 + 𝑖: 
(
−2 + 𝑖 1
−5 2 + 𝑖
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
−2 + 𝑖 1
 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 (−2 + 𝑖)𝑘1 + 𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 4 + 𝑖 es (
1
2 − 𝑖
) y un eigenvector asociado 
a 4 − 𝑖 es (
1
2 + 𝑖
). 
 La solución general compleja del SLH es 
𝑋𝑐(𝑡) = 𝑐1 (
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡 + 𝑐2 (
1
2 + 𝑖
) 𝑒(4−𝑖)𝑡 , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℂ 
 La solución general real del SLH está dada por 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1𝑅𝑒 [(
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡] + 𝑐2𝐼𝑚 [(
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡] , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ 
 Hallamos las partes real e imaginaria de (
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡, usaremos las 
fórmulas 
𝑅𝑒(𝐾0𝑒
(𝛼+𝑖𝛽)𝑡) = [𝑅𝑒(𝐾0)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 − 𝐼𝑚(𝐾0)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒
𝛼𝑡 
𝐼𝑚(𝐾0𝑒
(𝛼+𝑖𝛽)𝑡) = [𝐼𝑚(𝐾0)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 + 𝑅𝑒(𝐾0)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒
𝛼𝑡 
 𝑅𝑒 [(
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡] = [(
1
2
) 𝑐𝑜𝑠𝑡 − (
 0
−1
) 𝑠𝑖𝑛𝑡] 𝑒4𝑡 
 = (
𝑐𝑜𝑠𝑡
2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒4𝑡 
 𝐼𝑚 [(
1
2 − 𝑖
) 𝑒(4+𝑖)𝑡] = [(
 0
−1
) 𝑐𝑜𝑠𝑡 + (
1
2
) 𝑠𝑖𝑛𝑡] 𝑒4𝑡 
 = (
𝑠𝑖𝑛𝑡
−𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒4𝑡 
 La solución general real del SLH es 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1 (
𝑐𝑜𝑠𝑡
2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒4𝑡 + 𝑐2 (
𝑠𝑖𝑛𝑡
−𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒4𝑡 , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ 
 
14) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
4 −5
5 −4
) 𝑋 
 Eigenvalores: 
 𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 4 5
−5 𝜆 + 4
) = 0 ⇔ 𝜆2 + 9 = 0 
 Los eigenvalores son 3𝑖 y −3𝑖. 
 Eigenvectores asociados a 3𝑖. 
 (
3𝑖 − 4 5
−5 3𝑖 + 4
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
−4 + 3𝑖 5
 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 (−4 + 3𝑖)𝑘1 + 5𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 3𝑖 es (
5
4 − 3𝑖
) y un eigenvector asociado a 
−3𝑖 es (
5
4 + 3𝑖
). 
 La solución general compleja del SLH es 
𝑋𝑐(𝑡) = 𝑐1 (
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡 + 𝑐2 (
5
4 + 3𝑖
) 𝑒−3𝑖𝑡 , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℂ 
 La solución general real del SLH está dada por 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1𝑅𝑒 [(
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡] + 𝑐2𝐼𝑚 [(
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡] , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ 
 Hallamos las partes real e imaginaria de (
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡. 
 𝑅𝑒 [(
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡] = [(
5
4
) 𝑐𝑜𝑠3𝑡 − (
 0
−3
) 𝑠𝑖𝑛3𝑡] 𝑒0𝑡 
 = (
5𝑐𝑜𝑠3𝑡
4𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 3𝑠𝑖𝑛3𝑡
) 
 𝐼𝑚 [(
5
4 − 3𝑖
) 𝑒3𝑖𝑡] = [(
 0
−3
) 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + (
5
4
) 𝑠𝑖𝑛3𝑡] 𝑒0𝑡 
 = (
5𝑠𝑖𝑛3𝑡
−3𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 4𝑠𝑖𝑛3𝑡
) 
 La solución general real del SLH es 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1 (
5𝑐𝑜𝑠3𝑡
4𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 3𝑠𝑖𝑛3𝑡
) + 𝑐2 (
5𝑠𝑖𝑛3𝑡
−3𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 4𝑠𝑖𝑛3𝑡
) , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ 
 
15) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
 1 −1 2
−1 1 0
−1 0 1
) 𝑋 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 1 −2 
1 𝜆 − 1 0
1 0 𝜆 − 1
) = 0 
(−1)𝑑𝑒𝑡 (
1 −2
0 𝜆 − 1
) + (𝜆 − 1)𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 −2 
1 𝜆 − 1
) = 0 
−(𝜆 − 1) + (𝜆 − 1)[(𝜆 − 1)2 + 2] = 0 ⇔ (𝜆 − 1)(𝜆2 − 2𝜆 + 2) = 0 
 Los eigenvalores son 1 + 𝑖, 1 − 𝑖 y 1. 
 Eigenvectores asociados a 1 + 𝑖: 
(
𝑖 1 −2
1 𝑖 0
1 0 𝑖
) (
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
(
𝑖 1 −2
1 𝑖 0
1 0 𝑖
) ~ (
𝟏 0 𝑖
1 𝑖 0
𝑖 1 −2
) ~ (
1 0 𝑖
0 𝑖 −𝑖
0 1 −1
) ~ (
1 0 𝑖
0 𝟏 −1
0 1 −1
) 
(
1 0 𝑖
0 1 −1
0 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
𝑘1 + 𝑖𝑘3 = 0, 𝑘2 − 𝑘3 = 0 
 Un eigenvector asociado a 1 + 𝑖 es (
−𝑖
 1
 1
) y un eigenvector asociado a 
1 − 𝑖 es (
𝑖
1
1
). 
 Eigenvectores asociados a 1. 
(
0 1 −2 
1 0 0
1 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
(
0 1 −2 
1 0 0
1 0 0
) ~ (
𝟏 0 0
1 0 0
0 1 −2
) ~ (
1 0 0
0 0 0
0 1 −2
) 
(
1 0 0
0 1 −2
0 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
𝑘1 = 0, 𝑘2 − 2𝑘3 = 0 
 Un eigenvector asociado a 1 es (
0
2
1
). 
 La solución general compleja del SLH es 
 𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡 + 𝑐2 (
𝑖
1
1
) 𝑒(1−𝑖)𝑡 + 𝑐3 (
0
2
1
) 𝑒𝑡, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 ∈ ℂ 
 La solución general real del SLH es 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1𝑅𝑒 [(
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡] + 𝑐2𝐼𝑚 [(
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡] + 𝑐3 (
0
2
1
) 𝑒𝑡 , 
donde 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 ∈ ℝ. 
 Hallamos las partes real e imaginaria de (
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡. 
𝑅𝑒 [(
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡] = [(
0
1
1
) 𝑐𝑜𝑠𝑡 − (
−1
 0
 0
) 𝑠𝑖𝑛𝑡] 𝑒𝑡 = (
𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
) 𝑒𝑡 
𝐼𝑚 [(
−𝑖
 1
 1
) 𝑒(1+𝑖)𝑡] = [(
−1
 0
 0
) 𝑐𝑜𝑠𝑡 + (
0
1
1
) 𝑠𝑖𝑛𝑡] 𝑒𝑡 = (
−𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒𝑡 
 Luego, la solución general real del SLH es 
𝑋𝑟(𝑡) = 𝑐1 (
𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
) 𝑒𝑡 + 𝑐2 (
−𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡
) 𝑒𝑡 + 𝑐3 (
0
2
1
) 𝑒𝑡 , 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 ∈ ℝ