Dinamica del Punto Material

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UTN - FRH, 
Cátedra: Mecánica Racional 
Carrera: Ing. Mecánica 
DPM 
Pablo Baños, Ezequiel 
Ayala y Pablo Koury 
 
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DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL 
 
 
1. INTRODUCCIÓN: 
 
- Vamos a comenzar hoy con el estudio de la dinámica del punto material. 
- Esta Unidad es como la contracara de la unidad denominada Cinemática del 
Cuerpo Rígido. En aquella vimos la faceta más Racional de la materia. Aquí 
veremos, al contrario que en la otra, la faceta más fáctica, porque es la que más 
uso hace de los principios observacionales. Haremos entonces un recuento 
histórico de cómo se fueron elaborando estos principios, qué significaron en sus 
comienzos, cómo deben ser interpretados en la actualidad, y finalmente 
analizaremos unos cuantos casos con soluciones integrables para las ecuaciones 
de movimiento. 
- El problema fundamental que nos propone la dinámica es la resolución de la 
ecuación del movimiento a partir del conocimiento de las expresiones de las 
fuerzas que actúan sobre la partícula y de las condiciones iniciales (de posición y 
de velocidad). Si la solución de la ecuación diferencial no es posible por los 
métodos convencionales, hoy por hoy se puede recurrir a los métodos 
computacionales (resolución numérica). 
- Pero vayamos al grano, y comencemos desde el principio, comencemos por revisar 
algunas ideas y redefinir otras previas. 
 
2. DINÁMICA Y PUNTO MATERIAL. 
 
- La dinámica, como ya sabemos, es la rama de la mecánica que estudia el 
movimiento de los cuerpos, a partir del estudio de las causas que lo producen; es 
decir, a partir de la inclusión de las fuerzas, o mejor dicho, de las interacciones. 
- El estudio del punto material desde esta óptica, nos obliga quizás a redefinir el 
concepto de punto material. Antes lo habíamos considerado sin masa, o al menos 
prescindíamos de ésta. Ahora la tendremos que considerar todo el tiempo, porque 
un objeto sin masa no tiene inercia, y no le es aplicable la segunda ley de Newton. 
- Asimismo, debemos reconsiderar el concepto de punto o de partícula. En 
cinemática habíamos dicho que un cuerpo podía ser considerado como un punto 
cuando sus dimensiones eran despreciables con respecto a las distancias que éste 
recorre y/o a las distancias en juego de la trayectoria analizada. Y que la palabra 
“despreciables”, debía significar en realidad, que las dimensiones de la partícula 
debían ser del mismo orden de magnitud que el error con el que se medían las 
distancias antes mencionadas. 
 
- Pero en dinámica, como el centro neurálgico son las interacciones, vamos a 
direccionar esas distancias justamente hacia allí, hacia las partículas o cuerpos, 
 
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con las cuales el objeto de nuestro interés interactúa. Un cuerpo podrá entonces 
ser considerado como puntual, cuando sus dimensiones sean despreciables 
respecto a las distancias que las separan con los cuerpos o partículas con las 
cuales interactúa (o más precisamente, cuando sus dimensiones estén dentro del 
orden de magnitud del error, con el que medimos esas distancias). 
 
3. SOBRE PRINCIPIOS Y LEYES. 
 
- Un principio es un enunciado de un hecho experimental evidente. Un enunciado 
hecho a partir de una observación, ya sea de una realidad natural, o de un 
experimento provocado. Los principios son el fundamento de las ciencias fácticas. 
- Una ley, en cambio, es una relación entre magnitudes, que surge a partir de los 
principios observacionales. 
- Existen métodos especialmente desarrollados, que permiten obtener expresiones 
que relacionan magnitudes de manera algebraica. Los métodos del análisis 
dimensional, el teorema de Pi Buckingham y el Principio de Fourier de 
homogeneidad dimensional, son ejemplos de ello. 
 
4. SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL (SRI) Y NO INERCIAL (SRNI). 
 
- Un SRI es un sistema de referencia (para nosotros una terna triortogonal derecha), 
que está fija, o que si se mueve lo hace con MRU (o sea, con velocidad constante 
en módulo dirección y sentido). 
- Llamamos observador inercial a un observador que observa (valga la redundancia) 
el movimiento de los cuerpos, desde un Sistema de Referencia Inercial. 
 
5. INTERACCIÓN. 
 
- Dos o más cuerpos (partículas en nuestro caso), producen interacciones (fuerzas), 
que se manifiestan por la aparición recíproca de aceleraciones. Es una observación 
general que se manifiesta en todos los cuerpos. 
 
6. PRINCIPIOS PREVIOS A NEWTON. 
 
- Aristóteles (384 a 322 AC): Un cuerpo que está en reposo respecto a un 
observador, mientras no haya algo que lo perturbe, permanecerá en reposo por 
toda la eternidad (Mecánica de Alessio, 2.007). 
- Galileo Galilei (1564 a 1642): Las leyes de la mecánica son invariantes respecto a 
dos observadores: Uno fijo, y otro que se mueva con velocidad rectilínea y uniforme 
(MRU) respecto de aquél (del fijo). 
- Algunos autores, presentan a ambos estudiosos, con principios mucho más 
evolucionados y más cercanos a la forma de redacción del propio Newton. 
 
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Nosotros no pretendemos hacer aquí una investigación histórica y preferimos 
dejarlo a así. La duda queda planteada, y la puerta abierta para el que quiera seguir 
estudiando, pueda hacerlo desde otro ámbito. 
 
7. NEWTON (4/ENE/1643 al 31/MAR/1727). 
 
- Newton nace el 4 de enero de 1.643, conforme el calendario actual, el Gregoriano, 
impuesto por el Papa Gregorio XIII en 1582. Pero en esa época gobernaba 
Inglaterra Enrique VII, que rompe vínculos con Roma, no adhiere a las 
disposiciones papales y prosigue con el calendario Juliano (de Julio César), 
conforme Newton nace el 25/DIC/1642 (10 días de diferencia). 
- Sintetiza todos los conocimientos previos de su época, y los enuncia en forma de 
tres principios independientes (que también son leyes, porque tienen expresiones 
asociadas), íntimamente relacionados entre sí, y a su vez, mutuamente 
complementarios. 
- Pero no sólo los sintetiza, sino que también les da una expresión analítica, 
fundamentalmente a través de la segunda, y para ello desarrolla toda la matemática 
necesaria para poder manifestarla: el cálculo diferencial. 
- Y finalmente nos da una de las leyes macro del universo, que para la época de 
Newton, era prácticamente una aventura del pensamiento, porque no había datos 
para sustentarla, que es la ley de gravitación universal. 
- Newton es una de las mentes más brillantes de su época. Supo ver, supo 
interpretar la naturaleza de las cosas y supo trasladar el modelo físico al modelo 
matemático. En este sentido, se puede ver en Newton una perspectiva del gran 
Einstein. 
 
a. Primer Principio: (Principio de Inercia) 
 
- Se puede ver como la unión de los principios de Aristóteles y de Galileo. Newton 
dice básicamente que, si un cuerpo está aislado, es decir, no interactúa con ningún 
otro, o está en reposo respecto de un observador inercial; o si se mueve, lo hace 
con movimiento rectilíneo y uniforme (MRU). 
- Este principio puede verse como un caso particular del segundo principio, para el 
caso particular en que la fuerza resultante sea nula (que sería el caso de un cuerpo 
aislado, o que no interactúa con ningún otro). En ese supuesto, la aceleración debe 
ser nula y luego la velocidad nula, o bien constante. 
- Sin embargo, como vimos, esto proviene de observaciones anteriores a la noción 
de masa y de fuerza (Aristóteles y Galileo) y además, pone de manifiesto la 
necesidad de utilizar un SRI. 
- Sólo en estos sistemas de referencia, serán válidos los principios de Newton, y por 
ende, sus ecuaciones. 
 
 
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b. Segundo Principio: (Principio de Masa) 
 
- Este es el principio fundamentalde la mecánica clásica, o mecánica newtoniana. 
- Básicamente establece una relación de causalidad (causa-efecto) entre la acción 
(fuerza) y la consecuencia de las mismas, que es la modificación del estado de 
movimiento de la partícula. 
- Por eso en la secundaria nos acostumbran a recitar algo así como “fuerza es todo 
aquello que modifica, o que tiende a modificar el estado de movimiento de los 
cuerpos”. 
- Lo enuncia diciendo básicamente que la resultante de todas las fuerzas que actúan 
sobre una partícula, es directamente proporcional a la aceleración que ésta 
adquiere, y que la constante de proporcionalidad es su masa. 
- Obviamente es el postulado que mejor se adapta a la formulación de una ley: 
 
𝐹 = 𝑚. 𝑎 
 
- Siendo �̅� en realidad, la fuerza resultante (�̅�) de todas las acciones que actúan 
sobre la masa m. Es decir: �̅� = �̅� = ∑𝐹�̅� 
- Esta ley, que como ya dijimos, constituye el postulado fundamental de la mecánica 
newtoniana, brinda una descripción cuantitativa del movimiento, que nos permitirá, 
siempre y cuando seamos capaces de manifestar las fuerzas en juego, poder 
determinar unívocamente la aceleración y luego por simple integración, la 
velocidad y la posición de la partícula para cualquier instante de tiempo. 
- Esta ley, tan simple como hoy en día nos parece, es el núcleo central de la obra 
maestra de Newton (Principia, o “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”) y 
también la que le valió largas vacilaciones y retrasos a la hora de publicarla 
(JUL/1.687). 
- Y el problema principal, es que de las tres magnitudes que aparecen en ésta, que 
es su ley fundamental, sólo una estaba perfectamente definida (al menos en la 
época de Newton), que es la aceleración. 
- En efecto, si bien todos tenemos una idea más o menos intuitiva de lo que significa 
fuerza, porque lo asociamos al esfuerzo muscular, que nos implica levantar un peso 
o una carga, no había una definición precisa. 
- Si se admite el conocimiento preciso de la fuerza, entonces la segunda ley quedaría 
como una definición de masa, y así fue como Newton lo creyó. Por eso la llega 
hasta nuestros días con ese nombre, como principio de masa. 
- Recién hacia mediados del siglo XIX, casi 200 años después de la publicación de 
Newton, aparece la genialidad de Ernst Mach (1.834 a 1.916), quien propone el 
análisis actual. 
- Mach, a partir de una serie de sencillos experimentos entre partículas diferentes, 
expuestas a distintos tipos de interacción, nos conduce formalmente a la definición 
de la Masa Inercial. Luego de la cual, la segunda ley de Newton puede finalmente 
 
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interpretarse, como una definición parcial o alternativa de fuerza. Por supuesto que 
no hay que olvidar la noción de interacción, ni la importantísima necesidad de 
cumplir con el tercer principio (principio de acción y reacción, que aún no hemos 
comentado. 
- Veamos un poco la secuencia de los experimentos de Mach: 
Primero se vinculan dos partículas, que denominamos genéricamente como A y B 
y las sometemos a algún tipo de interacción mutua, como por ejemplo la de un 
vínculo elástico, tal como un resorte de compresión (figura A). 
 
 
- Si hacemos tres experiencias con esas dos partículas, cambiando el resorte en 
cada una (por ejemplo, poniendo un resorte más duro), y medimos las 
aceleraciones de cada partícula. 
- Las conclusiones conclusiones que podríamos sacar, serían las siguientes: 
 
i. Las aceleraciones de ambas partículas tienen siempre la misma dirección, pero 
sentido opuesto. 
ii. El cociente de las aceleraciones mutuas de cada experiencia es constante: 
 
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐵,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾2
𝑎𝐵,𝐾2
=
𝑎𝐴,𝑘3
𝑎𝐵,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒1 
 
 
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- Colocamos puntos suspensivos por que el resultado se hubiera repetido si 
hubiéramos seguido cambiando resortes, e incluso si hubiéramos cambiado el tipo 
de interacción (un choque, un resorte de tracción, etc.) 
- Si cambiamos uno de los dos cuerpos, por ejemplo, el cuerpo B por otro que 
denominamos C, de propiedades físicas bien diferentes y repetimos las 
experiencias con los mismos tres resortes, tendremos la situación de la figura B: 
 
 
 
- La situación se vuelve a repetir, y el cociente de las aceleraciones vuelve a resultar 
constante: 
 
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐴,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒2 
 
- Finalmente, si hacemos interactuar al cuerpo B, con el cuerpo C, tendremos: 
 
 
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- Vemos que los cocientes de las aceleraciones vuelves a ser constantes: 
 
𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐵,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐵,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= ⋯ = 𝑐𝑡𝑒3 
 
- Como los módulos de las aceleraciones son siempre constantes, pero cambian, a 
su vez cuando cambiamos los cuerpos. Esto significa que esas constantes no 
dependen del tipo de interacción (cambio de resortes, o de experimento), sino que 
deben depender de alguna una propiedad inherente a los cuerpos (que 
evidentemente no es el volumen ni la superficie, etc., ya las mismas experiencias, 
si las hubiéramos realizado, así lo hubieran demostrado). 
... … 
- Pero además hay otra cosa interesante, y es que la última constante que hemos 
obtenido, resulta del cociente de las otras dos: 
 
𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐵,𝐾2
𝑎𝐶,𝐾2
=
𝑎𝐵,𝑘3
𝑎𝐶,𝐾3
= 𝑐𝑡𝑒3 =
𝑐𝑡𝑒2
𝑐𝑡𝑒1
 
 
 O sea: 
 
 
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𝑎𝐵,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
=
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐶,𝑘1
𝑎𝐴,𝐾1
𝑎𝐵,𝑘1
 
 
- Lo que quiere decir que la relación de aceleraciones es inversamente 
proporcional a la relación entra esta “nueva” propiedad de los cuerpos que 
estamos buscando (que ahora sabemos que es la masa, pero que en la época de 
Newton, no estaba tan claro…). 
- Como pasó con muchas otras magnitudes, caso por ejemplo de la energía, la 
temperatura, etc, fue necesario adoptar una como referencia y adoptarla como 
unidad, para poder hacer la comparación (medir) y valorar el resto. Y eso fue 
justamente lo que se hizo cuando se adoptó la unidad de masa. 
- Para los interesados en profundizar, recomendamos la lectura de las páginas 
pertinentes del excelente libro de Juan G. Roederer “Mecánica Elemental”, de 
editorial Eudeba. Realmente no es un libro que forme parte de la bibliografía de la 
materia, pero si es un excelente libro introductorio; y este tema en particular lo 
cubre con una simplicidad y elegancia inigualables. Como alternativa, se puede 
consultar también “Mecánica”, a secas, de Luis Roque Argüello. 
 
c. Principio de Acción y Reacción. Hay tantas formas de redactarlo, casi como de 
seres humanos en el mundo. Nosotros la hacemos así: Dos partículas que 
interactúan entre sí, se ejercen mutuamente fuerzas iguales y opuestas: 
 
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎: �̅�1,2 = −�̅�2,1 
 
- La ley de inercia es una expresión matemática, que condensa una experiencia. La 
experiencia es justamente el principio: Que las magnitudes de ambas fuerzas son 
iguales, que actúan sobre la misma recta de acción y que sus sentidos son 
opuestos. 
- Otra forma: �̅�1,2 + �̅�2,1 = 0̅ 
- Cuidado: La anterior, no es una ecuación de equilibrio estático, porque ambas 
fuerzas están actuando sobre distintos cuerpos (sistemas). 
 
8. FORMAS DE EXPRESAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: 
 
a. En forma vectorial convencional, utilizando las magnitudes dinámicas primarias o 
fundamentales en la mayoría de los sistemas de unidades: 
 
�̅� = 𝒎. �̅� (𝟏) 
 
 
 
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b. Expresión escalar cartesiana de la segunda ley: 
 
{
�̅�𝑥 = 𝑚.𝑎𝑥 = 𝑚. �̇�𝑥 = 𝑚. �̈�
�̅�𝑦 = 𝑚.𝑎𝑦 = 𝑚. �̇�𝑦 = 𝑚. �̈�
�̅�𝑧 = 𝑚.𝑎𝑧 = 𝑚. �̇�𝑧 = 𝑚. �̈�
 
 
c. Expresión en coordenadas cilíndricas: 
 
{
�̅�𝜌 = 𝑚. (�̈� − 𝜌. �̇�
2) 
�̅�𝜑 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�)
�̅�𝑧 = 𝑚. �̈� 
 
d. Expresión en polares: 
 
{
�̅�𝜌 = 𝑚. (�̈� − 𝜌. �̇�
2) 
�̅�𝜑 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�)
 
 
 
e. Expresión en coordenadas intrínsecas: 
 
{
�̅�𝑡 = 𝑚. �̈�
�̅�𝑛 = 𝑚.
�̇�2
𝜌
 
 
f. Expresión en esféricas: 
 
{
�̅�𝑟 = 𝑚. (�̈� − 𝑟. �̇�
2 − 𝑟. �̇�2. 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)) 
�̅�𝜃 = 𝑚. (2. �̇�. �̇� + 𝑟. �̈� − 𝑟. �̇�
2. 𝑠𝑒𝑛(𝜃). cos (𝜃)) 
�̅�𝜑 = 𝑚. (𝑟. �̈�. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 2. �̇�. �̇�. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 2. 𝑟. 𝜃�̇�. 𝑐𝑜𝑠(𝜃)̇ ) 
 
 
9. TIPOS DE FUERZAS ENCONTRADAS EN LA NATURALEZA (clasificación física) 
 
- Los físicos distinguen cuatro tipos de interacciones básicas: Fuerzas tipo I, tipo II, 
tipo III y tipo IV. 
 
Fuerzas tipo I. 
 
- La primera es la gravitatoria. Este es otro de los grandes aportes de Newton 
(muchos la mencionan como la cuarta ley). 
- En forma vectorial, la podemos expresar como: 
 
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�̅�12 = −𝐺.
𝑚1. 𝑚2.
𝑟12
2 . �̌�12 
- Donde la constante G, se denomina constante de gravitación universal y vale 
aproximadamente: 6,67384. 10−11 
𝑁.𝑚2
𝐾𝑔2
 
- La validez práctica de esta ecuación es indiscutida. En el año 1.846 los astrónomos 
Urbain Le Varrier (francés), y Lohn Adams (inglés), estudiando las irregularidades 
de la órbita de Urano y aplicando las leyes de gravitación de Newton, lograron 
descubrir un nuevo planeta (nuevo para aquél entonces): Neptuno. 
- Otro de los tantos aspectos asombrosos de este aporte extraordinario de Newton, 
es que esta ley se verifica tanto para el micro como para el macrocosmos. Sólo 
deja de tener validez ante cuerpos extraordinariamente masivos, en cuyo caso es 
necesario recurrir a la teoría de la Relatividad General, desarrollada por Einstein 
por el año 1915…, casi 250 años después de que Newton desarrollara su teoría… 
- Otro aspecto genial es cómo Newton logró determinar el valor de la constante. Para 
nosotros resulta muy fácil decir bueno, podemos relacionar F12 con el peso de un 
cuerpo. Entonces g (la aceleración de la gravedad terrestre) tiene que ser: 𝑔 =
𝐺.𝑚𝑇
𝑅𝑇
2 , 
dónde mT es la masa de la tierra, y RT el radio de la tierra. El problema es que en 
la época de Newton, ninguna de éstas estaba determinada con la precisión 
suficiente… 
 
Fuerzas tipo II: 
 
- El segundo tipo de interacciones son las del tipo electromagnético. Las fuerzas de 
Coulomb, por ejemplo, son parte de esta subdivisión, y vienen dadas por: 
 
�̅�12 = 𝑘.
𝑞1. 𝑞2.
𝑟12
2 . �̌�12 
 
- Dónde k es la constante de Coulomb: 𝑘 =
1
4.𝜋.𝜀0
≅ 9. 109 
𝑁.𝑚2
𝐶2
 , y 𝜀0 es la 
permitividad dieléctrica del vacío, que aproximadamente vale: 8,85 × 10−12
𝐶2
𝑁.𝑚2
 
 
 
Fuerzas tipo III: 
 
- El tercer tipo de interacciones son las que clasifican como Fuerza Nuclear Fuerte 
(o interacción nuclear fuerte), que son básicamente las fuerzas que aparecen 
dentro del núcleo atómico, y; 
 
 
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Fuerzas tipo IV: 
 
- La última es la Interacción Nuclear Débil. 
- Estas últimas explican la desintegración de los núcleos radioactivos. Acá sólo 
vamos a decir, que se trata de fuerzas más intensas que las del tipo I (gravitatorias), 
pero menos intensas que las del tipo III. 
- Se podría ver a las del tipo II, como caso particular de las nucleares débiles. El 
tema es que éstas (las del tipo IV), tienen su alcance limitado a las distancias del 
núcleo atómico, que están en el orden de magnitud de los 10-18. En cambio, las 
fuerzas del tipo II, suelen extenderse a distancias habituales del campo de la 
mecánica clásica. 
- Para mayor abundamiento se recomienda la lectura de: Física General de Burbano 
Ercilia. 
 
10. TIPOS DE INTERACCIONES DESDE EL PUNTO DE VISTA DE INTERÉS DE LA 
MECÁNICA CLÁSICA APLICADA. 
 
- Desde un punto de vista “más mundano”, podemos decir que en definitiva las 
fuerzas del tipo I y del tipo II, de las mencionadas anteriormente, serán las 
responsables de casi todos los fenómenos que nosotros observamos en nuestra 
vida cotidiana (bien alejada de los laboratorios de física cuántica y de los 
observatorios astronómicos). Porque en definitiva, convivimos con eventos que 
involucran velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz. 
- En este tipo de fenómenos podemos distinguir dos grandes tipos de fuerzas o de 
interacciones: 
 
Fuerzas de interacción a distancia: 
 
- Son aquellas que no precisan de un medio material para poder manifestarse 
(Fuerzas de origen eléctrico, de origen gravitatorio y de origen magnético). 
- Actúan siempre a través de campos, e incluso se pueden manifestar en medio del 
más absoluto vacío. 
 
Fuerzas de contacto: 
 
- Son aquellas fuerzas que aparecen siempre entre superficies comunes de contacto 
y que precisan de un medio material para poder manifestarse. 
- Podemos dividirlas a su vez en: 
 
o Fuerzas de vínculo: Vínculo entre superficies; Entre partícula y una línea; 
Entre partícula y superficie; Entre partícula y un vínculo puntual, etc. 
 
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o Fuerzas de contacto superficial: Fuerzas de rozamiento entre superficies; 
Entre partículas y superficies; etc. 
o Fuerzas de contacto en un medio fluido: Fuerzas de fricción viscosa (o 
fluida) que pueden responder a varios modelos: Stokes, Newton, etc. 
 
Nota: Una parte importantísima de la resolución del problema dinámico, consiste 
en ser capaz de determinar apropiadamente todas las interacciones que 
condicionan el movimiento (al menos las más relevantes), y de encontrar las 
expresiones o funciones, que permitan cuantificarlas. 
 
11. PARTÍCULA LIBRE Y PARTÍCULA VINCULADA: 
 
- La partícula podrá estar libre o Vinculada. 
▪ La partícula libre solo está sometida a Fuerzas de acción a distancia y/o a 
fuerzas de contacto con medios fluidos. 
▪ La partícula vinculada es aquella que interactúa con superficies, líneas o 
cuerpos que la obligan una trayectoria geométrica definida. 
Independientemente de esto, podría estar sometida también a otras fuerzas de 
acción a distancia. 
 
a. Fuerzas de vínculo (fuerzas reactivas): 
 
- Cuando la partícula está vinculada, obviamente aparecerá una fuerza de vínculo. 
- Las fuerzas de vínculo son siempre desconocidas y se deben plantear como 
acciones geométricamente compatibles con la restricción que se pretende imponer. 
- En particular, en dinámica, resultan de interés superlativo los vínculos que permiten 
algún tipo de movimiento de la partícula (si no pasa a ser un problema de estática). 
- En la dinámica del punto se nos pueden presentar dos tipos de vinculaciones: 
partícula – línea y partícula superficie. 
 
i) Vínculo con línea lisa: 
 
- En el caso de una partícula obligada a desplazarse por una trayectoria 
curvilínea, a su vez, puede darse el caso de que haya o no, rozamiento. 
- Si no hay fricción, o la podemos despreciar, decimos que la línea es lisa. 
Entonces la fuerza de vínculo viene dada exclusivamente por la reacción 
normal: �̅�, que expresada en intrínsecas, dado que la ecuación de la trayectoria 
es conocida: 
 
�̅� = 𝑁𝑛 . �̌� + 𝑁𝑏. �̌� 
 
- O sea, nunca tiene componente en la dirección de la tangente. 
 
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- Su módulo (N), en general no se puede anticipar. Debe surgir de la ecuación 
de movimiento. Sólo en casos muy sencillos, podremos asegurar que es igual 
al peso. Caso contrario queda como una incógnita más a determinar junto con 
la aceleración, en la segunda ley de Newton. 
 
ii) Vínculo con línea rugosa. 
 
▪ Si al caso anterior le añadimos fricción sólida (fuerzas de Coulomb), la 
fuerza de vínculo se puede descomponer en dos: 
▪ La normal, que tendrá la misma expresión que antes, y la fuerza de 
rozamiento sólido, que tiene la dirección de la tangente, y que depende de 
la intensidad de esa fuerza normal: 
 
{
�̅� = 𝑁𝑛. �̌� + 𝑁𝑏 . �̌�
�̅�𝑅 = −𝜇.𝑁. �̌� 
 
 
▪ Dónde: �̌� = �̅�/𝑉, y tanto N como 𝜇 (si es el dinámico), tienen que 
desprenderse como resultado de resolver las ecuaciones del movimiento. 
Es decir, o priori son incógnitas. Recordemos que el único μ conocido, es 
el estático. 
 
iii) Vínculo con una superficie lisa: 
 
▪ La normal, tiene que ser ahora, perpendicular a una superficie. Si 
conocemos la ecuación implícita de la superficie, por ejemplo 𝜑(𝑥; 𝑦; 𝑧) =
0. Entonces la dirección normal se puede determinar calculando el módulo 
del vector gradiente: �̌� =
∇̅(𝜑)
|∇̅(𝜑)|
 
▪ Y la reacción normal valdrá: 
�̅� = 𝑁. �̌� = 𝑁.
∇̅(𝜑)
|∇̅(𝜑)|
 
▪ O, como dice Alessio: 
 
�̅� = 𝜆. ∇̅(𝜑) 
 
▪ En este caso, los valores de 𝜆 (y/o N), no se tienen que forzar. Deben salir 
como resultado de las ecuaciones del movimiento (al igual que 𝜇𝑑𝑖𝑛 en el 
caso “c)”, anterior). 
 
iv) Vínculo con una superficie rugosa: 
 
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▪ Cuando la superficie es rugosa, a la reacción normal del caso anterior, hay 
que agregarle la componente de fricción en la dirección del movimiento 
(versor �̌�), pero con sentido contrario: 
 
{
�̅� = 𝜆. ∇̅(𝜑) 
�̅�𝑅𝑂𝑍 = −𝜇.𝑁. �̌�
 
 
▪ Acá de nuevo, �̌� = �̅�/𝑉, y tanto N como 𝜇 (si es el dinámico), tienen que 
desprenderse como resultado de resolver las ecuaciones del movimiento. 
 
b. Fuerzas activas: 
 
- Las fuerzas activas pueden ser constantes (como el caso d la fuerza peso, para 
condiciones de validez de constancia, que se le impongan a la aceleración de la 
gravedad), o bien pueden ser función del tiempo, de la posición y eventualmente 
de la velocidad. 
- Es decir, en el caso más general: �̅� = �̅�(𝑡, �̅�, �̇�). 
- Nunca pueden ser función de la aceleración, porque se rompería el principio de 
causalidad, que es la base de la segunda ley… (pregunta que fue hecha más 
adelante). 
 
12. EL PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA: 
 
- La segunda ley de Newton �̅� = 𝑚. �̅�, como ya dijimos, es una relación causa efecto 
entre la acción (resultante de las fuerzas exteriores), la consecuencia que resulta 
de aplicar todas esas fuerzas sobre la partícula, que es su aceleración. Es decir, la 
modificación de su estado de movimiento. 
- Esta ecuación, es una ecuación diferencial, que utilizando la notación de Newton 
se puede escribir así: 
 
�̅� = 𝒎. �̈� (𝟑) 
 
- Su resolución implica un proceso de doble integración, para el cual resultará 
necesario determinar dos constantes, que evidentemente tienen que salir de las 
condiciones iniciales. 
- La resolución de la segunda ley entonces, conocidas las condiciones iniciales en 
términos de posición y velocidad ( �̅�0 = �̅�(𝑡0) 𝑦 �̅�0 = �̅�(𝑡0)) 
- Es decir, de alguna manera, la ecuación (3) nos ofrece una descripción 
cualicuantitativa del movimiento, ya que: 
- Conocidas las fuerzas actuantes: �̅�, y las condiciones iniciales �̅�0 𝑦 �̅�0, para cada 
instante de tiempo t puedo conocer la posición de la partícula y la trayectoria queda 
 
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unívocamente determinada. Esto constituye lo que se denomina determinismo de 
la mecánica clásica, y la resolución de la ecuación diferencial es el problema 
fundamental. 
 
13. CASOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: 
 
- Una vez salvada la dificultad que pueda representar el tener que manifestar la 
relación funcional de las fuerzas activas, la aplicación de la segunda ley, nos 
conducirá inexorablemente a una ecuación diferencial de segundo orden. 
- Y conforme sea la complejidad de esas relaciones con las variables cinemáticas y 
con el tiempo, la ecuación diferencial resultante, podrá ser más o menos sencilla. 
- Si la ecuación diferencial es simple, se podrán aplicar métodos de integración 
directa, como los que se ven habitualmente en los cursos de análisis matemático 
básicos. De lo contrario, deberemos recurrir a la integración numérica y al uso de 
recursos informáticos. 
- Los casos más sencillos son aquellos en los que hay una única fuerza activa 
exterior y que es constante, o que depende a lo sumo de una única variable: 
 
a) Fuerza constante; 
b) Fuerza dependiente del tiempo; 
c) Fuerza dependiente de la posición; 
d) Fuerza dependiente de la velocidad. 
 
- Nota: La fuerza evidentemente, puede depender de varias maneras diferentes de 
las variables anteriores. Pero dentro de este paradigma que representa la 
mecánica newtoniana, nunca puede ni podrá depender de la aceleración. 
¿Porqué? La respuesta es muy sencilla, pero se las dejo como inquietud. 
 
a. Fuerza resultante constante: 
 
- La segunda ley en forma vectorial es: �̅� = 𝑐𝑡𝑒̅̅ ̅̅ 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
- En forma escalar, en coordenadas cartesianas: 
 
{
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
 
 
- Si hacemos coincidir la dirección de la única fuerza exterior actuante, con la 
dirección de un de los ejes coordenados, por ejemplo x, nos queda: 
 
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{
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
0 = 𝑚. 0
0 = 𝑚. 0
 
 
- En definitiva, una única ecuación escalar del tipo: 
 
𝐹𝑥
𝑚
= �̈� 
 
- O bien: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝐹𝑥
𝑚
 
 
- Es una ecuación diferencial muy sencilla, de Segundo orden; Ordinaria, Lineal, A 
coeficientes constantes; No homogénea, e; Incompleta y a variables separables. 
- Le bajamos un orden, poniéndola en términos de la velocidad y separando 
variables queda: 
𝑑�̇� =
𝐹𝑥
𝑚
. 𝑑𝑡 
- Integramos entre la velocidad inicial (�̇�0) y una velocidad arbitraria cualquiera en 
un instante t (�̇�(t)), y los intervalos correspondientes para el tiempo. 
 
∫ 𝑑�̇�
�̇�
�̇�𝑜
= ∫
𝐹𝑥
𝑚
.𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
- Y, 
�̇�(𝑡) − �̇�(𝑡0) =
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
�̇�(𝒕) = �̇�(𝒕𝟎) +
𝑭𝒙
𝒎
. (𝒕 − 𝒕𝟎) 
 
- La velocidad varía linealmente con el tiempo (MRUV). 
 
- Expresando la velocidad como dx/dt e integrando de nuevo: 
 
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= �̇�(𝑡0) +
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
𝑑𝑥(𝑡) = [�̇�(𝑡0) +
𝐹𝑥
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0)] . 𝑑𝑡 
 
 
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𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎) + �̇�(𝒕𝟎). (𝒕 − 𝒕𝟎) +
𝟏
𝟐
.
𝑭𝒙
𝒎
. (𝒕 − 𝒕𝟎)
𝟐 
 
- Que es la clásica expresión cuadrática, típica del MRV. 
 
b. Fuerza resultante, que depende exclusivamente del tiempo: 
 
�̅� = �̅�(𝑡) 
- Entonces: 
�̅�(𝑡) = 𝑚. �̅� 
- Escalarmente: 
{
𝐹(𝑡)𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹(𝑡)𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
𝐹(𝑡)𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
 
 
- Haciendo coincidir la dirección de la única fuerza exterior actuante, con la de algún 
eje coordenado (por ejemplo, x), queda: 
 
𝐹(𝑡) = 𝑚.𝑑�̇�/𝑑𝑡 
 
- Pero como por hipótesis, la fuera depende exclusivamente del tiempo, otra vez es 
a variables separables: 
 
𝑑�̇� =
1
𝑚
. �̅�(𝑡). 𝑑𝑡 
 
- Integramos entre límites apropiados: 
 
∫ 𝑑�̇�
�̇�
�̇�𝑜
=
1
𝑚
.∫ �̅�(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
�̇�(𝒕) = �̇�(𝒕𝟎) +
𝟏
𝒎
.𝚽(𝒕) 
- E integrando de nuevo para la posición:𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎) + �̇�(𝒕𝟎). [𝒕 − 𝒕𝟎] +
𝟏
𝒎
.∫ 𝚽(𝒕). 𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
 
c. Fuerza resultante dependiente exclusivamente de la posición. 
 
�̅� = �̅�(�̅�(𝑡)) 
 
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- La segunda ley queda: 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚. �̅� 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑𝑡
 
 
- Haciendo: 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑�̅�(𝑡)
.
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑�̅�(𝑡)
. �̅�(𝑡) 
- Logramos separar las variables: 
 
�̅�(�̅�(𝑡)).𝑑�̅�(𝑡) = 𝑚. �̅�(𝑡). 𝑑(�̅�(𝑡)) 
- Integrando: 
 
𝒎.∫ �̅�(𝒕). 𝒅(�̅�(𝒕))
�̅�(𝒕)
�̅�𝟎
= ∫ �̅�(�̅�(𝒕)). 𝒅�̅�(𝒕)
�̅�(𝒕)
�̅�𝟎
 (𝟒) 
 
- Para el caso particular de los sistemas conservativos, la anterior se puede reducir 
a: 
 
𝟏
𝟐
.𝒎. [�̅�𝟐(𝒕) − �̅�𝟎
𝟐] = 𝚽(�̅�(𝒕)) − 𝚽(�̅�𝟎) (𝟓) 
 
- Pero mucho cuidado con la última ecuación, ya el segundo miembro solo será 
válido para sistemas conservativos. Es decir, cuando el trabajo depende de la 
posición y no del camino (pero trabajo no es lo mismo que fuerza. Ver ejercicio en 
la guía con un resorte inclinado). 
- Recordemos que un sistema es conservativo sí y solo sí (condición necesaria y 
suficiente), las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema, son todas 
conservativas; o bien, porque si actúan fuerzas no conservativas (Fnc), éstas 
últimas no realizan trabajo. Los sistemas conservativos son sistemas reversibles y 
los no conservativos, no. 
- La expresión (5) se ha convertido en una ecuación escalar. El primer miembro es 
la variación de la energía cinética y el segundo, que proviene del trabajo realizado 
por la resultante de las fuerzas exteriores, es la variación de la Energía Potencial. 
 
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- Entonces, continuando con nuestro caso particular de sistemas conservativos, para 
hallar la posición, tendremos que volver a integrar. Pero como estamos trabajando 
con magnitudes escalares, en principio más que la posición, lo que podríamos 
hallar es la ley horaria: 
 
�̅�2(𝑡) = �̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
 
𝑣(𝑡) = ±√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
 
 
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
= ±√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)] 
 
𝑑𝑠(𝑡) = (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡 
∫ 𝑑𝑠(𝑡)
𝑠(𝑡)
𝑠0
= ∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 Y, 
 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [Φ(�̅�(𝑡)) − Φ(�̅�0)]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
 Si el sistema es no conservativo, entonces: 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
= ±√�̅�0
2 +
2
m
. [∫ �̅�(�̅�(𝑡)). 𝑑�̅�(𝑡)
�̅�(𝑡)
�̅�0
] 
 
 Y, 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +∫ (√�̅�0
2 +
2
m
. [∫ �̅�(�̅�(𝑡)).𝑑�̅�(𝑡)
�̅�(𝑡)
�̅�0
]) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
 
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d. Fuerza dependiente exclusivamente de la velocidad: 
 
�̅� = �̅�(�̅�(𝑡)) 
 
�̅�(�̅�(𝑡)) = 𝑚.
𝑑(�̅�(𝑡))
𝑑𝑡
 
 
𝑑(�̅�(𝑡))
�̅�(�̅�(𝑡))
=
1
𝑚
. 𝑑𝑡 
- Primera integración: 
 
∫
𝑑(�̅�(𝑡))
�̅�(�̅�(𝑡))
�̅�(𝑡)
�̅�0
=
1
𝑚
.∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
- Si el sistema es unidimensional, resolviéndola llegaremos a una función de la 
velocidad: Φ(𝑣𝑥(𝑡)) 
 
- Entonces, nos quedaría: 
 
Φ(𝑣𝑥 (𝑡)) =
1
𝑚
. (𝑡 − 𝑡0) 
 
- Expresando la velocidad como 𝑣𝑥(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
 y si, logramos separar variables y 
volver a integrar, podremos obtener una expresión para x(t). 
 
14. ECUACIONES CARDINALES O UNIVERSALES DE LA MECÁNICA: 
 
a. Primera ecuación cardinal: 
 
- La ecuación universal o cardinal de la mecánica, no es otra cosa que lo que 
acostumbramos a llamar segunda ley de Newton, pero escrita tal como lo refirió el 
propio Isaac en su obra cúlmine. Es decir, utilizando la magnitud denominada 
cantidad de movimiento (o cantidad de movimiento lineal). 
- Llamamos �̅�, cantidad de movimiento lineal, al producto de la masa por la velocidad 
de la partícula: 
 
�̅� = 𝑚. �̅� 
 
- En función de esta nueva magnitud �̅�, la segunda ley de la mecánica se podría 
escribir así: 
 
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�̅� = 𝑚. �̅� 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
- Como la masa, dentro del dominio de validez de la mecánica Newtoniana (nada 
cercano a velocidades comparables con la velocidad de la luz), podemos escribir 
la anterior como: 
 
�̅� =
𝑑(𝑚. �̅�)
𝑑𝑡
=
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
- O sea: 
𝐹 =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 (𝑆. 𝑅. 𝐼) 
 
- Que es la primera ecuación universal para sistemas de referencia inerciales. 
 
- Si la terna que hemos elegido está rotando, es un sistema de referencio no inercial. 
 
- Se puede modificar la segunda ley, utilizando el operador que habíamos visto 
cuando estudiamos movimiento relativo en la Unidad 3, para calcular la derivada 
de �̅�, cuando la terna rota: 
 
𝑑(�̅�)
𝑑𝑡
=
𝑑(�̅�)
𝑑𝑡
⌋
𝑟𝑒𝑙
+ 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̅� 
- O sea, la derivada absoluta de una magnitud relativa (medida desde un SRNI) es 
igual a la derivada de esa magnitud, pero realizada en forma relativa, más un 
término adicional que aparece porque la derivada anterior (la derivada realizada en 
forma relativa) fue realizada sin tener en cuenta la rotación de los ejes de la terna. 
- Ese término adicional, vale 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̅�. O sea, el producto vectorial entre la velocidad 
angular de la terna y la magnitud cuya derivada pretendo calcular (en este caso la 
cantidad de movimiento lineal). 
- Finalmente, la primera ley universal para ternas no inerciales que rotan, quedará: 
 
𝐹 =
𝑑(�̅�)
𝑑𝑡
⌋
𝑟𝑒𝑙
+ 𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̅� 
 
b. Segunda ecuación universal. 
 
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- La segunda ley de Newton, se puede expresar también en términos de momentos. 
- En el primer miembro aparece el momento de la resultante de las fuerzas exteriores 
respecto de algún punto O1, en principio arbitrario, y en el segundo, una magnitud 
“nueva”, que es el momento de la cantidad de movimiento, respecto del mismo 
punto O1 (respecto al cual hemos calculado el momento de las fuerzas exteriores). 
- Para denotar al Momento de la Cantidad de Movimiento, utilizaremos la letra K (𝐾, 
porque es vector). 
 
𝐾𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� 
 
- Donde (P-O1) es un vector, que escrito así, va desde el punto O1 hasta el punto P. 
- Al momento de la cantidad de movimiento también se lo acostumbra a llamar 
Momento de Momentum, o Momento Cinético. El supraíndice del vector K, indica 
el punto respecto del cual estamos calculado el momento. 
- Sin embargo, el nombre momento de la cantidad de movimiento nos parece más 
que alusivo y el más conveniente. 
- Si derivamos el vector cantidad de movimiento: 
 
𝑑𝐾𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑((𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�)
𝑑𝑡
 
 
- En el segundo miembro aplicamos la regla de derivada del producto, teniendo 
presente que se trata de un producto vectorial: 
 
𝑑𝐾𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
∧ �̅� + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝐾𝑂1
𝑑𝑡
= (�̅�𝑃 − �̅�𝑂1) ∧ �̅� + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝐾𝑂1
𝑑𝑡
= �̅�𝑃 ∧ �̅� − �̅�𝑂1 ∧ �̅� + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
- El primer término del segundo miembro es nulo porque los vectores �̅�𝑃 𝑦 �̅� son 
colineales (recordar que �̅� = 𝑚. 𝑉𝑃̅̅ ̅. 
- El segundo término lo podemos pasar al primer miembro, y el tercer término, 
conforme a la ecuación (2) es el momento resultante de las fuerzas exteriores: 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
= (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� 
 
 
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- Porque �̅�, es justamente la resultante de las fuerzasexteriores y (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅� es el 
momento de dicha fuerza. 
- Luego reordenando: 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑�̅�
𝑑𝑡
=
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+ �̅�𝑂1 ∧ �̅� 
- O bien: 
�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑂1 =
𝑑 𝐾𝑂1
𝑑𝑡
+ �̅�𝑂1 ∧ �̅� (𝑆𝑅𝐼) 
 
- Donde �̅�𝑂1 es la velocidad del punto respecto del cual hemos tomado momentos. 
Obviamente que si este punto no se mueve, su velocidad es nula y el término 
desaparece (lo que usualmente es lo más conveniente). 
- La ecuación anterior se conoce con el nombre de Segunda Ecuación Cardinal (o 
Universal) de la Mecánica (o también de la Dinámica en vez de Mecánica), y es 
válida únicamente para sistemas de referencia inerciales (SRI). 
- Para sistemas de referencia no inerciales que estén rotando, hay que transformar 
la ecuación anterior, debido a la rotación de los ejes de la terna. 
- Esta ecuación se transforma entonces en la siguiente: 
 
�̅��̅�𝑒𝑥𝑡
𝑂1 =
𝑑 𝐾𝑂1
𝑑𝑡
⌋
𝑟𝑒𝑙
+ �̅�𝑂1 ∧ �̅� +𝑊𝑇
̅̅ ̅̅ ∧ 𝐾𝑂1 (𝑆𝑅𝑁𝐼) 
 
c. Tercera ecuación universal: 
 
- La tercera ecuación universal de la mecánica, así como la primera y la segunda, 
deriva también de la segunda ley de Newton �̅� = 𝑚. �̅�. Recordemos que �̅� siempre 
representa a la resultante de todas las fuerzas exteriores que están actuando sobre 
nuestra partícula P en estudio) 
- Si en la segunda ley, hacemos: 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑�̅�
.
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
�̅� = 𝑚.
𝑑�̅�
𝑑�̅�
. �̅� 
 
�̅�. 𝑑�̅� = 𝑚. 𝑑�̅�. �̅� 
 
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- Donde es fácil “ver” que el segundo miembro no es otra cosa que la energía cinética 
escrita en forma diferencial. 
- Es decir, la energía cinética, se define como 𝑇 =
1
2
𝑚. �̅�2, y si integramos 𝑚.𝑑�̅�. �̅�, 
entre una velocidad inicial, vo y una velocidad v, para un tiempo t arbitrario, 
tendremos: 
∫ 𝑚.𝑑�̅�. �̅�
𝑣(𝑡)
𝑣𝑜
=
1
2
�̅�2|
𝑣𝑜
𝑣(𝑡)
= 𝑇 − 𝑇𝑜 
 
- Entonces, vemos que la energía cinética es una función diferencial total exacta, y 
podemos escribir: 
 
�̅�. 𝑑�̅� = 𝑑𝑇 
 
- En el primer miembro no ocurre lo mismo, porque tenemos el trabajo de la fuerza 
resultante, que es igual a la suma del trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre 
la partícula P, pero que no se puede a “priori” expresar como un diferencial total 
exacto, porque en general depende del camino recorrido (no de las posiciones 
extremas). 
- Para salvar esta circunstancia, lo vamos a denotar con la letra griega delta (δ), y lo 
vamos a llamar trabajo elemental: δW. 
- Finalmente, la tercera ecuación universal, en forma diferencial, quedaría: 
 
𝜹𝑾 = 𝒅𝑻 
 
- Que no es otra cosa que la expresión del Teorema de las Fuerzas Vivas, que ya 
habíamos visto en los cursos previos de física. 
 
- En forma integral: 
 
∫ �̅�. 𝑑�̅�
�̅�
𝑟𝑜̅̅̅̅
= 𝑇 − 𝑇𝑜 
 
- Donde recordemos, que el primer miembro en general no se puede representar 
como la resta de una función evaluada en las posiciones extremas. Excepto cuando 
el sistema sea conservativo. Cuando el sistema sea conservativo, en ese caso sí 
existirá una función potencial (que denominamos, energía potencial: U), que 
resuelve la integral del primer tiempo por la valoración de la misma en las 
posiciones extremas. Pero es un caso particular, donde el Teorema de las Fuerzas 
Vivas, nos conduce a otro teorema conservacional, que es el de conservación de 
la Energía Mecánica. 
 
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- No insistimos más porque son todos temas de Física I. Invitamos a lectores y 
alumnos interesados en estos aspectos, a consultar los textos de esa materia. A 
modo de ejemplo, recomendamos: 
▪ Uno excelente y que me gustó muchísimo es “Física General” de Burbano 
Ercilia, de editorial Tebar; 
▪ Uno ya clásico es el tomo de mecánica, o tomo I de Física de Tipler – Mosca, 
de editorial Reverté. Si lo buscan un poco, hay versiones en pdf dando 
vueltas por la internet… (así están las editoriales…); 
▪ Mecánica elemental de Roederer, de editorial Eudeba que ya mencioné; 
▪ El Serway, también otro clásico, que viene en varias presentaciones. La más 
completa es en tomos separados y el que aplica sería el tomo 1, o tomo de 
mecánica. Pero también tiene una versión compacta, llamada 
“Fundamentos de Física”, junto con otro autor y también en un buen libro de 
texto introductorio y que cubre todos estos temas relacionados con la 
energía mecánica y el trabajo de las fuerzas conservativas y no 
conservativas. Estos fueron publicados por varias editoriales, incluyendo a 
Paraninfo de España, una excelente editorial. 
▪ Hay muchísimos, y no quiero hacer “proselitismo” por uno u otro libro, pero 
tampoco quiero dejar de mencionar un texto increíble como son los tomos 
(todos en realidad), aunque aquí aplicaría el de mecánica, que es “Curso de 
Física de Berkeley”, que está publicado en idioma original por el MIT, que 
ya todos sabemos lo que significa y en español por Reverté, otra gran 
Editorial de textos universitarios en nuestro idioma. 
- Finalmente, podemos decir que tenemos un total de tres ecuaciones cardinales. 
Dos vectoriales y una escalar (la última). Juntas, dependiendo del tipo de problema, 
nos van permiten armar un sistema de hasta siete ecuaciones escalares 
independientes (tres por la primera, tres por la segunda y una por la tercera porque 
es escalar), lo cual nos permitiría resolver problemas con un total de hasta 7 
incógnitas. 
 
15. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO RELATIVO: 
 
- Como hemos visto hasta aquí las leyes de Newton se aplican siempre desde 
sistemas de referencia inerciales porque interviene la aceleración absoluta del 
punto. 
- Sin embargo, es posible realizar alguna modificación para el planteo desde un 
sistema de referencia no inercial, utilizando el teorema de adición de las 
aceleraciones, o teorema Coriolis, que hemos visto en el último capítulo de 
cinemática: 
�̅�𝑎𝑏𝑠 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟 
 
- Teniendo en cuenta la última, la segunda ley de Newton se puede escribir como: 
 
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�̅� = 𝑚. �̅�𝑎𝑏𝑠 = 𝑚. (�̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟) 
- O bien: 
�̅� − 𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = 𝑚. �̅�𝑟𝑒𝑙 
 
- Donde la �̅�𝑟𝑒𝑙 es la que se “ve”, mide y calcula desde el Sistema de Referencia no 
Inercial. 
- Los términos que han pasado al primer miembro se denominan respectivamente 
pseudofuerza de arrastre y pseudofuerza de Coriolis. Pseudofuerza porque no son 
fuerzas, sino productos de masa por aceleración. Es decir, tienen unidades de 
fuerza, pero no lo son, por la sencilla razón de que no cumplen con el principio de 
acción y reacción (la tercera ley de Newton). 
- Con esta nomenclatura, la segunda ley modificada quedaría: 
 
�̅� + �̅�𝒂𝒓𝒓 + �̅�𝑪𝒐𝒓 = 𝒎. �̅�𝒓𝒆𝒍 
 
- Donde las pseudofuerzas, o fuerzas ficticias se calculan como: 
 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. [�̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) + 𝜀�̅�𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
�̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. [2. �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑟𝑒𝑙] 
 
- Las ecuaciones de aceleración de arrastre y de Coriolis fueron desarrolladas 
previamente en el capítulo III, Cinemática del Movimiento Relativo. El subíndice 
para la velocidad angular y la aceleración angular, TM, significa Terna Móvil. 
- Un punto interesante para comentar es la posibilidad de resolver problemas de 
equilibrio relativo y de reposo relativo. 
- Por equilibrio relativo entendemos la condición de nulidad de la aceleración relativa 
(�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅), y por reposo relativo las dos condiciones: �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, y �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, lo que 
anula también la pseudofuerza de Coriolis. 
- Esta formulación ofrece una herramienta sumamente útil para la resolución e 
interpretación de determinados problemas,con la condición de elegir 
adecuadamente la Terna Móvil (sistema de referencia no inercial). 
 
 
16. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 
 
- Para la resolución de problemas, les recomendamos seguir el esquema clásico: 
1) Plantear un Modelo Físico (del problema): 
▪ Esto implica la lectura e interpretación de problema. Analizar y tomar nota 
de los datos relevantes y descartar los irrelevantes. Relegar aquellos datos 
 
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de los que se tenga duda, a la espera de la evaluación de los resultados de 
la primera aproximación. 
▪ En cada paso, el modelo físico tiene que ser lo más sencillo posible. Tiene 
que considere sólo las magnitudes relevantes de problema. Después se 
puede ir complicando y mejorando; 
2) Plantear el modelo matemático, 
▪ Plantear el modelo matemático significa encontrar las ecuaciones 
diferenciales (pueden ser una o varias), que describen a mi modelo físico. 
El modelo matemático siempre viene dado en forma de una ecuación 
diferencial (o de varias); 
3) Resolver el problema matemático. 
▪ Si la (o las) ecuación diferencial(es) lo permite(n), y nuestro conocimiento 
también, por supuesto, el problema se resolverá en forma simbólica. Puede 
que algún software en este punto, sea de utilidad. Para los problemas que 
resolveremos en clase, se puede usar, aunque en general no hará falta. 
▪ En la práctica profesional, si el problema matemático no tuviera solución 
exacta (que es lo más común), hay que recurrir a la resolución numérica; 
4) Evaluar los resultados y eventualmente iterar. 
▪ Para evaluar los resultados nosotros nos valdremos de la interpretación 
intuitiva y del análisis dimensional. 
▪ En la práctica profesional, sin embargo, suele ser necesario recurrir a 
ensayos que validen los resultados. Los ensayos pueden ser a escala 
(aplicando teoría de modelos), en tamaño real, o simulación por medio de 
software de ingeniería, generalmente basada en el método de los elementos 
finitos. 
▪ En este punto hay que preguntarse: ¿los resultados teóricos concuerdan 
con los resultados de los ensayos?, ¿o con los resultados computacionales, 
o con los resultados lógicos esperados? 
▪ Si se tratara de un problema real y los datos del ensayo no se consideran 
satisfactorios, hay que revisar e iterar. Volver a plantear el modelo físico, 
incorporando datos que hayan sido descartados en la primera aproximación. 
Viendo o tratando de ver si no hay interacción que hayan quedado ocultas y 
que no han sido incorporadas al modelo, o que hayan sido mal evaluadas… 
Puede ser también que se hayan considerado efectos o sobrevalorado 
efectos cuya incidencia no era tal…, etc. Hay que replantear el modelo y 
volver sobre los 4 pasos. 
▪ ¿Hasta cuándo hay que iterar? Hasta que la diferencia de resultado nos de 
con la precisión que hemos definido como satisfactoria. Ese es el momento 
de salir de la iteración y de dar los resultados por buenos. 
▪ En el curso nuestro, cuando se trata de problemas académicos, saldremos 
de la iteración cuando los resultados del punto 3 sean coherentes con lo que 
 
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esperábamos obtener y consistentes. Es decir, no tengamos problemas 
dimensionales. 
 
Ejemplo 1: Para la primera parte, dinámica del punto material desde un sistema de 
referencia inercial (SRI), analizaremos el movimiento de un punto en un medio fluido sin 
gravedad (campo ingrávido), con resistencia al avance proporcional a la primera potencia 
de la velocidad. 
 
 Supusimos un medio ingrávido, simplemente para simplificar el caso y no estudiar 
un tiro oblicuo. 
 
 Con esta hipótesis, nuestro diagrama de 
cuerpo libre (DCL) quedará reducido a una 
partícula puntual, que avanza en una 
determinada dirección y sentido, a una 
determinada velocidad, y se le opone una 
resistencia de origen viscoso, proporcional a la 
primera potencia de la velocidad. 
 
 Aplicando la segunda ley de Newton, o primera ecuación cardinal de la mecánica, 
a la partícula m, tendremos: 
 
∑�̅� = 𝑚. �̅� 
 
 Por lo que dijimos, la única fuerza exterior que actúa sobre la partícula es la 
resistencia. La fuerza peso, que se asocia a todo objeto con masa en las cercanías de la 
tierra, no la tuvimos presente en virtud de la hipótesis de ingravidez. Luego tendremos: 
 
�̅� = �̅� = 𝑚. �̅� 
 
 Esta fuerza resistente, como dijimos, es proporcional a la primera potencia de la 
velocidad, pero de sentido opuesto, lo que se puede poner de manifiesto anteponiéndole 
un signo menos: 
 
�̅� = −𝑘. �̅� 
 
 Y reemplazando en la segunda ley: 
 
−𝑘. �̅� = 𝑚. �̅� 
 
−𝑘. �̅� = 𝑚. �̇̅� 
 
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 Proyectando en la dirección del eje X: 
 
−𝑘. 𝑣 = 𝑚. �̇� 
 
−𝑘. 𝑣 = 𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
−
𝑘
𝑚
.𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
𝑣
 
 
∫
𝑑𝑣
𝑣
=
𝑣
𝑣𝑜
∫ (−
𝑘
𝑚
) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 
 
 Si adoptamos como condiciones iniciales que, para to=0; xo=0, y vo=vo, 
tendremos: 
 
ln (𝑣) |
𝑣
𝑣𝑜
= −
𝑘
𝑚
. (𝑡 − 𝑡𝑜) 
 
ln(𝑣) − ln(𝑣𝑜) = −
𝑘
𝑚
. (𝑡 − 𝑡𝑜) 
 
 Como to = 0: 
 
𝑙𝑛 (
𝑣
𝑣𝑜
) = −
𝑘
𝑚
. 𝑡 
 
𝑣
𝑣𝑜
= 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡
 
 
𝒗 = 𝒗𝒐. 𝒆−
𝒌
𝒎.𝒕 (𝟏) 
 
 Notar que la velocidad inicial no puede ser nula, ya que si la única fuerza exterior 
aplicada que existe, depende linealmente de la velocidad y esta es nula, nunca habrá 
fuerza y el sistema permanecerá en reposo (“por toda la eternidad…”, como diría 
Aristóteles…). 
 
 Además, la fuerza tiene sentido contrario a la velocidad, o sea se opone al 
movimiento. Notar que la velocidad (1) es una función exponencial decreciente… 
 
 
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Luego, si queremos hallar la posición: v=dx/dt, entonces: 
 
 
𝑑𝑥 = 𝑣𝑜. 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡. 𝑑𝑡 
 E integrando: 
 
∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥𝑜
= ∫ (𝑣𝑜. 𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡) . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
 Si llamamos: u = -(k/m).t; 
 Entonces: u´=-(k/m); du = -(k/m).dt, y dt = -(m/k).du 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = ∫ (𝑣𝑜. 𝑒𝑢 . (−
𝑚
𝑘
)) . 𝑑𝑢
𝑢
𝑢𝑜
 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = −
𝑚
𝑘
. 𝑣𝑜. 𝑒𝑢|
𝑢𝑜
𝑢
 
 Pero: 
 
{
 
 
 
 𝑢 = −
𝑘
𝑚
. 𝑡
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜 = 0
𝑢𝑜 = −
𝑘
𝑚
. 𝑡𝑜 = 0
 
 
 
 Entonces: 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = −
𝑘
𝑚
. 𝑣𝑜. (𝑒−
𝑘
𝑚
.𝑡 − 1) 
 
 O bien: 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝒐 +
𝒌
𝒎
. (𝟏 − 𝒆−(
𝒌
𝒎
).𝒕) (𝟐) 
 
 La velocidad, como ya dijimos, es una exponencial decreciente, se parece por lo 
tanto a la curva de descarga de un capacitor. La posición por su parte (ecuación 2), tiene 
un valor inicial, que es xo, y un valor final que es xo+k/m. La transición entre esas dos 
posiciones, tiene la misma forma que la carga de una capacitor. Les dejamos a ustedes 
la representación gráfica de velocidad y posición en función del tiempo. 
 
 
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Resultaría muy interesante resolver este mismo problema suponiendo resistencia 
proporcional al cuadrado de la velocidad y comparar la evolución de los resultados a lo 
largo del tiempo con respecto a la dependencia lineal. Pero de nuevo, le dejamos la tarea 
al lector interesado. Nosotros nos reservamos para la publicación a futuro de un apunte 
complementario, exclusivamente de problemas. 
 
Ejemplo 2: Para el análisis con terna no inercial elegimos el problema N° 16 de la práctica del 
capítulo 4 bis, del libro de Alessio: Un tubo doblado liso, como se ve en la figura, gira con 
velocidad angular  cte. En su interior hay un punto material de masa m. Encontrar la ecuación 
de la curva que debe tener el tubo para que elpunto esté en reposo en cualquier posición. 
 
 
Para resolverlo elegimos un SRNI, con origen O1, coincidente con el punto O y los 
ejes X1 e Y1, asociados respectivamente a los versores i1 y j1, como se muestra en la 
figura superior. La terna gira solidaria al tubo en todo t, y con la misma velocidad angular 
(𝜔). 
 
El Estado de Movimiento de la Terna Móvil (EMTM), será: 
 
𝐸𝑀𝑇𝑀: 
{
 
 
 
 �̅�𝑂1 = 0̅ 
�̅�𝑂1 = 0̅ 
�̅�𝑇𝑀 = �̅� = 𝜔. 𝑗1̌
𝜀�̅�𝑀 = 0̅ 
 
 
 Estado de velocidades y de aceleraciones para la terna móvil: 
 
𝐸𝑉𝑇𝑀: �̅�𝑃 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) = 𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
𝐸𝐴𝑇𝑀: �̅�𝑃 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑇𝑀 ∧ [�̅�𝑇𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] + 𝜀�̅�𝑀 ∧ (𝑃 − 𝑂1) = 𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
 EVTM y EATM nos darán la velocidad y la aceleración de arrastre 
respectivamente. 
El vector posición (P-O1) será: 
 
 
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(𝑃 − 𝑂1) = 𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌ 
 
 Diagrama de cuerpo libre: Nos encontramos con un cuerpo de masa puntual, 
apoyado sobre una curva lisa. La reacción de vínculo evidentemente es perpendicular a 
la curva en el punto de apoyo, y como la curva pertenece al plano 𝑖1̌ − 𝑗1̌, no debería tener 
componente en �̌�1. Sin embargo, si sospechamos que la reacción tiene componente en 
este último versor, podemos plantearlo y que el sistema de ecuaciones resuelva su valor. 
Además de la fuerza de vínculo, tendremos como fuerza exterior, el peso, que es la 
manifestación de la interacción gravitatoria con el planeta tierra. Así las cosas tendremos: 
 
 
 Como buscamos reposo relativo, entonces: 
 
{
�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅
�̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅
 
 
Planteamos la segunda ley de Newton para SRNI: 
 
�̅� + �̅�𝑎𝑟𝑟 + �̅�𝐶𝑜𝑟 = 𝑚. �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅ 
 
Donde: 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚. �̅�𝑎𝑟𝑟 
 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 �̅�𝑎𝑟𝑟 = 𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 𝑦 (𝑃 − 𝑂1) = 𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌ 
 
�̅�𝑎𝑟𝑟 = −𝑚.𝜔. 𝑗1̌ ∧ [𝜔. 𝑗1̌ ∧ (𝑥. 𝑖1̌ + 𝑦. 𝑗1̌)] = 𝑚.𝜔
2. 𝑥. 𝑖1̌ 
 
y 
�̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. �̅�𝐶𝑜𝑟 = −𝑚. {2. �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝑟𝑒𝑙} = 0̅ 
 
𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 �̅�𝑟𝑒𝑙 = 0̅, 𝑒𝑛 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
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Continuando: 
�̅� + �̅�𝑎𝑟𝑟 = 0̅ 
 
�̅� + �̅� +𝑚.𝜔2. 𝑥. 𝑖1̌ = 0̅ 
 
−𝑚. 𝑔. 𝑗1̌ − 𝑁𝑥. 𝑖1̌ + 𝑁𝑦. 𝑗1̌ +𝑁𝑧. �̌�1 +𝑚.𝜔
2. 𝑥. 𝑖1̌ = 0̅ 
 
Separando en los tres versores: 
 
{
𝑖1̌) 𝑁𝑥 = 𝑚.𝜔
2. 𝑥 
𝑗1̌) 𝑁𝑦 = 𝑚.𝑔 
�̌�1) 𝑁𝑧 = 0 
 
 
 
De la figura anterior es fácil ver que 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑁𝑥/𝑁𝑦, entonces: 
 
𝑁𝑦. 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑚. 𝑔. 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑚.𝜔2. 𝑥 
 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝜔2
𝑔
. 𝑥 
 
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝜔2
𝑔
. 𝑥 
 
𝑑𝑦 =
𝜔2
𝑔
. 𝑥. 𝑑𝑥 
∫𝑑𝑦 = ∫
𝜔2
𝑔
. 𝑥. 𝑑𝑥 
 
 
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𝑦 =
𝜔2
2. 𝑔
. 𝑥2 + 𝐶 
 
Donde C en la constante de integración, que si la curva parte del origen, tendremos: 
 
𝑦(0) = 0 =
𝜔2
2. 𝑔
. 02 + 𝐶 ==> 𝐶 = 0, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 
 
𝒚 =
𝝎𝟐
𝟐.𝒈
. 𝒙𝟐 
 
Que es la forma de la curva necesaria para que la masa quede en equilibrio en 
cualquier posición. A mayor velocidad, menor apertura de la parábola. 
 
Si tenemos una forma de tubo parabólica ya determinada, y 𝜔 es más pequeño que 
el coeficiente de la parábola por lo que el punto encontrará su equilibrio en una posición 
baja de la parábola. A medida que 𝜔 aumente, la posición de equilibrio irá trepando a lo 
largo de la parábola hasta encontrar el punto crítico, donde se encuentra en equilibrio en 
cualquier punto. A partir de allí, si 𝜔 sigue aumentando, el equilibrio el equilibrio se vuelve 
a encontrar en un único punto, pero en la parte más alta de la parábola. 
 
Algo muy similar utiliza el inclinómetro de una aeronave, que es el indicador de 
viraje coordinado. Los virajes siempre son a diferente velocidad, por lo que el equilibrio se 
encontrará en un solo punto del tubo, dependiendo de la velocidad de giro y de las fuerzas 
intervinientes. Cuando las fuerzas de inercia (pseudofuerzas para ser más correctos) y 
las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la bolita están en equilibrio, esta se centra y el 
viraje se dice coordinado. Cuando la aeronave tiende a salirse de la trayectoria, tiende a 
derrapar, predominan las fuerzas de inercia y la bolita asume una posición elevada hacia 
el lado contrario del centro del viraje. Cuando la aeronave tiene poca velocidad, tiende a 
deslizar hacia adentro de la trayectoria, y la bolita tiende a caer por el tubo hacia el lado 
interno del viraje, porque predominan las fuerzas gravitatorias. 
 
En la figura que sigue podemos ver la situación del indicador para un viraje a la 
izquierda. Para un viraje a la derecha tendremos una situación análoga, pero con el tubo 
inclinado hacia la derecha. En ambos casos, la pendiente del tubo en cada punto es 
diferente, modifica las componentes de la reacción de vínculo. El equilibrio se alcanza 
siempre, pero fuera del centro cuando el viraje no es coordinado, arriba y hacia afuera del 
centro de viraje cuando predominan las fuerzas de inercia y abajo y hacia el lado de giro, 
cuando predominan las fuerzas gravitatorias. Si el desequilibrio es grande, la bolita se irá 
a tope. 
 
 
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Ejemplo 3. 
 
 Se tiene un pasador en C, que vincula cuna corredera que desliza sobre una guía 
horizontal, y que está tomada desde un punto A, inferior, a través de un resorte, como se 
muestra en la figura. 
 
En la figura de la derecha tenemos la ubicación de nuestro sistema de referencia, que es 
fijo, y por lo tanto inercial. 
 
En la figura que sigue, tenemos el Diagrama de Cuerpo Libre 
(DCL) de la corredera. Donde �̅�𝑟𝑜𝑧 representa la fuerza de fricción 
sólida entre corredera y guía horizontal; �̅�, el peso; �̅�, la reacción 
de vínculo o normal, y; �̅�𝑒, la fuerza elástica del resorte. 
 
Primera ecuación universal: 
∑�⃗�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
 
∑�⃗�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚. 𝑣)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
. 𝑣 +𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0. 𝑣 +𝑚. �⃗� 
 
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�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� + �⃗�𝑟 + �⃗�𝑒 = 𝑚. �⃗� 
 
−𝑚.𝑔. 𝑗̆ + 𝑁. 𝑗̆ + 𝜇.𝑁. 𝑖̆ − 𝑘. ∆𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝜃). 𝑖̆ − 𝑘. ∆𝑙. 𝑐𝑜𝑠(𝜃). 𝑗̆ = −𝑚. �̈�. 𝑖̆ 
 
Descomponemos la ecuación vectorial, en dos ecuaciones escalares: 
 
{
𝐸𝑛 𝑥: 𝜇. 𝑁 − 𝑘. ∆𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = −𝑚. �̈� (𝒊)
𝐸𝑛 𝑦: − 𝑚.𝑔 + 𝑁 − 𝑘. ∆𝑙. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 0 (𝒊𝒊)
 
 
Pero como podemos observar, tanto el ángulo θ como la elongación del resorte Δl 
dependen de la posición de la corredera, por lo tanto ambas variables dependen de la 
coordenada x de la corredera. 
 
Expresión de Δl: 
 
𝑥2 + ℎ2 = (ℎ + ∆𝑙)2 
 
𝑥2 + ℎ2 = ℎ2 + 2. ℎ. ∆𝑙 + ∆𝑙2 
 
0 = −𝑥2 + 2. ℎ. ∆𝑙 + ∆𝑙2 
 
∆𝑙 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2. ℎ ± √4. ℎ2 + 4. 𝑥2
2
 
 
∆𝑙1 = −ℎ +√ℎ2 + 𝑥2 
 
∆𝑙2 = −ℎ − √ℎ2 + 𝑥2 
 
Pero como Δl2 < 0 no puede ser solución, se adopta Δl1, 
 
∆𝑙 = −ℎ + √ℎ2 + 𝑥2 (𝒊𝒊𝒊) 
 
Luego, las funciones trigonométricas que relacionan 𝜃 con x, se pueden calcular 
como: 
 
{
 
 𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒊𝒗)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒗)
 
 
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Reescribiendo las ecuaciones: 
 
{
 
 𝐸𝑛 𝑥: 𝜇. 𝑁 − 𝑘. (−ℎ + √ℎ
2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2+ 𝑥2
= −𝑚. �̈� (𝒗𝒊)
𝐸𝑛 𝑦: − 𝑚.𝑔 + 𝑁 − 𝑘. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
= 0 (𝒗𝒊𝒊)
 
 
 
 De la última podemos despejar la fuerza normal queda como función de la 
posición: 
 
𝑁 = 𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔 (𝒗𝒊𝒊𝒊) 
 
Y reemplazando (viii) en (vi): 
 
𝜇. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔] − 𝑘. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
= −𝑚. �̈� (𝒊𝒙) 
 
De donde se puede obtener la aceleración como función de la posición: 
 
�̈� = −
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚.𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 (𝒙) 
 
 E integrando, podemos obtener la expresión de la velocidad como función de la 
posición: 
 
𝑑�̇�
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑣 = −
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
 
 
 
𝑣. 𝑑𝑣 = {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
} . 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑣. 𝑑𝑣
𝑣
0
= ∫ {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ.
(−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2)
√ℎ2 + 𝑥2
+𝑚. 𝑔] +
𝑘
𝑚
. (−ℎ + √ℎ2 + 𝑥2) .
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
} . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
 
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1
2
. 𝑣2 = ∫ {−
𝜇
𝑚
. [𝑘. ℎ (.
−ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
+ 1) +𝑚. 𝑔] +
𝑘
𝑚
. 𝑥. (
−ℎ
√ℎ2 + 𝑥2
+ 1)} . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
1
2
. 𝑣2 = ∫ (
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
.
1
√ℎ2 + 𝑥2
+
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
− 𝜇. 𝑔 −
𝑘. ℎ
𝑚
.
𝑥
√ℎ2 + 𝑥2
+
𝑘
𝑚
. 𝑥) . 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
 
1
2
. 𝑣2 =
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2)|
𝑥0
𝑥
+
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. 𝑥|
𝑥0
𝑥
− 𝜇.𝑔. 𝑥|𝑥0
0 −
𝑘. ℎ
𝑚
.√ℎ2 + 𝑥2|
𝑥0
𝑥
+
𝑘
2.𝑚
. 𝑥2|𝑥0
𝑥 
 
1
2
. 𝑣2 =
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 + √ℎ2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2) 
 
𝑣 = √2. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 + √ℎ2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 − √ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
1
2⁄
 (𝒙𝒊) 
 
E integrando nuevamente respecto del tiempo, se obtendrá la ley de variación de 
la posición de la corredera (con el tiempo): 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= √2. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 + √ℎ2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
1
2⁄
 
 
𝑑𝑡 =
1
√2
. [
𝑘. 𝜇. ℎ2
𝑚
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + √ℎ2 + 𝑥2
𝑥0 +√ℎ2 + 𝑥0
2
) −
𝑘. 𝜇. ℎ
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝜇. 𝑔. (𝑥 − 𝑥0)
−
𝑘. ℎ
𝑚
. (√ℎ2 + 𝑥2 −√ℎ2 + 𝑥0
2) −
𝑘
2.𝑚
. (𝑥2−𝑥0
2)]
−1
2⁄
. 𝑑𝑥 
 
 
 
UTN - FRH, 
Cátedra: Mecánica Racional 
Carrera: Ing. Mecánica 
DPM 
Pablo Baños, Ezequiel 
Ayala y Pablo Koury 
 
39/39 
 
17. BIBLIOGRAFÍA: 
 
Dejando de lado los libros de física recomendados como lectura previa en el punto 
14.c, como bibliografía específica vamos a insistir con los dos textos de base y agregamos 
algunos pocos más sólo a modo de ejemplo. 
 
- Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 
2007; 
- Mecánica de Marsicano, Tomo I, Ediciones Previas, UBA, Buenos Aires, 1979; 
- Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
- Mecánica Racional de Ércoli y Azurmendi, Edutecne, UTN, Buenos Aires, 2014: 
- Mecánica Analítica de Enrique Yépez Mulia y Mitztli Yépez Martínez, Facultad de 
Ciencias de la UNAM, México, 2007; 
- TARG, Curso breve de mecánica teórica, Editorial MIR, Moscú, 1976. 
- Mecánica Clásica de H. Goldstein, editorial Reverté, Barcelona 1987;