3 3 1 Apunte Energia-Bernoulli generalizada - Mecanica-202206

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FLUJO VISCOSO INTERNO
Mecánica de Fluidos 
Mecánica de Fluidos UTN FRGP
ECUACIÓN DE ENERGIA PARA FLUJO UNIDIMENSIONAL, PERMANENTE 
e INCOMPRESIBLE (BERNOULLI GENERALIZADA CON PÉRDIDAS)
A
s
B
L
perfil en desarrollo
'
nucleo
no viscoso
capa límite laminar
perfil de velocidades
desarrollado
máxv
A
desarrollado
o
perfil de velocidades
perfil en desarrollo
'L
B
nucleo
no viscoso
máxv
zona laminar
C
subcapa
laminar
turbulencia
turbulencia
a) régimen laminar b) régimen turbulento
o
2
En conductos, existe una longitud L’ a partir de la cual las características del flujo ya 
no varían.
• En el ingreso el perfil de velocidades es prácticamente uniforme, y se va
desarrollando una capa límite como en el caso de placa plana. Existe una zona
donde la viscosidad no tiene efectos significativos.
• Pero a medida que el fluido avanza tiende a formarse un perfil de velocidades
variable que depende de cómo es el régimen (laminar o turbulento) y el flujo es
viscoso en toda la sección del conducto. (Flujo plenamente desarrollado)
DESARROLLODEL PERFIL DEVELOCIDAD EN FLUJOS INTERNOS
Fluid Mechanics. Fourth edition. 
Frank M. White. Mc Graw Hill
DESARROLLODEL PERFIL DEVELOCIDAD EN FLUJOS INTERNOS
Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli, también denominada Trinomio de Bernoulli, describe el
comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.
Expresa que en un fluido sin viscosidad (no hay fricción) sin pérdidas, fuentes o
sumideros de energía, la energía que posee el fluido permanece constante a lo
largo de su recorrido. La misma fue obtenida a partir integrando las ecuaciones
diferenciales de EULER para el caso no viscoso.
La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:
• Energía Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
• Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que 
posee. 
• E. Potencial Gravitatoria: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
Recordamos que se aplicaba a una línea de corriente, pero si el flujo era
irrotacional, o si se asumía que el flujo era uniforme, podía aplicarse entre dos
secciones directamente.
Supuestos para su aplicación:
• La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o entre dos secciones
cuando el flujo es irrotacional. (Si el flujo es uniforme entonces es irrotacional).
• Viscosidad (fricción interna) = 0. Es decir, se considera que la línea de corriente sobre
la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. O se aplica en dos
secciones entre las cuales no hay pérdidas viscosas.
• Régimen permanente.
• Flujo incompresible: ρ es constante.
donde:
V = velocidad del fluido en la sección considerada.
g = aceleración gravitatoria
z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
P = presión a lo largo de la línea de corriente.
ρ = densidad del fluido.
Ecuación de Bernoulli






2L
F
 
El principio teórico de Bernoulli NO es valido en flujo en conductos, ya que, como
vimos, cuando el flujo es plenamente desarrollado aparecen fuerzas tangenciales
debido a la existencia de la viscosidad, lo cual genera pérdidas por fricción.
Pero aquí mostraremos que, para el caso de flujo uniforme permanente e
incompresible, puede utilizarse la ecuación integral de la energía para derivar un
forma de la ecuación de Bernoulli que sí tiene en cuenta las pérdidas por viscosidad.
Partiendo de la ecuación integral de la energía aplicada a un volumen de control
compuesto por un conducto de longitud “L” con una entrada y una salida:
Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
 L
1 p
2 z
1 z
1 V
2 V
T A
)(ru u =
Q W 
 x
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Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
 L
1 p
2 z
1 z
1 V
2 V
T A
)(ru u =
Q W 
 x
• Luego, si de alguna forma se pueden calcular las pérdidas, y se conocen la energía
entregada y/o sustraída por una bomba o turbina respectivamente, entonces se
puede usar la ecuación de Bernoulli generalizada (con pérdidas).
• Para este tipo de aplicación, la forma de la ecuación más utilizada es la que
corresponde a dimensiones de longitud L (ecuación (1) )
• En la ecuación (2) las alturas de la bomba, turbina o altura de pérdidas (ΔH) deben
tener dimensiones de energía por unidad de masa (o velocidad al cuadrado)
1
2
𝑉1
2 +
𝑝1
𝜌
+ 𝑔 𝑧1 + Δ𝐻𝐵 =
1
2
𝑉2
2 +
𝑝2
𝜌
+ 𝑔 𝑧2 + Δ𝐻𝑇 + Δ𝐻𝑓;
𝐿2
𝑇2
1
2𝑔
𝑉1
2 +
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + Δ𝐻𝐵 =
1
2𝑔
𝑉2
2 +
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + Δ𝐻𝑇 + Δ𝐻𝑓; 𝐿
Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
( )2 
( )1 
• Luego, si de alguna forma se pueden calcular las pérdidas, y se conocen la energía
entregada y/o sustraída por una bomba o turbina respectivamente, entonces se
puede usar la ecuación de Bernoulli generalizada (con pérdidas).
• Para este tipo de aplicación, la forma de la ecuación más utilizada es la que
corresponde a dimensiones de longitud L (ecuación (1) )
• En la ecuación (2) las alturas de la bomba, turbina o altura de pérdidas (ΔH) deben
tener dimensiones de energía por unidad de masa (o velocidad al cuadrado)
• El coeficiente alfa es despreciable en flujo turbulento.
𝛼
2
𝑉1
2 +
𝑝1
𝜌
+ 𝑔 𝑧1 + Δ𝐻𝐵 =
𝛼
2
𝑉2
2 +
𝑝2
𝜌
+ 𝑔 𝑧2 + Δ𝐻𝑇 + Δ𝐻𝑓;
𝐿2
𝑇2
𝛼
2𝑔
𝑉1
2 +
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + Δ𝐻𝐵 =
𝛼
2𝑔
𝑉2
2 +
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + Δ𝐻𝑇 + Δ𝐻𝑓; 𝐿
Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
( )2 
( )1 
Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
Si se aplica la ecuación anterior para un flujo incompresible (laminar o turbulento) en
un conducto horizontal de sección constante, sin bombas ni turbinas, entonces
(V1=V2; z1=z2):
𝑝1
𝛾
=
𝑝2
𝛾
+ Δ𝐻𝑓; 𝐿
Δ𝐻𝑓 =
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
=
Δ𝑝
𝛾
; 𝐿 Delta p es la caída de presión.
wrr = 𝑟𝑤 =
𝜑
2

Ecuación de Bernoulli generalizada (Pérdidas, bomba y/o turbina.)
Si se aplica la ecuación integral de cantidad de movimiento al mismo caso, todos los
términos de la ecuación se anulan excepto la fuerza R de arrastre (debida a las
tensiones tangenciales) y la integral de presión:
− න
𝑆𝐶
𝑝 𝑑𝐴 + 𝑅 + න
𝑉𝐶
−∇ 𝑈𝑚 𝑑𝜐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
−න
𝐴
𝑝 𝑑𝐴 + 𝑅 = 0
Sólo existe la componente en x. Integrando sólo en las ventanas:
𝑅𝑥 = Δ𝑝 𝐴𝑇 = 𝛾 Δ𝐻𝑓 𝐴𝑇
Es decir que, para este caso particular, la fuerza de arrastre, que se debe a las
pérdidas (fricción viscosa), viene dada por la caída de presión.
𝑅𝑥 = 𝜏𝑤 𝐴𝐿𝑎𝑡
wrr = 
𝑟𝑤 =
𝜑
2
 Fuerza de arrastre.
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Líneas deAltura Piezométrica y de EnergíaTotal
𝐻 =
𝑝
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧
Altura total o Altura de Bernoulli
Altura Piezométrica o Altura Motriz
𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔
𝛾 = 𝜌𝑔
La altura total y la altura motriz (o piezométrica) disminuyen linealmente en las zonas
de flujo plenamente desarrollado, debido a las pérdidas por fricción en los tramos
rectos. En los accesorios hay pérdidas localizadas por lo cual hay saltos discontinuos.
Mientras tanto, si la altura geométrica varía, el cambio de altura geométrica es
compensado por el cambio en la altura de presión de manera tal que la altura motriz
cae linealmente. Antes y después de la válvula los diámetros son diferentes, por eso la
alturas cinéticas no son iguales, lo mismo que las pendientes (pérdidas).
•
M
e
c
á
n
ic
a
d
e
F
lu
id
o
s
,
Ir
w
in
g
S
h
a
m
e
s
.
T
e
rc
e
ra
E
d
ic
ió
n
.
M
c
G
ra
w
-H
il
l
13
Líneas deAltura Piezométrica y de EnergíaTotal
𝐻 =
𝑝
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧
Altura total o Altura de Bernoulli
ቚ𝐻
I
=
𝑝I
𝛾
+
𝑉I
2
2𝑔
+ 𝑧I
Altura Piezométrica o Altura Motriz
𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔I II
𝛾 = 𝜌𝑔
ቚ𝐻
II
=
𝑝II
𝛾
+
𝑉II
2
2𝑔
+ 𝑧II
En la figura de abajo el salto discontinuo entre b y b´ en la curva de altura
piezométrica (roja) se debe exclusivamente a las pérdidas localizadas en los codos
más la pérdida por fricción en el tramo recto BC, ya que la disminución de altura
geométrica z se compensa con el aumento de la altura de presión. La altura cinética
sólo se modifica cuando hay cambios de sección o diámetro.
La ecuación de la energía entre A y
E puede expresarse de la siguiente
forma:
•
M
e
c
á
n
ic
a
d
e
F
lu
id
o
s
,
Ir
w
in
g
S
h
a
m
e
s
.
T
e
rc
e
ra
E
d
ic
ió
n
.
M
c
G
ra
w
-H
il
l
Líneas deAltura Piezométrica y de EnergíaTotal
14
ቚ𝐻
A
+ Δ𝐻𝐵 = ቚ𝐻
E
+ Δ𝐻𝑇 + Δ𝐻
15
Líneas deAltura Piezométrica y de EnergíaTotal
𝐻 =
𝑝
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧
Altura total o Altura de Bernoulli
(energía mecánica total)
Altura Piezométrica o Altura Motriz
𝑧 +
𝑝
𝜌𝑔
En el caso en que no se consideran pérdidas, para la ecuación de Bernoulli
propiamente dicha, entonces la altura total (energía mecánica) se mantiene constante.