CAP 5 _Vibraciones

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CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
VIBRACIONES 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
 Vamos a comenzar hoy con el estudio de las vibraciones, como una aplicación de la 
dinámica del punto material. 
 
 El estudio de las vibraciones es muy amplio y nosotros en esta materia nos limitaremos 
fundamentalmente a las vibraciones mecánicas rectilíneas, en una única dirección. 
 
Las aplicaciones de este estudio son múltiples y variados, y van desde el cálculo de 
los sistemas de vinculación entre bastidores y fundaciones de máquinas pesadas, hasta el 
balanceo dinámico de árboles y ejes; pasando también, por supuesto, por el estudio de la 
resonancia. 
 
 
II. HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS. 
 
Simplificaremos nuestro estudio, en base a las siguientes suposiciones: 
 
a. Movimiento unidimensional: Vamos a considerar únicamente un movimiento a lo largo 
de una línea recta, y no estarán permitidos los desplazamientos laterales, ni en 
ninguna otra dirección que no sea la de dicha recta. 
b. El sistema es de un solo grado de libertad. Esto implica una sola masa y una sola 
dirección posible de movimiento. 
c. La masa es puntual. Esto implica que será válida la aplicación de la segunda ley de 
Newton, en la forma que ya vimos, y de manera directa. 
d. Los elementos elásticos, resortes, que ejercen la acción recuperadora, serán: 
- Uniaxiales (responden sólo en la dirección de su eje geométrico); 
- Son además ideales, es decir, carecen de masa; 
- Trabajan siempre dentro del límite elástico, y; 
- Responden a la ley de Hooke: 𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ = −𝑘. ∆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ , donde “k” caracteriza la constante 
elástica del resorte. 
e. Los elementos viscosos, amortiguadores, que absorben energía, serán: 
- Uniaxiales; 
- Ideales (sin masa); 
- Producen una fuerza de rozamiento fluido del tipo viscoso, que responde a la ley 
Stokes (proporcional a la primera potencia de la velocidad): 𝐹 𝑣 = −𝑐. 𝑣 , donde “c” 
es la característica o constante del amortiguador. 
 
 
III. MODELO FÍSICO COMPLETO. 
 
En virtud de las hipótesis anteriores, y suponiendo adicionalmente una carga variable 
del tipo armónico, que se pueda expresar como: 𝐹𝑓.⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹𝑜 . cos(𝑤𝑓. 𝑡). 𝑖,̌ donde: 𝐹�̅�, es la fuerza 
exterior perturbadora (o forzadora); 𝐹𝑜 es la amplitud máxima de la fuerza perturbadora, que 
supondremos también constante, y; 𝑤𝑓 es la pulsación de la fuerza exterior forzadora, o 
perturbadora. El versor 𝑖̌ indica la dirección del movimiento. 
 
El modelo físico, entonces, será el siguiente: 
 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
 
 
 Fig. 1 
 
 
 
 
 
 
 Adoptando un sistema de referencia, con origen fijo (O) en la posición de reposo inicial 
de la masa (m), y considerando la masa en una posición cualquiera desplazada de la posición 
de reposo, y en un instante en el que todavía se mueve hacia la derecha por la acción de la 
fuerza forzadora (𝐹�̅�), tendremos: 
 
 
 
 
 Fig. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. MODELO MATEMÁTICO. 
 
Para modelar el sistema físico, utilizaremos la Segunda ley de Newton. 
 
El diagrama de cuerpo libre de la masa m, considerando nula todo tipo de fricción, 
incluso la de rodadura, quedará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para el diagrama anterior: 
 
 ∑ �̅� = 𝑚. �̅� 
 
�̅�𝑓 + �̅� + �̅� + �̅�𝑎 + �̅�𝑟 = 𝑚. �̅� 
 
En componentes cartesianas: 
 
𝐹𝑓. 𝑖̌ + 𝑁. 𝑗̌ − 𝑃. 𝑗̌ − 𝐹𝑎 . 𝑖̌ − 𝐹𝑟 . 𝑖̌ = 𝑚. 𝑎. 𝑖̌ 
 
 Separando componentes en cuadratura: 
 
{
 𝑖̌) 𝐹𝑓 − 𝐹𝑎 − 𝐹𝑟 = 𝑚. 𝑎 = 𝑚. �̈� 
𝑗̌) 𝑁 − 𝑃 = 0 ⇒ 𝑁 = 𝑃 
 
 
Y conforme a las hipótesis simplificativas, reemplazando en la primera, las expresiones 
de la ley de Hooke y de Stokes para el resorte y el amortiguador respectivamente, expresando 
las derivadas temporales primera y segunda en nuestra notación habitual y ordenando, queda: 
 
 𝒎. �̈� + 𝒄. �̇� + 𝒌. 𝒙 = 𝑭𝒐. 𝐬𝐞𝐧 (𝝎𝒇. 𝒕) (𝟏) 
 
 𝐸𝑐 𝑑𝑖𝑓, 𝑑𝑒 1 𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠; 
𝐸𝑐. 𝑑𝑖𝑓. ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎𝑠; 
 𝐸𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠; 
𝐸𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖; 
𝐸𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎; 
𝐸𝑐. 𝑑𝑖𝑓. 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎; 
 𝐸𝑐 𝑑𝑖𝑓. 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡)
ℎ + 𝑥(𝑡)
𝑐 
 
Que es nuestro modelo matemático completo para expresar el estado de vibración de 
una masa puntual m, concentrada, sometida a una carga exterior Fe del tipo armónico, 
pulsante. 
 
Esta ecuación, es una ecuación diferencial (E.D.) con las siguientes características: 
 
- Ordinaria, porque no hay derivadas parciales, son todas respecto del tiempo; 
- De segundo orden, porque la derivada de mayor orden que aparece es de grado 
2; 
- Lineal. Porque tanto la variable (la posición x), como todas sus derivadas, están a 
la primera potencia; 
- A coeficientes constantes. Porque todos los coeficientes que multiplican a la 
variable (x), son constantes; 
- Completa. Porque la ecuación es de segundo orden y están los tres términos: El 
que contiene a la variable, el que contiene a la derivada primera y el que contiene 
a la derivada segunda; 
- No homogénea. Porque no está igualada a cero. 
 
Al resolverla, podremos encontrar la velocidad y la posición de la masa “m”, para 
cualquier instante de tiempo. 
 
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A partir de la ecuación (1) podemos distinguir tres casos: 
 
a. Si 𝐹𝑓 y Fa son nulas, tendremos vibraciones libres no amortiguadas: 
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 0; 
b. Si Ff es nula, pero Fa no, tendremos vibraciones libres amortiguadas: 
 𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 0; 
c. Si 𝐹𝑓 no es nula, tendremos vibraciones forzadas, amortiguadas o no, según valor 
de Fa: 𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹𝑜 . cos (𝑤𝑓. 𝑡) (para el caso de no amortiguadas). 
 
 
V. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS. 
 
Ya habíamos visto y planteado esta ecuación: (𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 0), en los cursos de física 
1. Los movimientos que obedecen a dicha ecuación se denominan: Movimiento Armónico 
Simple (MAS). 
 
Son armónicos porque tienen período. En efecto, se trata de un movimiento de vaivén, 
que se repite en forma cíclica a lo largo del tiempo. Y “simple”, porque es el movimiento más 
simple de todos, en donde la posición varía en forma sinusoidal. 
 
La ecuación, entonces, describe el movimiento de vaivén, de un cuerpo (o masa) que 
oscila alrededor de su posición de equilibrio estático, en períodos regulares de tiempo. La a 
fuerza recuperadora es proporcional a la posición y el sistema está libre de fricción. 
 
La solución de esta ecuación, habíamos visto también, que era del tipo: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴. cos (𝜔. 𝑡 + ∅) 
 
Intentemos un par de demostraciones. Pero antes de comenzar, reescribiremos 
nuestra ecuación diferencial. 
 
Partimos de la ecuación original del movimiento, para el caso que nos ocupa. Es decir, 
sin amortiguamiento (Fza. del amortiguador = 0) y oscilaciones libres (Fza. perturbadora = 0): 
 
𝒎. �̈� + 𝒌. 𝒙 = 𝟎 
 
 La normalizamos, dividiendo por el coeficiente del término de mayor orden: 
 
 �̈� +
𝑘
𝑚
. 𝑥 = 0 𝑥(𝑡) = 𝐶. cos(√𝜔. 𝑡) 
 
Ahora hacemos una pequeña sustitución: llamamos wo (pulsación natural, pulsación 
propia del sistema, o pulsación natural no amortiguada), a la raíz cuadrada del cociente entre 
la constante elástica del resorte y la masa m: 𝜔𝑜 = √𝑘/𝑚 
 
 �̈� + 𝜔𝑜
2. 𝑥 = 0 
 
Esa será nuestra ecuación de trabajo, para el caso de vibraciones libres sin 
amortiguamiento. 
 
 
 
 
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VI. ANALOGÍA DEL MAS CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. 
 
Para un MCU teníamos el siguiente modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: P es el punto cuyo movimiento estamos analizando, C es la trayectoria 
(circunferencia); R el radio de la circunferencia; 𝜔 es la velocidad angular (𝜔 = 𝑑𝛼/𝑑𝑡 = 𝑐𝑡𝑒), 
y si para el instante inicial (to), suponemos que el punto P está ubicado en laintersección de 
la circunferencia con el eje X, tendremos: 
 
𝜔 = 𝑑𝛼/𝑑𝑡; 
 
𝜔. 𝑑𝑡 = 𝑑𝛼; 
 
Y si integramos entre el instante inicial y un instante t genérico cualquiera. Para el 
ángulo 𝛼 (que se mide desde el eje X, en sentido antihorario), la integración será desde φo 
(que por haber hecho coincidir al punto P, con el eje X, vale cero), hasta el ángulo φ descrito 
por el barrido del vector posición, desde t0 hasta el instante t, tendremos: 
 
∫ 𝜔. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜=0
= ∫ 𝑑𝛼
𝛼
𝛼𝑜=0
 
 
Y finalmente: 
𝜔. 𝑡 = 𝛼 
 
La posición, del punto “P” en un instante cualquiera, en coordenadas cartesianas, será: 
 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑅. cos(𝛼) 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑗̌ 
Pero como 𝛼 = 𝜔. 𝑡, 
 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑅. cos(𝜔. 𝑡) 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡)𝑗̌ 
 
La velocidad, que resulta de derivar la posición respecto del tiempo t: 
 
𝑣𝑃̅̅ ̅ = −𝑅. 𝜔. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) + 𝑅.𝜔. cos (𝜔𝑡) 
Y la aceleración: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −𝑅.𝜔
2. cos(𝜔. 𝑡) − 𝑅. 𝜔2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) 
 
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Transcribimos nuevamente las expresiones de las componentes en la dirección del eje 
X de la posición, velocidad y aceleración y las comparamos: 
 
{
(𝑃 − 𝑂)𝑥 = 𝑅. cos(𝜔. 𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑉𝑃𝑥 = −𝑅. 𝜔. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) = �̇�(𝑡) 
𝑎𝑃𝑥 = −𝑅.𝜔
2. cos(𝜔. 𝑡) = �̈�(𝑡)
 
 
Comparando la primera (la componente x del vector posición), con la última (la 
componente x del vector aceleración), vemos que: 
 
𝑎𝑃𝑥 = 𝜔
2. (𝑃 − 𝑂)𝑥 
 
Y como por definición la aceleración es la derivada segunda del vector posición, 
respecto del tiempo dos veces, tendremos que: 
 
�̈�(𝑡) = −𝜔2. 𝑥(𝑡) = −𝜔2. 𝑅. cos (𝜔. 𝑡) 
 
Pero la conclusión más importante, es que la solución a la ecuación diferencial: 
 
�̈� + 𝜔2. 𝑥 = 0 
 
Es: 
 𝒙(𝒕) = 𝑹. 𝐜𝐨𝐬(𝝎. 𝒕) 
 
Luego, como nuestra ecuación diferencial para las oscilaciones libres no 
amortiguadas era: 
 
�̈� + 𝜔𝑜
2. 𝑥 = 0 
 
Es de esperar que tenga una solución similar: 
 
 𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒐. 𝒕 + 𝝋) 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. [𝐜𝐨 𝐬(𝝎𝒐. 𝒕) . 𝒄𝒐𝒔(𝝋) − 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝋)] = 𝑨𝟏. 𝐜𝐨 𝐬(𝝎𝒐. 𝒕) + 𝑨𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒐. 𝒕) 
 
Donde A y φ son las constantes de integración, que en este caso serán dos, por 
tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, y cuya resolución para la 
posi 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒐. 𝒕)ción, requiere de una doble integración. Una constante por cada proceso de 
integración. 
 
O sea, la solución de A y φ, resulta de plantear: 
 
{
𝑥(𝑡0) = 𝑥0 = 𝐴. cos(𝜔𝑜 . 0 + 𝜑) 
�̇�(𝑡0) = �̇�0 = −𝐴. 𝜔𝑜 . sen (𝜔𝑜 . 0 + 𝜑)
 
 
Donde 𝜔0 = √𝑘/𝑚 = 2. 𝜋. 𝑓0 = 2.
𝜋
𝑇0
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 
 
{
𝑇0 = 2. 𝜋/𝜔0 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
𝑓0 = 𝜔0/(2. 𝜋) 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
 
VII. SOLUCIÓN DE EULER PARA OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS. 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
Euler, para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y a 
coeficientes constantes, propuso como solución general, la expresión: 
 
𝑥(𝑡)
𝑔
= 𝑥(𝑡)
ℎ + 𝑥(𝑡)
𝑐 
 
𝑥(𝑡)
ℎ = 𝐶. 𝑒𝜆.𝑡 
 
Derivamos dos veces, para expresar la velocidad y la aceleración: 
 
�̇�(𝑡)
ℎ = 𝐶. 𝜆. 𝑒𝜆.𝑡 
y, 
�̈�(𝑡)
ℎ = 𝐶. 𝜆2. 𝑒𝜆.𝑡 
 
Reemplazando en la E.D. �̈� + 𝜔0
2. 𝑥 = 0, nos queda: 
 
𝐶. 𝜆2. 𝑒𝜆.𝑡 + 𝐶. 𝜔𝑜
2. 𝜆. 𝑒𝜆.𝑡 = 0 
Sacando factor común: 
𝐶. 𝑒𝜆.𝑡 . (𝜆2 + 𝜔𝑜
2) = 0 
 
Pero 𝑒𝜆.𝑡 es una función monótonamente creciente, mayor o igual a 1 para cualquier 
valor de t que se considere; luego, lo puedo pasar al segundo miembro (no divido por cero), 
y queda: 
 
𝝀𝟐 +𝝎𝒐
𝟐 = 𝟎 
 
La última expresión, se denomina ecuación característica del movimiento, o ecuación 
característica asociada a la ecuación diferencial del movimiento. 
 
De aquí, es fácil ver que 𝜆2 = −𝑤𝑜
2, y que 𝜆1,2 = ±√−𝜔𝑜
2 = ± 𝜔𝑜 . 𝑖, donde i es la 
unidad imaginaria, y 𝜆 = ± 𝑖. 𝜔𝑜, son las raíces de la ecuación característica; que desde ya, 
vemos que en este caso (vibraciones libres no amortiguadas), son complejas conjugadas. 
 
La solución, entonces se puede escribir como una combinación lineal de dos 
soluciones, una que involucra a cada raíz: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1. 𝑒
𝜆1.𝑡 + 𝐶2. 𝑒
𝜆2.𝑡 
O sea: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1. 𝑒
+𝜔𝑜.𝑖.𝑡 + 𝐶2. 𝑒
−𝜔𝑜.𝑖.𝑡 
 
Pero, recordando un número complejo se puede escribir en forma binómica como: 
 
{
𝜌. 𝑒𝑖.𝜑 = 𝜌. cos(𝜑) + 𝑖. 𝜌. 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
𝜌. 𝑒−𝑖.𝜑 = 𝜌. cos(𝜑) − 𝑖. 𝜌. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 
 
𝑒𝑖.𝜋 − 1 = 0 
 
Entonces: 
{
𝑒𝜔𝑜.𝑖.𝑡 = cos(𝜔𝑜 . 𝑡) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 . 𝑡)
𝑒−𝜔𝑜.𝑖.𝑡 = cos(𝜔𝑜 . 𝑡) − 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 . 𝑡)
 
 
Por lo que nuestra solución quedaría: 
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𝑥(𝑡) = 𝐶1. [cos(𝑤𝑜 . 𝑡) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡)] + 𝐶2. [cos(𝑤𝑜 . 𝑡) − 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡)] 
 
𝑥(𝑡) = [𝐶1 + 𝐶2]. cos(𝑤𝑜. 𝑡) + [𝐶1 − 𝐶2]. 𝑖. sen(𝑤𝑜 . 𝑡) 
 
Pero la solución tiene que ser real. Y la única posibilidad para ello es que las 
constantes C1 y C2 sean complejas conjugadas: 
 
En efecto, si hacemos: 
 
{
𝐶1 = 𝑅. cos(𝜑) + 𝑖. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
𝐶2 = 𝑅. cos(𝜑) − 𝑖. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 
 Entonces: 
{
𝐶1 + 𝐶2 = 2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝐶1 − 𝐶2 = 2. 𝑖. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 
 
La solución queda: 
 
𝑥(𝑡) = 2. 𝑅. cos(𝜑) . cos(𝑤𝑜. 𝑡) + 2. 𝑅. 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝜑). 𝑖. sen(𝑤𝑜 . 𝑡) 
 
𝑥(𝑡) = 2. 𝑅. cos(𝜑) . cos(𝑤𝑜 . 𝑡) − 2. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜑). sen(𝑤𝑜. 𝑡) 
 
𝑥(𝑡) = 2. 𝑅. cos (𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑) 
 
Y llamando, o renombrando, a 2.R como una nueva constante Xo, tendremos: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑿𝒐. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒐. 𝒕 + 𝝋) (𝟐) 
 
Y como cos(𝛼 ± 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽, entonces: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑿𝟏. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒐. 𝒕) + 𝑿𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒐. 𝒕) (𝟑) 
 
Donde se debe cumplir que: 
 
{
𝑋1 = 𝑋𝑜 . cos(𝜑) 
𝑋2 = −𝑋𝑜 . 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 (4) 
 
Los valores de X1 y X2, o bien de X0 y φ, provienen del proceso de integración 
(que está enmascarado en el método de solución propuesto por Euler) y dependen de 
las condiciones iniciales. O sea, de la posición inicial y de la velocidad inicial: x0=x(t=t0), 
y v0 = v(t=t0). 
 
La elección de la ecuación (2) o (3), obviamente es indistinta. Depende sólo de 
cómo querramos escribir la respuesta, si como lo indica la ecuación (2). Conforme a 
ello tendremos que calcular X1 y X2, o bien de X0 y φ. 
 
Si elegimos expresar la solución con la ecuación (2), entones, evaluando la 
solución y su derivada primera (que es la velocidad) en el instante inicial, tendremos: 
 
{
𝑥(𝑡0) = 𝑥0 = 𝑋𝑜 . 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑜. 0 + 𝜑) 
�̇�(𝑡0) = �̇�0 = 𝑣0 = −𝑋𝑜 . 𝑤0. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜 . 0 + 𝜑)
 
 
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{
𝑥0 = 𝑋𝑜 . 𝑐𝑜𝑠(𝜑) 
𝑣0 = −𝑋𝑜 . 𝜔0. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 (5) 
 
{
 
 
 
 
𝑋𝑜 = √𝑥0
2 +
𝑣0
2
𝜔0
2 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑣0
𝑥0. 𝜔0
)
 
 
El juego de ecuaciones (5) constituye un sistema de dos ecuaciones, con dos 
incógnitas (X0 y φ), muy fácil de resolver. Mientras el sistema de ecuaciones (4), como ya 
dijimos, nos relaciona las constantes de integración entre sí, para permitirme escribir la 
solución como se indica en (3). 
 
Nos parece interesante recalcar que la posición inicial es x0, y no X0 (no la “x” grande, 
o mayúscula). O sea, cuando la posición (x=f(t)), en el instante inicial, intersectando al eje de 
ordenadas, debemos buscar la x0 y no X0. 
 
 
VIII. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS. 
 
Para el estudio de las vibraciones mecánicas del tipo libres y amortiguadas, recurrimos 
al modelo físico completo, representado en las figuras 1 y 2, pero prescindimos de la fuerza 
exterior F(t). (Prescindimos, obviamente, porque se trata de vibraciones libres…) 
 
En consecuencia, estudiaremos la manera en la que el sistema oscila, cuando es 
apartado de la posición de equilibrio estático, y dejado a su libre evolución, con o sin el aporte 
de una velocidad inicial adicional incorporado a la masa antes de soltarla.El modelo matemático era el siguiente: 
 
 𝒎. �̈� + 𝒄. �̇� + 𝒌. 𝒙 = 𝟎 (𝟔) 
 
Que es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, ordinaria, completa y 
homogénea (igual a cero). 
 
Primero que nada, dividimos miembro a miembro por la masa (que nunca es nula, 
porque sino, no tendríamos cuerpo material a estudiar), y “normalizamos” la ecuación: 
 
�̈� +
𝑐
𝑚
. �̇� +
𝑘
𝑚
. 𝑥 = 0 
 
 Ahora hacemos, una sustitución conveniente. Llamamos: 
 
{
𝛽 =
𝑐
2.𝑚
, 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐀𝐦𝐨𝐫𝐭𝐢𝐠𝐮𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 
𝜔0
2 =
𝑘
𝑚
, 𝑷𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 ∗
 
 
 * El parámetro 𝜔0, es la misma que ya habíamos definido previamente en el caso de 
las vibraciones libres no amortiguadas. Y mide la velocidad con la que el sistema pulsa (u 
oscila), cuando no queda sometido a la acción de una fuerza exterior permanente. Decimos 
parámetro, porque no es variable. Es decir, una vez definido el sistema, es una característica 
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propia del sistema y depende de la masa y de la constante elástica. No se puede modificar 
sin alterar el sistema. 
 
Efectivizando ambas sustituciones, la ecuación diferencial queda: 
 
 �̈� + 𝟐. 𝜷. �̇� + 𝝎𝟎
𝟐. 𝒙 = 𝟎 
 
Siguiendo el método de Euleriano, proponemos como solución: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶. 𝑒𝜆.𝑡 
 
Sus derivadas primera y segunda, serán: 
 
�̇�(𝑡) = 𝐶. 𝜆. 𝑒𝜆.𝑡 , 𝑦 
�̈�(𝑡) = 𝐶. 𝜆2. 𝑒𝜆.𝑡 
 
Sustituyendo en la ecuación diferencial: 
 
 𝐶. 𝜆2. 𝑒𝜆.𝑡 + 𝐶. 2. 𝛽. 𝜆. 𝑒𝜆.𝑡 + 𝐶. 𝜔0
2. 𝑒𝜆.𝑡 = 0 
 
Sacando factor común: 
 
 𝐶. 𝑒𝜆.𝑡. (𝜆2 + 2. 𝛽. 𝜆 + 𝜔0
2) = 0 
 
Como 𝐶. 𝑒𝜆.𝑡 ≥ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ≥ 0, entonces: 
 
 𝜆2 + 2. 𝛽. 𝜆 + 𝜔0
2 = 0 (7) 
 
Que se denominaba ecuación característica asociada a la ec. diferencial. 
 
Las raíces de la ecuación característica serán: 
 
𝜆1,2 =
−2𝛽 ± √4𝛽2 − 4.1.𝜔0
2
2.1
 
 
Y finalmente: 
 𝜆1,2 = −𝛽 ± √𝛽
2 −𝜔0
2 (8) 
 
Vemos que en esta última, en función de los valores relativos de β y de ω0, se nos 
pueden presentar tres casos, que los presentamos en forma de tabla: 
 
Tabla I: 
 
Casos 
 Condición Raíces Valores de λ Designación 
CASO 1 β > ω0 
Reales y 
distintas 
𝜆1
= −𝛽 +√𝛽2 −𝜔0
2 
𝜆2
= −𝛽 −√𝛽2 −𝜔0
2 
Sobreamortiguado, 
o Supercrítico 
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CASO 2 β = ω0 Reales e iguales 
𝜆1 = 𝜆2 = −𝛽 Amortiguamiento 
crítico 
CASO 3 β < ω0 
Complejas 
conjugadas 
𝜆1
= −𝛽 + 𝑖. √𝜔0
2 − 𝛽2 
𝜆1
= −𝛽 − 𝑖. √𝜔0
2 − 𝛽2 
Subamortiguado, 
o Subcrítico 
 
Las soluciones x(t), consecuentemente también serán diferentes. 
 
En el primer caso, sobreamortiguado, las raíces son reales y distintas porque el 
discriminante es mayor que cero (positivo). Luego, la solución resulta de la combinación lineal 
de dos exponenciales decrecientes. La que domina la respuesta es la más lenta, en el caso 
tipificado arriba sería la que corresponde a λ1, porque en valor absoluto, es menor que λ2. O 
sea, |𝜆1| < |𝜆2|, entonces el decaimiento es más lento y eso ralentiza a la respuesta total. 
 
El segundo caso es el crítico, y es la respuesta más rápida que puede dar el sistema 
sin ninguna oscilación y/o pseudo-oscilación. 
 
El tercer caso es el más interesante desde el punto de vista matemático. Las raíces λ1 
y λ2 son complejas conjugadas, por lo que la parte real de las raíces (β) es la misma, por lo 
que la respuesta estará condicionada por una exponencial decreciente, de valor β: e-β.t. 
 
La parte imaginaria, son conjugadas, y conducen a la misma situación que en las 
oscilaciones libres, suya ecuación característica, tenía el mismo tipo de raíces (imaginarias 
conjugadas). La respuesta debido a este par de exponentes imaginarios y conjugados (como 
ya vimos al analizar la solución de Euler para el caso de las oscilaciones libres no 
amortiguadas, cuyas raíces eran imaginarias y conjugadas entre sí), es una oscilación: 
 
 𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑒
𝑖.(√𝑤0
2−𝛽2).𝑡
+ 𝐵. 𝑒
−𝑖.(√𝑤0
2−𝛽2).𝑡
= 𝐴1. 𝑐𝑜𝑠 (√𝑤0
2 − 𝛽2. 𝑡) + 𝐴2. 𝑠𝑒𝑛 (√𝑤0
2 − 𝛽2. 𝑡) 
 
Para simplificar un poco esta escritura, podemos sustituir el argumento, por ω1., o 
Pseudo-pulsación, amortiguada 
 
Este nuevo parámetro, 𝜔1 = √𝜔0
2 − 𝛽2, mide o cuantifica, la velocidad con la que 
“oscila” el sistema amortiguado. 
 
En realidad, corresponde hablar de una pseudo-oscilación, y por ende de una pseudo-
pulsación. De esta manera enfatizamos el hecho de que ya no se trata de una “verdadera” 
oscilación, ya que, por efecto del amortiguamiento, las oscilaciones decrecen constantemente 
en su amplitud y entre ciclo y ciclo habrá valores que ya no se repiten. A pesar de esto, es 
común denominar a esta respuesta, oscilación amortiguada. 
 
Asociado a ω1, podemos definir también el T1, que, siguiendo la rigurosidad lingüística 
del Maestro Alessio, será el pseudo-período amortiguado y f1, pseudo-frecuencia 
amortiguada. 
 
Las soluciones definitivas quedarán de la forma: 
 
Tabla II: Ec. dif.: �̈� + 2. 𝛽. �̇� + 𝜔0
2. 𝑥 = 0 𝜆1,2 = −𝛽 ±√𝛽
2 − 𝜔0
2 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
Caso Solución: x(t) 
Sobreamortiguado 
O Supercrítico 𝛽 > 𝜔0 
𝑥(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝜆1 .𝑡 + 𝐴2. 𝑒
𝜆2.𝑡 
𝑥(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
[−𝛽+√(𝛽2−𝜔0
2)].𝑡
+ 𝐴2. 𝑒
[−𝛽−√(𝛽2−𝜔0
2)].𝑡
 
Crítico: 𝛽 = 𝜔0 
𝑥(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝜆.𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
𝜆.𝑡𝑥(𝑡) 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛽.𝑡 . (𝐴1 + 𝐴2. 𝑡) 
Subamortiguado 
o Subcrítico 𝛽 < 𝜔0 
𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑒𝜆1.𝑡 + 𝐵. 𝑒𝜆2.𝑡 = 𝑒−𝛽.𝑡 . [𝐴1. cos (𝜔1. 𝑡) + 𝐴2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡)] 
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛: 𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑) 
 
Donde 𝜔1 = √𝜔0
2 − 𝛽2 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜. 
 
Tal como en el caso de las oscilaciones libres no amortiguadas, en el caso de las 
subamortiguadas, la solución se puede escribir de dos maneras equivalentes entre sí: Como 
una combinación lineal de dos funciones armónicas simples, o como una única función 
armónica desfasada un cierto ángulo de desfasaje: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛽.𝑡 . [𝐴1. cos (𝜔1. 𝑡) + 𝐴2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡)] = 𝑋. 𝑒
−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑) 
 
Donde las constantes de integración: “A1” y “A2”, pasan a ser el par de valores “Xo” y 
“φ”. Ambos están relacionados y en ambos casos se determinan a partir de las condiciones 
iniciales de posición y de velocidad: 
 
{
𝐴1 = 𝑋. cos(𝜑) 
𝐴2 = −𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
 
O bien: 
{
 
 𝑋 = √𝐴1
2 + 𝐴2
2 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−
𝐴2
𝐴1
)
 
 
En definitiva, en cada uno de los tres casos a que nos pudiera conducir la solución de 
la ecuación diferencial (6), que es el modelo matemático general para las oscilaciones libres 
amortiguadas de un grado de libertad (con el bagaje adicional de todas las hipótesis 
simplificativas que hemos añadido), habrá que proceder a evaluar las constantes de 
integración A1 y A2 (o bien X y φ). Para ello, como en el caso de las no amortiguadas, 
consideraremos la posición inicial y velocidad inicial. O sea, habrá que valorar las expresiones 
de x(t) dadas en la tabla II, y la expresión de v(t) (que es la derivada de la anterior), en t = t0 = 
0. 
 
Por ejemplo, para el caso de vibraciones subamortiguadas tendremos: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑) 
 
𝑥(0) = 𝑋. 𝑒−𝛽.0. cos (𝜔1. 0 + 𝜑) = 𝑋. cos (𝜑) 
 
�̇�(𝑡) = −𝛽. 𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos(𝜔1. 𝑡 + 𝜑) − 𝑋. 𝑒
−𝛽.𝑡 . 𝜔1. sen (𝜔1. 𝑡 + 𝜑) 
 
�̇�(0) = −𝛽.𝑋. 𝑒−𝛽.0. cos(𝜔1. 0 + 𝜑) − 𝑋. 𝑒
−𝛽.0. 𝜔1. sen (𝜔1. 0 + 𝜑) 
 
�̇�(0) = −𝛽. 𝑋. cos(𝜑) − 𝑋.𝜔1. sen (𝜑) 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
{
𝑥(0) = 𝑋. cos(𝜑) 
�̇�(0) = −𝛽. 𝑋. cos(𝜑) − 𝑋. 𝜔1. sen (𝜑)
 
{
𝑥(0) = 𝑋. cos(𝜑) 
�̇�(0) + 𝛽. 𝑥(0) = −𝑋.𝜔1. sen (𝜑)
 
 
{
−
[�̇�(0) + 𝛽. 𝑥(0)]
𝜔1
= 𝑋0. sen (𝜑)
𝑥(0) = 𝑋0. cos(𝜑) 
 
 
{
 
 
 
 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜑) = −
[�̇�(0) +𝛽. 𝑥(0)]
𝜔1. 𝑥(0)
 
𝑋0 = √[
�̇�(0) + 𝛽. 𝑥(0)
𝜔1
]
2
+ 𝑥2(0) 
 
 
En el caso de Sistema Sobreamortiguado, tendremos: 
 
Para: t=t0=0; x(t0) = x0 = 𝑨𝟏. 𝒆
−(𝜷−𝝎𝟎).𝟎 + 𝑨𝟐. 𝒆
−(𝜷+𝝎𝟎).𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐; 
𝒙𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 
 
También: v(t)=�̇�(𝑡) = 𝐴1. [−(𝛽 − 𝜔0)]. 𝑒
−(𝛽−𝜔0).𝑡 + 𝐴2. [−(𝛽 + 𝜔0)]. 𝑒
−(𝛽+𝜔0).𝑡 
 
Y para t=t0=0: v0= 𝐴1. [−(𝛽 − 𝜔0)]. 𝑒
−(𝛽−𝜔0).0 + 𝐴2. [−(𝛽 + 𝜔0)]. 𝑒
−(𝛽+𝜔0).0 => 
𝒗𝟎 = −𝜷. 𝑨𝟏 +𝝎𝟎. 𝑨𝟏 − 𝜷.𝑨𝟐 − 𝝎𝟎. 𝑨𝟐 = (−𝜷 +𝝎𝟎). 𝑨𝟏 − (𝜷 +𝝎𝟎). 𝑨𝟐 
𝒗𝟎 = (−𝜷 +𝝎𝟎). 𝑨𝟏 − (𝜷 +𝝎𝟎). 𝑨𝟐 
 
En síntesis, nos queda el siguiente sistema de 2 ecuaciones con por 2 incógnitas: 
 
{
𝑥0 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝑣0 = 𝐴1. (𝜔0 − 𝛽) − 𝐴2. (𝜔0 + 𝛽)
 
 
De la primera: 𝐴1 = 𝑥0 − 𝐴2, que reemplazando en la segunda: 
 
𝑣0 = (𝑥0 − 𝐴2). (𝜔0 − 𝛽) − 𝐴2. (𝜔0 + 𝛽) 
𝑣0 = 𝑥0. (𝜔0 − 𝛽) − 𝐴2. (𝜔0 − 𝛽) − 𝐴2. (𝜔0 + 𝛽) 
𝑣0 − 𝑥0. (𝜔0 − 𝛽) = 𝐴2. [−𝜔0 + 𝛽 − 𝜔0 − 𝛽] = −2. 𝜔0. 𝐴2 
Luego: 
{
𝐴1 = 𝑥0 − [𝑥0. (𝜔0 − 𝛽) − 𝑣0]/(2. 𝜔0) 
𝐴2 = [𝑥0. (𝜔0 − 𝛽) − 𝑣0]/(2.𝜔0) 
 
 
Resulta interesante observar que la ecuación 𝜔1 = √𝜔0
2 − 𝛽2 es sólo válida para el 
caso de oscilaciones subamortiguadas. En estos casos, como β<ω0, resulta que ω1 es 
siempre menor que ω0. O sea, la pseudopulsación amortiguada es siempre menor que la 
pulsación natural o propia del sistema (que no depende del coeficiente de amortiguamiento, 
β). 
 
Con esto quiero decir, que si de alguna manera pudiéramos actuar sobre β 
(modificando la constante del amortiguador), y hacerlo variar desde cero, hasta un valor lo 
suficientemente elevado, y numéricamente mayor que ω0, veremos que: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
1) Cuando β=0, el sistema queda reducido a una masa y un resorte que apartados de 
su posición de equilibrio estático, oscilarían (según nuestro modelo simplificado), 
por toda la eternidad. Esta situación es obviamente académica porque en la 
realidad siempre existirán fricciones de todo tipo no consideradas en el modelo, 
por lo que las oscilaciones reales siempre irán decreciendo en amplitud y más tarde 
o más temprano, se extinguirán. 
De todas maneras, nos quedamos observando la respuesta teórica, que es de una 
oscilación permanente, que pulsa con una rapidez dada por ω0 y/o que el período 
de la oscilación es T0= 2.π/ω0. 
2) Si le añadimos un poco de amortiguamiento (con poco queremos significar, que 
mantenemos a β siempre menor que ω0), el sistema comienza a reducir sus 
oscilaciones a medida que aumenta β, y espaciarlas en el tiempo. Es decir, los 
ciclos se vuelven cada vez más largos, porque T1, se incrementa con el valor de β 
( 𝑇1 = 2. 𝜋/𝜔1 = 2. 𝜋/√(𝜔0
2 − 𝛽2 ). 
3) A medida que seguimos incrementando β, entonces, las oscilaciones se irán 
espaciando hasta que llegamos a un valor puntal (β=ω0), para el cual el sistema 
deja de oscilar. Ahora la respuesta tiene la forma de una exponencial decreciente, 
y es la más rápida que podríamos esperar. 
4) Si seguimos incrementando el valor de β, ahora la respuesta vendrá dada por la 
suma de dos exponenciales decrecientes, pero hay una de las dos, que será la 
dominante, y será aquella cuyo exponente tenga menor valor absoluto. 
 
Decaimiento Logarítmico. Para el caso de las vibraciones libres subamortiguadas, 
por tratase de una ley pseudoperiódica, de seudoperíodo T1 = 2.π/ω1 = 2. 𝜋/√𝜔0
2 − 𝛽2, se 
puede encontrar una relación entre los valores de la posición espaciados en el tiempo en 
cantidades enteras de su período: 
 
Sabemos que 𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑), 
 
Entonces para un tiempo t´, igual a t + n.T1, (donde n pertenece a los naturales y T1 es 
el pseudoperíodo de las vibraciones amortiguadas), tendremos: 𝑥1(𝑡´) = 𝑥1(𝑡 + 𝑛. 𝑇1) =
𝑋. 𝑒−𝛽.(𝑡+𝑛.𝑇1). cos [𝜔1. (𝑡 + 𝑛. 𝑇1) + 𝜑] 
 
Y haciendo el cociente: 
 
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡 + 𝑛. 𝑇1)
=
𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑)
𝑋. 𝑒−𝛽.(𝑡+𝑛.𝑇1). cos [𝜔1. (𝑡 + 𝑛. 𝑇1) + 𝜑]
 
 
Los cosenos son iguales, porque T1 es el pseudoperíodo y el coseno es una función 
periódica, entonces: 
 
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡 + 𝑛. 𝑇1)
=
𝑋. 𝑒−𝛽.𝑡 . cos (𝜔1. 𝑡 + 𝜑)
𝑋. 𝑒−𝛽.(𝑡+𝑛.𝑇1). cos [𝜔1. (𝑡 + 𝑛. 𝑇1) + 𝜑]
 
 
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡 + 𝑛. 𝑇1)
= 𝑒−𝛽.𝑡+𝛽.(𝑡+𝑛.𝑇1) = 𝑒𝑛.𝛽.𝑇1 
 
Aplicando antilogaritmos: 
 
𝑛. 𝛽. 𝑇1 = 𝑙𝑛 [
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡 + 𝑛. 𝑇1)
] (𝑎) 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
Para dos posiciones separadas en el tiempo, exactamente un período, tendremos 
(n=1): 
 
𝛽. 𝑇1 = 𝑙𝑛 [
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡 + 𝑇1)
] (𝑏) 
 
Expresión que se denomina Ley de decaimiento logarítmico. Es una expresión muy útil 
porque en la práctica sirve para determinar el pesudoperíodo de la oscilación amortiguada. 
Simplemente se aparta al sistema de su posición de equilibrio y se mide la diferencia entre 
dos máximos, consecutivos, o no. Se mide también el tiempo T1 entre los dos máximos, o bien 
n.T1, si los máximos no son consecutivos. 
 
Con esa información, se puede aplicar la fórmula (a), o la (b), dependiendo de si los 
máximos medidos eran o no, consecutivos, y se puede determinar el β. Con el valor de la 
masa, que es siempre fácilmente calculable, se pueden hallar las demás características 
mecánicas, como c y k. 
 
• 𝑐 = 2. 𝛽.𝑚, luego, como: 
• 𝜔1 =
2. 𝜋
𝑇1
⁄ (donde T1 fue medido), entonces: 
• 𝜔0
2 = 𝜔1
2 + 𝛽2 
 
Que es lo que intentábamos determinar. 
 
De alguna manera esto es lo que se trata de hacer durante la verificación del automóvil 
en una VTV. El automóvil es un sistema complejo, sin embargo puede considerarse como dos 
ejes con dos resortes y dos amortiguadores en paralelo cada uno, y una masa suspendida, 
que coincide casi con la masa total del vehículo (habría que restarle los ejes, y las ruedas). 
Esta masa está repartida entre los dos ejes, en un porcentaje determinado; que en general, 
para un vehículo tracción delantera, es un 60% en el eje delantero y un 40% en el posterior. 
Se trata de determinar entonces el valor de β para conocer el estado de los amortiguadores. 
 
Se puede fácilmente deducir una expresión para calcular una constante equivalente 
para dos resortes en serie y en paralelo. Para dos resortes en serie, la constante elástica 
equivalente, responde a la siguiente expresión keq = k1.k2/(k1+k2). 
 
Exactamente lo mismo, ocurre con dos amortiguadores en serie. 
 
Tanto los resortes como los amortiguadores en paralelo suman sus contribuciones. 
 
 
IX. VIBRACIONES FORZADAS. 
 
Para no repetir todo el análisis, volvemos a considerar el modelo físico completo, dado 
en la figura 1, y su modelo matemático, dado por la expresión (1): 
 
𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹𝑜 . sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
 
{
𝛽 =
𝑐
2.𝑚
 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜;
𝑤0 = √𝑘/𝑚 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
La diferencia fundamental con los dos casos que ya hemos analizado (Oscilaciones 
libres no amortiguadas y oscilaciones libres amortiguadas), es que ahora la ecuación 
diferencial, es no homogénea. 
 
 La propuesta del método de Euler para estos casos, es la combinación de dos 
soluciones. Una solución derivada de la ecuación diferencial homogénea asociada xh(t), y otra, 
que denomina solución complementaria xp(t). 
 
La solución de la ecuación homogénea, tiene que ser siempre una de los tres tipos ya 
vistos en el caso de sistema subamortiguado (ya dijimos que amortiguamiento nulo es un caso 
ideal o académico, y/o que sólo será posible reproducir en laboratorio), por lo tanto, podrá 
haber, o no, pseudooscilaciones, pero siempre estará dominado por exponenciales 
decrecientes, y siempre tenderá a la posición de equilibrio estático. Por lo tanto, la solución 
de la homogénea asociada, que vendrá dada por alguna de las tres expresiones que figuran 
en la tabla II, con el tiempo se extinguirá, por lo que incide sólo durante unperíodo de tiempo 
pequeño. Ese período de tiempo, durante el cual se aprecia la respuesta debida a la 
homogénea, se denomina transitorio, o también régimen transitorio. 
 
Una vez transcurrido ese lapso de tiempo, lo único que queda es el aporte de la 
solución complementaria. Y esta permanece hasta que se retire la fuerza exterior, momento 
en el cual se vuelve a modificar el modelo físico y el modelo matemático, por lo que el sistema 
responderá de nuevo a un modelo de oscilaciones libres amortiguadas, y se producirá otro 
transitorio. 
 
La repuesta complementaria, xc(t), entonces, define lo que se conoce como Régimen 
Permanente, que es lo que en general (aunque no siempre), son interesará en los análisis 
de los sistemas mecánicos. 
 
La solución particular de Euler, copia la forma del término no homogéneo. 
 
- Si el término no homogéneo es un polinomio de grado n, Euler propone un 
polinomio de grado superior; 
- Si es una exponencial, Euler propone una combinación lineal de funciones 
exponenciales; 
- Si es una función trigonométrica, Euler propone una solución del mimo tipo. 
 
Conforme a esto, proponemos: 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 . sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
 
𝑥𝑐(𝑡) = 𝑋𝑐. sen(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅) 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
2. 𝜁. 𝑟
(1 − 𝑟2)
) 
 La solución total, quedará: 
 
𝑥𝑔(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑐(𝑡) 
 
�̇�𝑔(𝑡) = �̇�ℎ(𝑡) + �̇�𝑐(𝑡) 
 
 {
𝑥(𝑡𝑜) = 𝑥𝑜 = 𝑥ℎ(𝑡𝑜) + 𝑥𝑐(𝑡𝑜)
�̇�(𝑡𝑜) = �̇�𝑜 = �̇�ℎ(𝑡𝑜) + �̇�𝑐(𝑡𝑜)
 𝑆𝑎𝑐𝑜 𝑋, 𝜑, 𝑜 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐴1 𝑦 𝐴2 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 La solución de la homogénea, no la podemos definir, porque su expresión definitiva 
dependerá de la relación entre los valores de β y de ω0, y ya vimos que se podían presentar 
tres casos bien diferentes (respuesta del sistema subamortiguado, del sistema críticamente 
amortiguado y del sobreamortiguado). 
 
Como la solución de la homogénea sólo tiene un aporte transitorio, en el régimen 
permanente tendremos: 
 
𝑥𝑅𝑃(𝑡) = ⋯+ 𝑥𝑐(𝑡) 
 
Donde xRP es la respuesta en régimen permanente. 
 
Derivamos entonces la solución particular dos veces, y la reemplazamos en la 
ecuación diferencial para poder determinar qué condición deben cumplir los parámetros Xp y 
Φ, para poder satisfacerla: 
 
{
𝑥𝑐(𝑡) = 𝑋𝑐. sen(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅) 
𝑥�̇�(𝑡) = 𝑋𝑐. 𝜔𝑐. 𝑐𝑜 𝑠(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅) 
𝑥�̈�(𝑡) = −𝑋𝑐. 𝜔𝑐
2. sen (𝜔𝑓. 𝑡 − ∅)
 
 
La ecuación diferencial es: 𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 . sen(𝑤𝑓. 𝑡) = 𝐹𝑜 . 𝑠𝑒𝑛 (2. 𝜋. 𝑓𝑓 . 𝑡) 
 
Si la normalizamos (dividimos por la masa): 
 
1. �̈� +
𝑐
𝑚
. �̇� +
𝑘
𝑚
. 𝑥 = 𝐹(𝑡) = 
𝐹𝑜
𝑚
. sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
Y sustituyendo por 𝜔0
2 y 𝛽: 
 
�̈� + 2. 𝛽. �̇� + 𝜔0
2. 𝑥 = 
𝐹𝑜
𝑚
. sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
 
Y reemplazando la solución propuesta y sus derivadas en la última, tendremos: 
 
−𝑋𝑝.𝜔𝑓
2. sen(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. 𝑐𝑜 𝑠(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅) + 𝜔0
2. 𝑋𝑝. sen(𝜔𝑓. 𝑡 − ∅)
= 
𝐹𝑜
𝑚
. sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
 
Como: {
𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 𝛽) = sen(𝛼) . cos (𝛽) ± cos (𝛼). 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
cos(𝛼 ± 𝛽) = cos(𝛼) . cos (𝛽) ∓ sen (𝛼). 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
 
 
−𝑋𝑝. 𝜔𝑓
2. sen(𝜔𝑓. 𝑡). cos (∅) + 𝑋𝑝. 𝜔𝑓
2. cos (𝜔𝑓. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. cos (𝜔𝑓. 𝑡). cos (∅)
+ 2. 𝛽. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. sen(𝜔𝑓. 𝑡). sen(∅) + 𝜔0
2. 𝑋𝑝. sen(𝜔𝑓. 𝑡). cos (∅)
− 𝜔0
2. 𝑋𝑝. cos (𝜔𝑓. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(∅) = 
𝐹𝑜
𝑚
. sen (𝜔𝑓. 𝑡) 
 
Como los términos en 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡), y los que tienen cos (𝜔𝑓. 𝑡), están en cuadratura 
temporal; es decir, se anulan en momentos diferentes, podemos separar el sistema en dos 
ecuaciones. Una igualdad para los términos que están afectados por el seno y otra para los 
que están afectados por el coseno (tal como hacemos en el caso de una ecuación vectorial, 
con los términos que están en cuadratura): 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
{
𝐸𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡) : − 𝑋𝑝.𝜔𝑓
2. cos(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. sen(∅) + 𝜔0
2. 𝑋𝑝. cos(∅) =
𝐹𝑜
𝑚
 
𝐸𝑛 cos(𝜔𝑓. 𝑡) : 𝑋𝑝. 𝜔𝑓
2. 𝑠𝑒𝑛(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. cos(∅) − 𝜔0
2. 𝑋𝑝. 𝑠𝑒𝑛(∅) = 0 
 
 
Reagrupando: 
 
{
(𝜔0
2. 𝑋𝑝 − 𝑋𝑝. 𝜔𝑓
2). cos(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. sen(∅) =
𝐹𝑜
𝑚
 
(𝑋𝑝.𝜔𝑓
2 −𝜔0
2. 𝑋𝑝). 𝑠𝑒𝑛(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. cos (∅) = 0 
 (9) 
 
De la segunda de las anteriores: 
 
2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. cos (∅) = (−𝑋𝑝.𝜔𝑓
2 +𝜔0
2. 𝑋𝑝). 𝑠𝑒𝑛(∅) 
 
2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓
(−𝑋𝑝.𝜔𝑓
2 +𝜔0
2. 𝑋𝑝)
= 
𝑠𝑒𝑛(∅)
cos (∅)
 
 
𝑡𝑔(𝜙) =
2. 𝛽. 𝜔𝑓
(𝜔0
2 −𝜔𝑓
2)
 
 
Y dividiendo numerador y denominador del segundo miembro por 𝜔0
2: 
 
𝑡𝑔(𝜙) =
2.
𝛽
𝜔0⁄ .
𝜔𝑓
𝜔0⁄
(𝜔0
2 −𝜔𝑓
2)
𝜔0
2⁄
=
2. 𝜁. 𝑟
1 − 𝑟2
 
Donde implícitamente hemos “definido”, dos “nuevos” parámetros. Ponemos algunas 
palabras entre comillas, porque en realidad, no son nuevos parámetros. Es una sustitución, 
como en su momento lo fueron 𝜔0
2 y 𝛽, y en definitiva todos ellos son función de las 
características propias del sistema (la masa, la constante elástica y la constante de 
amortiguamiento). 
 
En definitiva, llamamos, 
 
• Factor de Amortiguamiento: 𝜻, a la relación entre 
𝛽
𝜔0⁄ . Este factor, mide la 
relación entre el Coeficiente de Amortiguamiento (β) y la pulsación natural o propia 
del sistema. En términos de 𝜁, se puede redifinir cuándo el sistema es subcrítico, 
crítico o supercrítico: Si 𝜁 > 1, entonces 𝛽 > 𝜔0, luego el sistema en 
Sobreamotiguado. Si 𝜁 > 1, el sistema está críticamente amortiguado, y; Si 𝜁 < 1, 
el sistema es Subamortiguado. 
Recordando las expresiones de 𝛽 y de 𝜔0, podemos expresar a 𝜁, en función de 
las características propias del sistema (m, c y k): 
 𝜁 =
𝛽
𝜔0
=
𝛽
𝛽𝑐𝑟í𝑡.
=
𝑐
2.𝑚⁄
√𝑘 𝑚⁄
=
𝑐
2
.√
𝑚
𝑘.𝑚2
=
𝑐
2. √𝑘.𝑚
 
Pero es mucho más instructivo, mucho más informativo, seguir viéndolo como el 
cociente entre 𝛽 y ω0. 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
• Relación de pulsaciones: r. Este parámetro mide, como su nombre lo indica, la 
relación entre la pulsación forzadora o perturbadora, y la pulsación natural o propia 
del sistema 𝑟 =
𝜔𝑓
𝜔𝑜
=
𝜔𝑓
√𝑘/𝑚
. 
Es un indicador (compara) de cómo es la pulsación (o si se quiere la frecuencia, 
porque se puede definir también en términos de frecuencia como el cociente entre 
la frecuencia perturbadora y la frecuencia natural o propia del sistema) de la fuerza 
perturbadora, con respecto a la natural. De nuevo, si r<1, significa que la 
perturbación oscila a frecuencias menores que la propia del sistema, y si es mayor, 
lo contrario. Si es igual, es matemáticamente el caso más interesante, aunque en 
la mayoría de los casos es indeseable desde el punto de vista mecánico, porque 
el sistema está en resonancia. En seguida veremos cómo se “disparan” y “crecen” 
las amplitudes de la posición x(t), cuando las frecuencias son iguales, e incluso 
cuando se aproximan. Esto puede provocar desplazamientos o esfuerzos 
inaceptables, con la consecuente rotura de las piezas o partes del mecanismo 
analizado. 
 
 Retomando la otra ecuación, la primera de las (9), que la reescribimos por comodidad: 
(𝜔0
2. 𝑋𝑝 − 𝑋𝑝. 𝜔𝑓
2). cos(∅) + 2. 𝛽. 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. sen(∅) =
𝐹𝑜
𝑚
 
 
En el primer miembro, podemos sacar factor común a Xp, que mide la excursión 
máxima con la que oscila la respuesta en régimen permanente: 
 
𝑋𝑝. [(𝜔0
2 − 𝜔𝑓
2). cos(∅) + 2. 𝛽.𝜔𝑓. sen(∅)] =
𝐹𝑜
𝑚
 
 
Estamos tratando de determinar Xp, porque ya lo determinamos con la ayuda de la 
segunda de las ecuaciones (9). Luego: 
 
𝑋𝑝 =
𝐹𝑜
𝑚. [(𝜔0
2 −𝜔𝑓
2). cos(∅) + 2. 𝛽.𝜔𝑓. sen(∅)]
 
 
En el denominador del segundo miembro, vemos dos términos que están en 
cuadratura angular. Uno depende del seno y el otro del coseno del mismo ángulo. Por lo tanto, 
podemos pensar que su aporte vendrá dado por una relación pitagórica. Entonces: 
 
𝑋𝑐 =
𝐹𝑜
𝑚.√[(𝜔0
2 − 𝜔𝑓
2)]2 + [2. 𝛽.𝜔𝑓]
2
 
 
𝑋𝑐 =
𝐹𝑜
𝑚⁄
√[𝜔0
2 − 𝜔𝑓
2)]2. +[2. 𝛽.𝜔𝑓]
2
 
 
Y si dividimos numerador y denominador del segundo miembro por 𝜔02, nos queda: 
 
𝑋𝑝 =
𝐹𝑜
(𝑚. 𝜔0
2)⁄
√[𝜔0
2 − 𝜔𝑓
2)]2. +[2. 𝛽.𝜔𝑓]
2
𝜔0
2
⁄
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
𝑋𝑝 =
𝐹𝑜
(𝑚. 𝜔0
2)⁄
√
[𝜔0
2 −𝜔𝑓
2)]2. +[2. 𝛽. 𝜔𝑓]
2
𝜔0
4
 
 
En el numerador, reemplazamos 𝜔0
2 por k/m, y en denominador distribuimos el 
cociente: 
 
𝑋𝑝 =
𝐹𝑜
(𝑚. 𝑘/𝑚)⁄
√
[𝜔0
2 −𝜔𝑓
2)]2
𝜔0
4 +.+
[2. 𝛽.𝜔𝑓]
2
𝜔0
4
 
 
𝑋𝑐 =
𝐹𝑜
𝑘⁄
√[
𝜔0
2 − 𝜔𝑓
2)
𝜔0
2 ]
2
+ [
2. 𝛽.𝜔𝑓
𝜔0
2 ]
2
 
 
𝑋𝑐 =
𝐹𝑜
𝑘⁄
√[1 − 𝑟2]2 + [2.
𝛽
𝜔0
.
𝜔𝑓
𝜔0
]
2
 
 
 𝑋𝑐 =
𝐹𝑜
𝑘⁄
√[1 − 𝑟2]2 + [2. 𝜁. 𝑟]2
 𝑡𝑔(𝜙) =
2. 𝜁. 𝑟
1 − 𝑟2
 
 
𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋𝑝. sen(𝑤𝑓. 𝑡 − ∅) 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹0. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑓. 𝑡) 
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑘. ∆𝑥 => ∆𝑥 =
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝑘
. 
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡. = 𝑐. �̇� 
 
Asimismo, F0/k es un desplazamiento (recordar que la fuerza que realiza el resorte, 
conforme a la ley de Hooke, era: 𝑘. 𝑥 = 𝐹, entonces 𝑥 = 𝐹/𝑘). O sea, es lo que se hubiera 
desplazado la masa, si la carga, en lugar de ser variable, fuera constante (de valor F0) y 
hubiera sido aplicada de manera cuasiestática (esto equivale a aplicar la carga en forma muy 
gradual y progresiva, sin permitir que la masa se acelere ni tome velocidad; o sea, sin que el 
amortiguador ofrezca resistencia). 
 
Llamando entonces, al cociente 
𝐹0
𝑘⁄ , como desplazamiento estático (𝛿𝑒𝑠𝑡.), queda: 
𝑋𝑝 =
𝛿𝑒𝑠𝑡.
√[1 − 𝑟2]2 + [2. 𝜁. 𝑟]2
 
 
Y finalmente, si pasamos el 𝛿𝑒𝑠𝑡. al primer miembro dividiendo, nos queda: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 𝑋𝑐 = 𝜇. 𝛿𝑒𝑠𝑡. 𝜇 =
𝑋𝑐
𝛿𝑒𝑠𝑡.
=
1
√[1 − 𝑟2]2 + [2. 𝜁. 𝑟]2
 
 
Donde hemos incorporado otro parámetro, que es 𝝁, que se denomina Factor de 
Amplificación, y que mide la relación entre la amplitud máxima (Xp) de la respuesta en 
régimen permanente, y la amplitud de la respuesta cuasiestática. En otras palabras, mide 
cuántas veces la amplitud de la respuesta a la carga variable, es mayor (o menor), que la 
respuesta a la misma carga, aplicada sin dejar que la masa tome velocidad (sin que intervenga 
o reaccione el amortiguador). 
 
Finalmente, la respuesta en régimen permanente se puede escribir como: 
 
𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) 
 
𝑥𝑝(𝑡) = 𝜇. 𝛿𝑒𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) 
 
Dónde: 
{
 
 
 
 𝜇 =
1
√(1−𝑟2)2+(2.𝜁.𝑟)2
 
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹0
𝑘⁄ 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2.𝜁.𝑟
(1−𝑟2)
)
 y a su vez: {
𝜁 =
𝛽
𝜔0
𝑟 =
𝜔𝑓
𝜔0
 
 
Siendo: 
• 𝜇 : El Factor de Amplificación, 
• 𝑟 : La Relación de Pulsaciones (y/o de frecuencias); 
• 𝜙 : El ángulo de desfasaje entre la carga exterior aplicada (f(t)) y la respuesta del 
sistema en régimen permanente (x(t) o bien xp(t)); 
• β : El coeficiente de Amortiguamiento, que es 𝑐/(2.𝑚); 
• 𝛿𝑒𝑠𝑡. : El desplazamiento que hubiera experimentado la masa, si la carga fuera 
constante y fuera aplicada cuasiestáticamente; 
• Xp : La amplitud máxima del desplazamiento de la masa. La masa oscila a la misma 
frecuencia que la carga aplicada, y la amplitud de dichas oscilaciones, es 
justamente Xp; 
• 𝜔0 : La pulsación natural o propia del sistema. Que mide la pulsación o velocidad 
con la que oscilaría en forma libre la masa (o sea, sin carga variable exterior 
aplicada), y si pudiéramos eliminar todo el amortiguamiento. 𝜔0 = √𝑘/𝑚; 
• 𝐹𝑜 : Amplitud máxima o intensidad máxima de la carga exterior aplicada. La carga 
exterior considerada fue de la forma: 𝐹�̅� = 𝐹�̅�(𝑡) = 𝐹0. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡). 𝑖̌ 
• 𝜔𝑓 : Es la pulsación, o velocidad con la que fluctúa la carga exterior, y que coincide 
con la que experimenta el desplazamiento de la masa, en el régimen permanente. 
Es decir, una vez que se ha extinguido el aporte de la respuesta transitoria; 
• 𝑐 : La constante, o característica propia del amortiguador; 
• 𝑘 : Constante o característica propia del resorte; 
• 𝑚 : La masa del sistema. 
 
Nos queda, por último, graficar 𝜇, y 𝜙, en función de r. Para hacerlo, vamos a tomar a 
𝜁, como parámetro 𝜁 = 𝛽/𝑤0 = 𝛽/𝛽𝑐𝑟í𝑡 = 𝑓(𝑐,𝑚, 𝑘). Recordemos que 𝑟 = 𝑤𝑓/𝑤0 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0
15
30
45
60
75
90
0 1 2 3 4
f = f(r)
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,2
chi = 0,3 chi = 0,4 chi = 0,6
chi = 0,8 chi = 1 chi = 1,5
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
0 1 2 3 4
f=f(r)
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,2
Chi = 0,3 chi = 0,4 chi = 0,6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el gráfico de la izquierda, podemos ver el ángulo, tal como resulta de la 
computadora. Sin embargo, conviene arreglarlo de la manera indicada en la gráfica de la 
derecha. Los programas graficadores no tienen otra posibilidad que representarlo de la 
primera forma, porque el arco tangente, tiene como argumento la tangente, que no es función, 
salvo que acotemos el dominio. La computadora, no puede saber a priori cuál es el dominio 
de interés, y asume siempre por defecto que es de -π/2 a π/2. 
 
Como nuestro 
campo de interés arranca 
de cero, acotamos el 
dominio de 0 a π 
radianes, o bien de 0 a 
180°. Para ello, le 
sumamos 180° a todos 
las soluciones para r ≥ 1. 
 
En cuanto a los 
valores de 𝜇 = 𝑋𝑐/𝛿𝑒𝑠𝑡, 
tenemos: 
 
 
 
 
 
Del último gráfico, podemos sacar las siguientes conclusiones: 
 
- Para r = 1, siempre, sin importar el valor de ζ (chi), tenemos la condición de 
resonancia (ω0 = ωf). 
- Para ζ = 0, en la condición de resonancia (r = 1), el factor de amplificación (μ) se 
hace infinito y alas amplitudes de la respuesta, se hacen extremadamente grandes. 
- A medida que se incrementa ζ, disminuye el valor máximo que alcanza μ, y además 
este valor máximo, se corre ligeramente hacia la izquierda (o sea, se alcanza para 
un valor de r, menor que 1). 
- El valor inicial de todas las curvas es 1. 
- La pendiente de todas las curvas en el origen, es nula. 
- Para ζ ligeramente mayor a 0,6, μ ya no supera al valor inicial. 
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
- Para r > √2, los valores de μ son todos menores que uno, sin interesar el valor de 
ζ (incluso para ζ = 0, que es la última curva que cruza la línea del “1”). 
- El valor de r, para el cuál μ alcanza su máximo, depende de ζ, y se puede obtener 
siguiendo el proceso habitual para la obtención de máximos y mínimos. Esto es, 
derivando μ respecto de r e igualando a cero (
𝑑𝜇
𝑑𝑟
= 0): 
𝑑𝜇
𝑑𝑟
= −
1
2. [√(1 − 𝑟2)2 + (2. 𝜁. 𝑟)2]
2 . [2. (1 − 𝑟
2). 2. 𝑟 + 2. (2. 𝜁. 𝑟). (2. 𝜁)] = 0 
 
 Que, prescindiendo del denominador, queda: 
 
−2. (1 − 𝑟2). 2. 𝑟 + 8. 𝑟. 𝜁2 = 0 
 
−4. 𝑟 + 4. 𝑟3 + 8. 𝑟. 𝜁2 = 0 
 
4. 𝑟(𝑟2 − 1 + 2. 𝜁2) = 0 (10) 
 
La expresión (10) es cúbica en r y por lo tanto, tiene 3 raíces. Una es r = 0, y la otra es 
doble: 
𝑟2 = 1 − 2. 𝜁2 
 
𝑟 = ±√1 − 2. 𝜁2 (11) 
 
Luego, los valores de pendiente nula de las curvas 𝜇 = 𝑓(𝑟), estarán (para cualquier 
curva), en r = 0 (en el origen), y; en 𝑟 = ±√1 − 2. 𝜁2. 
 
Y si observamos detenidamente la ecuación N° 11, vemos que para valores de ζ que 
hagan negativo el discriminante de la ecuación 11, ya no habrá más raíz real de a ecuación 
10. 
 
Y el valor de ζ que anula el discriminante de la 11, es: 
 
1 − 2. 𝜁2 = 0 
 
1 = 2. 𝜁2 
 
𝜁 = √1/2 = 1
√2
⁄ = √
2
2
⁄ 
 
𝜻 = √𝟐 𝟐
⁄ (𝟏𝟐) 
 
O sea, a partir de ese valor de ζ, (que es ligeramente mayor a 0,707), μ, ya no supera 
el valor del origen. 
 
X. TRANSMISIBILIDAD 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
Si el sistema transmite fuerzas a la fundación, o 
bastidor, lo hará a través de sus elementos de suspensión, 
es decir, a través del amortiguador y del resorte. 
 
La fuerza que puede transmitir el resorte es, en 
módulo: 𝐹𝑟 = 𝑘. 𝑥(𝑡); 
 
La fuerza que puede transmitir el amortiguador, en 
módulo, es: 𝐹𝑎 = 𝑐. �̇�(𝑡); 
 
Luego, como vimos en análisis matemático II 
(resolución de ecuaciones diferenciales no homogéneas de 
segundo orden), la solución en régimen permanente tiene 
que tener la formade la siguiente ecuación: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) 
 
Y la velocidad: 
�̇�(𝑡) = 𝑋𝑝. 𝜔𝑓. cos (𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) 
 
Entonces: 
{
𝐹𝑟 = 𝑘. 𝑋𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) 
𝐹𝑎 = 𝐶. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. cos (𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙)
 
 
La fundación se podría asimilar a una gran masa, sometida a un par de pulsaciones 
de distinta intensidad (k.Xp y C.Xp.𝜔f por el otro), de igual pulsación, y en cuadratura 
(desfasadas 90 grados, porque la respuesta del amortiguador se adelanta 90° respecto a la 
del resorte: 
𝐹𝑎 = 𝑐. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. cos(𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙) = 𝑐. 𝑋𝑝.𝜔𝑓. 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓. 𝑡 − 𝜙 + 𝜋/2) 
 
Luego: 𝜙𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟 = ∅𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 + 𝜋/2, por lo qué Fr y Fa tienen sus máximos en 
distintos instantes. 
 
La acción combinada de estas dos fuerzas, puede verse mejor recurriendo al uso de 
de fasores, que son vectores de intensidad constantes, que rotan alrededor de un centro 
común, a una velocidad angular igual a su pulsación. El fasor resultante, tendrá por intensidad, 
la suma vectorial de las intensidades de sus componentes (que en este caso por estar en 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
cuadratura, se puede aplicar Pitágoras); velocidad de giro 𝜔𝑓 (porque sus los dos fasores que 
lo componen giran a la misma velocidad), y; fase igual a la fase inicial del más atrasado, más 
el arco tangente del cociente de las intensidades (la del más adelantado, respecto de la del 
más atrasado). 
 
 
 
En fórmula: 𝐹𝑇(𝑡) = √(𝑘. 𝑋𝑝)
2 + (𝑐. 𝑋𝑝.𝜔𝑓)
2
. 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑓. 𝑡 + 𝜙 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑐.𝜔𝑓
𝑘
)) 
 
La fuerza total máxima transmitida en cada instante, en módulo, se puede calcular a 
partir entonces como: 
 
|𝐹𝑇̅̅ ̅| = √(𝑘. 𝑋𝑝)
2 + (𝑐. 𝑋𝑝.𝜔𝑓)
2
 
 
𝐹𝑇 = √𝑘
2. 𝑋𝑝2 + 𝑐2. 𝑋𝑝2. 𝜔𝑓
2 
 
𝐹𝑇 = √(𝑘
2. 𝑋𝑝2). (1 +
𝑐2. 𝜔𝑓
2
𝑘2
) 
 
𝐹𝑇 = 𝑘.𝑋𝑝.√1 +
(𝑐2. 𝜔𝑓
2)
𝜔0
2⁄
𝑘2
𝜔0
2⁄
 
 
Donde: 
{
𝜔𝑓
2
𝜔0
2⁄ = 𝑟
2 
𝑘2
𝜔0
2⁄ =
𝑘2
𝑘/𝑚⁄ = 𝑘.𝑚
 
Entonces: 
 
𝐹𝑇 = 𝑘.𝑋𝑝.√1 +
𝑐2. 𝑟2
𝑘.𝑚
 
 
𝐹𝑇 = 𝑘.𝑋𝑝.√1 +
𝟒. 𝑐2. 𝑟2
4.
𝑘
𝐦
.𝐦.𝑚
 
 
𝐹𝑇 = 𝑘.𝑋𝑝.√1 +
𝟒. 𝑐2. 𝑟2
4.𝜔0
2.𝐦.𝑚
=.𝑋𝑝. √1 +
𝟒. 𝑟2. 𝑟2
4.𝑚2. 𝜔0
2 
 
𝐹𝑇 = 𝑘. 𝑋𝑝.√1 +
𝟒. 𝛽2. 𝑟2
𝜔0
2 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
𝐹𝑇 = 𝑘.𝑋𝑝.√1 + 𝟒. 𝛇
𝟐. 𝑟2 
 
 El Factor de Transmisibilidad T, se define como el cociente entre el módulo de la carga 
transmitida FT, y la carga transmitida cuasiestáticamente. Ya habíamos visto que esta última 
era k.xest. 
 
 Entonces: 
 𝑇 =
𝐹𝑇
𝐹𝑒
=
𝑘.𝑋𝑝.√1 + 𝟒. 𝛇𝟐. 𝑟2
𝑘. 𝑥𝑒𝑠𝑡
 
 
Y el cociente entre Xp y xest, es el factor de amplificación (𝜇 =
𝑋𝑝
𝑥𝑒𝑠𝑡⁄ ). 
 
𝑻 = 𝝁.√𝟏 + 𝟒. 𝛇𝟐. 𝒓𝟐 (𝟏𝟑) 
 
 Esta última, también la podemos graficar en función de r, tomando a ζ como parámetro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aquí podemos observar: 
 
- Que todas las curvas, parten de T = 1 (para r = 0). Lo que significa que si la carga 
es variable, en régimen permanente se transmite la carga estática, F0, o bien el 
producto de k.δest., que es equivalente. 
- La pendiente de todas las curvas en el origen es nula. 
- Para r > √2, el Factor de Transmisibilidad es vale 1, cualquiera sea el valor del 
factor de amortiguamiento (ζ) del sistema. 
- Para ζ > 1, el Factor de Transmisibilidad es menor a 1, cualquiera sea la relación 
de pulsaciones (r) considerada. 
- Por último, si comparamos los gráficos de μ = f(r) y de T = f(r), vemos que para r > 
√2, los valores del Factor de Amplificación (μ) más bajos, corresponden a los a los 
valores del Factor de amortiguamiento (ζ) más bajos; En cambio, los valores del 
0
2
4
6
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
T = f(r)
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,3 chi = 0,4 chi = 0,6
chi = 0,8 chi = 1 chi = 1,5 chi = 3 cgi = 6
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
Factor de Transmisibilidad más bajos, se logran con el Factor de amortiguamiento 
más altos. 
 
XI. ANALOGÍA ELÉCTRICA. 
 
No pretendemos extendernos más de la cuenta, sin embargo, nos parece 
extraordinaria y de suma utilidad, la analogía que se puede plantear con los sistemas 
eléctricos del tipo resistencia, bobina y amortiguador. Esta analogía, no sólo sirve para 
encontrar similitudes y correlacionar los conocimientos de otras áreas de la ingeniería, sino 
que se convierte en una herramienta de suma utilidad a la hora de simular y ensayar el 
comportamiento de los sistemas mecánicos, cuya fabricación suele ser más compleja y 
costosa que el de sus equivalentes eléctricos. 
 
Veremos dos analogías. La analogía RLC serie y la analogía RLC paralelo. 
 
a) Analogía serie: Si disponemos de un circuito RLC serie, alimentado por una fuente 
de tensión alterna, tenemos el siguiente modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La caída de tensión en cada componente, será: 
 
a) En la resistencia, viene dada por la ley de Ohm: 𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑅. 𝑖(𝑡); 
b) En el capacitor, sabemos que q(t) = C.v(t). Además, como i(t) = dq(t)/dt. Luego: 
𝑣𝐶(𝑡) = 
1
𝐶
. ∫ 𝑖(𝑡). 𝑑𝑡 
c) Y en la bobina, ley de Faraday Lenz. 𝑣𝐿(𝑡) = −
𝑑𝜙
𝑑𝑡
 . Pasando al módulo en régimen 
permanente: 𝑣𝐿(𝑡) =
𝑑[𝐿.𝑖(𝑡)]
𝑑𝑡
= 𝐿.
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
; 
 
Luego, por tratarse de un circuito sería, la tensión total o de fuente tiene que ser igual 
a la suma de las caídas de tensión en los tres componentes (segunda ley de Kirchhoff): 
 
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑅(𝑡) + 𝑣𝐶(𝑡) + 𝑣𝐿(𝑡) 
 
𝑣(𝑡) = 𝑅. 𝑖(𝑡) +
1
𝐶
.∫ 𝑖(𝑡). 𝑑𝑡 + 𝐿.
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
Para prescindir de la integral, hacemos un cambio de variables y pasamos a expresar 
la corriente en función de la carga: i(t) = dq(t)/dt. Entonces: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
𝑣(𝑡) = 𝑅. (
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
) +
1
𝐶
.∫(
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
) . 𝑑𝑡 + 𝐿.
𝑑 (
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
)
𝑑𝑡
 
 
𝑣(𝑡) = 𝑅.
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
. 𝑞(𝑡) + 𝐿.
𝑑2𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2
 
 
Y pasando a la nomenclatura de Newton: 
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
= �̇�(𝑡), y 
𝑑2𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2
= �̈�(𝑡) 
 
Por otra parte, la tensión del generador se puede expresar como: 𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) 
 
Entonces: 
𝑽𝟎. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕) = 𝑳. �̈�(𝒕) + 𝑹. �̇�(𝒕) +
𝟏
𝑪
. 𝒒(𝒕) (𝟏𝟒) 
 
 
Esta también es una ecuación diferencial de segundo orden, ordinaria, lineal, a 
coeficientes constantes, completa y no homogénea. Por lo tanto, es completamente análoga 
a la ecuación 1 del modelo analizado para las vibraciones mecánicas: 
 
(1) 𝐹𝑜 . sen(𝑤𝑓. 𝑡) = 𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 
 
Comparándolas, y por simple observación, vemos que si hacemos: 
 
• 𝐿 = 𝑚; 
• 𝑅 = 𝑐; 
• 
1
𝐶
= 𝑘; 
• 𝑉0 = 𝐹0; 
• 𝑞(𝑡) = 𝑥(𝑡) 
• 𝑣(𝑡) = 𝐹(𝑡) 
 
En el equivalente serie, la fuerza es equivalente a una fuente de tensión alterna de la 
misma frecuencia, y la posición, es equivalente a la carga eléctrica. 
 
Tendremos la analogía buscada. 
 
Luego, {
𝜔0 =
1
√𝐿. 𝐶
⁄
𝛽 = 𝑅 (2. 𝐿)⁄
 , y también: {
𝜁 =
𝛽
𝜔0⁄ =
𝑅
2
. √
𝐶
𝐿
𝑟 =
𝜔
𝜔0
= 𝜔.√𝐿. 𝐶
 
 
Las constantes de integración se determinan también a partir de las condiciones 
iniciales: Carga q(t) y corriente eléctrica i(t), en el instante inicial. 
 
b) Analogía paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso, la corriente total de la fuente (i(t)) se divide en las tres ramas. Se podría 
reacomodar el circuito para verlo directamente como ver como una aplicación directa de la 
primera ley de Kirchhoff. No lo vamos a hacer, porque es muy sencillo y consideramos que el 
lector sabe hacerlo. 
 
De acuerdo con lo que acabamos de decir, la corriente total se puede escribir como: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑅(𝑡) + 𝑖𝐶(𝑡) + 𝑖𝐿(𝑡) (15) 
Dónde: 
 
• 𝑖𝑅(𝑡) =
𝑣(𝑡)
𝑅
; 
• 𝑖𝐶(𝑡) =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝐶.𝑣(𝑡))
𝑑𝑡
= 𝑐.
𝑑(𝑣(𝑡))
𝑑𝑡
; 
• 𝑖𝐿(𝑡) =
1
𝐿
. ∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡 
 
Reemplazando las últimas tres en la (15): 
 
𝑖(𝑡) =
𝑣(𝑡)
𝑅
+ 𝑐.
𝑑(𝑣(𝑡))
𝑑𝑡
+
1
𝐿
.∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡 
 
Ahora la tensión, por ley de Faraday, es la derivada del flujo respecto del tiempo:𝑣(𝑡) =
𝑑∅/𝑑𝑡. Entonces: 
 
𝑖(𝑡) =
𝑑𝜙/𝑑𝑡
𝑅
+ 𝐶.
𝑑2(𝜙(𝑡))
𝑑𝑡2
+
1
𝐿
.∫
𝑑(𝜙(𝑡))
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡 
 
Reacomodando, y utilizando la nomenclatura de Newton, para las derivadas 
temporales, queda: 
 
𝒊(𝒕) = 𝑪. �̈�(𝒕) +
𝟏
𝑹
. �̇�(𝒕) +
𝟏
𝑳
. 𝝓(𝒕) (𝟏𝟔) 
 
Esta última es la ecuación diferencial representativa del modelo análogo eléctrico, y 
vemos que para que guarde concordancia con la ecuación (1), que modeliza a nuestro sistema 
mecánico, debe cumplirse que: 
 
{
𝐶 = 𝑚
1
𝑅
= 𝑐
1
𝐿
= 𝑘
 En este caso, también: {
𝑖(𝑡) = 𝐹(𝑡)
𝜙(𝑡) = 𝑥(𝑡)
 , y {
𝜔0 = 1/√𝐿. 𝐶 
𝛽 = 1/(2. 𝑅. 𝐶)
 
 
Es un modelo diferente, que también nos permite representar y simular el 
comportamiento mecánico, a partir de componentes eléctricos pasivos, pero manteniendo 
similitud con otros parámetros que en el caso de la analogía serie. 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
En ambos casos resulta muy interesante la posibilidad de poder utilizar simuladores 
eléctricos para predecir el comportamiento de los sistemas mecánicos. 
 
XII. EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo N° 1 
 
Se tiene un resorte, suspendido de un marco vertical, de longitud lo. Cuando se le 
cuelga cuasiestáticamente (es decir, sin dejar que se acelere y que tome velocidad) una masa 
m de10 kg, el resorte se estira 25 cm. Luego, desde la posición de equilibrio estático, se 
separa el sistema10 cm más y se le da una velocidad hacia debajo de 5m/s. Se pide hallar las 
ecuaciones del movimiento y graficar. 
 
a) Determinación de la constante del resorte: 
 
- Con el primer dato del problema, el estiramiento cuasiestático “le” o también “lest.”, 
determinamos la constante del resorte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Donde “lo” es la longitud inicial del resorte (sin carga) 
- Del diagrama de cuerpo libre: 
 
𝐹𝑟̅̅ ̅ + �̅� = 0̅ 
 
- Proyectando en un eje x positivo, por ejemplo, hacia abajo: 
 
𝑃 − 𝐹𝑟 = 0 
 
𝑚. 𝑔 − 𝑘. 𝑙𝑒𝑠𝑡 = 0 
 
𝑚. 𝑔 = 𝑘. 𝑙𝑒𝑠𝑡 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
𝑘 =
𝑚. 𝑔
𝑙𝑒𝑠𝑡
=
10𝐾𝑔. 10𝑚/𝑠2
0,25𝑚
= 400 𝑁/𝑚 
 
𝑘 = 400 𝑁/𝑚 
 
b) Ecuaciones del movimiento: 
 
- Ahora estamos en condiciones de plantear el problema de las vibraciones libres. 
- Las condiciones iniciales (CI) de nuestro problema, serán la posición inicial y la 
velocidad inicial. 
- Es decir, cuál es el valor de la posición y de la velocidad para el instante inicial, en el 
cual se considera que comienza a evaluarse el movimiento: 
 
𝐶. 𝐼. : 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜 = 0; 
 
𝑒𝑠: 𝑥𝑜 = 0, 𝑦 𝑣𝑜 = 0 
 
 
 
 
 
- Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Recordamos que se trata de vibraciones libres porque separa la masa de la posición 
de equilibrio estático, se le da velocidad y se suelta. Luego, durante la vibración, no va 
a haber carga exterior aplicada. 
- La ecuación del movimiento, escrita a partir de la figura de la derecha, con el eje x 
apuntando hacia abajo y el punto “O” coincidente con la posición de equilibrio estático 
(PEE), nos queda: 
 
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 0 
 
- Si durante la oscilación hubiera carga exterior, ésta se vería reflejada en el segundo 
miembro de la ecuación anterior. O sea, en lugar de igual a cero, la suma de la pseudo 
fuerza de inercia (𝑚. �̈�, o masa por aceleración) y la fuerza del resorte (k.x), quedaría 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
igualada a la carga exterior: 𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹𝑒𝑥𝑡. Pero bueno, no nos confundamos, 
porque la ecuación de trabajo nuestra en este caso (vibraciones libres no 
amortiguadas), es la anterior (igualada a cero). 
- Calculamos la pulsación natural, y luego el período y la frecuencia natural del 
movimiento. Todos estos parámetros dependen solamente de las propiedades del 
sistema vibrante: masa suspendida y constante elástica del resorte: 
 
𝑤𝑜 = √𝑘/𝑚 = √
400 𝑁/𝑚
10𝑘𝑔⁄ = √40 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 
 
𝑤𝑜 = 6,3245 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 
 
- Luego: 
𝑇𝑜 =
2. 𝜋
𝑤𝑜
= 0,993467 𝑠𝑒𝑔 
 
𝑓𝑜 =
1
𝑇𝑜
=
𝑤𝑜
2. 𝜋
= 1,06657 1/𝑠𝑒𝑔 
 
- Según vimos en la teoría, por analogía con el movimiento circular uniforme (MCU), la 
solución a la ecuación: 𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 0 , es del tipo: 𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑), donde 
tanto X, como el ángulo φ, dependen de las CI. 
- Para calcular estas dos constantes del movimiento, escribimos la ecuación de la 
posición, deducimos a partir de ésta (derivando respecto del tiempo) la de la velocidad, 
y las valoramos en las CI: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑) 
 
�̇�(𝑡) = 𝑋. 𝑤𝑜. cos (𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑) 
 
- Valorando ambas ecuaciones en las CI (condiciones iniciales), tendremos: 
 
𝑥(0) = 0,1 𝑚 = 𝑋 × 𝑠𝑒𝑛(6,3245 × 0 + 𝜑) 
 
�̇�(0) = 5
𝑚
𝑠𝑒𝑔
= 𝑋 × 6,3245 × cos (6,3245 × 0 + 𝜑) 
 
- En resumen, hemos armado el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
{
0,1𝑚 = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
5 𝑚
𝑠𝑒𝑔
= 6,3245. 𝑋𝑜. cos (𝜑)
 
 
- Que en definitiva es un sistema de ecuaciones de 2x2. Dos ecuaciones con dos 
incógnitas, que son X (amplitud máxima de la oscilación) y φ (el ángulo de desfasaje 
de la función seno). Ya lo vamos a ver cuándo lo grafiquemos. 
- Resolviendo el sistema anterior, nos queda: 
 
𝑋 = √[𝑥𝑜2 + (�̇�𝑜/𝑤𝑜)2] 
 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥𝑜.𝑤𝑜
�̇�𝑜
) 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3
Velocidad = f(t) Ve…
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3
Posición = f(t) Po…
 
- Y reemplazando por nuestras CI (𝑥𝑜 𝑦 �̇�𝑜), y el parámetro del sistema (wo), nos 
queda: 
 
𝑋 = √[(0,1 𝑚)2 + (
5 𝑚/𝑠𝑒𝑔
6,3245 1/𝑠𝑒𝑔
)
2
] 
 
 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
0,1 𝑚 × 6,3245 1/𝑠𝑒𝑔
5 𝑚/𝑠𝑒𝑔
) 
 
- Calculando, queda: 
 
{
𝑋 = 0,797 𝑚 
𝜑 = 7, 20912 °
 
 
- Finalmente, las ecuaciones del movimiento quedan así: 
 
𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟕𝟗𝟕𝒎. 𝒔𝒆𝒏(𝟔, 𝟑𝟐𝟒𝟓
𝟏
𝒔𝒆𝒈
.
𝟏𝟖𝟎
𝝅
. 𝒕 + 𝟕, 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟐 °) (𝟏) 
�̇�(𝒕) = 𝟓, 𝟎𝟒𝟎𝟕 𝒎 𝒔𝒆𝒈⁄ . 𝐜𝐨𝐬 (𝟔, 𝟑𝟐𝟒𝟓
𝟏
𝒔𝒆𝒈
.
𝟏𝟖𝟎
𝝅
. 𝒕 + 𝟕, 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟐 °) (𝟐) 
 
- En las expresiones anteriores el primer término del argumento de las funciones 
trigonométricas tiene que ser por 180/π, para pasarlo a grados porque wo está en 
radianes/segundo, por lo que al multiplicarlo por el tiempo (en segundos), queda en 
radianes. 
- En cambio φ, se puede calcular en grados o en radianes, depende de cómo se “seteó” 
(o configuró) la calculadora, porque la tangente de un ángulo, es decir el cociente: 
𝑥𝑜.𝑤𝑜
�̇�𝑜⁄ es adimensional. 
- Derivando la última, podemos expresar también la aceleración, que en forma simbólica 
(sin reemplazar por los valores numéricos de X, φ y wo ), nos quedaría: �̈�(𝑡) =
 −𝑋.𝑤𝑜2. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑). 
- Y reemplazando numéricamente, queda: 
 
�̈�(𝒕) = −𝟑𝟏, 𝟖𝟖
𝒎
𝒔𝒆𝒈𝟐
. 𝒔𝒆𝒏 (𝟔, 𝟑𝟐𝟒𝟓.
𝟏
𝒔𝒆𝒈
.
𝟏𝟖𝟎
𝝅
. 𝒕 + 𝟕, 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟐 °) (𝟑) 
 
- Las ecuaciones (1), (2) y )3), constituyen la solución de la ecuación del movimiento 
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 0, para este caso en particular. 
- Nos queda graficarlas en función del tiempo t. 
 
c) Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
-40
-20
0
20
40
0 1 2 3
Aceleración = f(t) Aceler…
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- En los gráficos anteriores podemos destacar lo siguiente: 
 
o Podemos ver que la posición oscila entre X y –X (entre 0,797 y -0,797 metros), 
comenzando desde xo, que es justamente 10 cm (que es la posición inicial: 0,1 m). 
o La velocidad oscila entre 5 y -5 m/seg, comenzando (para t = 0) desde los 5 m/s, 
que es la velocidad inicial, disminuye hasta cero y vuelve a crecer hasta -5 m/s del 
lado contrario a la Posición de Equilibrio Estático (PEE); 
o Finalmente la aceleración varía entre 31,88 y -31,88 m/seg^2, partiendo desde 
cero, porque en el instante inicial la aceleración inicial es nula. 
 
- Finalmente el ángulo φ representa lo que se desfasa la función seno, es decir, lo que 
se corre respecto a una función seno ordinaria, que arrancaría con cero, porque sen(0) 
= 0. 
- Agrandandoen el gráfico en la zona de t = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- El ángulo φ resulta necesario para que la solución propuesta: 𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑), 
satisfaga la condición inicial de posición. Esto es que x(t=0) = xo = 0,1 m. 
- Obviamente que también resulta esencial para que se satisfaga la condición inicial de 
velocidad: �̇�𝑜 = 5 𝑚/𝑠𝑒𝑔 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 
Ejemplo N° 2: 
 
 Un cuerpo de 10 kg está suspendido de un resorte de constante elástica de 9 N/mm. 
Si sobre él actúa una fuerza periódica de 10 N de amplitud y 1,5 Hz de frecuencia, se pide: El 
factor de amplificación, la amplitud máxima del movimiento para régimen permanente y la 
expresión de x(t) en régimen permanente. 
 
- En este caso estamos ante una oscilación forzada no amortiguada, porque actúa una 
fuerza exterior periódica de amplitud de 10 N y una frecuencia (fp) de 1,5 Hz. 
- No amortiguada porque conforme al enunciado no hay amortiguamiento. 
- La pulsación de la fuerza perturbadora será: 𝑤𝑝 = 2. 𝜋. 𝑓𝑝 = 9,4248 
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
. 
- La expresión de esta perturbación será: 
 
𝐹𝑝(𝑡) = 10 𝑁. 𝑠𝑒𝑛 (9,4248.
180
𝜋 𝑟𝑎𝑑
. 𝑡) 
 
- La constante del resorte es de 9 N/mm, que en unidades SI, equivale a 9.000 N/m. 
- La frecuencia natural o propia del sistema masa resorte, será: 
 
𝑤𝑜 = √
𝑘
𝑚
= √
9000 𝑁
10 𝑘𝑔
= 30 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 
𝑓𝑜 =
𝑤𝑜
2. 𝜋
= 4,7746 𝐻𝑧, 𝑦; 𝑇𝑜 =
1
𝑓𝑜
= 0,2094 𝑠𝑒𝑔 
 
- La solución tiene dos partes: Una que es la solución de la homogénea, que en este 
caso no se extingue porque no hay amortiguamiento. Es decir, es una oscilación libre 
no amortiguada. Y otra que es debida a la fuerza perturbadora. 
- La primer solución, la homogénea es la misma que vimos en los problemas anteriores: 
𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑜. 𝑡 + 𝜑), donde X y φ, dependen de las condiciones iniciales de 
posición y velocidad (xo y vo). 
- En cambio, la solución particular, que depende de la excitación o perturbación, 
depende del Factor de Amplificación (μ) y del desfasaje φp, que a su vez dependen 
de la relación de frecuencias (o relación de pulsaciones: r = wp/wo) y de la relación de 
amortiguamiento ξ = β/wo. 
- En nuestro caso: 
𝑟 =
𝑓𝑝
𝑓𝑜
=
𝑤𝑝
𝑤𝑜
=
1,5 𝐻𝑧
4,7746 𝐻𝑧
= 0,31416 
 
𝜉 =
𝛽
𝑤𝑜
=
0 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
30 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
= 0 
 
- Vemos que ξ = 0 porque no hay amortiguamiento. 
- Luego la solución será del tipo: 𝑥𝑝(𝑡) = 𝜇. 𝑋𝑒𝑠𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑝.
180
𝜋 𝑟𝑎𝑑
. 𝑡 + 𝜑𝑝) 
- Dónde: 
 
𝑋𝑒𝑠𝑡 =
𝐹𝑜
𝑘
=
10 𝑁𝑤
9000 𝑁𝑤/𝑚
= 0,001̂ 𝑚 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
𝜇 =
1
√[(1 − 𝑟2)2 + (2. 𝜉. 𝑟)2]
 
 
𝜇 =
1
(1 − 𝑟2)
= 
1
(1 − 0,314162)
= 1,1095 
 
𝜑𝑝 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2. 𝜉. 𝑟
1 − 𝑟2
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
0
0,9013
) = 0° 
 
- Entonces la solución particular queda: 
 
𝑥𝑝(𝑡) = 1,1095 × 0,001̂𝑚. 𝑠𝑒𝑛 (9,4248
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
.
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
. 𝑡 + 0°) 
 
- O sea: 
𝑥𝑝(𝑡) = 0,00122765 𝑚 × 𝑠𝑒𝑛 (9,4248
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
.
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
. 𝑡) 
 
- Conclusiones: 
 
o El Factor de Amplificación (μ) 
es de casi 11%. Esto se debe 
a que r = 0,31416, lo que 
significa que fp es más baja 
que la frecuencia natural o 
propia. O sea, el sistema 
trabaja bastante por debajo 
de su frecuencia natural y 
por ende, lejos de la zona de 
resonancia; 
o Consecuencia de lo anterior 
es que la amplitud máxima 
del movimiento sea de 
aproximadamente 1,22765 
mm, un 11 % por encima del 
desplazamiento que hubiera 
acontecido si una fuerza de 10N se aplicaba en forma cuasiestática (Xest.); 
o Como φ = 0, la fuerza perturbadora Fp(t) y la respuesta del sistema xp(t) están 
en fase (aumentan y/o disminuyen, al mismo tiempo). 
 
 
Ejemplo N° 3 
 
Un motor pesa 1000 kg y está soportado por un bastidor de peso despreciable, 
apoyado a su vez sobre el piso, a través de cuatro muelles helicoidales de con una constante 
elástica de 20 Kgf/cm (c/u). Si el desequilibrio del rotor se estima en una onza (1 oz = 1/16 de 
libra), a unos 15 cm del eje de rotación, y suponiendo que la oscilación del motor es de un 
solo grado de libertad, calcular: a) La velocidad de giro de resonancia; b) La amplitud máxima 
de la oscilación para un régimen de giro de 750 rpm. 
 
a) Esquema: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
- Como suponemos que el motor sólo tiene permitido un grado de libertad para la 
vibración, el esquema (modelo) físico de trabajo sería el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Velocidad de resonancia: 
 
- La masa suspendida, como despreciamos el bastidor, es m = 1000 kg; 
- El resorte equivalente que resulta de 4 resortes en paralelo tendrá una constante 
equivalente igual a la suma de las constantes de los 4 resortes, o sea: 4.k. 
- Cada resorte tiene una constante elástica de 20 kgf/cm. Es decir, 200 N/cm. Y pasando 
a unidades SI , k de cada resorte será de 20.000 N/m. 
- Luego keq = 4x20.000 N/m = 80.000 N/m. 
- La pulsación propia (wo), o natural del sistema será: 
 
𝑤𝑜 = √
𝑘
𝑚
= √
80.000 𝑁/𝑚
1000 𝑘𝑔
= 8,9443 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 
 
- Esta, justamente será la velocidad de rotación angular a la que se producirá la 
resonancia. 
- En términos de frecuencia: 
 
𝑓𝑜 =
𝑤𝑜
2. 𝜋
=
8,9443 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
2. 𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 1,4235 𝐻𝑧 
 
- Y en términos de frecuencia por minuto, o rpm: 
 
𝑛𝑜 = 𝑓𝑜. 60 = 85,4117 𝑟𝑝𝑚 
 
c) Vibración forzada: 
 
- El tener una masa desbalanceada (md) de 1 onza, girando a 750 rpm a15 cm del eje 
de giro, producirá una pseudofuerza perturbadora radial de amplitud 𝐹𝑝𝑜 = 𝑚𝑑.𝑤𝑝2. 𝑑, 
donde d = 12 cm = 0,12 m y np = 750 rpm, por lo tanto wp = 2.π.np/60 = 78,54 rad/seg. 
- La masa desbalanceada md = 1 oz = 1/16 lb = 0,028125 Kg; 
- Entonces: Fpo = 0,028125 kg x [(78,54rad/seg)^2] x 0,12 m = 20,8188 Nw. 
- Ahora bien, esa pseudofuerza gira con la velocidad de giro del motor (wp) y la 
oscilación sólo es posible en la dirección vertical, entonces equivalen a una 
perturbación armónica en la dirección vertical, del tipo: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
𝐹𝑝(𝑡) = 𝐹𝑝𝑜. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑝. 𝑡) 
 
𝐹𝑝(𝑡) = 20,8188 𝑁𝑤. 𝑠𝑒𝑛 (78,54 
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
. 𝑡) 
 
- Si la carga fuera aplicada cuasiestáticamente, el desplazamiento estático Xest., sería: 
 
𝑋𝑒𝑠𝑡 =
𝐹𝑝𝑜
𝑘
=
20,8188 𝑁
80.000 𝑁/𝑚
= 0,00026 𝑚 
 
- Pero como no está aplicada cuasiestáticamente, el desplazamiento será: 
 
𝑋 = 𝜇. 𝑋𝑒𝑠𝑡. 
 
- Dónde μ es el Factor de Amplificación, que se calcula como: 
 
𝜇 = 
1
√[(1 − 𝑟2)2 + (2. 𝜉. 𝑟)2]
 
 
- En esta última expresión tenemos: 
 
𝑟 = 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 =
𝑓𝑝
𝑓𝑜
=
750/60
1,4235
= 8,781173 
 
𝜉 = 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝛽
𝑤𝑜
=
0 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
8,9443 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
= 0 
 
- Entonces el Factor de Amplificación, μ, queda: 
 
𝜇 =
1
√[(1 − 8,7811732)2 + (0)2]
=
1
|1 − 77,109|
= 0,013139 
 
- Luego la amplitud de la oscilación (X), será: 
 
𝑋 = 𝜇.𝑋𝑒𝑠𝑡 = 0,013139 × 0,00026 𝑚 = 3,4161. 10−6𝑚 
 
𝑋 = 3,4161 𝜇𝑚 
 
- Bastante pequeña. 
- La oscilación, será: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑝. 𝑡 + 𝜑𝑝) 
 
𝜑𝑝 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2. 𝜉. 𝑟
1 − 𝑟2
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
0
1 − 8,7811732
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) = 180° 
 
- Vemos que puede ser: φp = 0°, o bien: φp = n.π, con n perteneciente a los enteros. En 
este caso corresponde n = 1, de manera φp = 180° o bien φp = π rad, porque el 
denominador de la última ecuación es negativo. 
- Es decir, deberíamos haber calculado φp como: 
 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
 𝜑𝑝 = lim
𝜉→0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2.𝜉.𝑟
1−8,7811732
) 
 
- Así queda bien determinado que φp = 180°. 
- Luego, la perturbación Fp(t) y la respuesta en régimen del sistema x(t), están en 
contrafase. Es decir, cuando la masa desequilibrada está por debajo del eje, la masa 
del motor experimenta el ascenso y viceversa. 
 
𝒙(𝒕) = 𝟑, 𝟒𝟏𝟔𝟏. 𝟏𝟎−𝟔 𝒎. 𝒔𝒆𝒏(𝟕𝟖, 𝟓𝟒 
𝒓𝒂𝒅
𝒔𝒆𝒈
. 𝒕 + 𝝅 𝒓𝒂𝒅) 
 
d) Suposición: si np hubiera sido de 75 rpm en lugar de 750 
 
 
𝑤𝑝 = 2 × 𝜋 ×
𝑛𝑝
60
= 7,854𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 
- Entonces 
𝑟 = 
𝑤𝑝
𝑤𝑜
=
7,854
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
8,9443𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
= 0,8781 
- Y μ, φp valdrán: 
 
𝜇 =
1
|(1 − 𝑟2)|
=
1
|(1 − 0,87812)|
=
1
0,22894
= 4,36795 
 
𝑋 = 𝜇.𝑋𝑒𝑠𝑡 = 4,36795 × 0,00026 𝑚 = 0,0011357𝑚 
 
𝜑𝑝 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2. 𝜉. 𝑟
1 − 𝑟2
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
0
0,22894
) = 0° 
 
- Y finalmente: 
 
𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟑𝟓𝟕 𝒎. 𝒔𝒆𝒏(𝟕, 𝟖𝟓𝟒 
𝒓𝒂𝒅
𝒔𝒆𝒈
. 𝒕) 
 
 
- Vemos que ahora, que wp < wo, Fp(t) y x(t) están en fase, y que la amplitud máxima 
de la oscilación, si bien es pequeña, 1,1357 mm, ya es bastante mayor que el 
desplazamiento estático (Xest = 0,26 mm) 
 
 
XIII. BIBLIOGRAFÍA. 
 
Casi todos los libros de mecánica tratan el tema. A modo de ejemplo nada más, 
citamos los siguiente 
 
a. Mecánica Racional de Ercoli - Azurmendi, editado por la UTN. Este libro tiene una 
disposición un poco diferente a la habitual en los textos de la materia, y vibraciones lo 
trata dentro del capítulo de cinética del punto material. En el capítulo 1 además, de 
cinemática del punto, hace un extenso discurrimiento por el análisis de los movimientos 
armónicos compuestos, que es muy interesante. 
CAPÍTULO 5 Vibraciones 
 
b. Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT. Libro extremadamente 
ameno, sencillo y conciso, que además de lo convencional, hace un análisis completo 
de las vibraciones torsionales con un grado de libertad y se introduce incluso en las n 
grados de libertad; 
c. Mecánica de Luis Roque Argüello, de Answer Just in Time, que introduce algunas 
conceptos energéticos aplicados al caso concreto de las vibraciones (oscilaciones, 
como las denomina este texto); 
d. Mecánica Vectorial para Ingenieros, de Beer - Johnston, editorial Mac Graw Hill; 
e. Vibraciones y Ondas de A.P. French, publicado por el MIT, editorial Reverté; 
 
 
 
 
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