Funciones Complejas, Límite y Continuidad - Teoría

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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Funciones Complejas 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 16 
 
 
 
 
 
 
 
2 FUNCIONES COMPLEJAS, 
 LÍMITE Y CONTINUIDAD 
 
 
 
 
 
 
1. FUNCIONES COMPLEJAS 
 
1.1. Definición 
 
Dados dos conjuntos A y B de números complejos, se dice que es una función compleja de 
variable compleja o función definida en A con rango o recorrido en B, si existe una ley que a cada 
número complejo z que pertenece a A le hace corresponder un único número complejo w 
perteneciente a B . 
 
El número w perteneciente a B que es el que le corresponde al número z de A mediante la 
ley , se llama imagen o transformado de z mediante ; es único para cada z y se representa 
como ( ). Es habitual decir que z es una preimagen de ( ). 
 
Cuando se desea definir una función compleja de variable compleja poniendo en evidencia todos los 
conceptos involucrados, se indica : 
 
 ( ) , donde 
 
 es la función que se define 
A es el conjunto de números complejos para el que está definida f o preimagende f 
B es el conjunto de llegada que incluye a los números complejos imagen o transformados de z 
cuando se aplica 
z es el símbolo para un elemento de A 
 es el símbolo para los elementos de B que constituye la imagen o transformado de z 
mediante f , 
f ( z ) es la descripción de la forma que se obtiene para cada z su correspondiente de B . 
 
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Por abuso de notación se suele definir a la función f directamente a través de la expresión 
 ( ) confundiendo la función con los valores ( ) que ella suministra para cada z. Cuando se 
utiliza tal notación se sobreentiende que el conjunto de partida está constituido por todos los 
elementos del plano complejo para los que la ley suministra una imagen ( ) y que el conjunto de 
llegada contiene a la imagen de f para tal conjunto de partida. 
 
En las funciones que estamos presentando tanto el conjunto de partida , A, como el de llegada , B , 
están formados por números complejos ; donde z, que toma sus valores en A , es la variable 
independiente y ( ) que toma sus valores en B es la variable dependiente. 
 
La siguiente nomenclatura es la usual si empleamos la representación cartesiana de un complejo: 
 
 ( ) ( )
 
 
Para ( ), resulta: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 
 
La función de variable compleja puede definirse mediante un par ordenado de funciones reales de las 
variables reales e siendo la primera componente del par ( ) ( ) y la segunda 
componente del par ( ) ( ) 
 
Por ejemplo es la función que a cada número complejo le hace 
corresponder su cuadrado, se obtiene: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 
 
 ( ) ( ) 
 
Se observa que para cada número complejo se obtiene un único resultado cuando le calculamos su 
cuadrado. También vemos que esta función se caracteriza por no ser una función uno a uno pues 
siempre existen dos valores distintos de z que tienen el mismo correspondiente . Por ejemplo 
para y para obtenemos como correspondiente 
 
1.2. Función multivaluada: 
 
En el análisis de variable compleja, las relaciones que surgen a partir de una ley o regla que asigna 
más de un valor a un punto z para el que está definida la relación , se llaman funciones 
multivaluadas, realizando una generalización del concepto de función. 
 
Cuando se estudian relaciones con estas características se toma sistemáticamente sólo uno de los 
valores asignados a cada punto z y se construye así una función monovaluada o función 
propiamente dicha a partir de esta relación o función multivaluada. A esta función monovaluada se la 
llama rama de la función multivaluada. 
 
Por ejemplo √ es una función multivaluada pues para cada 
número complejo z  (0, 0) existen dos resultados posibles si le calculamos su raíz cuadrada: 
 
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 √ [ (
 
 
) (
 
 
)] | | ( ) 
 
Es decir que se obtienen dos valores de w en C que tienen módulo √| | , y sus argumentos 
difieren en  . Esto me permite definir dos funciones monovaluadas u obtener dos ramas de la 
función multivaluada, una para k = 0 y otra para k = 1: 
 
 √ [ (
 
 
) (
 
 
)] para 
 
se llama rama principal y tiene como imagen o transformado el semiplano superior 
 
 √ [ (
 
 
) (
 
 
)] para 
 
en este caso, la imagen o transformado el semiplano inferior 
 
 
1.3. Representación gráfica 
 
Las propiedades de una función a valores reales de una variable real, se muestran frecuentemente al 
representar gráficamente dicha función. Cuando la función es a valores complejos de una variable 
compleja resulta más difícil encontrar una representación gráfica adecuada. En este caso los valores 
de la variable independiente y dependiente se localizan en el plano. Necesitaríamos entonces un 
espacio de cuatro dimensiones para representar las funciones complejas pues necesitamos relacionar 
las partes real e imaginaria y de ( ) a las partes real e imaginaria e de z. 
Un método para exhibir tales relaciones geométricamente emplea dos planos para suplir las cuatro 
dimensiones. 
 
En este caso se recurre a dar ciertas curvas y/o regiones en el plano z e investigar su imagen en el 
plan mediante la transformación ( ) correspondiente a la función en estudio o; 
inversamente, estudiar cuáles son las preimágenes del plano z que generan 
mediante determinadas curvas o regiones en el plano . 
 
Así, dada una función compleja es típico estudiar las imágenes de las familia que 
constituyen la red cartesiana del plano z, o las familias que forman la red 
polar del plano z. Del mismo modo se estudian las preimágenes de la red cartesiana del 
plano ; o de la red polar, . 
 
Ejemplo: 
 
Dada la función ( ) , obtener la imagen de las rectas: 
a) ( ) b) ( ) 
 
Para esta función resulta que 
 
 ( ) ( ) / ( ) ( ) , donde 
 
 
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 Resolvemos para una recta paralela al eje y: 
 ( ) , obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta es la ecuación de una parábola con el eje de abscisas u como eje de simetría y cóncava hacia 
los unegativos, con vértice en ( 
 ). 
 
La recta y su transformada se representan en sus correspondientes planos en la Figura 14. Ambas 
curvas se recorren en el mismo sentido (si resulta ; mientras que si 
 e resulta ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si ( ) , obtenemos, la parábola: 
 
 
 
 
 
 
En este caso la recta y su transformada se recorren en sentido contrario, por ejemplo, si recorremos 
la recta en sentido ascendente la parábola se recorre en el sentido descendente. En la figura 15 se 
representan la recta y su transformada. 
 
 Si es , obtenemos el transformado del eje y: 
 
 (o el semieje correspondiente a ). 
 
Esta semirrecta se recorre dos veces, una vez para los valores de y otra en sentido contrario 
para los valores de . 
Figura 14: x = a k (a k> 0) y su transformada si f ( z ) = z 
2 
 
 
 
x 
y 
 
ak 
u 
v 
plano z 
plano w 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
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Figura 15: x = a k (a k< 0) y su transformada si f ( z ) = z 
2
 
 
 
b) Resolvemos para una recta paralela al eje x: Si ( ) , obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que es la ecuación de una parábola con el eje de abscisas como eje de simetría, cóncava hacia 
los positivos y con vértice en ( 
 ) .La recta y su transformada se recorren en el mismo 
sentido (Figura 16).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16: y = b
 k
 (b 
k
> 0) y su transformada si f ( z ) = z 
2
 
 
 Si ( ) ,obtenemos, como en el caso anterior, la parábola: 
 
 
 
u 
x 
y 
 
 
plano z 
w - plano 
v 
x 
y 
 
ak 
v 
 
 
 
 u 
 ( ) 
plano z 
plano w 
 
 
 
 
 
 ( ) 
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de modo que la recta y su transformada se recorren en sentido contrario, por ejemplo, si recorremos 
la recta en el sentido de creciente los puntos correspondientes de la parábola se recorren en el 
sentido de los valores de decrecientes 
 
Si , obtenemos el transformado del eje : (o el semieje correspondiente a 
 ). Esta semirrecta se recorre dos veces, una vez para los valores de y otra en sentido 
contrario para los valores de . 
 
Observación: Dada la transformación ( ) , podemos decir que el semiplano superior del 
plano z, tiene como correspondientes todos los puntos del plano complejo, o se mapea o transforma 
en C ; lo mismo sucede con el semiplano inferior. Entonces si recorremos todo el plano z 
obtenemos dos mapeos del plano , es decir lo recorremos dos veces. Resulta entonces que la 
función no es uno a uno y en consecuencia, su inversa √ es una función multivaluada 
según ya hemos analizado anteriormente. 
 
Dada la transformación , analicemos la imagen de la red polar. 
 
Si resulta y las ecuaciones de la transformación son: 
 
 y . 
 
Para semirrecta que parte del origen con argumento , su imagen, 
 resulta 
una semirrecta a partir del origen cuyo argumento se ha duplicado pues (Figura 17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: La imagen de una semirrecta que parte del origen si w = z
2 
 
 
Para 
 
 una circunferencia con centro en el origen y radio , su imagen, 
 , 
es una circunferencia con centro en el origen y radio 
 
 que se recorre dos veces pues para 
0    2  resulta 0    4 .(Figura 18) 
 
1 
 2 = 1 +  
 1  2 
 1 = 2 1  2 = 2 2 = 2 1 + 2  
x 
y 
u 
v 
plano z plano w 
 ( ) 
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Figura 18: La imagen de una circunferencia con centro en el origen y radio r
k
 si w = z
2
 
 
 
2. Las funciones elementales 
 
Presentaremos a continuación una breve descripción de las funciones elementales de variable 
compleja. 
 
La función potencia entera es ( ) donde n es un entero positivo o cero. 
Esta función se define sucesivamente mediante la multiplicación repetida teniendo en cuenta que: 
 
 ( ) 
 
Un polinomio en z es una combinación lineal de un número finito de funciones potencia entera 
donde las constantes de la combinación son números complejos. 
 
 ( ) 
 
 
 , es un polinomio de grado n, 
 
Una función racional de z se define como el cociente de dos polinomios. 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La función exponencial se define: 
 
 ( ) ( ) 
 
La función definida se reduce a la función real si z toma valores reales. Esto se 
comprueba si reemplazamos en la expresión de . Como en el caso real, e 0 = 1. 
 
Las funciones trigonométricas se definen en términos de funciones exponenciales mediante las 
expresiones: 
 
 
 
 
, 
 
 
, 
rk rk
2
 x u 
v 
y 
 ( ) 
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 A partir de estas expresiones podemos obtenerlas de las otras funciones trigonométricas efectuando 
los reemplazos correspondientes en las expresiones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas definiciones tienen sentido por diversas razones, entre otras, por ejemplo las siguientes: 
 
 si z = x ( z es real) y reemplazamos en la expresión correspondiente al sen z se obtiene: 
 
 
 
 
( ) ( )
 
 
 
 
 
 
Lo mismo sucede si empleamos la fórmula correspondiente a cos z. 
 
 Se puede probar que sen2 z + cos2 z = 1 reemplazando por las dos expresiones dadas y 
efectuando las operaciones correspondientes. 
 
 Las identidades que satisfacen el seno y el coseno de una suma de reales son válidas para el caso 
complejo. 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Para comprobarlo basta usar las definiciones de y para z = z
1
 z
2
 
 
Para determinar las funciones reales que constituyen la parte real y la parte imaginaria de la función 
trigonométrica podemos reemplazar en la definición z por y trabajar algebraicamente con 
las funciones exponenciales o proceder del siguiente modo: 
 
 ( ) donde 
 
Así se obtieneSimilarmente podemos obtener 
 
 
Las funciones hiperbólicas se definen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si z es real estas definiciones se reducen a la de funciones hiperbólicas de argumento real 
 
También se verifica la identidad 
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El logaritmo de un complejo z no es una función propiamente dicha sino una correspondencia 
multívoca o función multivaluada que a cada z  (0, 0) asocia el conjunto de soluciones w de la 
ecuación e 
w 
= z 
 
Decimos 
 
Dada la expresión , si tenemos en cuenta que 
 
 y z tiene módulo | | y 
 
entonces ( ) y puede escribirse: 
 
Esta igualdad se verifica si y sólo si los dos complejos tienen el mismo módulo y el mismo argumento 
o argumentos que difieren en 2 . Entonces: 
 
 | | 
 
 
 
Resulta la expresión de la función infinitamente valuada que define al logaritmo en los complejos 
 
 | | ( ) donde k es un entero 
 
Para cada valor de k se obtiene una función monovaluada o rama de la función logaritmo. La rama 
principal se obtiene para k = 0, esto es cuando se usa el argumento principal de z. Este valor 
principal del logaritmo de z se denota con Log z y se define: 
 
 | | 
 
Por ejemplo, todos los valores del logaritmo natural del número complejo 1 + i resultan: 
 
 ( ) √ (
 
 
 ) ( √ 
 
 
 ) donde k es entero . 
 
Son infinitos números complejos sobre la recta √ separados 2 
 
El valor principal resulta: 
 √ 
 
 
 ( √ 
 
 
) 
 
 
3. LIMITE 
 
3.1. Definición 
 
Si es una función definida en todos los puntos de una cierta vecindad (entorno reducido) de , 
diremos que es el límite de cuando tiende a y simbolizamos 
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 ( ) 
 
siempre que, para los valores de la función en las proximidades de los valores de están 
próximos a . Esto significa que prefijado un entorno cualquiera de radio  con centro en se 
debe poder encontrar un entorno reducido de radio  con centro en de modo que todos los 
puntos en el entorno de radio  tengan la imagen contenida en el entorno de radio  . Esta situación 
se representa en la Figura 19. 
 
Como se observa es una función que puede no estar definida para . 
 
El concepto de límite se da en la expresión simbólica siguiente: 
 
 
 
 
 ( ) | | | ( ) | 
 
 
Se debe notar que el punto puede no tener su imagen en el entorno ( )y que los valores de 
la función para perteneciente al entorno reducido ( ) no constituyen necesariamente todos los 
puntos del entorno ( ). 
 
Se observa también que se puede aproximar a de una manera arbitraria, no sólo desde una 
dirección particular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura19: Representación de ( ) 
 
 
2.2.2. Teoremas 
 
Teorema 1: Si
 
 
 ( ) existe entonces ese límite es único. 
 
Teorema 2: Dados ( ) ( ) ( ) 
 z0 
 
u 
v 
x 
 
y 
z 
w = f (z) 
 
z 
w 
w0 
 
w 
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El 
 
 
 ( ) sii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Ejemplo : 
 
Obtener 
 
 
 y 
 
 
 , c una constante compleja 
 
Si empleamos el teorema 2, resulta: 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) 
( ) ( )
 
( ) ( )
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) 
( ) ( )
 
( ) ( )
 
 
Teorema 3: 
 
Si ( ) ( ) entonces 
 
i) lím [ f ( z ) + g ( z ) ] = w 
1
 + w 
 
 z z
0 
 
ii) lím f (z) g (z) = w 
1
 w 
2 
 z z
0 
 
iii) Si w 
2
 0 , lím [ f ( z ) / g ( z ) ] = w 
1
 / w 
2
 
z z
0
 
 
Este teorema se puede demostrar a partir de la definición de límite o se puede deducir casi 
inmediatamente de los teoremas de límite de funciones reales de dos variables reales si se aplica el 
teorema 2 enunciado. 
 
Si usamos el teorema 3, resultan, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se observa, empleamos la parte ii) del teorema 3 y el resultado obtenido en el ejemplo 
anterior, 
 
Del mismo modo ( 
 ) 
 por i), ii) del teorema 3 y los resultados delos ejemplos 
anteriores 
 
2.2.3. El Infinito: Proyección Estereográfica y Plano Ampliado 
 
En la teoría de las funciones de variables complejas desempeña un importante papel el infinito (), al 
que se considera número complejo impropio. 
 
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Como observó por primera vez Riemann, para la representación geométrica del conjunto ampliado de 
números complejos, el plano complejo más el infinito, es conveniente emplear la esfera. 
 
Consideremos una esfera S de radio unitario y un plano  que pase por su centro O tal como se 
representa en la Figura 20. Tomando en  un sistema de coordenadas rectangulares con origen en 
O, se pueden representar todos los números complejos, que llamaremos propios, en el plano  
(C). A cada uno de ellos ponemos en correspondencia un punto determinado de la esfera. 
 
Con este fin, trazamos por O un diámetro P P’ perpendicular al plano , y unimos uno de sus 
extremos P con un punto arbitrario A perteneciente a , mediante un segmento recto. Este 
segmento, o su continuación para puntos de  en el interior de la esfera, cortará a la esfera en cierto 
punto A‘ distinto de P. Al punto A, un número complejo, ponemos en correspondencia el punto A‘ 
de la esfera, estableciéndose de este modo una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano 
y los puntos de la esfera, a excepción del punto P. 
 
Este método que hace corresponder a los puntos del plano, los de la esfera, se denomina proyección 
estereográfica (de la esfera sobre el plano o del plano sobre la esfera). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20: La Esfera de Riemann. Proyección estereográfica 
 
Si empleamos la terminología geográfica; el ecuador de la esfera es la circunferencia obtenida en la 
intersección de la esfera S con el plano ; polo norte y polo sur, se llamarán respectivamente los 
puntos P y P. Entonces se observa que: 
 
• Los puntos del plano  situados dentro de la circunferencia unidad, la cual coincidecon el 
ecuador, se representan en la esfera por puntos del hemisferio sur (el cual contiene a P  ), 
 
 
y 
x 
 O 
 1 
 1 
P 
 A’ 
A 
 B 
B’ 
 C C’ 
P’  
 
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• Los puntos de  situados fuera de la circunferencia unidad se representan por puntos del 
hemisferio norte (el que contiene a P). 
 
• El ecuador de la esfera se corresponde con una circunferencia de radio unitario en el plano 
complejo. 
 
• El origen del sistema de coordenadas se corresponde con el polo sur P. 
 
• El polo norte de la esfera que no tiene su correspondiente en  representa el infinito o número 
complejo impropio. 
 
Como hemos visto mediante la proyección estereográfica se obtiene una aplicación biunívoca ó 
aplicación biyectiva y continua de la esfera, a excepción del polo norte, sobre todo el plano . La 
existencia en la esfera de un punto más, el polo norte, que representa al punto del infinito o punto 
impropio permite considerar a la esfera como un modelo del plano complejo ampliado que 
simbolizamos C* y que obtenemos agregando a C el punto impropio o punto del infinito: 
 
C * = C {  } 
 
Dado que un conjunto no acotado es aquel cuyos elementos no se pueden incluir en un círculo de 
radio finito con centro en el origen, podremos decir entonces que toda vecindad del punto del 
infinito contiene elementos de un conjunto no acotado y asegurar que el es un punto de 
acumulación del conjunto no acotado. 
 
Una vecindad de infinito se obtiene si para puntos del plano complejo lo suficientemente alejados del 
origen le corresponden puntos de la esfera próximos al polo norte. Una vecindad de infinito es, 
entonces, el conjunto de puntos z tales que existe > 0 de modo que para todo z / z > (1 / ) 
corresponden puntos de la esfera próximos al polo norte. 
 
El concepto introducido de punto al infinito permite generalizar el concepto de funciones de variables 
complejas; se puede hablar del valor de una función (finito o infinito) en el punto del infinito o del 
valor infinito de la función en un punto propio siempre que ampliemos los conjuntos dominio e 
imagen de la función a C*. 
 
Análogamente al modo en que se introdujeron las operaciones sobre los números complejos propios 
o puntos del plano complejo C, se pueden establecer también las operaciones para el conjunto 
ampliado de números complejos, C*/C* = C {}. Llegamos así a los siguientes resultados cuando se 
presenta el número complejo impropio y que tomaremos como postulados: 
 
 Para la suma:  z / z C : + z = z +  = . La expresión  +  carece de sentido. 
 
 Para la resta:  z / z C : - z = z -  = . La expresión  -  carece de sentido. 
 
 Para el producto:  z / z C - {(0,0)} : . z = z . = ,  .  =  
 
La expresión 0. carece de sentido. 
 
 Para la división:  z / z C - {(0,0)} : (z / 0) =  
 
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z / z C : ( / z) = ; (z / ) = 0 
 
 
Las expresiones: (/ ) y (0/0) carecen de sentido. 
 
Cuando decimos que la expresión carece de sentido significa que no podemos establecer cuál será el 
resultado. 
 
2.2.4. Límites infinitos 
 
La incorporación al plano complejo del punto al infinito me permite definir los siguientes límites 
infinitos: 
 
* Decimos que tiende a cuando z tiende a infinito (o pertenece a una vecindad de infinito) sii 
para todo entorno del límite existe una vecindad de infinito, tal que para todo z en una vecindad 
de infinito los valores de la función se encuentran en el entorno del límite. 
 
 
 
 
 ( ) | | (
 
 
) | ( ) | 
 
 
 
 * Decimos que, tiende a infinito (o pertenece a una vecindad de infinito), cuando z tiende z
0 
sii 
para toda vecindad de infinito, existe una vecindad del punto z
0 
 tal que para todo z en una 
vecindad de z
0
 los valores de la función se encuentran en la vecindad de infinito 
 
 
 
 
 ( ) | | | ( )| (
 
 
) 
 
 
 
* Decimos que tiende a infinito cuando z tiende a infinito (o pertenece a una vecindad de 
infinito si z pertenece a una vecindad de infinito) sii para toda vecindad de infinito, existe otra 
vecindad de infinito, tal que para todo z en una vecindad de infinito los valores de la función se 
encuentran en la vecindad de infinito. 
 
 
 
 
 ( ) | | (
 
 
) | ( )| (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3. CONTINUIDAD 
 
2.3.1. Definición 
 
Dada definida en un entorno de z
0
, es continua en un punto z
0
, si se satisfacen las condiciones 
siguientes: 
 
i) La función está definida en ( ( )) 
ii) Existe ( ) 
iii) ( ) ( ) 
 
También podemos definir la continuidad de en z
0
, a partir de una definición de límite: 
 
 es continua en | | | ( ) ( )| 
 
Es decir, es continua en z
0 
si para todo entorno de ( ), existe un entorno de z
0
, de modo que para 
todo z en un entorno de z
0
 los valores de se encuentran en el entorno de ( ). 
 
Los puntos donde no se cumplen las condiciones para la continuidad son llamados puntos de 
discontinuidad. 
 
Cuando existe ( )y ( ) ( ), diremos que z0 es una discontinuidad 
removible o evitable. 
 
En este caso podemos establecer ( ) si y estaremos definiendo a continua en z
0
. 
 
Una función de variable compleja es continua en una región del plano complejo si es continua en 
cada punto de la región. 
 
2.3.2. Teoremas 
 
Teorema 1: Una función ( ) ( ) ( )es continua en ( ) si y sólo si sus funciones 
componentes ( ) y ( ) son continuas en z
0
. 
 
Teorema 2: Si y son funciones continuas en , entonces ; y si ( ) son 
continuas en . 
 
Estas propiedades, pueden demostrarse empleando la definición de continuidad como un límite y los 
teoremas similares dados en límite. 
 
Teorema 3: Si es continua en y es continua en ( ), entonces, la función compuesta 
 ( ) ( ( )) es continua en . 
 
Estas propiedades pueden extenderse a una región del plano z: 
 
Una función ( ) ( ) ( ) es continua en una región del plano complejo si y sólo si sus 
funciones componentes ( ) y ( ) son continuas en esa región. 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Funciones Complejas 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 31 
Si y son funciones continuas en una región del plano z, entonces las funciones 
( )( ) ( )( ) (
 
 
)
( )
 ( ) de la región; son continuas en la región. 
 
La composición de las funciones , para todo z en una región del plano z y ,continua para todo 
 ( ) , es continua en esa región. 
 
 
Ejemplos 
 
. Sea ( ) ( ) ; resulta continua en C. En este caso sus funciones componentes 
 y , sonpolinomios en e , por lo tanto son continuos para todo ( ). 
 
. Sea ( ) ( ) es continua en Cpues y se obtienen por la composición de 
funciones continuas para todo ( ), los polinomios en e y las funciones exponencial y seno. 
 
. La función ( ) ̅ es continua para todo el plano z pues y son funciones 
continuas en el plano.