CAP 1 _CPM_4_Movimiento_Central

Vista previa del material en texto

CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
CINEMÁTICA DEL PUNTO 
 
Parte 4 - Movimiento Central 
 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
Como habíamos visto, las coordenadas polares, son un caso particular de las 
coordenadas cilíndricas, en donde se puede prescindir de la coordenada z del vector posición, 
en todo momento. O sea, es un sistema de referencia apto únicamente para movimientos 
planos. 
 
 
 
En este sistema, los vectores posición, velocidad y aceleración de un punto P, se 
pueden escribir de la siguiente manera: 
 
 
{
(𝑷 −𝑶𝟏) = 𝝆. �̌�𝝆 
𝑽𝑷̅̅ ̅̅ = �̇�. �̌�𝝆 + 𝝆. �̇�. �̌�𝝋 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = (�̈� − 𝝆. �̇�
𝟐). �̌�𝝆 + (𝟐. �̇�. �̇� + 𝝆. �̈�). �̌�𝝋
 
 
 
II. MOVIMIENTO CENTRAL 
 
a. Características del Movimiento Central: 
 
El movimiento central, es el típico movimiento de los satélites y de los cuerpos celestes, 
aunque no se limita necesariamente a ello. 
 
El movimiento central, es un movimiento que cumple dos características 
fundamentales: 
 
1. Es un movimiento plano, y; 
2. La aceleración apunta todo el tiempo a un punto fijo, denominado polo del 
movimiento. 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
Si (y ojo que encabezamos la oración con un condicional), se hace coincidir el polo 
con el origen de coordenadas (es decir, se fija el origen en el polo), entonces la aceleración y 
el vector posición, son colineales. 
 
Pero si el origen de coordenadas se fijó en otra posición, diferente a la del polo, y se 
cumplen las condiciones enunciadas en a) y en b), el movimiento seguirá siendo central, pero 
los vectores aceleración y posición, no serán colineales. 
 
Los que sí serán colineales en el último supuesto, serán los vectores aceleración y 
posición relativa del punto al polo. Estos movimientos centrales, por ser planos y disponer de 
un polo, al cual la aceleración apunta todo el tiempo, se ajustan perfectamente a la descripción 
por coordenadas polares (cilíndricas, eventualmente que queramos describir magnitudes 
perpendiculares al plano del movimiento). 
 
En el siguiente esquema donde el origen de la TM no coincide con el polo del 
movimiento, podemos ver la siguiente situación: 
 
• La aceleración, en cada instante 
apunta a O2, que será el polo del 
movimiento, pero no 
necesariamente al origen de la 
terna móvil. 
• El origen de la terna móvil polar, 
es O1, y coincide con el origen de 
la terna fija, O, que se toma como 
referencia absoluta. 
• La aceleración, �̅�𝑃(𝑡) sería 
colineal con (P-O2), aunque no 
necesariamente con (P-O1). 
 
 
Si reubicamos los orígenes de las dos ternas de referencia en el polo del movimiento, 
entonces O coincide con O1 y coincide con O2, como se muestra en el esquema que sigue: 
 
En este último caso donde se representó la 
orientación de la terna únicamente para el 
instante t, podemos ver que la dirección de la 
aceleración es opuesta a la del vector 
posición. Pero lo mismo ocurrirá en el resto 
de los instantes. 
 
O sea, los versores �̌�𝜌 y �̌�𝜑 cambian de 
dirección en cada instante, pero si el 
movimiento es central y el origen está en el 
polo, la aceleración apunta siempre al origen 
de coordenadas. 
 
 
b. Momento de los vectores velocidad y aceleración respecto del polo: 
 
Siguiendo a mi maestro Alessio, podemos partir de analizar los momentos de los 
vectores velocidad y aceleración, para extraer conclusiones interesantes. 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
Hagámoslo. Primero planteamos el momento del vector aceleración respecto del polo 
(que es este caso coincide con el origen de coordenadas: 
 
�̅�𝑎𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 
 
Este vector, tiene que ser el vector nulo en todo instante, porque por definición en el 
movimiento central los vectores posición relativa del punto respecto del polo, y aceleración, 
son colineales: �̅�𝑎𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 = 0̅ 
 
Si este vector es nulo, entonces su derivada temporal tiene que ser constante para 
todo t. Hallemos por lo tanto su derivada, a ver qué da: 
 
𝑑�̅�𝑎𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑[(𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 ]
𝑑𝑡
 
 
𝑑[(𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 ]
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
∧ �̅�𝑃 + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
 
 
La derivada temporal de P-O1, es la velocidad del punto P, luego: 
 
𝑑�̅�𝑎𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
= 𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
 
 
Si expresamos los vectores posición, velocidad y aceleración, en componentes, 
tendremos: 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 = (�̇�. �̌�𝝆 + 𝜌. �̇�. �̌�𝝋) ∧ [(�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝝆 + (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�). �̌�𝝋] 
 
Como el movimiento es central, y fijamos el Origen de coordenadas en el polo, la 
componente transversal de la aceleración debe ser nula. Entonces: 2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈� = 0 
(condición para nulidad de la aceleración transversal). 
 
Además: 
𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 = (�̇�. �̌�𝝆 + 𝜌. �̇�. �̌�𝝋) ∧ (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝝆 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 = −𝜌. �̇�. (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝒌 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 = [−𝜌. �̇�. �̈� + 𝜌. �̇�. 𝜌. �̇�
2]. �̌�𝒌 
 
Si sacamos factor común 𝜌. �̇�: 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ ∧ �̅�𝑃 = 𝜌. �̇�[−�̈� + 𝜌. �̇�
2]. �̌�𝒌 (𝐴) 
 
Por otro lado, tenemos que: 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
= 𝜌. �̌�𝝆 ∧
𝑑((�̈� − 𝜌. �̇�2). �̌�𝝆 + (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�). 𝑒�̌�)
𝑑𝑡
 
 
Que, de nuevo, anulando la componente transversal de la aceleración, queda: 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
= 𝜌. �̌�𝝆 ∧
𝑑((�̈� − 𝜌. �̇�2). �̌�𝝆)
𝑑𝑡
 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
= 𝜌. �̌�𝝆 ∧ [
𝑑(�̈� − 𝜌. �̇�2)
𝑑𝑡
. �̌�𝝆 + (�̈� − 𝜌. �̇�
2).
𝑑�̌�𝝆
𝑑𝑡
] 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
= 𝜌. �̌�𝝆 ∧ [(
𝑑�̈�
𝑑𝑡
−
𝑑𝜌
𝑑𝑒
. �̇�2 −
𝜌𝑑�̇�2
𝑑𝑡
) . �̌�𝝆 + (�̈� − 𝜌. �̇�
2). (𝑤𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̌�𝝆)] 
 
Al hacer la distributiva del producto vectorial, vemos que el producto por el primer 
término del corchete se va a anular porque los dos vectores son paralelos. La derivada 
temporal del versor �̌�𝜌, hemos aplicado Poisson, y dará como resultado la velocidad angular 
con que gira la terna �̇� en la dirección de �̌�𝜑: 
 
(𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
= 𝜌. �̌�𝝆 ∧ (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̇�. �̌�𝜑 = 𝜌. �̇�. (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝑘 (𝐵) 
 
Juntando los resultados de (A) y de (B), tendremos: 
 
𝑑�̅�𝑎𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
= 𝜌. �̇�. (−�̈� + 𝜌. �̇�2). �̌�𝑘 + 𝜌. �̇�. (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝑘 = 0̅ 
 
Donde se puede apreciar que ambos términos son opuestos, y además tienen la 
misma dirección. Luego, la derivada temporal del momento de la aceleración respecto del 
polo, también es el vector nulo (solución trivial). 
 
--------------------------- 
 
Otro análisis que se puede hacer, es a través de la componente transversal de la 
aceleración, que como sabemos, por tratarse de un movimiento central y por haber hecho 
coincidir al origen de la terna polar con el polo del movimiento, se tiene que anular: 𝑎𝜑 =
2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈� = 0. Luego: 
 
2. �̇�. �̇� = −𝜌. �̈� 
 
Entonces: 
2.
𝑑𝜌
𝑑𝑡
. �̇� = −𝜌.
𝑑�̇�
𝑑𝑡
 
 
𝑑�̇�
�̇�
= −2.
𝑑𝜌
𝜌
 
 
El signo menos, quiere decir que los crecimientos y decrecimientos son opuestos. Es 
decir, cuánto el objeto más se aleja del polo, su velocidad angular disminuye y viceversa. Eso 
está conforme a la segunda ley de Kepler, ley de las áreas. 
 
Integrando entre el primer miembro entre 𝜑�̇� y �̇�(𝑡), y; el segundo entre 𝜌𝑜 y 𝜌, 
tendremos: 
 
𝑙𝑛�̇�⌋
�̇�𝑜
�̇�(𝑡) = −2. 𝑙𝑛𝜌|𝜌𝑜
𝜌
 
 
𝑙𝑛 (
�̇�
�̇�𝑜
) = −2. 𝑙𝑛 (
𝜌
𝜌𝑜
) 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
𝑙𝑛 (
�̇�
�̇�𝑜
) = 𝑙𝑛 (
𝜌
𝜌𝑜
)
−2
 
 
�̇�
�̇�𝑜
= (
𝜌
𝜌𝑜
)
−2
 
 
𝜑. 𝜌2 = �̇�𝑜. 𝜌𝑜
2 
 
Si 𝜑. 𝜌2 = �̇�𝑜. 𝜌𝑜
2, entonces: 𝜑. 𝜌2 = �̇�𝑜. 𝜌𝑜
2 = �̇�𝑡1. 𝜌𝑡1
2 = �̇�𝑡2. 𝜌𝑡2
2 = ⋯ = 𝑐𝑡𝑒 ‼! 
 
Si derivamos 𝜑. 𝜌2 = 𝑐𝑡𝑒, enseguida vemos que se llega a la expresión de la 
componente transversal de la aceleración. 
 
--------------------------- 
 
Analicemos ahora el momento de lavelocidad respecto del polo del movimiento (que 
recordemos de nuevo, lo hicimos coincidir exprofeso, con el origen de la terna). 
 
�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 = ? ? ? ? ? 
 
Si lo derivamos respecto del tiempo t, tendremos: 
 
𝑑�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
=
𝑑[(𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 ]
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
∧ �̅�𝑃 + (𝑃 − 𝑂1) ∧
𝑑(�̅�𝑃 )
𝑑𝑡
 
 
En el último miembro, el primer multiplicador del producto vectorial del primer término 
es �̅�𝑃, ya que O1 es el origen de la terna, y; el último multiplicador del último término es la 
aceleración del punto P. entonces queda: 
 
𝑑�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
= �̅�𝑃 ∧ �̅�𝑃 + (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 
 
Donde el primer término del segundo miembro es obviamente el vector nulo, y el 
segundo es el momento al polo del vector aceleración, que ya vimos que también es el vector 
nulo. 
 
Luego, concluimos que: 
𝒅�̅�𝑽𝑷̅̅ ̅̅
𝑶𝟏
𝒅𝒕
= �̅� 
 Y finalmente: 
 
𝑑�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1
𝑑𝑡
= 0̅ => �̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = 𝑐𝑡𝑒̅̅ ̅̅ 
 
 
Esto es muy importante porque demuestra que el plano definido por los vectores 
velocidad y posición (es decir, el plano osculador), no varía. O sea, que el movimiento es 
plano. Por esto es justamente, que podemos aplicar coordenadas polares. 
 
Determinemos cuánto vale esa constante. 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
Para hallarla, expresamos posición y la velocidad del punto en coordenadas polares 
(origen en el polo del movimiento), y calculamos el momento: 
 
�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = (𝑃 − 𝑂1) ∧ �̅�𝑃 = 𝜌. �̌�𝝆 ∧ (�̇�. �̌�𝝆 + 𝜌. �̇�. �̌�𝜑) 
 
�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = |
�̌�𝜌 �̌�𝜑 �̌�𝑘
𝜌 0 0
�̇� 𝜌. �̇� 0
| = 
 
�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = 𝜌. 𝜌. �̇�. �̌�𝑘 
 
�̅�𝑉𝑃̅̅ ̅̅
𝑂1 = 𝜌2. �̇�. �̌�𝑘 = 𝑐𝑡𝑒̅̅ ̅̅ 
 
Este valor está muy relacionado con otra constante que vamos a ver enseguida. 
 
Las conclusiones entonces son tres: 
 
➢ Si el movimiento es central, los vectores aceleración y posición son colineales y por lo 
tanto, el momento del vector aceleración respecto del polo debe ser nulo (obviamente 
para todo t); 
➢ Que el momento del vector velocidad respecto del polo, es constante en módulo, 
dirección y sentido (o sea, que su derivada respecto del tiempo es nula) demuestra 
que el Movimiento es Plano. Porque significa que los vectores velocidad y posición 
son coplanares, y que este plano varía. Finalmente; 
➢ Que el momento antedicho vale, en módulo 𝜌2. �̇�. O sea, 𝜌2. �̇� es constante para todo 
t. Tanto ρ como φ podrán vararía con el tiempo, pero deben ser tales, que el producto 
de 𝜌2 por �̇�, debe permanecer constante para todo t. En otras palabras, la velocidad 
areolar es constante en módulo, dirección y sentido, 
 
c. Velocidad Areolar (constante característica del movimiento central) 
 
La Velocidad Areolar, se define como área barrida por la unidad de tiempo. 
 
El área (o mejor dicho, variación de área) se puede obtener, como el producto vectorial 
entre el vector posición en un instante de tiempo t y el vector desplazamiento sufrido por ese 
vector posición en un intervalo de tiempo Δt, divido por dos: 
 
∆á𝑟𝑒𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = ∆A̅̅̅̅ =
𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ∧ △ 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
2
=
1
2
. (𝑃 − 𝑂1) ∧ △ 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Para hallar la velocidad areolar instantánea, dividimos la anterior el ∆A̅̅̅̅ por Δt, y 
pasamos al límite cuando Δt tiende a cero: 
 
𝑉𝐴̅̅ ̅ = lím△𝑡→0
1
2 . (𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ∧ △ 𝑟(𝑡)
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)
△ 𝑡
= lím△𝑡→0 [
1
2
. (𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ∧ 
 △ 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
△ 𝑡
)] =
1
2
. 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ∧ lím△𝑡→0
 △ 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
△ 𝑡
 
 
𝑉𝐴̅̅ ̅ =
1
2
. 𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ∧ �̅�𝑃 
 
Pero en el numerador del límite tenemos una magnitud que ya habíamos calculado, 
que es momento del vector velocidad respecto del polo y que ya sabemos que da: 𝜌2. �̇� 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
Entonces, la velocidad areolar, vale la mitad, que el momento antedicho: 
 
|𝑉𝐴̅̅ ̅| = 𝑽𝑨 =
𝝆𝟐. �̇�
𝟐
 
 
NOTA: Observemos que, si derivamos la anterior respecto del tiempo t, obtenemos 
una ecuación ya conocida y que la hemos analizado con mucho detalle en este mismo 
apartado… 
 
Finalmente, como magnitud vectorial, la velocidad areolar, queda: 
 
𝑉𝐴̅̅ ̅ =
𝜌2. �̇�
2
. �̌�𝑘 
 
III. ECUACIONES DE BINET: 
 
(Jacques Philippe Mari BINET, matemático francés, 02/FEB/1786 a 12/MAY/1856. 
Sucedió a Poisson en la cátedra de mecánica de la escuela Politécnica de París, y fue uno de 
los editores de la mecánica analítica de Lagrange). 
 
Binet nos ofrece expresiones de cálculo para la velocidad y la aceleración de una 
partícula siempre y cuando la misma describa un movimiento central, y que además 
conozcamos: 
 
1. La ecuación de la trayectoria, en la forma 𝝆 = 𝒇(𝝋), y; 
2. La constante característica del movimiento central (la velocidad areolar). 
 
Antes de aplicar Binet, debemos asegurarnos entonces, que el movimiento sea central, 
para lo cual recordemos, debe cumplir con las condiciones 1 y 2 vistas en II.a. Asimismo, es 
requisito indispensable que el origen de coordenadas esté montado sobre el polo del 
movimiento porque si no, no se anula la componente transversal de la aceleración (requisito 
fundamental inherente para poder aplicar Binet). 
 
El uso de estas expresiones es clave cuando se conoce la ecuación explícita de la 
trayectoria en coordenadas polares, como es el caso típico de los cuerpos celestes, y no se 
conocen las ecuaciones horarias de 𝜌 = 𝑓(𝑡) y 𝜑 = 𝑓(𝑡). 
 
Para aplicar las ecuaciones de velocidad y aceleración de un punto en coordenadas 
polares, en forma directa, precisamos conocer: 
 
(𝑎) {
𝜌 = 𝑓(𝑡)
𝜑 = 𝑓(𝑡)
 
 
Y a partir de allí calcular: 
 
(𝑏) {
�̇�; �̈�
�̇�; �̈�
 
 
Luego, si no conocemos las leyes horarias, expresiones (a), no podremos calcular las 
(b), y no podremos encontrar la velocidad y la aceleración de P. 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
Binet logra reemplazar estas derivadas por derivadas de la inversa del módulo del 
vector posición respecto de φ. Pero esto, repetimos, tiene validez restringida única y 
exclusivamente, al caso de movimiento central, y siempre y cuando el polo coincida con el 
origen de coordenadas. 
 
Pongamos manos la obra. 
 
Si conocemos la constante característica del movimiento 𝑉𝐴, entonces: 
 
𝑉𝐴 =
𝜌2. �̇�
2
==> �̇� =
𝟐.𝑽𝑨
𝝆𝟐
 (𝟏) 
 
Luego, 
 
�̇� =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
=
𝑑𝜌
𝑑𝜑
.
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑑𝜌
𝑑𝜑
. �̇� =
𝑑𝜌
𝑑𝜑
.
2. 𝑉𝐴
𝜌2
 
 
Donde 2 es constante y VA también. 
 
Sustitución: 
 
• Si y = 1/x, entonces: 
 
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2
= −𝑦2 ==> 
𝑑𝑦
𝑦2
= −𝑑𝑥 
 
• Pero x = 1/y, entonces dx = d(1/y): 
 
 
𝑑𝑦
𝑦2
 = −𝑑𝑥 = −𝑑 (
1
𝑦
) 
 
Aplicando esta sustitución en a la derivada de ρ respecto de φ de nuestro caso: 
 
�̇� =
𝒅𝝆
𝑑𝜑
.
2. 𝑉𝐴
𝝆𝟐
= 𝟐. 𝑽𝑨 [
−𝒅(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋
] (𝟐) 
 
Y esa última derivada la podremos calcular, siempre y cuando conozcamos ρ como 
función de φ. Luego, la derivada segunda de ρ, respecto del tiempo dos veces, será: 
 
�̈� =
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
=
𝑑�̇�
𝑑𝑡
=
𝑑�̇�
𝑑𝜑
.
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑑 {2. 𝑉𝐴 [
−𝑑(1/𝜌)
𝑑𝜑
]}
𝑑𝜑
. �̇� 
 
Y, 
�̈� =
𝑑 {2. 𝑉𝐴 [
−𝑑(1/𝜌)
𝑑𝜑 ]}
𝑑𝜑
.
2. 𝑉𝐴
𝜌2
 
 
�̈� =
2. 𝑉𝐴. 𝑑 [
−𝑑(1/𝜌)
𝑑𝜑 ]
𝑑𝜑
.
2. 𝑉𝐴
𝜌2
 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
�̈� = −
𝟒. 𝑽𝑨
𝟐
𝝆𝟐
.
𝒅𝟐(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋𝟐
 (𝟑) 
 
En (2) y en (3), tenemos entonces, expresiones de cálculo para las derivadas 
temporales del módulo del vector posición que vamos a precisar para calcular la velocidad y 
la aceleración del punto. El otro dato que necesitamos es �̇�, que lo sacamos de la expresión 
1, derivada de la constante del movimiento, y �̈�, sólo interviene en la componente transversal 
de la aceleración, que no la vamos a precisar por tratarse de un movimiento central. 
 
Armamos las ecuaciones. Para la velocidad: 
 
�̅�𝑃 = �̇�. �̌�𝜌 + 𝜌. �̇�. �̌�𝜑 
 
�̅�𝑃 = 2. 𝑉𝐴 [
−𝑑(1/𝜌)
𝑑𝜑
] . �̌�𝜌 + 𝜌.
2. 𝑉𝐴
𝜌2
. �̌�𝜑 
 
�̅�𝑷 = 𝟐. 𝑽𝑨. {[
−𝒅(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋
] . �̌�𝝆+
𝟏
𝝆
. �̌�𝝋} (𝟒) 
 
Para la aceleración, tendremos: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = (�̈� − 𝜌. �̇�
2). �̌�𝜌 + (2. �̇�. �̇� + 𝜌. �̈�). �̌�𝜑 
 
Remplazamos: �̈� por su resultado en (3); �̇� por su expresión en (1), y recordemos que 
en el movimiento central, si hacemos coincidir el origen de coordenadas con el polo, la 
aceleración no tendrá componente transversal, por lo tanto: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = {[−
4. 𝑉𝐴
2
𝜌2
.
𝑑2(1/𝜌)
𝑑𝜑2
] − 𝜌. (
2. 𝑉𝐴
𝜌2
)
2
} . �̌�𝜌 + 0. �̌�𝜑 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = {[−
4. 𝑉𝐴
2
𝜌2
.
𝑑2(1/𝜌)
𝑑𝜑2
] −
4. 𝑉𝐴
2
𝜌3
} . �̌�𝜌 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = −
𝟒. 𝑽𝑨
𝟐
𝝆𝟐
[.
𝒅𝟐(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋𝟐
+
𝟏
𝝆
] . �̌�𝝆 (𝟓) 
 
Las expresiones (4) y (5), se conocen con el nombre de primera y segunda ecuación 
de Binet respectivamente. 
 
 
IV. EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
Ejemplo N° 1. (Problema 7 de la guía de Alessio) 
 
Un punto realiza un movimiento central cuya trayectoria tiene la ecuación: 𝑟 = 𝐴 ⋅ 𝑒𝜃 
y cuya velocidad areolar es VA. Hallar los módulos de la velocidad y de la aceleración en 
función de r. 
 
 Evidentemente tenemos que llamar 𝜌 = 𝑟; 𝜑 = 𝜃. Tenemos que hacer un cambio de 
variables. 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
 Solución: Tenemos la descripción de un movimiento en coordenadas polares a través 
de la ecuación paramétrica de la trayectoria: 𝑟 = 𝑓(𝜃). También nos dieron la velocidad 
areolar (que es una característica de los movimientos centrales). 
 
 Como el enunciado nos está indicando que se trata de un movimiento central, y 
conocemos la ecuación de la trayectoria en la forma 𝑟 = 𝑓(𝜃) podemos utilizar las ecuaciones 
de Binet. 
 
En los movimientos centrales, que son movimientos planos, la Velocidad areolar VA, 
está relacionada con la velocidad de rotación de la terna, a través de la siguiente expresión: 
 
2. 𝑉𝐴 = 𝑟
2. �̇� 
 O sea, 
�̇� =
2. 𝑉𝐴
𝑟2
 
 
 Esto, a través de unos desarrollos que no vienen al caso conduce a las ecuaciones 
de Binet: 
 
 
{
 
 
 
 �̅�𝑷 = 𝟐. 𝑽𝑨 {[
−𝒅(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋
] . �̌�𝝆 +
𝟏
𝝆
. �̌�𝝋} 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = −
𝟒. 𝑽𝑨
𝟐
𝝆𝟐
[.
𝒅𝟐(𝟏/𝝆)
𝒅𝝋𝟐
+
𝟏
𝝆
] . �̌�𝝆 
 
 
 Y las ecuaciones de Binet, nos permiten hallar la velocidad y la aceleración de un punto 
que describe un movimiento central, siempre y cuando dispongamos de la ecuación 
parametrizada de la trayectoria y conozcamos la velocidad areolar. Para poder aplicarlas, solo 
debemos hallar las derivadas primera y segunda de 𝜌, respecto de 𝜑 (que en este caso serían 
de r en función de 𝜃, cuestión de nomenclatura nada más y de acostumbrarse a que puede 
cambiar de una referencia bibliográfica a otra). 
 
 Comencemos 𝑟 = 𝐴 ⋅ 𝑒𝜃, entonces: 
 
1
𝑟
=
1
𝐴. 𝑒𝜃
=
1
𝐴
. 𝑒−𝜃 [
1
𝑙𝑜𝑛𝑔
] 
 Luego: 
𝑑 (
1
𝑟)
𝑑𝜃
= −
1
𝐴
. 𝑒−𝜃 [
1
𝑙𝑜𝑛𝑔
] 
 Y, 
𝑑2 (
1
𝑟)
𝑑𝜃2
=
1
𝐴
. 𝑒−𝜃 [
1
𝑙𝑜𝑛𝑔
] 
 
 Reemplazando: 
�̅�𝑃 = 2. 𝑉𝐴 {[
−𝑑(1/𝑟)
𝑑𝜃
] . �̌�𝜌 +
1
𝑟
. �̌�𝜑} 
 
�̅�𝑃 = 2. 𝑉𝐴 {[
1
𝐴
. 𝑒−𝜃] . �̌�𝜌 +
1
𝑟
. �̌�𝜑} 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
�̅�𝑃 = 2. 𝑉𝐴 {
1
𝐴
. 𝑒−𝜃. �̌�𝜌 +
1
𝐴
. 𝑒−𝜃. �̌�𝜑} 
 
�̅�𝑷 = 𝟐.𝑽𝑨.
𝟏
𝑨
. 𝒆−𝜽. (�̌�𝝆 + �̌�𝝋) 
 
 Y la aceleración: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4. 𝑉𝐴
2
𝑟2
. [
𝑑2(1/𝑟)
𝑑𝜃2
+
1
𝑟
] . �̌�𝜌 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4. 𝑉𝐴
2
(𝐴. 𝑒𝜃)2
. [
1
𝐴
. 𝑒−𝜃 +
1
𝐴
. 𝑒−𝜃] . �̌�𝜌 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4. 𝑉𝐴
2
(𝐴. 𝑒𝜃)2
. [2.
1
𝐴
. 𝑒−𝜃] . �̌�𝜌 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
8. 𝑉𝐴
2.
1
𝐴
. 𝑒−𝜃
𝐴2. 𝑒2.𝜃
. �̌�𝜌 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = −𝟖.
𝑽𝑨
𝟐
𝑨𝟑. 𝒆𝟑.𝜽
. �̌�𝝆 
[𝒎𝟒/𝒔𝒆𝒈𝟐]
[𝒎𝟑]
 
 
NOTA: El signo menos es consistente con el hecho de que el movimiento sea central, 
puesto que el versor �̌�𝜌 de la terna cilíndrica (o del sistema de referencia polar), porque �̌�𝜌 va 
desde el origen del sistema de referencia (polar o cilíndrico), hasta el punto en estudio. En 
cambio, la aceleración en los movimientos centrales apunta al polo, que es donde debo 
colocar el origen del sistema de referencia para poder aplicar Binet. 
 
 
Ejemplo N° 2. (Problema N° 8 de la guía de Alessio) 
 
Las ecuaciones polares del movimiento de un punto son 
 
{
𝑟 = 2 ⋅ √𝑡 
𝜃 =
1
2
⋅ 𝑙𝑛 2 𝑡
 
 
Se pide: 
 
a) Comprobar que el movimiento es central; 
b) Obtener la velocidad areolar y comprobar que es constante; 
c) Obtener la aceleración radial; 
d) Obtener la ecuación de la trayectoria 𝑟 = 𝑟(𝜃) y verificar con ella la fórmula de Binet. 
 
Solución: 
 
a) Comprobar que el movimiento es central. 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 Bueno, acá nos dan las ecuaciones horarias de r y 𝜃, que ya dijimos que tenemos que 
tomarlos como 𝜌 y 𝜑 de los desarrollos de teoría y son los parámetros del movimiento polar. 
 
 Existen varias opciones para demostrar que se trata de un movimiento central. Primero 
que nada, tiene que tratarse de un movimiento plano; cosa que en este caso es más que 
evidente ya que la descripción está dada en coordenadas polares. Pero la anterior es 
condición necesaria pero no suficiente, precisamos de una consigna más fuerte para 
asegurar que se trata de un movimiento central. 
 
 Podemos entonces partir de la definición de movimiento central y verificar que la 
aceleración tenga únicamente dirección radial, apunte siempre hacia el centro de curvatura 
o polo del movimiento y no tenga componente transversal. 
 
 Como tenemos las ecuaciones horarias, nos conviene calcular la aceleración por el 
método general u ordinario, con la ecuación de coordenadas polares: 
 
�̅� = (�̈� − 𝑟. �̇�2). �̌�𝜌 + (2. �̇�. �̇� + 𝑟. �̈�). �̌�𝜑 
 
 Donde 
𝑟 = 2. [
𝑚
√𝑠𝑒𝑔
] ⋅ √𝑡 = 2. 𝑡1/2 [𝑚] 
 
�̇� = [
𝑚
√𝑠𝑒𝑔
] . 𝑡−1/2 [𝑚/𝑠𝑒𝑔] 
 
�̈� = −
1
2
. [
𝑚
√𝑠𝑒𝑔
] . 𝑡−
3
2 [𝑚/𝑠𝑒𝑔2] 
 Y 
𝜃 =
1
2
⋅ 𝑙𝑛(2. 𝑡) 
 
�̇� =
1
2
⋅
1
2. 𝑡
. 2 =
1
2
. 𝑡−1 
 
�̈� = −
1
2
. 𝑡−2 
 
�̅� = [−
1
2
. 𝑡−3/2 − 2. 𝑡1/2. (
1
2
. 𝑡−1)
2
] . �̌�𝜌 + [2. 𝑡
−1/2.
1
2
. 𝑡−1 + 2. 𝑡1/2. (−
1
2
. 𝑡−2)] . �̌�𝜑 
 
�̅� = (−
1
2
. 𝑡−3/2 −
1
2
. 𝑡1/2. 𝑡−2) . �̌�𝜌 + (𝑡
−1/2. 𝑡−1 − 𝑡1/2. 𝑡−2). �̌�𝜑 
 
�̅� = (−
1
2
. 𝑡−3/2 −
1
2
. 𝑡−3/2) . �̌�𝜌 + (𝑡
−3/2 − 𝑡−3/2). �̌�𝜑 
 
�̅� = (−1. [
𝑚
√𝑠𝑒𝑔
] . 𝒕−𝟑/𝟐) . �̌�𝝆 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 Vemos que en la expresión anterior, se cumplen todas las condiciones necesarias 
para un movimiento central: La aceleración es solo radial y apunta hacia el polo, donde fue 
colocado el origen del sistema de referencia. Luego el movimiento es central. 
 
 b) Obtener la velocidad areolar y demostrar que es constante. 
 
 La velocidad areolar se puede calcular como: 
 
�̅�𝐴 =
𝑟2. �̇�
2
. �̌�𝑘 
 
 Para que dicha magnitud sea constante, lo debe ser el producto de 𝑟2. �̇�. Veamos: 
 
𝑟2. �̇� = (2. 𝑡1/2)
2
. (
1
2
. 𝑡−1) = 2. 𝑡0 = 2 = 𝑐𝑡𝑒 
 
 Luego, 
 
𝑉𝐴 =
2
2
= 1 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑦 
 
�̅�𝑨 = 𝟏. �̌�𝒌 = 𝒄𝒕𝒆̅̅ ̅̅̅ 
 
 Hemos demostrado que es constante y hemos hallado su valor o intensidad. 
 
b) Hallar la aceleración radial. 
 
 Como hemos comprobado que el movimiento es central, y el origen de la terna móvil 
(o sistema de referencia en el caso que utilicemos polares), la única componente de la 
aceleración en cilíndricas o polares, es la radial. 
 
 Esta componente ya la hemos calculado en el punto a): 
 
�̅�𝒓𝒂𝒅 = (−𝒕
−𝟑/𝟐). �̌�𝝆 
 
 En tanto, la componente radial de la aceleración, es simplemente su valor, sin 
dirección y sin signo: 
 
𝒂𝒓𝒂𝒅 = 𝒕
−𝟑/𝟐 
 
c) Hallar la ecuación de la trayectoria y verificar la 2da. ecuación de Binet. 
 
 Partimos de las ecuaciones horarias de las coordenadas polares, que fueron dato del 
enunciado: 
 
 
{
𝑟 = 2 ⋅ √𝑡 
𝜃 =
1
2
⋅ 𝑙𝑛(2. 𝑡)
 
 
 De la segunda, despejamos el tiempo t: 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
𝑡 =
1
2
. 𝑒2.𝜃 
 
 Si reemplazamos en la primera, eliminamos el parámetro t: 
 
𝑟 = 2 ⋅ √𝑡 = 2.√
1
2
. 𝑒2.𝜃 
 
𝑻𝒓𝒂𝒚𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂: 𝒓 = √𝟐.𝒆𝜽 
 
𝟏
𝒓
=
𝟏
√𝟐
. 𝒆−𝜽 
 
 Calculamos sus derivadas primera y segunda respecto del ángulo: 
 
1
𝑟
=
1
√2
. 𝑒−𝜃 [1/𝑚] 
 
𝑑(1/𝑟)
𝑑𝜃
= −
1
√2
. 𝑒−𝜃 [1/𝑚] 
 
𝑑2(1/𝑟)
𝑑𝜃2
=
1
√2
. 𝑒−𝜃 [1/𝑚] 
 
 Reemplazando dichas derivadas y la velocidad areolar 𝑉𝐴 = 1 [𝑚
2/𝑠𝑒𝑔] en la 
segunda ecuación de Binet, obtendremos la aceleración: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4. 𝑉𝐴
2
𝑟2
[
𝑑2(1/𝑟)
𝑑𝜃2
+
1
𝑟
] . 𝑒�̌� 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4. (1[𝑚2/𝑠𝑒𝑔])2
(√2. 𝑒𝜃 [𝑚])
2 {
1
√2
. 𝑒−𝜃 [
1
𝑚
] +
1
√2. 𝑒𝜃
[
1
𝑚
]} . 𝑒�̌� 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4
2. 𝑒2𝜃
[
𝑒−𝜃
√2
+
𝑒−𝜃
√2
] . 𝑒�̌� 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4
2. 𝑒2𝜃
. (2.
𝑒−𝜃
√2
) . 𝑒�̌� 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = −
𝟒
√𝟐. 𝒆𝟑.𝜽
. 𝒆�̌� 
 
 Luego, en términos de t, como: 
 
𝑡 =
1
2
. 𝑒2.𝜃, 𝑒2.𝜃 = 2. 𝑡, 𝑒𝜃 = √2. √𝑡 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −
4
√2. (2. 𝑡). (√2. √𝑡)
. 𝑒�̌� = −
4
4. 𝑡. √𝑡
. 𝑒�̌� = −
1
𝑡3/2
. 𝑒�̌� 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 
𝒂𝒓𝒂𝒅 = 𝒕
−𝟑/𝟐 
 
 Conclusión, el resultado es el mismo que vimos anteriormente en b). No hay 
aceleración transversal y la aceleración radial vale 𝑡−3/2, aunque hemos perdido de vista las 
unidades. 
 
 
Ejemplo N° 3. (Problema N° 30 de la guía de Alessio) 
 
La varilla AC gira alrededor de A de manera que B está permanentemente ligado a la 
circunferencia como se indica en la figura. La velocidad angular de la varilla es tal que gira 
una semicircunferencia en 4 segundos. Se pide: a) Determinar la velocidad y la aceleración 
de B. b) Verificar si B, describe un movimiento central respecto al punto A; c) ¿Dónde se 
debería colocar el origen de un sistema de referencia polar, para poder aplicar Binet? 
 
Datos: 
 
• R = Radio de la circunferencia de centro E; 
• 𝜔 =
𝜋
4
. 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔⁄ = 𝑣𝑒𝑙. 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝐴𝐶 = 𝑐𝑡𝑒. 
 
a) Velocidad y aceleración del punto B: 
 
Como sistema de referencia utilizamos un sistema cartesiano fijo, con O coincidente 
con A, como se muestra en la figura. 
 
Evidentemente se trata de un movimiento plano. Respecto al sistema de referencia 
que hemos elegido, el vector posición se puede escribir de la siguiente manera: 
 
(𝑃 − 𝑂) = (𝐵 − 𝑂) = 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ + 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ = (𝐸 − 𝑂) + (𝐵 − 𝐸) 
 Si adoptamos como condiciones iniciales, que la biela AC, en el instante inicial esté 
alineada horizontalmente con el eje X, queda, 𝜑0 = 0 y por lo tanto 𝜑 = 𝜔. 𝑡. Entonces: 
 
(𝐵 − 𝑂) = [𝑅 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜑)]. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜑). 𝑗 ̌
 
 Y en términos de 𝜔, que es el dato del problema, 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
(𝐵 − 𝑂) = [𝑅 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗 ̌
 
 
Luego la velocidad y la aceleración de B, se obtienen por simple derivación: 
 
�̅�𝑩 =
𝑑(𝐵 − 𝑂)
𝑑𝑡
= −𝟐.𝝎.𝑹. 𝒔𝒆𝒏(𝟐.𝝎. 𝒕). �̌� + 𝟐.𝝎.𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟐.𝝎. 𝒕). 𝒋̌ 
 
�̅�𝑩 =
𝑑�̅�𝐵
𝑑𝑡
= −𝟒.𝝎𝟐. 𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟐.𝝎. 𝒕). �̌� − 𝟒.𝝎𝟐. 𝑹. 𝒔𝒆𝒏(𝟐.𝝎. 𝒕). 𝒋̌ 
 Notemos que, al menos, dimensionalmente ambas expresiones son correctas. 
 Los módulos de los vectores velocidad y aceleración, valen: 
{
𝑽𝑩 = 𝟐.𝝎.𝑹 = (𝟐.𝝎). 𝑹 
𝒂𝑩 = 𝟒.𝝎
𝟐. 𝑹 = (𝟐.𝝎)𝟐. 𝑹
 
 Como 𝜔 es constante, por enunciado, entonces, tanto el módulo de la velocidad, como 
el de la aceleración del punto B, son también constantes. El punto B parece estar 
describiendo un MCU alrededor de un punto (que evidentemente no es A), con velocidad 
angular 𝜔´ = 2.𝜔. 
b) Verificar si “B” describe un movimiento central alrededor del punto A 
 Si “B” describe un Movimiento Central (MC) alrededor de A, entonces el vector 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
tiene que ser paralelo al vector aceleración del punto B ( �̅�𝑩 ), en todo instante. O sea, se 
tiene que cumplir: 
(𝐵 − 𝐴) ∧ �̅�𝐵 = 0̅ ? ? ? ? ? 
 Donde (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝑂) = [𝑅 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗̌, y la aceleración 
es �̅�𝐵 = −4.𝜔
2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡). 𝑖̌ − 4. 𝜔2. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗.̌ 
 
 Verifiquemos: 
¿ (𝐵 − 𝐴) ∧ �̅�𝐵 = 0̅ ? 
 
{[𝑅 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗̌} ∧ {−4.𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡). 𝑖̌ − 4. 𝜔2. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗̌} = 
 
= {[𝑅 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]. [−4.𝜔4. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡)] − [𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡)]. [−4.𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]}. �̌� 
 
= {−4.𝜔4. 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡) − 4.𝜔2. 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)
+ 4.𝜔2. 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)}. �̌� 
 
∴ (𝑩 − 𝑨) ∧ �̅�𝑩 = {−𝟒.𝝎
𝟒. 𝑹𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝟐.𝝎. 𝒕)}. �̌� ≠ �̅� 
 
 Conclusión: El punto “B” no realiza un Movimiento Central respecto del punto “A” (o 
respecto del punto O, que es lo mismo porque son coincidentes). 
 
 c) ¿Respecto de qué punto, “B” si realiza un movimiento central? 
 
CAPÍTULO 1 Movimiento Central 
 
 Probemos con el centro de la circunferencia guía: el punto E… De nuevo, si “B” realiza 
un MC respecto de E, entonces se debe cumplir que: (𝐵 − 𝐸) ∧ �̅�𝐵 = 0̅ ? ? ? ? ?. 
 
 Verifiquemos: 
 
¿ (𝐵 − 𝐸) ∧ �̅�𝐵 = 0̅ ? 
 
{[𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)]. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗̌} ∧ {−4.𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡). 𝑖̌ − 4. 𝜔2. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑗̌} = 
 
= {[𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2.𝜔. 𝑡)]. [−4.𝜔4. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡)] − [𝑅. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡)]. [−4.𝜔2. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(2.𝜔. 𝑡)]}. �̌� 
 
= {−4.𝜔2. 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡) + 4.𝜔2. 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜔. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜔. 𝑡)}. �̌� = 0̅ 
 
∴ (𝑩 − 𝑬) ∧ �̅�𝑩 = �̅� 
 
 Conclusión: El punto “B”, sí realiza un MC respecto del punto E, centro de la 
circunferencia. 
 
 Para poder aplicar Binet, deberíamos utilizar un sistema de referencia polar, y colocar 
el origen O1 de dicha terna móvil en el punto E. 
 
 
V. BIBLIOGRAFÍA 
 
 
1. Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 2007; 
2. Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
3. Mecánica Racional de Ércoli y Azurmendi, Edutecne, UTN, Buenos Aires, 2014: 
4. Mecánica Clásica de H. Goldstein, editorial Reverté, Barcelona 1987; 
5. Mecánica Vectorial para Ingenieros, tomo II, Mecánica, de Beer-Johnston, Editorial 
Mc. Graw Hill; 
6. Dinámica de R.C: Hibbeler, editorial Pearson, Prentice Hall; 
7. Dinámica de W. Riley y L. Sturges, editorial Reverté. 
8. Mecánica Teórica de Hertig, editorial El Ateneo. 
 
 
 
-------------------------------------