4 1 Ecuaciones Diferenciales (Ferroviaria) 202305

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Mecánica de Fluidos UTN FRH 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Mecánica de Fluidos 
Fuerza total: Se puede determinar con el análisis integral en el VC
POR QUÉ UTILIZAR el ANÁLISIS 
DIFERENCIAL?
• El análisis integral nos per-
mite hacer cálculos globales
sin importar el detalle de
cómo es el flujo dentro del
volumen de control.
• El análisis integral no puede
brindar información deta-
llada, como por ejemplo
perfiles de velocidad, tem-
peratura, presión, etc.
Combustible
Sección de salidaSección de entrada
Velocidad 
(uniforme) de 
entrada: 
Ve=971 km/h
Velocidad (uniforme) 
de salida: Vs=2021 
km/h
Zona de recirculación: No se puede determinar con el análisis integral en el VC
Análisis integral en un turborreactor
VC
VC
3
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
4
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
 













+










−
−
−
=













=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
p
p
p
00
00
00
Presiones 
hidrostáticas
Pero los esfuerzos totales en la partícula de fluido pueden deberse a efectos
viscosos o de presión, por lo tanto para un fluido cualquiera debemos considerar…
yzyz
xzxz
xyxy
zzzz
yyyy
xxxx
p
p
p






=
=
=
+−=
+−=
+−=
Las tensiones de Cauchy resultan:
Un incremento de presión tiende a 
producir una disminución de volumen
 +−= Ip
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
De los cursos de elasticidad se conoce que la matriz de las componentes del tensor 
de tensiones de Cauchy es:
 













=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
Este tensor, en rigor, se define para cualquier material, fluido o sólido.
Para ver su definición ir al Anexo en el 
final de este apunte. 
Matriz de 
componentes 
del tensor.
Tensiones 
viscosas (comp.); 
veremos que:
Tensor de 
Cauchy
=
 










+










−
−
−
=










=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij p







100
010
001
 
Componentes de 
tensión de 
Cauchy
Componentes 
de tensión 
viscosa:
Presiones 
hidrostáticas
Pero los esfuerzos totales en la partícula de fluido pueden deberse a efectos
viscosos o de presión, por lo tanto, para un fluido cualquiera debemos considerar
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 𝜏𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 𝜏𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 𝜏𝑧𝑧
𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧
Las tensiones de Cauchy resultan:
Un incremento de presión tiende a 
producir una disminución de volumen
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝 𝐼𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
+ +
7
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
La mecánica del continuo es una disciplina que comprende la
mecánica de sólidos, la mecánica de fluidos y transferencia del
calor con un enfoque único.
Mecánica del
continuo
Estudio de la física
de los medios 
continuos.
Mecánica del sólido
Estudio de la física
de los medios 
continuos 
compuestos por 
materiales que 
tienen una forma 
de reposo definida. 
(sólidos)
Elasticidad
Estudio de materiales que retornan a su 
forma original luego de quitar el esfuerzo 
que lo deformó.
Plasticidad
Estudio de 
materiales que 
sufren
deformaciones 
permanentes luego 
de superado cierto 
valor de esfuerzo. 
Reología
La reología estudia 
la relación entre el 
esfuerzo y la 
deformación en los 
materiales que son 
capaces de fluir o 
que presentan
“cedencia”. Busca 
determinar 
relaciones 
constitutivas para 
modelar el 
comportamiento de 
los materiales. 
Mecánica de fluidos
Estudio de la física
de los medios 
continuos 
compuestos por 
materiales que se 
deforman 
permanentemente 
mientras se les 
aplica un esfuerzo 
cortante. (Fluidos)
Fluidos no 
Newtonianos.
Las velocidades de 
deformación NO 
son proporcionales
a los esfuerzos 
aplicados.
Fluidos Newtonianos. Las velocidades de 
deformación son proporcionales a los 
esfuerzos aplicados
Disciplinas de la Mecánica del Continuo
▪En mecánica del continuo las características del material son las
que definen su comportamiento dinámico.
▪Definir el comportamiento dinámico significa entender cómo se
mueve y/o deforma el material al aplicarle esfuerzos.
▪ Los esfuerzos son caracterizados por las tensiones que actúan en
el material.
▪El movimiento, por otro lado, queda caracterizado por:
▪ Las Relaciones Constitutivas son expresiones que relacionan a las
tensiones con las deformaciones y/o con las tasas de defor-
mación según el material del que se trate.
Velocidad de deformación Ξ Tasa de deformación Ξ Rapidez de deformación 
Sólidos con pequeñas deformaciones: Sólo interesan las deformaciones = Strain. 
Sólidos con grandes deformaciones: Interesan deformaciones y tasas (rapidez) de deformación 
Fluidos: Interesan las Tasas (velocidad o rapidez) de deformación = Strain Rate
10
Tasas de deformación.
(Efectos)
Tensión.
(Causas)
Cuando a un material en reposo se le aplican esfuerzos (acciones) (causas) el
mismo reacciona moviéndose y deformándose (efectos)
Para una determinada acción (estado tensional) corresponde una determinada
respuesta (deformación y rapidez de deformación) dependiendo del material. ¡El
material relaciona las causas con los efectos!
RELACIONES CONSTITUTIVAS. 
RELACIONAN CAUSAS CON EFECTOS TENIENDO 
EN CUENTA LAS PROPIEDADES DEL MATERIAL
▪Tensor Tasa de Deformación Euleriano (coordenadas 
espaciales)
Ӗ𝑠 ≡ 𝑠𝑖𝑗 =
𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑥𝑦 𝑠𝑥𝑧
𝑠𝑦𝑥 𝑠𝑦𝑦 𝑠𝑦𝑧
𝑠𝑧𝑥 𝑠𝑧𝑦 𝑠𝑧𝑧
𝑠𝑥𝑦 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑠𝑦𝑧 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝑠𝑧𝑥 =
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑠𝑥𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑠𝑦𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑠𝑧𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
u,v y w son componentes de velocidad.
▪Tensor de Tensiones de Cauchy
ധ𝜎 ≡ 𝜎𝑖𝑗 =
𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
Nota: Más adelante veremos que es un tensor simétrico.
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
▪Para el sólido elástico isótropo se tiene la ley de Hook
G
G
G
EEE
EEE
EEE
yz
yz
xz
xz
xy
xy
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
2
2
2
1
1
1





















=
=
=
+−−=
−+−=
−−+=
…invirtiendo 
la anterior:
( )+
=
12
E
G
( )( )


211
 
−+
=
E
( )
( )
( )
yzyz
xzxz
xyxy
zzyyxxzzzz
zzyyxxyyyy
zzyyxxxxxx
G
G
G
G
G
G






2
2
2
2
2
2
=
=
=
+++=
+++=
+++=
AUX: El pasaje de arriba se puede ver haciendo un arreglo matricial con las primeras expresiones y luego invirtiendo: 
▪ Para un fluido teníamos tensiones viscosas (ley de viscosidad de Newton)
dy
du
 =
▪ Pero los esfuerzos totales en la partícula de fluido pueden deberse a efectos
viscosos o de presión, por lo tanto para un fluido cualquiera debemos
considerar:
Si la viscosidad es independiente de las tasas de deformación 
entonces es un fluido newtoniano. Si no, no, pero siempre que 
el flujo sea viscoso existen tensiones viscosas en el fluido, sea 
newtoniano o no newtoniano.
 













+










−
−
−
=













=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
p
p
p
00
00
00
Presiones 
hidrostáticas
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 𝜏𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 𝜏𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 𝜏𝑧𝑧
𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧
Las tensiones de Cauchy resultan:
Un incremento de presión tiende a 
producir una disminuciónde volumen
 +−= Ip
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
Matriz de 
componentes 
del tensor.
Tensiones 
viscosas (comp.); 
veremos que:
Tensor de 
Cauchy
▪ Entonces debemos hallar una expresión para las tensiones viscosas
generalizando la ley de viscosidad de Newton para el caso tridimensional.
▪ Las relaciones constitutivas se obtienen por observación experimental.
▪ Para un fluido Newtoniano (viscosidad independiente de las tasas de
deformación) las expresiones que se obtienen guardan cierta analogía con el
sólido elástico isótropo:
𝜎𝑥𝑥 = 2𝐺𝜀𝑥𝑥 + 𝜆 𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑧𝑧
𝜎𝑦𝑦 = 2𝐺𝜀𝑦𝑦 + 𝜆 𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑧𝑧
𝜎𝑧𝑧 = 2𝐺𝜀𝑧𝑧 + 𝜆 𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑧𝑧
𝜎𝑥𝑦 = 2𝐺𝜀𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑧 = 2𝐺𝜀𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑧 = 2𝐺𝜀𝑦𝑧
𝐺 ≡ 𝜇
𝜆 ≡ 𝜆
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇 𝑠𝑥𝑥 + 𝜆 𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑦𝑦 + 𝑠𝑧𝑧
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇 𝑠𝑦𝑦 + 𝜆 𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑦𝑦 + 𝑠𝑧𝑧
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇 𝑠𝑧𝑧 + 𝜆 𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑦𝑦 + 𝑠𝑧𝑧
𝜏𝑥𝑦 = 2𝜇 𝑠𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 2𝜇 𝑠𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 2𝜇 𝑠𝑦𝑧
Sólido elástico lineal: Fluido Newtoniano:
¡Las dimensiones 
NO son las mismas!
▪ Los coeficientes de viscosidad y en principio son independientes.
▪ El coeficiente determina la proporcionalidad entre las tensiones viscosas
(disipativas) y la divergencia de la velocidad (efecto volumétrico que sólo se
produce en caso de que el fluido sea compresible). Además de este
coeficiente de proporcionalidad, el efecto de dilatación y contracción
volumétrica influye sobre las tensiones negativamente con una
proporcionalidad por lo cual el coeficiente de viscosidad volumétrica
total finalmente es:
▪ Recordando que: es evidente que:
▪ Esto último significa que la tensión normal media, en Gral., no es igual a la
presión termodinámica.
𝜇
𝜅 = 𝜆 +
2
3
𝜇
𝜆
−
2
3
𝜇
𝜆
ቐ
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 𝜏𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 𝜏𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 𝜏𝑧𝑧
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 ≠ −𝑝
𝜅 coeficiente de viscosidad volumétrica 𝜆 = 𝜅 −
2
3
𝜇
▪ Existen dos condiciones en donde SI resulta
1) Se verá que cuando el flujo es incompresible se tiene
y, en ese caso,
2) Por otro lado, aún si el flujo es compresible, si asumimos que resulta:
y, en ese caso,
Esta última es conocida como “condición de Stokes”.
𝜆 = −
2
3
𝜇
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = ∇ ⋅ 𝑉 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜏𝑥𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 + 𝜏𝑧𝑧 = 0
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
𝜅 = 0
𝜏𝑥𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 + 𝜏𝑧𝑧 = 0
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
▪ Recordando las expresiones para las tasas de deformación, podemos expresar:
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
−
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑠𝑥𝑦 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑠𝑦𝑧 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝑠𝑧𝑥 =
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑠𝑥𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑠𝑦𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑠𝑧𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Ley de Navier – Poisson. Fluido Newtoniano. Condición de Stokes 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = ∇ ⋅ 𝑉 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Recordar que:
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇 ∇ ⋅ 𝑉
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−
2
3
𝜇 ∇ ⋅ 𝑉
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
−
2
3
𝜇 ∇ ⋅ 𝑉
𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧
Las tensiones de Cauchy resultan:
Fluido newtoniano: es función de la presión y la temperatura, pero no depende de las tasas de deformación. 
Condición de Stokes
𝜆 ≡ −
2
3
𝜇
𝜇
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
▪ Cuando el flujo es incompresible no existe deformación volumétrica:
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜎𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧
Las tensiones de Cauchy resultan:
Fluido newtoniano: es función de la presión y la temperatura, pero no depende de las tasas de deformación. 
𝑑𝑖𝑣 𝑉 = ∇ ⋅ 𝑉 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Ley de Navier – Poisson. Fluido Newtoniano Incompresible. 
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
Las condición:
se cumple necesariamente ya que 
no hay efectos volumétricos
19
Gradiente térmico.
(Efectos)
Flujo de calor.
(Causas)
Cuando a un material se le transfiere calor (acciones) (causas) el mismo reacciona 
cambiando su temperatura (efectos) 
Para una determinada acción (transferencia de calor) corresponde una 
determinada respuesta (cambio térmico) dependiendo del material. ¡El material 
relaciona las causas con los efectos!
RELACIONES CONSTITUTIVAS. 
RELACIONAN CAUSAS CON EFECTOS TENIENDO 
EN CUENTA LAS PROPIEDADES DEL MATERIAL
▪ La ley de Fourier relaciona el flujo de calor por unidad de área con el gradiente de
temperatura.
▪ Involucra una propiedad del material denominada “conductividad térmica”.
▪ Si bien la ley de Fourier no es normalmente presentada como una relación
constitutiva, es la que provee información sobre el comportamiento del material
respecto de la transferencia de calor por conducción. Por lo tanto puede considerarse
como tal.
▪ Los fenómenos de conducción pueden aparecer tanto en sólidos rígidos o deformables
o en fluidos estáticos o en movimiento:
Ley de Fourier
𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = −𝑘∇ 𝑇 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
෠𝑘
k es la conductividad térmica (material isótropo)
También llamado coeficiente de conducción 
térmica
𝑞𝑥 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑦 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞𝑧 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
 
Km
W
θFT -1-1

=
=
k
k
21
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
22
Con independencia del material del que se trate, se conoce que, en todo
movimiento o proceso, deberán cumplirse los principios fundamentales de
conservación. Esto servirá para plantear ecuaciones diferenciales de conservación.
Ecuaciones de conservación:
✓ Surgen de la aplicación de los principios fundamentales de conservación de 
masa, energía y cantidad de movimiento. 
✓ En Fluidos, deben cumplirse para todos los posibles tipos de escurrimientos 
(flujos) de fluidos con independencia del tipo de fluido
Balance de masa
Balance de cantidad de movimiento (Segunda ley de Newton: F = m a )
Balance de energía (Primer principio de la termodinámica)
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
Variación de la masa 
en el V.C.
Flujos de entrada y salida a 
través de la S.C.
Para un volumen de control finito teníamos
Ahora, considerando un volumen fijo y que no se deforma:
න
𝑉𝐶
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝜐 + න
𝑉𝐶
∇ ⋅ 𝜌 𝑉 𝑑 𝜐 = 0
Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia podemos escribir:
න
𝑉𝐶
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
න
𝑉
∇ ⋅ 𝐹 𝑑𝑉 = න
𝑆
𝐹 ⋅ ො𝑛 𝑑𝐴
Adoptando 𝐹 = 𝜌𝑉
Resulta obvio que:
න
𝑉𝑐
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 𝑑𝜐 = 0 ⇒
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t
Ecuación diferencial 
de continuidad
▪ Flujo permanente compresible:
▪ Flujo incompresible (permanente o no):
∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
∇ ⋅ 𝑉 = 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
( ) ( ) ( )
0 =


+


+


z
w
y
v
x
u 
0 =


+


+


z
w
y
v
x
u
Tomando un volumen elemental
Dado que no existen fuentes ni sumideros es obvio que el caudal neto 
(diferencia de caudales salida-entrada) a través del elemento debe ser igual 
a la variación de la masa en el tiempo con signo cambiado (si sale más de lo que 
entra entonces la variación de la masa dentro del volumen elemental es negativa)
dxdydz
x
u)(
u)dydzdydz - (dx
x
u)(
ρu


=







+



Caudal neto total (diferencia entrelo que sale y lo que entra):
dxdydz
y
v)(
v)dxdzdxdz - (dy
y
v)(
ρv


=







+



dxdydz
z
w)(
w)dxdydxdy - (dz
z
w)(
ρw


=







+



Caudales netos en las direcciones coordenadas (salida-entrada):
( ) ( ) ( )
dzdydx
z
w
y
v
x
u
 







+


+

 
dzdydx
t
 


−=

dzdydx
t
dzdydx
z
w
y
v
x
u
 
)()()(
 


−=







+


+

 
Variación de la masa en el tiempo (con signo cambiado):
Luego: Dado que no existen fuentes ni sumideros es obvio que el caudal 
neto (diferencia de caudales salida-entrada) a través del elemento debe ser 
igual a la variación de la masa en el tiempo con signo cambiado (si sale más de 
lo que entra entonces la variación de la masa dentro del volumen elemental es negativa)
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

Entonces:
Que es lo mismo 
que ya teníamos
amF =
dzdydx
Dt
VD
adm =
Partimos de la 2da Ley de Newton:
Para la aceleración ya se conoce la expresión correspondiente a la partícula 
de fluido (derivada total o sustancial), por lo tanto: 
dzdydx
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Fd 







+


+


+


=
Entonces: dzdydx
Dt
VD
Fd =
+=+= FdFgdFdFdFd superfmásicas 
▪ Fg es la fuerza debido a campos másicos (gravedad y otros)
▪ Fσ es la fuerza que actúa en las superficies del volumen elemental.
Viene dada por las tensiones de Cauchy por el área sobre la que
actúan.
▪ Dado que las tensiones de Cauchy ya incluyen a las presiones y a las
tensiones viscosas, el análisis de fuerzas sobre el volumen
elemental puede hacerse tanto usando las tensiones de Cauchy o
para las presiones y las tensiones viscosas por separado.
Denominando:
dxdydzggdmFgd ==
+= FdFpdFd
dzdydx
Dt
VD
FdFpdFgdFd =++= (A)
(1)
Nota auxiliar: acá se puede ver porqué la presión llevaba signo cambiado en el tensor de Cauchy, 
porque actúa produciendo fuerzas de compresión con sentido contrario a las tracciones viscosas.
Fuerzas que producen las tensiones 
de Cauchy
…es lo mismo que esto:Es decir, que esto:
Fuerzas que producen las presiones y las 
tensiones viscosas.
Analizando las fuerzas de presión sobre el elemento en la dirección de x:
Componente x de fuerza de presión sobre la cara izquierda del elemento: 
Componente x de fuerza de presión sobre la cara derecha del elemento:
Componente x de fuerza de presión neta sobre el elemento:
dydzp =
dydzdx
x
p
p 







+−=
dxdydz
x
p
dydzdx
x
p
ppdFpx 


−=







−−=
𝑑𝐹𝑝 = −∇𝑝 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
෠𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
En las otras direcciones el análisis es análogo por lo cual:
(2)
dxdydz
z
dxdzdy
y
dydzdx
x
dF zx
zx
zxyx
yx
yx
xx
xxx
 xx 





−







++








−








++





−


+=
Analizando las fuerzas de tensión viscosa sobre el elemento en la dirección de x, la 
fuerza neta resultante es:
dxdydz
zyx
dF zx
yxxx
x
 







+


+


=
Análogamente:
dxdydz
zyx
dF
zyyyxy
y
 







+


+


=
dxdydz
zyx
dF zz
yzxz
z
 







+


+


=
Así, la fuerza de tensión viscosa neta sobre el volumen elemental es:
dxdydzk
zyx
j
zyx
i
zyx
Fd zz
yzxzzyyyxyzxyxxx














+


+


+







+


+


+







+


+


= ˆˆˆ (3)
Finalmente, reemplazando en la expresión (A):
dxdydz
Dt
VD
FdFpdFgdFd =++=
dxdydzggdmFgd ==
…por las expresiones ya conocidas (1), (2) y (3):
𝑑𝐹𝑝 = −∇ 𝑝 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
෠𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
dxdydzk
zyx
j
zyx
i
zyx
Fd zz
yzxzzyyyxyzxyxxx














+


+


+







+


+


+







+


+


= ˆˆˆ
(A)
(3)
(2)
(1)








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ zx
yxxx
xDirección X :
Dirección Y:
Dirección Z:
… podemos expresar, en componentes para mayor sencillez, lo siguiente:








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
zyyyxy
y








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ zz
yzxz
z
Las expresiones anteriores pueden ser resumidas en una única expresión vectorial:
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 + ρ𝑔 + 𝑑𝑖𝑣 Ӗ𝜏 = −∇ 𝑝 + ρ𝑔 + ∇ ⋅ Ӗ𝜏
Ecuaciones de 
cantidad de 
movimiento.
Fuerza por 
unidad de 
volumen
( )22
2
2
12
1
2
1
2
1
dydx
dt
d
ρdy
y
τ
dx
x
τ
ττ
yxxy
yxxy +=


−


+−

Dirección X :
Partiendo de la segunda ley de Newton para movimiento angular:
… y haciendo un desarrollo similar al planteado anteriormente para las componentes de 
cantidad de movimiento, se puede obtener :
El segundo miembro puede despreciarse porque contiene diferenciales de 2do orden 
multiplicados por una aceleración angular d2θ/dt2 y la densidad que tienen un valor finito
( )
dt
Vrd
mM

= 0
0
2
1
2
1



−


+− dy
y
τ
dx
x
τ
ττ
yxxy
yxxy
En esta expresión los términos conteniendo diferenciales son de orden superior a los 
términos que contienen sólo tensiones, por lo tanto:
0− yxxy ττ
Entonces, generalizando para las tres direcciones coordenadas:
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
Esto muestra que el tensor 
tensión es simétrico. Por lo tanto, 
su representación matricial es 
una matriz simétrica. [τ]=[τ]T
La ecuación diferencial de la Energía puede expresarse (Ver Anexo 2 al final de este 
apunte): 
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 +𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧
Entonces, resumiendo, las ecuaciones diferenciales de movimiento son: 
▪Estas ecuaciones componen un sistema de
ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales.
▪Las ecuaciones así planteadas no pueden
desacoplarse.
▪El sistema puede complementarse con la
ecuación de estado.
▪Se aplican a cualquier fluido en cualquier
régimen de flujo, pero son indeterminadas
porque la cantidad de incógnitas es mayor
que la de ecuaciones (cinco+ ec de estado)








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 +𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧
38
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Principios fundamentales
Conservación de Masa 
Conservación de 
Cantidad de Mov. 
Conservación de la 
energía.
Dinámica 
de Fluidos
1) Fluidos newtonianos: La tensión 
de corte se relaciona linealmente 
con las tasas de deformación.
2) Fluidos no newtonianos: La 
tensión se relaciona con las tasas 
de deformación en forma no 
lineal
Mecánica 
del 
Continuo
Aire: 
fluido 
Newtoniano
fluido 
compresible
Hipótesis constitutivas (material)
Ecuación de continuidad Navier-Stokes Ecuación de energía
Sistema de cinco ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
No hay modificaciones sobre la ecuación de continuidad:
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
vx
u
t
Ecuación diferencial 
de continuidad
▪ Flujo permanente compresible:
▪ Flujo incompresible (permanente o no):
∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
∇ ⋅ 𝑉 = 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
( ) ( ) ( )
0 =


+


+


z
w
y
v
x
u 
0 =


+


+


z
w
y
v
x
u
Si el fluido es newtoniano entonces podemos usar las relaciones constitutivas que surgen
de la ley de Navier-Poisson en las ecuaciones de cantidad de movimiento. Haciendo lo
siguiente:








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x








+


=








+


=








+


=








+


+


+


=








+


+


+


=








+


+


+


=
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
w
z
w
y
v
x
u
y
v
z
w
y
v
x
u
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
 
 
 
 2
 2
 2






Fluido newtoniano: es función de la presión y la temperatura, pero no depende de las tasas de deformación. 
… podemos obtener las ecuaciones de Cantidad de Movimiento para un fluido 
newtoniano denominadas Ecuaciones de Navier -Stokes (ENS): 














+




+













+




+











−




++


−=
z
u
x
w
zx
v
y
u
y
V
x
u
x
ρg
x
p
Dt
Du
ρ x 
3
2
2














+




+













+




+











−




++


−=
x
v
y
u
xy
w
z
v
z
V
y
v
y
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ y 
3
2
2














+




+













+




+











−




++


−=
y
w
z
v
yz
u
x
w
x
V
z
w
z
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ z 
3
2
2
Flujo compresible: Estas expresiones son válidas para flujos compresibles o incompresibles pero en el caso incompresible se 
simplifican como se verá a continuación.. 
Fluido newtoniano: es función de la presión y la temperatura, pero no depende de las tasas de deformación. 
Condición de Stokes
𝜆 ≡ −
2
3
𝜇
𝜇
1
3
𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 = −𝑝
Si el flujo es incompresible, considerando la ecuación de continuidad, la divergencia de la
velocidad es nula. Si además se asume que la viscosidad es constante, luego de algunas
operaciones matemáticas podemos obtener las ecuaciones de Cantidad de Movimiento
para flujos incompresibles de fluidos newtonianos. Ecuaciones de Navier–Stokes para
flujo incompresible (ENS):
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇ 𝑝 + ρ𝑔 + 𝜇 ∇2𝑉
Fluido newtoniano y además : es constante. 
En forma vectorial: 








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
v
y
v
x
v
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
u
y
u
x
u
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
z
y
x



También puede hacerse lo mismo con la ecuación de la energía. Considerando la ley de 
Fourier y asumiendo que el fluido es isótropo y que no existen flujos de calor debido a 
radiación, si se hace lo siguiente: 








+


=








+


=








+


=








+


+


+


=








+


+


+


=








+


+


+


=
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
z
w
z
w
y
v
x
u
y
v
z
w
y
v
x
u
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
 
 
 
 2
 2
 2






𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 +𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 +𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧
z
T
kq
y
T
kq
x
T
kq
z
y
x


−=


−=


−=
 
 
 
… luego de ciertas operaciones matemáticas se obtiene la expresión de la energía: 
















+


+







+


+







+


+







+







+







+







+


+


−















+









+









=
222222
222
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u
p
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xDt
De
 
 


𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= ∇ ⋅ 𝑘 ∇ 𝑇 − 𝑝∇ ⋅ 𝑉 + Φ
















+


+







+


+







+


+







+







+







=
222222
 2 2 2 
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u

Lo mismo en forma vectorial:
Tcv =u
pe
V
e ++=
2
2
u 
La energía potencial 
suele despreciarse.
A modo de resumen, se muestran a continuación como quedan las ecuaciones para un 
fluido newtoniano… primero el caso general, luego para el caso de flujo incompresible 
con propiedades constantes (μ y k) y, finalmente para el caso de flujo incompresible 
isotérmico con viscosidad constante.
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

Si el fluido es newtoniano, entonces la viscosidad no depende de las tasas de deformación. 
Y, adoptando la condición de Stokes: 
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
Energía:
ECUACIONES 
DE NAVIER 
STOKES
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
















+


+







+


+







+


+







+







+








+







+


+


−















+









+









=
222222
 2 2 2 
 
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u
p
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xDt
De














+




+













+




+











−




++


−=
z
u
x
w
zx
v
y
u
y
V
x
u
x
ρg
x
p
Dt
Du
ρ x 2 
3
2














+




+













+




+











−




++


−=
x
v
y
u
xy
w
z
v
z
V
y
v
y
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ y 2 
3
2














+




+













+




+











−




++


−=
y
w
z
v
yz
u
x
w
x
V
z
w
z
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ z 2 
3
2
Si es un flujo incompresible, la divergencia de la velocidad es nula. Si además se asume que 
las propiedades (μ y k) son constantes, operando se obtiene: 
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
Energía:
ECUACIONES 
DE NAVIER 
STOKES (Flujo 
Incompresible)
∇ ⋅ 𝑉 = 00=


+


+


z
w
y
v
x
u








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
v
y
v
x
v
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
u
y
u
x
u
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
z
y
x



ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇𝑝 + ρ𝑔 + 𝜇 ∇2𝑉
Nota1: Si el flujo es incompresible, entonces la ecuación de continuidad se reduce a 
y la de energía pierde el término de presión. La energía cinética suele despreciarse. 
















+


+







+


+







+

+







+







+







+







+


+


=
222222
2
2
2
2
2
2
222
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
z
T
y
T
x
T
k
Dt
D
 
 


u
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −
1
ρ
∇𝑝 + 𝑔 + 𝜈 ∇2𝑉
O también:
∇ ⋅ 𝑉 = 0
Si además el flujo es isotérmico, la ecuación de la energía no se considera: 
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
Energía:
ECUACIONES 
DE NAVIER 
STOKES (Flujo 
Incompresible)
0=


+


+


z
w
y
v
x
u








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
v
y
v
x
v
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
u
y
u
x
u
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
z
y
x



Nota1: Si el flujo es incompresible, entonces la ecuación de continuidad se reduce a 
y la de energía pierde el término de presión. Si el flujo es isotérmico, todas las derivadas de la 
temperatura desaparecen. En la ecuación de energía quedaría sólo el término con derivadas 
segundas de la velocidad igualado a cero. En gral. esta ecuación no se considera o el cálculo térmico 
queda desacoplado. 
O también:
∇ ⋅ 𝑉 = 0
∇ ⋅ 𝑉 = 0
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇𝑝 + ρ𝑔 + 𝜇 ∇2𝑉
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −
1
ρ
∇𝑝 + 𝑔 + 𝜈 ∇2𝑉
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
ECUACIONES 
DE NAVIER 
STOKES (Flujo 
Incompresible)
0=


+


+


z
w
y
v
x
u








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
v
y
v
x
v
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
u
y
u
x
u
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
z
y
x



Nota2: En general, cuando se indica que el flujo de un fluido newtoniano es incompresible (así, a 
secas, sin más detalle) suele darse por entendido que nos estamos refiriendo a este caso, en el cual 
el problema térmico no se considera o está desacoplado y las propiedades del fluido pueden 
considerarse constantes. Es lo que ocurre, por ejemplo, en muchos casos de ingeniería hidráulica o 
en problemas de transporte de agua en conductos. ¡Normalmente la bibliografía se refiere a estas 
ecuaciones como las ecuaciones de Navier-Stokes para Flujo incompresible! Sin embargo es bueno 
que el lector recuerde los detalles mencionados anteriormente.
O también:
∇ ⋅ 𝑉 = 0
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇𝑝 + ρ𝑔 + 𝜇 ∇2𝑉
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −
1
ρ
∇𝑝 + 𝑔 + 𝜈 ∇2𝑉
Si se tiene un flujo viscoso con Reynolds muy bajo, entonces en la mayoría de los casos
reales el flujo será incompresible, con propiedades constantes y la ecuación de la energía
no se considera.
Si se considerara que la temperatura puede influir en la viscosidad, y la misma no es
constante, sería el caso de acoplamiento en una dirección (o acoplamiento débil). La
temperatura afecta al flujo, a través de la viscosidad, pero la temperatura se determina
en forma independiente.
Si el Nro de Reynolds es muy bajo, las fuerzas de inercia son muy pequeñas comparadas con 
las fuerzas viscosas y los términos convectivos son despreciables.
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
0=


+


+


z
w
y
v
x
u








+


+


++


−=










+


+


++


−=










+


+


++


−=


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
ρg
z
p
t
w
ρ
z
v
y
v
x
v
ρg
y
p
t
v
ρ
z
u
y
u
x
u
ρg
x
p
t
u
ρ
z
y
x



Esto se conoce como FLUJO REPTANTE, o FLUJO de STOKES. 
O también:
𝑉 ⋅ ∇ 𝑉 = 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 0
∇ ⋅ 𝑉 = 0
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇𝑝 + ρ𝑔 + 𝜇 ∇2𝑉
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −
1
ρ
∇𝑝 + 𝑔 + 𝜈 ∇2𝑉
En teoría de lubricación se considera un flujo incompresible viscoso de un fluido 
newtoniano a Reynolds muy bajos, asumiendo además que el flujo es permanente y que las 
fuerzas másicas son despreciables. Resulta:
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
0=


+


+


z
w
y
v
x
u








+


+


+


−=








+


+


+


−=








+


+


+


−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
z
w
y
w
x
w
z
p
z
v
y
v
x
v
y
p
z
u
y
u
x
u
x
p



∇ 𝑝 = 𝜇 ∇2𝑉
Es un flujo de FLUJO de STOKES que es permanente y donde no hay fuerzas másicas.
Generalmente la teoría de lubricación aplica a casos en los que la viscosidad es muy alta y el fluido
está contenido entre dos superficies próximas.
O también:
1
ρ
∇𝑝 = 𝜈 ∇2𝑉
54
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Recordando, las ecuaciones diferenciales de movimiento son: 
▪Estas ecuaciones componen un sistema de
ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales.
▪Las ecuaciones así planteadas no pueden
desacoplarse.
▪El sistema puede complementarse con la
ecuación de estado.
▪Se aplican a cualquier fluido en cualquier
régimen de flujo, pero son indeterminadas
porque la cantidad de incógnitas es mayor
que la de ecuaciones (cinco+ ec de estado)








+


+


++


−=








+


+


++


−=








+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 +𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧
Nota1: Integrando las ecuaciones de Euler a lo largo de una línea de corriente resulta la ecuación 
de Bernoullí. 
Nota2: Si el flujo fuera incompresible, entonces la ecuación de continuidad se reduce a 
Y la de energía pierde el término de presión. Las energías potencial y cinética suelen despreciarse.








+


+


−















+









+









=
z
w
y
v
x
u
p
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xDt
De
 
z
y
x
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
+


−=
+


−=
+


−=
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

Si los efectos viscosos son despreciables, entonces las tensiones viscosas son nulas: 
Continuidad:
Cantidad de 
movimiento
Energía:
ECUACIONES 
DE EULER
ρ
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −∇ 𝑝 + ρ𝑔
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = 0
∇ ⋅ 𝑉 = 0
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= ∇ ⋅ 𝑘∇𝑇 − 𝑝∇ ⋅ 𝑉
57
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Recordando, las ecuaciones diferenciales de movimiento son: 
▪Estas ecuaciones componen un sistema de
ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales.
▪Las ecuaciones así planteadas no pueden
desacoplarse.
▪El sistema puede complementarse con la
ecuación de estado.
▪Se aplican a cualquier fluido en cualquier
régimen de flujo, pero son indeterminadas
porque la cantidad de incógnitas es mayor
que la de ecuaciones (cinco+ ec de estado)
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 +𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧








+


+


++


−=








+


+


++


−=







+


+


++


−=
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
Dt
Dw
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
Dt
Dv
ρ
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
Dt
Du
ρ
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

En el caso estático, las velocidades son nulas, las tasas de deformación son nulas y las 
tensiones viscosas son nulas. Las ecuaciones se reducen a:
▪La primera nos muestra que la densidad no
cambia con el tiempo, lo cual ya era una
obviedad.
▪Las ecuaciones que involucran la presión y
las fuerzas másicas se pueden resolver
independientemente. El problema mecáni-
co (presiones) es independiente del proble-
ma térmico.
▪El problema térmico se reduce a un asunto
de conducción del calor (como si fuera un
sólido). En la ecuación de energía,
obviamente, los términos convectivos de-
saparecen. La energía cinética es nula. La
presión se considera constante y por lo
tanto sólo puede haber cambios de energía
interna. Pueden considerarse cambios en la
energía interna del sistema con el tiempo.
▪Estas ecuaciones se aplican a cualquier
fluido
z
y
x
ρg
z
p
ρg
y
p
ρg
x
p
+


−=
+


−=
+


−=
0
0
0
0=


t









+


+


−=


z
q
y
q
x
q
t
zyx 
u

Finalmente, en estática de fluidos el problema térmico está completamente desacoplado
del análisis de presiones. Si hay un problema de transferencia de calor que sea
importante, el mismo se trata por separado y la ecuación de energía no interviene en el
análisis de estática de fluidos. La ecuación de continuidad resulta irrelevante. Queda:
… como única expresión vectorial. Muchas veces suele trabajarse suponiendo que las 
fuerzas másicas son debidas al campo gravitatorio que actúa en la dirección del eje “z”, 
con lo cual se tiene: 
==


=


=


zρg
z
p
y
p
x
p
 ;0;0
∇ 𝑝 = ρ𝑔
61
• TENSIÓN.
• RELACIONES CONSTITUTIVAS.
• ECUACIONES DE GOBIERNO.
• FLUJO VISCOSO DE UN FLUIDO NEWTONIANO.
• FLUJO NO VISCOSO.
• ESTATICA DE FLUIDOS.
• CONDICIONES DE CONTORNO Y SOLUCIÓN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
Ver en la versión en español impresa en México en 1988 del libro Mecánica de Fluidos de 
F. White de pgs 249 a 252 inclusive, o en las páginas 234 a 238 de la versión en Inglés que 
corresponde a la cuarta edición del mismo libro.
No deben considerarse las ecuaciones dadas aquí como una receta de cocina para cada
caso.
La decisión de qué conjunto de ecuaciones utilizar para un determinado caso depende
del criterio del analista, que deberá determinar cuáles son las ecuaciones apropiadas
para el caso en estudio. Deberán considerarse con cuidado las variables involucradas en
el problema y ver cómo se relacionan entre si para poder determinar la forma del sistema
de ecuaciones que mejor representa a la situación que se desea estudiar.
Para resolver todos los sistemas de ecuaciones vistos aquí, y en general para resolver
cualquier sistema de ecuaciones diferenciales, será necesario definir:
A. Dominio de estudio: (El volumen de control donde estaremos analizando al flujo
con contornos de entrada, salida y otro tipo de contornos como paredes,
superficies libres y otros.)
B. Condiciones de contorno.
Para resolver analíticamente las
ecuaciones, una vez definidos el
dominio y las condiciones iniciales y
de contorno, se procede a simplificar
al sistema de ecuaciones
considerando las características del
caso particular que se busca resolver.
Se usan métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales.
A veces se transforma el sistema de
ecuaciones usando cambios de
variables o métodos de trans-
formación de ecuaciones.
66
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
67
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
Notación:
En este anexo se utilizan negritas no itálicas para identificar a los vectores y
tensores. Las letras en itálica sin negrita significan valores escalares como áreas,
componentes de vectores y otros.
Los ejes x, y y z se representan como x1, x2 y x3. Los versores fundamentales son e1,
e2 y e3 en lugar de i, j y k.
Fuente:
Todo lo que se encuentra en este anexo fue extraído de wikipedia (Cauchy stress
tensor) revisado y traducido al español.
Vector tensión:
Se comienza considerando una masa de un material (fluido o sólido) para la cual se
establece un corte imaginario para poner en
Evidencia las fuerzas que una parte le efectúa
a la otra y viceversa.
0lim
*
0*
=


→ S
i
S
M
Características del vector tensión:
Depende de la sección de corte. Hay infinitos vectores tensión en un punto.
Cada vector tensión está asociado con el plano de corte correspondiente
No es, en general, perpendicular a la superficie.
Dimensiones de F / L2.
Se puede descomponer en una componente 
perpendicular al plano y otra componente 
tangencial al mismo. 
… y, como la partícula tiene que estar en equilibrio, 
Se pueden considerar los tres vectores tensión correspondientes a los planos 
coordenados: 
… en donde el lado derecho representa la masa contenida en el tetraedro por su 
aceleración. 
… e introduciéndolas en la expresión anterior:
Luego, expresando a las áreas elementales sobre los planos coordenados en 
función del área del triángulo en el plano oblicuo. 
Pero en el caso límite cuando el tetraedro tiende a un punto, h tiende a cero:
… e introduciéndolas en la expresión anterior, resulta:
Luego cada uno de los vectores T(ei) puede descomponerse en una tensión normal 
al plano coordenado y dos tensiones tangenciales en las direcciones de los ejes que 
lo forman. 
Matricialmente:
Pero los esfuerzos totales en la partícula de fluido pueden deberse a efectos
viscosos o de presión, por lo tanto para un fluido cualquiera debemos considerar
(se usan las dos rayas para identificar tensores de 2do orden)
… en donde las componentes del tensor de tensiones de Cauchy son:
 













+










−
−
−
=













=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
p
p
p
00
00
00
Presiones 
hidrostáticas
yzyz
xzxz
xyxy
zzzz
yyyy
xxxx
p
p
p






=
=
=
+−=
+−=
+−=
Las tensiones de Cauchy resultan:
Un incremento de presión tiende a 
producir una disminución de volumen
 +−= Ip
xzzxyzzyyxxy  === ; ; 
Matriz de 
componentes 
del tensor.
Tensiones 
viscosas (comp.); 
veremos que:
Tensor de 
Cauchy
 =ij
74
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
Partiendo de la ecuación de energía para un volumen control finito fijo e indeformable:
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 = න
𝑉𝐶
𝜕 𝑒 𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
න
𝑉𝐶
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
𝑑𝜐 + න
𝑉𝐶
∇ ⋅ 𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 𝑑 𝜐 = ሶ𝑄 − ሶ𝑊
Teniendo en cuenta la fórmula de Gauss-Ostrogradski podemos escribir:
න
𝑉
∇ ⋅ 𝐹 𝑑𝑉 = න
𝑆
𝐹 ⋅ ො𝑛 𝑑𝐴
Adoptando 𝐹 = 𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌𝑉
Tomando el volumen elemental, en el límite cuando el volumen tiende a cero, la integral 
desaparece y el calor y trabajo por unidad de tiempo son elementales:
න
𝑉𝐶
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 𝑑 𝜐 = ሶ𝑄 − ሶ𝑊
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 𝑑𝜐 = 𝛿 ሶ𝑄 − 𝛿 ሶ𝑊
Distribuyendo: 𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝑒𝜌 𝑉 + ∇ ⋅ 𝑝𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝛿 ሶ𝑄 − 𝛿 ሶ𝑊
Si se expanden las derivadas de los productos en los dos primeros términos del primer 
miembro, teniendo en cuenta la ecuaciónde continuidad, se obtiene:
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
+ ∇ ⋅ 𝑝𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝛿 ሶ𝑄 − 𝛿 ሶ𝑊
Considerando que no existe trabajo
en el eje en un volumen elemental
(no hay partes móviles) y si no se
tiene en cuenta al trabajo de las
fuerzas másicas, el único trabajo
restante es el producido por las
fuerzas viscosas. Calculando la
potencia neta que es entregada al
elemento en la figura por los
esfuerzos viscosos que lo solicitan:
Luego, podemos escribir:
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝛿 ሶ𝑄 + −∇ ⋅ 𝑝𝑉 + ∇ ⋅ 𝑉 ⋅ Ӗ𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
…resulta: 
𝛿 ሶ𝑊 = − ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑤𝜏𝑦𝑧 +
+ ቃ
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 +𝑤𝜏𝑧𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −∇ ⋅ 𝑉 ⋅ Ӗ𝜏 𝑑𝜐
…y recordando cómo se había obtenido el término p/ρ en la ecuación integral de la energía , 
se observa que el término conteniendo la presión representa un trabajo efectuado por las 
fuerzas de presión. 
El trabajo entregado al VC infinitesimal es menor que cero 
por lo cual todos los términos de la figura anterior entran 
en la ecuación con signo negativo. 
Por último, recordando que es la tasa o rapidez de transferencia de calor, y que Q 
𝑞 = 𝑞𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑞𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑞𝑧 ෠𝑘 ; 𝑞𝑥 =
ห𝛿 ሶ𝑄
𝑦𝑧
𝑑𝑦𝑑𝑧
; 𝑞𝑦 =
ห𝛿 ሶ𝑄
𝑥𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑧
; 𝑞𝑧 =
ห𝛿 ሶ𝑄
𝑦𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
… es el vector flujo de calor, entonces se puede calcular la velocidad de transferencia de 
calor neta en el elemento al igual que se hizo con las fuerzas (obsérvese que y en 
energía hacen las veces de y en cantidad de movimiento):
Q 
F 
q 
 
𝛿 ሶ𝑄 = −∇ ⋅ 𝑞 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Entrante (positivo). 
Saliente (negativo). 
Entonces
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −∇ ⋅ 𝑞 − ∇ ⋅ 𝑝𝑉 + ∇ ⋅ 𝑉 ⋅ Ӗ𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= −∇ ⋅ 𝑞 − ∇ ⋅ 𝑝𝑉 + ∇ ⋅ 𝑉 ⋅ Ӗ𝜏
… es la ecuación diferencial de la Energía. Expandiendo las componentes: 
𝜌
𝐷𝑒
𝐷𝑡
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧
80
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
La derivada substancial, según se vio, se expresa de la siguiente forma:
… o también: 
En todas las ecuaciones la derivada substancial viene precedida por la densidad, 
es decir:
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕
𝜕𝑧
Ahora vamos a expresar este producto de la densidad por la derivada substancial 
de una forma conservativa, utilizando la ecuación de continuidad. Vamos a 
demostrar que:
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇
𝜌
𝐷
𝐷𝑡
= 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑉 ⋅ ∇
𝜌
𝐷
𝐷𝑡
= 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑉 ⋅ ∇ =
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉
(1)
Partimos desarrollando la siguiente derivada parcial por la regla de la derivada del 
producto:
Despejamos el primer término del segundo miembro: 
Ahora desarrollamos la siguiente expresión, aplicando la regla de la derivada del 
producto:
Despejamos el segundo término del segundo miembro: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
∇ ⋅ 𝜌 𝑉 = ∇ ⋅ 𝜌𝑉 + 𝜌𝑉 ⋅ ∇
𝜌
𝜕
𝜕𝑡
=
𝜕𝜌
𝜕𝑡
−
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝜌𝑉 ⋅ ∇ = ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 − ∇ ⋅ 𝜌𝑉
(A)
(B)
Reemplazando (A) y (B) en (1), tenemos:
Lo que está entre corchetes en el último término del segundo miembro, es cero, 
por ecuación de continuidad. Por lo tanto: 
Esta forma de expresar al producto de la densidad por la derivada substancial de 
una variable puede utilizarse en las ecuaciones de gobierno y de esta forma 
obtener las “ecuaciones de gobierno expresadas en forma conservativa”, como 
puede verse en el siguiente cuadro:
𝜌
𝐷
𝐷𝑡
= 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑉 ⋅ ∇ =
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 −
𝜕𝜌
𝜕𝑡
− ∇ ⋅ 𝜌𝑉
𝜌
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉
Entonces, resumiendo, las ecuaciones diferenciales de gobierno en forma conservativa 
son: 
▪Estas ecuaciones componen un sistema
de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales.
▪Las ecuaciones así planteadas no pueden
desacoplarse.
▪El sistema puede complementarse con la
ecuación de estado.
▪Se aplican a cualquier fluido en cualquier
régimen de flujo, pero son
indeterminadas porque la cantidad de
incógnitas es mayor que la de ecuaciones
(cinco+ ec de estado)
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌𝑒𝑉 = − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 +𝑤𝜏𝑧𝑧
𝜕ρ𝑢
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ ρ𝑢𝑉 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ ρ𝑔𝑥 + ൩൥
𝜕τ𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑧𝑥
𝜕𝑧
𝜕ρ𝑣
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ ρ𝑣𝑉 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ ρ𝑔𝑦 + ൩൥
𝜕τ𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝜕ρ𝑤
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ ρ𝑤𝑉 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ ρ𝑔𝑧 + ൩൥
𝜕τ𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑧𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌𝑉 = 0
85
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
Ahora se define la notación indicial: en lugar de usarse una terna de ejes x,y,z con
versores y usaremos la terna x1, x2, x3 con versores y
1x
2x
3x
3e

2e

1e

Algunas consideraciones importantes sobre esta
notación:
Convenio de Einstein. Cada vez se indique una
sumatoria con índices repetidos el símbolo de
sumatoria se suprime para abreviar la notación. Por
ejemplo, sabemos que un vector cualquiera se
expresa, en coordenadas cartesianas, de la siguiente
manera ….
Lo cual, es obvio, también puede expresarse….
332211 evevevV

++=
V

=
=
3
1i
iievV

En estos casos, directamente se suprime el símbolo de suma porque se
sobreentiende que existe una suma en i al tener dicho subíndice repetido.
3e

1e

2e

i

j

k

Resulta entonces
Debe observarse que, si los índices no se repiten, eso implica que no hay una
suma!!
Por ejemplo, la expresión… con:
denota a las nueve derivadas….
En cambio, la expresión…
denota la suma… que es la divergencia de
iievV

=
j
i
x
u


3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1 ;;;;;;;;
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u


















3,2,1=i 3,2,1=j
i
i
x
u


3
3
2
2
1
1
x
u
x
u
x
u


+


+


iieuU

=
j
j
x
u
U


=
Si se tiene el vector también puede indicarse como: ;
Es importante notar que los índices pueden ser cualesquiera, sin que cambie el
sentido de la expresión. Por ejemplo:
con es lo mismo que siempre y cuando
iievV

=
j
i
x
u





=
=
3,2,1
3,2,1
j
i
iieuU

=
i
k
x
u


3,2,1=h



=
=
3,2,1
3,2,1
k
i
hhevV

=
Cuando se utilizan diferentes entidades debe tenerse cuidado en el manejo de
los índices para no cambiar el sentido de la expresión. Por ejemplo, supongamos
tener dos vectores
jjevV

=
… si se combinan en otra expresión debe tenerse cuidado. Por ejemplo el
producto escalar de ambos vectores sería… pero si se usan
subíndices diferentes el sentido es otro!!
jivuVU 
iivuVU =
El siguiente es un extracto de Wikipedia donde se define el convenio de suma de Einstein y
se mencionan las reglas más relevantes para su uso. Es importante notar la definición de
índices mudos e índices libres:
https://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_suma_de_Einstein
https://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_suma_de_Einstein
El siguiente es un extracto de Wikipedia donde se define el convenio de suma de Einstein y
se mencionan las reglas más relevantes para su uso. Es importante notar la definición de
índices mudos e índices libres:
El siguiente es un extracto de Wikipedia donde se define el convenio de suma de Einstein y
se mencionan las reglasmás relevantes para su uso. Es importante notar la definición de
índices mudos e índices libres:
A continuación se indican algunas expresiones para familiarizarse con el uso de esta
notación:
Siendo …
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝐷𝜙
𝐷𝑡
=
𝜕𝜙
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑖
𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑖
…es la derivada sustancial de φ, siendo φ un campo escalar.
…son las tres componentes de la derivada sustancial de ,
siendo un campo vectorial. (Su derivada es un vector)
Nótese que j es subíndice libre e i funciona como subíndice
mudo. La suma es en i. Esto significa que existen tres
expresiones diferentes para cada valor de j.
V
V
3,2,1=i 3,2,1=j
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑗
…es la derivada sustancial de , ahora j es un índice mudo
también, ya que la suma en ambos términos se produce con el
versor que es factor común y que tiene índice j.
V
A continuación se indican algunas expresiones para familiarizarse con el uso de esta
notación:
Siendo …
∇= Ǎ𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
…es el operador Nabla. Se sobreentiende que Nabla es un
operador vectorial. El versor va por delante de la derivada. En
caso de aplicarlo a un escalar no tiene impacto. En caso de
aplicarlo a un vector si resulta importante.
…es el gradiente de p.
3,2,1=i 3,2,1=j
…es la divergencia del tensor de segundo orden .Ӗ𝜏 = 𝜏𝑖𝑗 Ǎ𝑒𝑖 Ǎ𝑒𝑗
∇ ⋅ Ӗ𝜏 = Ǎ𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
⋅ 𝜏ℎ𝑗 Ǎ𝑒ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏ℎ𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑖 ⋅ Ǎ𝑒ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏ℎ𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝛿𝑖ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑗
∇𝑝 =
𝜕𝑝
𝜕𝑥ℎ
Ǎ𝑒ℎ
3,2,1=h
En la expresión anterior hay operaciones y reglas que se pusieron en práctica que no
deben pasarse por alto. Las examinamos en detalle….
1) Debe notarse que no se repitió ningún índice más de dos veces. Por ejemplo si
hubiéramos escrito…
… esa expresión carece de sentido, porque no se puede entender cómo armar las sumas. Si
se trata de expandir, no se sabría como.
2) La operación de producto escalar se realiza directamente entre los dos versores
fundamentales más próximos dicha operación, en este caso y . Es decir…
4) El producto escalar funciona como una contracción de índices. Se remplaza di-
rectamente por la delta de Kroneker con los mismos índices y luego la delta de Kroneker
por otra magnitud que tenga uno de esos índices contrae un índice.
ie

∇ ⋅ Ӗ𝜏 = Ǎ𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
⋅ 𝜏𝑖𝑗 Ǎ𝑒𝑖 Ǎ𝑒𝑗 =?
he

Ǎ𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
⋅ 𝜏ℎ𝑗 Ǎ𝑒ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏ℎ𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑖 ⋅ Ǎ𝑒ℎ Ǎ𝑒𝑗
𝜕𝜏ℎ𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑖 ⋅ Ǎ𝑒ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏ℎ𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝛿𝑖ℎ Ǎ𝑒𝑗 =
𝜕𝜏𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑗
Resulta….
Todas las expresiones anteriores se pueden entender cuando se expanden. La
forma de aprender y entender esta notación es tomar algunas expresiones y
expandirlas para ver a qué se llega. Luego de realizar esta operación varias veces
se comprende la notación y se lee de forma natural. Por ejemplo, una simple…
Expandir
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑗
3
3
3
3
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
3
1
3
2
1
2
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
 
 
 
e
x
v
v
x
v
v
x
v
v
t
v
e
x
v
v
x
v
v
x
v
v
t
v
e
x
v
v
x
v
v
x
v
v
t
v
e
x
v
v
x
v
v
x
v
v
t
v
e
x
v
v
t
v
Dt
VD
j
jjjj
j
i
j
i
j











+


+


+


+







+


+


+


+







+


+


+


=
=







+


+


+


=
=







+


=
Se expande en i.
Se expande en j.
Si se pasa a la notación ya conocida eso es….
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
Ǎ𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
Ǎ𝑗 +
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
෰𝑘
Ahora se verá, como ejemplo, cómo se expresan las ecuaciones de gobierno, en su
forma conservativa, usando las diferentes notaciones que se conocen.
Hasta ahora se han desarrollado las ecuaciones principalmente en forma
expandida con la notación convencional. Esto se debe a que las notaciones
compactas suelen requerir cierta práctica previa para su utilización. Aquí haremos
un repaso de las diferentes formas de expresar las ecuaciones e introduciremos la
notación indicial.
Entonces, como se vio en el anexo anterior, las ecuaciones diferenciales de gobierno en 
forma conservativa y expandidas en componentes cartesianas son: 
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑒𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑒𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑒𝑤
𝜕𝑧
= − ቈ
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
− ቈ
𝜕𝑝𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝𝑣
𝜕𝑦
+ ቉
𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑧
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑤𝜏𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑢𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 +𝑤𝜏𝑦𝑧 + ቉
𝜕
𝜕𝑧
𝑢𝜏𝑧𝑥 + 𝑣𝜏𝑧𝑦 + 𝑤𝜏𝑧𝑧








+


+


++


−=


+


+


+










+


+


++


−=


+


+


+










+


+


++


−=


+


+


+


z
τ
y
τ
x
τ
ρg
z
p
z
ρww
y
ρwv
x
ρwu
t
ρw
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
y
p
z
ρvw
y
ρvv
x
ρvu
t
ρv
z
τ
y
τ
x
τ
ρg
x
p
z
ρuw
y
ρuv
x
ρuu
t
ρu
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑒𝑣1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝜌𝑒𝑣2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝜌𝑒𝑣3
𝜕𝑥3
= −ቈ
𝜕𝑞1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑞2
𝜕𝑥2
+ ቉
𝜕𝑞3
𝜕𝑥3
− ቈ
𝜕𝑝𝑣1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑝𝑣2
𝜕𝑥2
+ ቉
𝜕𝑝𝑣3
𝜕𝑥3
+
ቈ
𝜕
𝜕𝑥1
𝑣1𝜏11 + 𝑣2𝜏12 + 𝑣3𝜏13 +
𝜕
𝜕𝑥2
𝑣1𝜏21 + 𝑣2𝜏22 + 𝑣3𝜏23 + ቉
𝜕
𝜕𝑥3
𝑣1𝜏31 + 𝑣2𝜏32 + 𝑣3𝜏33








+


+


++


−=


+


+


+










+


+


++


−=


+


+


+










+


+


++


−=


+


+


+


3
33
2
23
1
13
3
33
33
2
23
1
133
3
32
2
22
1
12
2
23
32
2
22
1
122
3
31
2
21
1
11
1
13
31
2
21
1
111
x
τ
x
τ
x
τ
ρg
x
p
x
vρv
x
vρv
x
vρv
t
ρv
x
τ
x
τ
x
τ
ρg
x
p
x
vρv
x
vρv
x
vρv
t
ρv
x
τ
x
τ
x
τ
ρg
x
p
x
vρv
x
vρv
x
vρv
t
ρv
0
3
3
2
2
1
1 =


+


+


+


x
v
x
v
x
v
t

1x
2x
3x
3e

2e

1e

332211 evevevV

++=
Ahora se expresan con la notación indicial expandida: en lugar de usarse una terna
de ejes x,y,z con versores y usaremos la terna x1, x2, x3 con versores y 3e

1e

2e

i

j

k

𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑒𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑖
= −
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑥𝑖
−
𝜕𝑝𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑣𝑗𝜏𝑖𝑗
i
ij
j
ji
ijj
x
τ
ρg
x
p
x
vρv
t
ρv


++


−=


+


0=


+


i
i
x
v
t

1x
2x
3x
3e

2e

1e

iievV

=
Ahora expresamos las anteriores en forma compacta:
3,2,1=i 3,2,1=j
… es una ecuación escalar.
… es una ecuación vectorial, que equivale a tres ecuaciones, una para
cada valor de . ¡Éste es un índice libre!3,2,1=j
… es una ecuación escalar. Aquí ambos índices son índices mudos.
iievV

=
Ahora expresamos las relaciones constitutivas para un fluido newtoniano en forma
compacta: 3,2,1=i 3,2,1=j
Si el fluido es isótropo, directamente...
ij
k
k
i
j
j
i
ij
x
v
x
v
x
v








 +








+=
TRp  =
pv cc=
iiii xgvvue ++=
2
1
𝑞𝑖 = −𝑘𝑖𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑥𝑗
𝑞𝑖 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥𝑖
Tcu v =
Es la ecuación de estado de los gases ideales.
Es la energía interna específica de un gas.
Es la relación de calores específicos de un gas. Para
el aire
Es la energía total específica. La energía potencial espe-
cífica suele despreciarse.
4.1=

k
Es la viscosidad de un fluido newtoniano.
Es la conductividad
térmica (F Isótropo).
Componentes del tensor de conductividad térmica.
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌𝑒𝑉 = −∇ ⋅ 𝑞 − ∇ ⋅ 𝑝𝑉 − ∇ ⋅ 𝑉 ⋅ Ӗ𝜏
𝜕𝜌𝑉
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 = −∇𝑝 + ρ𝑔 + ∇ ⋅ Ӗ𝜏
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌𝑉 = 0
1x
2x
3x
3e

2e

1e

iievV

=
Ahora expresamos las anteriores en forma compacta con notación vectorial:
3,2,1=i
… es una ecuación escalar.
… es una ecuación vectorial, que equivale a tres ecuaciones
escalares.
… es una ecuación escalar.𝜌
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ⋅ 𝜌 𝑉
Recordando que si se quieren las ecuaciones en su forma no
conservativa siempre se puede usar la expresión….
iievV

=
Ahora expresamos las relaciones constitutivas para un fluido newtoniano en forma
compacta: 3,2,1=i 3,2,1=j
Si el fluido es isótropo, directamente...
ധ𝜎 = 2𝜇 Ӗ𝑆 + 𝜆 ∇ ⋅ 𝑉 Ӗ𝐼
TRp  =
pv cc=
xgVVue ++=
2
1
𝑞 = −ധ𝑘 ⋅ ∇𝑇 𝑞 = −𝑘 ∇𝑇
Tcu v =
Es la ecuación de estado de los gases ideales.
Es la energía interna específica de un gas perfecto.
Es la relación de calores específicos de un gas. Para
el aire
Es la energía total específica. La energía potencial espe-
cífica suele despreciarse.
4.1=
k
Es la conductividad
térmica (F Isótropo).
Tensor de conductividad térmica.
Ӗ𝑆 =
1
2
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
Ǎ𝑒𝑖 Ǎ𝑒𝑗 ; 𝑆𝑖𝑗 =
1
2
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
; Ӗ𝐼 = 𝛿𝑖𝑗 Ǎ𝑒𝑖 Ǎ𝑒𝑗Siendo:
104
ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO
• ANEXO 1: TENSOR DE TENSIÓN.
• ANEXO 2: ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ANEXO 3: FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES 
DE GOBIERNO.
• ANEXO 4: NOTACION INDICIAL.
• ANEXO 5: ECUACIÓN DE BERNOULLI.
Ecuación de Bernoulli:
Puede plantearse el principio de conservación de cantidad de movimiento para un
volumen de control elemental (tiende a un punto) orientado según la dirección de
una línea de corriente. Este planteo, despreciando las fuerzas viscosas, y luego de
algunos pasajes matemáticos, da lugar a una ecuación diferencial como la
siguiente:
Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli para flujo transitorio no viscoso (sin
fricción) a lo largo de una línea de corriente. Cuando se la integra entre dos puntos
de la línea de corriente asumiendo que el flujo es incompresible y permanente, se
obtiene la Ecuación de Bernoulli que ya conocíamos, pero aplicada sobre una línea
de corriente.
2
2
22
1
2
11
22
gz
Vp
gz
Vp
++=++

1 y 2 son dos puntos sobre la 
misma línea de corriente
La deducción completa de esta ecuación está en apuntes en el campus. 
Ecuación de Bernoulli:
Para obtener la ecuación de Bernoulli sobre una línea de corriente se partió del
principio de conservación de la cantidad de movimiento, pero luego
transformándola y haciendo las siguientes hipótesis para el flujo:
▪ Flujo a lo largo de una línea de corriente. 
▪ Flujo incompresible.
▪ Flujo no viscoso. 
▪ Flujo permanente. 
constante
2
2
=++ gz
Vp

Nota1: La constante cambia con la
línea de corriente. Pero si el flujo
además de no viscoso es irrotacional,
entonces la constante es la misma
para todas las líneas de corriente.
2
2
22
1
2
11
22
gz
Vp
gz
Vp
++=++

Nota 2: Si se adopta la hipótesis de
flujo uniforme en la sección trasversal
(flujo unidimensional) también pierde
sentido distinguir entre líneas de
corriente, ya que las variables se
consideran constantes en la sección
por lo cual todas las líneas de
corriente evolucionan de la misma
forma.
▪ Entonces la ecuación de Bernoulli puede entenderse como un balance de
energía mecánica:
constante
2
2
=++ gz
Vp

Bernoulli sobre una línea de
corriente:
Flujo permanente, incompresible, no
viscoso a lo largo de una línea de
corriente. La constante varía al variar
la línea de corriente. La constante no
depende de la línea de corriente sólo
si el flujo es irrotacional.
Constante
2
2
=++ gz
Vp

2
2
22
1
2
11
22
gz
Vp
gz
Vp
++=++

trabajopérdidasgz
Vp
gz
Vp
++++=++ 2
2
22
1
2
11
22 
Bernoulli generalizada:
Surge al aplicar la ecuación de
conservación de la energía a un tubo
de corriente con flujo, incompresible,
permanente y uniforme.
Bernoulli:
Surge al no considerar pérdidas
viscosas (flujo no viscoso), inter-
cambio de calor y trabajo en la
anterior. Es igual a la primera con la
exigencia adicional de que el flujo sea
irrotacional o se asuma que es
unidimensional.
Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía:
Esta Constante es la misma para
todas las líneas de corriente
Estas pérdidas están asociadas a
cambios de energía interna (Temp) y al
calor intercambiado.
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	Diapositiva 101
	Diapositiva 102
	Diapositiva 104
	Diapositiva 105: Ecuación de Bernoulli:
	Diapositiva 106: Ecuación de Bernoulli:
	Diapositiva 107: Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía: