MCL-MATERIAL COMPLETO 2022

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MATEMATICA 
COMO 
LENGUAJE 
-2022- 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD 
NACIONAL DEL 
LITORAL 
 
FACULTAD DE 
CIENCIAS 
ECONÓMICAS 
 
 
 
Equipo Docente: 
Claudia Zanabria 
Marta Nardoni 
 Gabriela Roldán 
Cristina Rogiano 
 Verónica Valetti 
Agustina Huespe 
Hernan Roitbarg 
 Lujan Alvarez 
Belen Kerz 
 
 
 
“La matemática tienen un rol crecientemente 
significativo en la Economía. Ello se refleja, entre 
otras cosas, en que más del 80% de la literatura 
especializada viene expresada en lenguaje 
matemático” 
(Ernesto Sheriff en Economía y matemáticas: Una 
relación Intima”, 2013) 
 
“Al Principio, esperaba que la exposición podía 
efectuarse sin recurrir al lenguaje matemático. 
Me di cuenta rápidamente que tal procedimiento, 
si bien es posible, daría origen a un manuscrito 
mucho más voluminoso que el presente” 
(Paul Samuelso mencionado por Sergio Hauque y 
Nestor perticarari enen Introducción a la 
Economia, 2da ed. 2013) 
 
“…Se utilizan principalmente herramientas 
matemáticas que permiten mostrar con rapidez y 
precisión los distintos elementos de los modelos 
económicos y las relaciones propuestas entre los 
mismos…estas herramientas sirven para más 
sencilla la formulación de los modelos 
económicos” (Sergio Hauque y Nestor perticarari 
en Introducción a la Economia, 2da ed. 2013) 
 
 
 
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=Las+matem%C3%A1ticas+en+econom%C3%ADa&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.sheriffasoc.com%2Fpublicaciones%2Feconomina_matematicas.pdf&ei=Jml4UZKxF9G34AOepYAQ&usg=AFQjCNHZdsR7Wn5p9QDJQZp_q4NzSsQGwQ&bvm=bv.45645796,d.dmg&cad=rja
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=Las+matem%C3%A1ticas+en+econom%C3%ADa&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.sheriffasoc.com%2Fpublicaciones%2Feconomina_matematicas.pdf&ei=Jml4UZKxF9G34AOepYAQ&usg=AFQjCNHZdsR7Wn5p9QDJQZp_q4NzSsQGwQ&bvm=bv.45645796,d.dmg&cad=rja
 
 
EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA 
MODELAR Y ARGUMENTAR 
Autor: Mg. Claudia Zanabria 
2022 
MCL-FCE-UNL 
MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
1 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
La siguiente información, está expresada en un lenguaje que no es el que usas 
habitualmente, pero ¿puedes comprenderla? 
 
De todos los lenguajes que se han creado a lo largo de la historia, el 
matemático, con sus diferentes registros de representación verbal, numérico, 
gráfico o simbólico, es el que cuenta con los significados más precisos, simples 
y sin ambigüedades para comprender el mundo. Por esta razón las ciencias, y 
en general la información que circula día a día por distintos medios, “hablan” 
en lenguaje matemático para expresar ideas o teorías. 
 
 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
2 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
Introducción 
Comenzamos un trayecto formativo en el cual es esencial entendernos para poder 
comunicarnos Por tal motivo, la finalidad del presente material es presentar y 
significar conceptos que favorecerán tanto la comunicación como los procesos de 
aprendizaje y evaluación. 
En este sentido, consideramos fundamental que desde el inicio conozcas cuales 
son las competencias que se van a trabajar y valorar a lo largo de dicho 
trayecto: 
 Leer, escribir, interpretar las distintas representaciones 
semióticas del lenguaje matemático. 
 Interpretar y elaborar modelos matemáticos en contextos intra o 
extra matemáticos. 
 Producir argumentos que sustenten la toma de decisiones. 
 
Con la finalidad de significar los conceptos que nos permitirán comunicarnos y aprender, 
te proponemos actividades que combinan lectura y análisis de textos acompañados 
de ejemplos e interrogantes cuyas respuestas aportarán a la comprensión 
de los mismos. 
 
Actividad I. Acercamiento al significado de conceptos 
De cada uno de los enunciados anteriores, que describen las competencias 
que se van a trabajar durante el trayecto formativo, señala las palabras que 
desconozcas y con ellas elabora un diccionario. 
 
 
 
 
 
 
 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
3 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
Actividad II: Significado de los conceptos: 
LENGUAJE MATEMÁTICO 
MODELOS MATEMÁTICOS 
ARGUMENTACION 
Estos son los conceptos que definen el enfoque que le otorgamos al proceso de 
enseñan y aprendizaje de la matemática y por lo tanto se trabajarán a lo largo 
de todo el trayecto formativo. 
 
LENGUAJE. EL LENGUAJE MATEMÁTICO 
Distintas acciones de la vida cotidiana se realizan mediante la 
comunicación. Nos comunicamos para relacionarnos, informarnos, divertirnos, 
expresarnos, aprender. 
Al comunicarnos empleamos 
sistemas de signos, cuya 
característica común es significar. 
Un signo es una representación 
portadora de un significado. Un 
signo puede ser una palabra, un 
sonido, una imagen, una señal, un 
símbolo. 
 
El sistema de signos que permiten 
tanto la comunicación entre los 
sujetos como la comprensión 
(sentidos y significados) de la 
realidad o el desarrollo de una 
actividad específica, se denomina 
lenguaje. 
A través del lenguaje aprendemos a 
significar y a transmitir a otros los 
significados. 
 
 
 
 
 ¿Qué representa la imagen que acompaña al párrafo anterior? 
 
 
 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
4 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
Comprendemos un signo (palabra, expresión, etc) cuando inferimos lo que él 
significa. Para significarlo es fundamental comprender las dimensiones del 
lenguaje: Sintáctica, Semántica y Pragmática. 
La sintáctica responde a la pregunta: ¿Cómo se expresa? e indica la relación 
entre los signos del mismo sistema al margen de su significación. 
 No es lo mismo escribir: 
papa (sin acento) que papá (con acento) 
-52 que (-5)2 
“No, comprendo” que “No comprendo” 
8 (2+6) que 8.2 + 6 
Si! Si? Si 
4! 4% 4 
La semántica responde a la pregunta: ¿Qué significa la expresión en su 
propio contexto?, se ocupa de la relación entre los signos y sus significados. 
 Expresa el significado de: 
papa 
papá 
8.(2+6) 
8.2 +6 
4! 
4% 
4 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
5 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
La pragmática, responde a la pregunta: ¿Qué significa la expresión en 
un contexto de aplicación?, aborda la relación entre tales signos y los 
contextos de aplicación o circunstancias en que se usan tales signos. 
 La expresión: 8.(2+6) en el contexto relativo al cálculo de áreas de 
determinadas superficies indica el valor del área de la superficie correspondiente 
a un cuadrado cuyo lado mide 8 unidades. 
8.(2+6) = 8. 8 = 82 
 
 
 En un contexto de mercado en el que se compran 2 unidades de un 
determinado producto y 6 de otro producto y ambos tienen un precio unitario de 
8 unidades monetarias, la expresión: 8.(2+6) significa… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
6 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
La matemática como ciencia tiene su propio lenguaje que abarca un 
conjunto de signos que transmiten significados a través de distintos registros de 
representación semiótica: verbal (coloquial), numérico, simbólico y gráfico. 
 Un registro de representación semiótica en matemática. 
 
 
Las distintas representaciones semióticas del lenguaje matemático son 
fundamentales tanto para fines de comunicación como para el desarrollo de la 
actividad matemática. 
Un concepto admite diferentes formas de representación. La comprensión de 
un concepto necesita la comprensión de más de un sistema de 
representación. 
 Expresa en por lo menos dos registros de representación: 
“El veinticinco por ciento de seiscientos” 
 
 
El lenguaje matemático favorece las competencias: argumentar y modelar 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
7 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
 
MODELOS MATEMÁTICOS. MODELAR 
Un modelo es una expresión en lenguaje matemático de la relación entre dos o 
más variables, parámetros o constantes. Si
bien estos modelos tienen significado 
dentro del contexto matemático (intra matemático) su importancia se basa en 
que se utilizan para representar y estudiar distintas situaciones de contexto 
extra matemático como social, económico, natural, etc. En este sentido, los 
modelos son representaciones simplificadas de la realidad que se formulan a los 
efectos de un análisis científico. 
A lo largo del trayecto formativo trabajaremos dos competencias relacionadas 
con los modelos matemáticos, ellas son: 
 
- Interpretar modelos. 
- Elaborar modelos, modelar. 
- 
Interpretar modelos 
Interpretar un modelo matemático implica atribuirle significado a fin de 
expresar la información que representa, realizar un estudio o predecir datos 
futuros, como se muestra a continuación. 
 
“En economía se emplea frecuentemente un modelo simple, conocido como “regla 
del 70”, que es útil para comprender los efectos de las tasas de crecimiento en el largo plazo. 
Esta regla señala que, si una variable crece a una tasa de "x" por ciento por año, esta variable 
se duplica cada 𝑇 = 𝟕𝟎
𝒙 
 años. 
Si en una determinada economía los ingresos per cápita crecen al 1%, dicho ingreso tardará 
70 años en duplicarse. Si los ingresos crecen al 3%, estos se duplican cada 23 años. 
Suponiendo que los ingresos de una librería electrónica crecen al 4% anual: 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
8 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
 
 
Elaborar modelos, modelar 
 Modelar significa “traducir” y expresar una determinada situación mediante el 
lenguaje matemático con el fin de analizarla, extraer información variada o 
realizar predicciones. 
Elaboración de modelo en contexto extra matemático 
La decisión del consumidor en cuanto al conjunto de bienes que desea adquirir 
para su consumo se determinada por dos factores: Presupuesto y Preferencias. 
Nos dedicaremos sólo al factor Presupuesto y, a efectos de simplificar la 
explicación, consideraremos que el consumidor únicamente puede elegir entre 2 
tipos de bienes. No obstante, este análisis es válido para analizar la vida real en 
la que el consumidor tiene acceso a una amplísima gama de bienes. 
El Presupuesto o Renta disponible fija un límite a la capacidad de gasto del 
consumidor, quien podrá consumir como máximo el importe de su presupuesto. 
Por ejemplo: Un consumidor dispone de 3000 um y puede elegir entre adquirir 
comida (10 um/ kg) o bebida (20 um /litro). 
 
La información dada se puede expresar mediante el siguiente modelo: 
Si se definen las variables: 
 y es la cantidad de Kg de comida. 
 x la cantidad de litros de bebidas. 
 
El modelo que describe esta situación en registro simbólico es: 10 y +20x = 3000 
o, en forma equivalente, se puede expresar: y = -2x + 300 
 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
9 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
El modelo expresado en registro gráfico es: 
 
 
Analizando el modelo se infiere que este consumidor, en el caso de no gastar todo 
su presupuesto, podrá adquirir cualquier combinación de cantidad de comida y 
bebida ubicada en algún punto interior de la superficie sombreada. 
En el caso de gastar totalmente su presupuesto puede adquirir cualquier 
combinación ubicada en algún punto de la línea de presupuesto. 
Lo que no podrá hacer es elegir una combinación de comida y bebida situada 
fuera del área pues supera el presupuesto. 
 
 Un empleado tiene un salario mensual que se compone de $20000 más 
un 30% de las ventas que realiza en el mes. 
Elabora un modelo matemático que represente su salario. 
 
 
 
 
ARGUMENTAR 
¿Por qué aprender a argumentar? 
La toma de decisiones es una de las competencias exigidas en los perfiles de las 
distintas carreras de grado de la FCE y requiere de la producción de argumentos 
que sostengan dicha decisión. 
La argumentación en las ciencias es considerada como la capacidad cognitiva y 
lingüística que se expresa por medio del lenguaje oral o escrito. 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
10 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
Un texto argumentativo tiene por función persuadir o convencer sobre la validez 
de una afirmación, idea o acción. Dos requisitos que se necesitan para cumplir 
con esta función son: tener conocimiento sobre el tema a tratar y emplear un 
lenguaje apropiado. 
Algunas cuestiones importantes para elaborar un texto argumentativo refieren 
a su estructura. En este sentido, emplearemos el modelo argumentativo de 
Toulmin, investigador reconocido en esta temática. 
En el modelo intervienen tres elementos constitutivos de la argumentación: 
Datos, Cuerpo de la Argumentación y Conclusión 
como se ve en la siguiente gráfica. 
 
 
 
 
 Estableceremos un argumento que sustente si la palabra “examen” lleva 
o no tilde en la letra “a” 
Datos: Reglas de acentuación para la palabra “examen” 
 
Cuerpo del argumento: La palabra examen se compone de tres sílabas: 
“e – xa - men” 
de las cuales “xa” es sílaba tónica y por lo tanto la palabra “examen” según su 
acentuación se clasifica como “grave”. 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
11 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
Aplicando reglas de acentuación de palabras graves, estas llevan tilde si no 
terminan en “n”, “s” o “vocal”. 
Luego, la palabra “examen” es grave y termina en “n” 
 
Conclusión: La palabra “examen” no lleva tilde. 
 
En este caso el cuerpo del argumento se compone de una justificación, es decir se 
basa en sustentos teóricos. 
 
 Elaboraremos un argumento que sustente que no es cierta la siguiente 
afirmación relativa a una propiedad de las operaciones entre números reales: 
En registro verbal: “La potenciación cumple la propiedad 
distributiva respecto de la suma" 
En registro simbólico: (a + b)n = an + bn siendo a y b números reales 
Datos: a y b números reales, (a+b)n , an + bn 
Cuerpo del argumento: Contraejemplo: si a = 3 y b= 1 
 (3+1)2 = 42 = 16 
 32 + 12 = 9 + 1 = 10 
 Luego: (3+1)2  32 + 12 
Conclusión: No es cierto que “La potenciación es cumple la propiedad 
distributiva respecto a la suma" 
 
En este caso el cuerpo del argumento consta de un contraejemplo. 
 
 
Analiza la siguiente situación que generó debates en las redes, tras la 
publicación de la noticia en mayo 2020: 
El lenguaje de la Matemática 
 
 
12 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
 
Algunas respuestas expresadas por los usuarios de redes que participaron del 
debate, respecto a si el número cero es par o impar, son: 
-El cero no es par ni impar. 
-No es par porque los números pares son los múltiplos de 2 y que 0 no lo es 
- No es par porque no es positivo ni negativo. 
- Es par porque los números pares son los múltiplos del número dos y se pueden expresar 
de la forma 2n (n nro entero) 
¿Estás de acuerdo con alguno de estos argumentos? 
Produce un argumento que sustente tu opinión respecto a si “El cero es un 
número par o impar” 
 
 
 
 
 
Desde este lunes, los comercios que 
dan a la calle pudieron abrir sus 
puertas. Entre otros requisitos, se 
dispuso que la atención sea por la 
terminación del DNI: los días pares, 
DNI pares, y días impares DNI 
impares. 
Esta flexibilización arrojó una 
nueva duda y hasta en las redes 
sociales se armó un debate: ¿Si mi 
documento termina en cero, 
debo salir un día par? 
https://www.semana.com/el-cero-numero-par-impar/165747/
https://www.semana.com/el-cero-numero-par-impar/165747/
El lenguaje de la Matemática 
 
 
13 MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
 
 Argumenta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 
El número 4 es un número racional. 
 
 
 
Rusia es un país del continente Europeo. 
 
 
 
 
El sector público sólo puede obtener recursos mediante cobro de 
impuestos. 
 
 
 
 
 
A continuación
comenzaremos a abordar las unidades temáticas del programa 
de estudio con un enfoque basado en: 
 Leer, escribir, interpretar las distintas representaciones 
semióticas del lenguaje matemático. 
 Interpretar y elaborar modelos matemáticos en contextos intra o 
extra matemáticos. 
 -Producir argumentos que sustente la toma de decisiones. 
 
 
 
+ ACTIVIDADES PROPUESTAS EN EL AULA VIRTUAL como eje 
fundamental para la adquisición de las competencias que se 
valorarán durante el trayecto formativo. 
 
 
 
 
MATERIALES PRODUCIDOS POR LA CÁTEDRA 
MATEMÁTICA COMO LENGUAJE 
 
FCE-UNL 
EXPRESIONES SIMBÓLICAS DE LOS ENUNCIADOS CUANTIFICADOS 
 
En el ejemplo ya tratado: Todas las niñas del grupo se llaman Mary 
 
Emplearemos los siguientes símbolos para poder expresar el enunciado en el lenguaje 
simbólico: 
 
 Para: 
 simbolizar el cuantificados universal “Todos”: utilizaremos:  
 indicar que el cuantificador se refiere a las niñas del grupo, usaremos: G 
 nombrar a cada niña del grupo introduciremos la variable: x 
 definir la propiedad que cumplen las niñas del grupo, en el ejm.: el 
nombre es Mary , utilizaremos: Px 
 
 
Luego, la expresión: Todas las niñas del grupo se llaman Mary se expresa 
simbólicamente: 
 x  G: Px 
 
Análogamente para expresar en el lenguaje simbólico un enunciado cuantificado 
existencialmente, como: 
 Algunas las niñas del grupo se llaman Mary 
Escribiremos :  x  G / Px donde:  es la expresión simbólica del cuantificador 
existencial: 
 
En síntesis: 
 
 
 
 
 
 
Nombre Notación Se lee 
cuantificador universal Para todo x... 
cuantificador existencial Existe por lo menos un x... 
De acuerdo a lo ya analizado, para expresar simbólicamente la negación de los enunciados 
cuantificados: 
 
   x  G: Px    x  G / Px 
 
 
 
 
 equivalente a 
 
 
 
    x  G / Px   x  G: Px 
 
 
 
 equivalente a 
 
 
 
Algo más .... FUNCIONES PROPOSICIONALES 
Otra forma de expresar simbólicamente un enunciado cuantificado es mediante el lenguaje 
correspondiente a la teoría de conjuntos: 
x  G: Px se puede expresar como: 
 
G= {x G / Px} = {x G / x se llama Mary} 
Es el conjunto de las niñas del grupo que se llaman Mary. 
En este caso a expresiones como: x se llama Mary la denominaremos: Función 
Proposicional 
Otros ejemplos de funciones proposicionales: 
 x es una planta 
 y es un número entero 
Tengamos en cuenta que las funciones proposiciones no son proposiciones pues no es 
posible determinar su valor de verdad. 
No es cierto que, todas las 
niñas del grupo se llaman 
Mary 
Algunas niñas del grupo, no 
se llaman Mary 
 
No es verdad que, algunas 
niñas del grupo se llaman 
Mary 
todas las niñas cumplen la 
propiedad de no llamarse 
Mary o bien: ninguna niña del 
grupo se llama Mary 
Sin embargo, las funciones proposicionales se pueden transformar en proposiciones 
mediante sustitución o cuantificación de variables: 
 
Y es un número entero 3 es un número entero 
 
 
 
Y es un número entero Todos los número reales son enteros 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN 
PROPOSICIONAL 
PROPOSICION 
VERDADERA 
SUSTITUCIÓN 
FUNCIÓN 
PROPOSICIONAL 
PROPOSICION FALSA 
CUANTIFICACIÓN 
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE 
 
Introducción 
Hay conceptos que empleamos frecuentemente en nuestros razonamientos y que, en tanto 
se manifiesten en el marco del lenguaje ordinario, no suelen crear ningún problema de 
ambigüedad, pero la situación puede complicarse cuando necesitamos hacer un uso 
científico de los mismos. Evidentemente habrá que ser rigurosos con el uso del significado 
de los conceptos. 
Aquí vamos a tratar fundamentalmente de aclarar y diferenciar el uso lógico de la 
CONDICIÓN NECESARIA y SUFICIENTE, cuyo empleo en el lenguaje se lleva a cabo a 
través de oraciones condicionales, así como también analizar la presencia de tales 
estructuras relacionales en el lenguaje cotidiano y el modo en que pueden descubrirse. 
En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos 
proposiciones, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, podemos expresar que: 
* El tomar agua regularmente es necesario para que una persona se mantenga con vida. 
* Tener no menos de 18 años es una condición necesaria para obtener el carnet de 
conductor. 
* El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente para ser 
admitido. 
* Es suficiente haber realizado el Curso de Articulación, presentado toda la documentación 
requerida y haber realizado el examen médico para ingresar a la UNL. 
* En 2009 el número de vehículos en la ciudad de Santa Fe era de 128.839, en 2010 la cifra 
trepó a 136.702 y este año llegó a 146.565. El dato implica un incremento del parque 
automotor de 14% en dos años. 
* De igual forma, aplicar correctamente una regla que castigue un ilícito tiene por 
condición necesaria la verdad del caso específico. Por ejemplo, los que causan la muerte de 
un ser humano, es la condición que debe existir, y que tiene como consecuencia la condena. 
La regla se aplica, en este caso, si dicha condición es verdadera. 
 
Analicemos los siguientes ejemplos: 
Consideremos las siguientes proposiciones: 
 p: el joven es santafesino. 
 q: el joven es argentino. 
Queremos establecer qué relación hay entre estas proposiciones, para esto nos preguntarnos 
¿Es suficiente que el joven sea santafesino para afirmar que sea argentino? 
La respuesta es SI, entonces decimos que la proposición p es condición suficiente para q o 
bien que la proposición q es condición necesaria para p. 
En forma simbólica escribimos: pq 
En función de lo que simbolizan p y q decimos: 
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
Es suficiente que el joven sea santafesino para que sea argentino. 
o bien 
Es necesario que el joven sea argentino para que sea santafesino. 
 
Ahora nos preguntamos: 
¿Es suficiente que el joven sea argentino para afirmar que sea santafesino? 
La respuesta es NO entonces decimos que q no es condición suficiente para p o bien que p 
no es condición necesaria para q. 
 
Decir que la proposición p es condición suficiente para la proposición q es equivalente a 
decir que q es condición necesaria para p. 
 
 
Ejemplo: 
Sean las proposiciones: r: Ana tiene más de 10 años. 
 s: Ana tiene más de 15 años. 
Se desea conocer qué relación existe entre estas proposiciones. 
Nos preguntamos 
Saber que Ana tiene más de 10, ¿es suficiente para asegurar que tiene más de 15 años? 
La respuesta es NO, lo que significa que r no es suficiente para s. 
Ahora analizamos si s es condición suficiente para r y nos preguntamos: 
Saber que Ana tiene más de 15 años, ¿es suficiente para asegurar que tiene más de 10 años? 
La respuesta es SI con lo cual decimos que: 
s es condición suficiente para r, que es lo mismo que decir que r es condición necesaria 
para s. 
Simbólicamente: s  r 
 
Ejemplo: 
Dadas las proposiciones: p: el triángulo abc es rectángulo 
 q: el triángulo abc tiene un ángulo recto 
Nos preguntamos ¿es suficiente que el el triángulo abc sea rectángulo para que tenga un 
ángulo recto? 
Si, entonces
decimos que p es condición suficiente para q y se simboliza p q. 
Por otra parte, ¿es suficiente que el triángulo abc tenga un ángulo recto para que sea 
rectángulo? 
Si, entonces q es condición suficiente para p que es lo mismo que decir p es condición 
necesaria para q y se simboliza q  p. 
Concluimos que: p es condición suficiente y necesaria para q 
Simbólicamente: p  q 
 
Ejemplo: 
Dadas las proposiciones p: 4 < 7 y q: 4 es múltiplo de 2. 
Vemos que p no es suficiente para afirmar q y afirmar q no es suficiente para asegurar p 
¿Es suficiente que 4 sea menor que 7 para que 4 sea un múltiplo de 2? 
La respuesta es No entonces p no es condición suficientes para q. 
¿Es suficiente que 4 sea un múltiplo de 2 para que 4 sea menor que 7? 
La respuesta es No entonces q no es condición suficiente para p. 
Luego, p no es condición necesaria ni suficiente para q 
 
Condición suficiente 
Podemos decir que la proposición p es condición suficiente para la proposición q cuando al 
darse la proposición p debe darse necesariamente q, pero sin que ello signifique que de la 
existencia de q se pueda deducir p. 
En la Lógica Proposicional, la proposición llamada condicional o implicación p  q, está 
definida precisamente desde el punto de vista de la condición suficiente, recordando que 
sólo se considera falsa una proposición condicional cuando su antecedente es verdadero y 
su consecuente es falso. 
 
Condición necesaria 
Una proposición q es condición necesaria para otra proposición p cuando, si bien es cierto 
que debe darse q para que se de p, no basta con ello. 
Cuando por ejemplo escuchamos en el contexto de una discusión sobre requisitos legales 
para trabajar: "Si ingresó a la administración pública nacional entonces tiene aprobado el 
ciclo secundario”, entendemos que para poder ingresar a la administración pública nacional 
hay que tener necesariamente el nivel secundario aprobado, sin que ello quiera decir que 
con sólo este requisito esté garantizado ingreso. 
 
Condición necesaria y suficiente 
Diremos que una proposición p es condición necesaria y suficiente para otra proposición q 
si al darse la proposición p se da necesariamente q y viceversa. 
Las definiciones son ejemplos de condición necesaria y suficiente siendo las proposiciones 
que la componen equivalentes. Una definición en matemática tiene la estructura pq, y 
estamos diciendo que p es equivalente a q 
 
Ejemplo: 
La proposición “Una relación entre dos conjuntos es función si y solo si cumple las 
condiciones de existencia y unicidad” es un ejemplo de una relación de condición 
necesaria y suficiente entre dos proposiciones. 
Siendo p: una relación R entre dos conjuntos es función 
 q: la relación R cumple las condiciones de existencia y unicidad 
De esta manera, decir p es equivalente a decir q 
 
Resumiendo: 
Si p → q es verdadera entonces p es condición suficiente para q y q es condición necesaria 
para p. Estas condiciones suelen expresarse así: 
 q si p (condición suficiente) 
 p solo si q (condición necesaria) 
 
OBSERVACIONES 
Dadas dos proposiciones p y q pueden presentarse 4 situaciones: 
1) p es condición suficiente para q, que es equivalente a decir, q es condición necesaria para 
p. En símbolos: p  q 
2) p es condición necesaria para q, que es equivalente a decir, q es condición suficiente para 
p. En símbolos: q  p 
3) p es condición suficiente y necesaria para q, que es equivalente a decir, q es condición 
necesaria y suficiente para p. En símbolos: p  q 
4) p no es condición suficiente ni necesaria para q, que es equivalente a decir que: q no es 
condición necesaria ni suficiente para p. 
 
Recomendaciones para determinar la condición que cumple una proposición con otra; 
podemos razonar de la siguiente manera: 
Tomamos a una de las dos proposiciones como dato cierto y nos preguntamos si ese sólo 
dato es suficiente para asegurar o concluir la otra proposición. 
Si la respuesta es si la proposición tomada como dato es suficiente para la otra. 
Si la respuesta es no la proposición de donde partimos no es suficiente para la otra. 
Luego, se hace análogamente el mismo razonamiento pero intercambiando las 
proposiciones. 
 
Para leer: 
“Tus manos son necesarias para tu vida. Tu corazón, además de necesario, es suficiente” 
Lo que es necesario, literalmente es eso; una condición o un elemento que resulta de 
importancia para la existencia de algo; en cambio, cuando algo es suficiente, quiere decir 
que con eso basta como mínimo. 
Como corolario podrías sacar que lo que es suficiente también es necesario, pero no a la 
inversa. 
 
Actividad 1 
 
1. Analiza condición necesaria y/o suficiente. 
 
a) Px: x es un número múltiplo de 6. 
 Qx: x es un número múltiplo de 2. 
b) Px: x es un impar. 
 Qx: x es un número primo. 
c) p: Juan tiene 21 años de edad. 
 q: Juan es mayor de edad. 
d) p: El gobierno aumenta los salarios. 
 q: Habrá mayor consumo en la población. 
 
e) p: Pedro vive en Sudamérica. 
 q: Pedro vive en Argentina. 
 
f) p: El rectángulo tiene los cuatro lados que 
 miden iguales. 
 q: El rectángulo es un cuadrado. 
g) p: Llueve en el parque. 
 q: Las plantas del parque están 
 mojadas. 
h) p: El alumno finalizó el ciclo secundario. 
 q: El alumno está inscripto en la 
 universidad. 
i) p: Los ángulos interiores de un 
 polígono suman 180 grados. 
 q: El polígono es un triángulo. 
j) p: El semáforo está rojo. 
 q: El vehículo detiene su marcha. 
 
k) p: El sistema de ecuaciones lineales es 
 compatible. 
 q: El sistema de ecuaciones lineales 
 tiene única solución. 
 
l) A y B conjuntos 
 PA, B: A  B = A 
 QA,B : A  B 
 m) Pf: f es una función creciente. 
 Qf: f es una función lineal. 
n) a y b son números reales. 
 Pa, b: a  b 
 Qa, b: a  b o a ≤ -b 
ñ) p: La figura es un triángulo. 
 q: La figura tiene tres lados. 
o) A y B son rectas en el plano. 
 PA, B: A y B son paralelas. 
 QA,B: A y B no tienen puntos en común. 
 
2. Escribe cada una de las proposiciones siguientes en la forma “Si p entonces q”. 
a) Hoy es miércoles implica que ayer fue martes. 
b) Resolver crucigramas es suficiente para volverme loco. 
c) El director contratará más profesores solo si la junta escolar lo aprueba. 
d) Un triángulo con dos lados de la misma longitud se llama isósceles. 
e) Defender la ecología es necesario para ser electo como diputado. 
f) Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no 
periódicas. 
3. Considera el conjunto Universal (U) formado por cuadriláteros cerrados. 
Los siguientes conjuntos A, B, C y D están contenidos en U. 
Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si el cuadrilátero tiene dos pares de lados 
paralelos, A = {x/ x es un paralelogramo}. 
Todo cuadrilátero que tenga dos pares de lados paralelos será un paralelogramo. 
Un cuadrilátero es un rombo si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados congruentes. Una 
propiedad del rombo es que tiene dos pares de lados paralelos, B = {x/ x es un rombo}. 
Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados y sus ángulos 
congruentes, C = {x/ x es un cuadrado}. 
Un cuadrilátero es un trapecio si y solo si el cuadrilátero tiene un par de lados paralelos, 
D = {x/ x es un trapecio}. 
Establece la condición de p respecto de q. 
a) p: La figura es un cuadrado. 
 q: La figura es un rombo. 
b) p: La figura es un paralelogramo. 
 q: La figura es un cuadrilátero cerrado. 
c) p: La figura es un rombo. 
 q: La figura es un paralelogramo. 
 
d) p: La figura es un cuadrilátero cerrado. 
 q: La figura es un trapecio. 
 
e) p: La figura es un cuadrado. q: La figura es un trapecio.
Funciones proposicionales y condición necesaria y suficiente 
 
Consideremos las siguientes funciones proposicionales: 
Px : x es natural, múltiplo de 4 y Qx : x es natural, múltiplo de 2 
Donde x pertenece al conjunto de los números naturales. 
Todo número que haga cierta Px, también hará cierta Qx pues todo múltiplo de 4 también es 
múltiplo de 2. 
 
En general: 
Se dice que una función proposicional cualquiera Px ES CONDICIÓN SUFICIENTE 
PARA otra función proposicional Qx si: 
 x  A se cumple que: cuando Px es verdadero se puede asegurar que Qx también lo es. 
En símbolos:  x  A : Px es V  Qx es V 
 
En este caso también se dice que Qx ES CONDICIÓN NECESARIA PARA Px 
En el ejemplo dado Px es condición suficiente para Qx, pero Qx no es condición suficiente 
para Px , pues 6 es múltiplo de 2 pero no es múltiplo de 4. 
 
Ejemplos: 
a) Rx : abcd es paralelogramo ; Sx : abcd es cuadrado 
 Sx es condición suficiente para Rx 
 Rx no es condición suficiente para Sx 
b) Tx : x es entero mayor que 8 ; Wx : x es entero positivo 
 Tx es condición suficiente para Wx 
 Wx no es condición suficiente para Tx 
c) Px : x es divisible por 2 ; Qx : la última cifra de x es divisible por 2 
 Px es condición necesaria y suficiente para Qx 
d) Ux : x es divisible por 10 ; Vx : x es divisible por 5 
 Ux es condición suficiente para Vx, pero no necesaria 
e) Un : n es equilátero ; Vn : n es equiángulo 
 Un es condición necesaria y suficiente para Vn 
f) Pz : z es entero impar ; Qz : z es múltiplo de 5 
 Pz no es condición necesaria ni suficiente para Qx 
 
 
Nota 
¿En qué tipo de ejercitación o expresiones aplicamos la condición necesaria y suficiente? 
Veamos el siguiente ejercicio de múltiple opción: 
Si el número natural “x” es divisible por 6, podemos asegurar que: 
 a) x es divisible por 3. b) x es un número par. 
 c) x es un número impar. d) x es un número divisible por 4. 
 
Para resolver correctamente este ejercicio se debe analizar si la función proposicional “x es 
divisible por 6” es condición suficiente para alguna de las alternativas propuestas. 
Así, el hecho de que un número natural es divisible por 6 es condición suficiente para 
afirmar que es divisible por 3 y que es un número par. Por lo tanto las respuestas correctas 
son a) y b). 
 
Conclusión: 
En los ejercicios de múltiple opción la expresión “podemos asegurar”, está indicando que el 
dato dado debe ser suficiente para alguna de las alternativas. 
 
 
Actividad 2 
 
1. Indica la condición de p respecto de q siendo p: t  r y q: r  t 
2. Indica la opción correcta y justifica por qué no son correctas las restantes opciones. 
i) Si las raíces de un polinomio P(x) de grado tres son –1, 0 y 3, se puede asegurar que: 
 a) P(x) = x (x + 1) (x – 3) b) P(x) = 2 x (x + 1) (x – 3) 
 c) P(x) = (1/3) x (x + 1) (x – 3) d) Ninguna de las anteriores. 
ii) Si en la ecuación y = ax2 + bx + c es a < 0, se puede asegurar que la gráfica de dicha 
ecuación es: 
 a) Una parábola que no interseca al eje x. 
 b) Una parábola con vértice en el primer cuadrante. 
 c) Una parábola cóncava hacia abajo. 
 d) Ninguna de las anteriores. 
 iii) Si la fracción a/b es irreducible, se puede asegurar que: 
 a) a es divisible por b. 
 b) a y b son primos entre sí. 
c) a y b son impares. 
d) Ninguna de las anteriores. 
 
 
 
ACTIVIDADES INTEGRADORAS 
 
1. Para cada una de las siguientes proposiciones compuestas: 
 a) Indica cuales son las proposiciones simples que intervienen. 
 b) Expresa el enunciado en forma simbólica. 
 c) Construye la tabla de verdad. 
i) Si 4 es divisible por 2, entonces 2 es múltiplo de 4 o 4 es divisible por 2. 
ii) Si sus gastos son menores que sus ingresos, entonces su ahorro neto no es negativo y 
aumenta su activo. 
2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 
 a) Si 4 + 2 = 6, entonces – 4 + 3 > 6. 
 b) No es verdad que 3 + 3 = 5 si y solo si 4 + 4 = 9 
 c) Santa Fe está en Argentina o Chaco en Paraguay. 
 d) Si 2 + 2 = 4, entonces no es verdad que (2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10). 
3. Completa los siguientes enunciados de manera que resulten verdaderos. 
a) En la implicación r  s, r se denomina ....................... y s se denomina ........................ 
b) Si la negación de una proposición es verdadera, la proposición es ........................... 
c) Una implicación es falsa sólo cuando .......................................................................... 
d) Si (m  t)  r es falsa, r es ............., t es ..........m es ………………….. 
e) Si r  q es V, el valor de la proposición r  q es ................................................... 
f) Si p  (q  r) es falsa entonces el valor de la proposición r  p es ...................... 
4. Expresa simbólicamente los enunciados, niega su expresión simbólica y enuncia la 
negación en palabras. 
a) No fuimos de excursión y vimos la televisión. 
b) Hoy voy al cine o voy a patinar. 
c) Si el gobierno gasta más dinero en investigación entonces los salarios de los 
investigadores aumentarán o habrá más investigadores. 
d) Para mí es suficiente con que haya poca humedad y haya sol para jugar al tenis esta 
tarde. 
e) Es necesario que termine de estudiar lógica antes de almorzar para jugar tenis esta tarde. 
5. Sabiendo que p es V, q es F y r es V, determina el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones compuestas: 
a) [(p  q)  (p  r)]  q b) (r  q) (p  r) 
6. Expresa el contrarrecíproco de cada una de las siguientes implicaciones: 
a) p  (r  s) b) (r  t)  (m  s) 
9. Determina el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados. 
a)  x  R: x + 1 > x b)  x  R / x2 = x c)  x  Z / x + 2 = x 
d)  x  R: x  R e)  x  R : x3 > x 
10. Para cada enunciado: 
i) Determina cuantificador, conjunto referencial y función proposicional. 
ii) Exprésalo simbólicamente. 
iii) Determina su valor de verdad. 
 a) Todos los consumidores ahorran. 
 b) Algunos enteros son iguales a su cuadrado. 
 c) Todos los números reales son menores que su duplo. 
 d) No hay números naturales menores que (-3). 
 e) Todos los triángulos son equiláteros o algunos teoremas son fáciles. 
11. Para cada par de enunciados, indica si uno es la negación del otro. 
a) Todo hombre es analfabeto. 
 Ningún hombre es analfabeto. 
b) Compro acciones y pierdo dinero. 
 No compro acciones o no pierdo dinero. 
12. Para cada par de funciones proposicionales Rx y Qx, determina si: 
 i) R es condición suficiente para Q. 
 ii) R es condición necesaria para Q. 
iii) R es condición suficiente y necesaria para Q. 
iv) R y Q no están relacionadas. 
a) Rx : x es un triángulo isósceles. 
 Qx : x es un triángulo equilátero. 
b) Rx : x es un número natural par. 
 Qx : x es un número natural múltiplo de 4. 
c) RA, B : A  B 
 QA, B : A posee todos los elementos de B. 
d) RA : A   
 QA, B : A  B   
13. Indica la condición de “p” respecto de “q” en los siguientes casos: 
a) p: h es falsa 
 q: r  h es falsa 
b) p: r  h es verdadera 
 q: h es falsa 
c) p: r  h es falsa 
 q: r es falsa 
 
 
RESPUESTAS 
 
Actividad 1 
 
1. a) Px es condición suficiente para Qx 
b) Px no es condición suficiente ni necesaria para Qx 
c) p es condición suficiente para q 
d) p es condición suficiente para q 
e) q es condición suficiente para p 
f) p es condición suficiente y necesaria para q 
g) p es condición suficiente para q 
h) p no es condición suficiente ni necesaria para q 
i) p es condición suficiente y necesaria para q 
j) p es condición suficiente para q 
k) q es condición suficiente para p 
l) p es condición suficiente y necesaria para q 
m) Pf no es condición suficiente ni necesaria para Qf 
n) Pa, b es condición suficiente y necesaria para Qa, b 
ñ) p
es condición suficiente para q 
o) PA, B es condición necesaria para QA, B 
2. a) Si hoy es miércoles entonces ayer fue martes. 
b) Si resuelvo crucigramas entonces me volveré loco. 
c) Si el director contrata más profesores, entonces la junta escolar lo aprueba. 
d) Si un triángulo tiene dos lados de la misma longitud entonces se llama isósceles. 
e) Si es electo diputado entonces debe defender la ecología. 
f) Si un número es irracional, entonces su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales 
no periódicas. 
3. a) p es suficiente para q 
 b) p es suficiente para q 
 c) p es suficiente para q 
 d) p es necesaria para q 
 e) p es suficiente para q 
 
 
 
Actividad 2 
 
1. p es condición suficiente para q 
2. i) d) ii) c) iii) b) 
 
 
 
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INTEGRADORAS 
 
1. i) 
 a) p: “4 es divisible por 2” ; q: “2 es múltiplo de 4” 
 b) p  (q  p) 
c) 
p  (q  p) 
V V V V V 
V V F V V 
F V V V F 
F V F F F 
 
 ii) 
 a) p: sus gastos son menores que sus ingresos b) p  (q  r) 
 q: su ahorro neto no es negativo 
 r: el aumenta el activo 
 c) 
p  ( q  r ) 
V V V V V 
V F V F F 
V F F F V 
V F F F F 
F V V V V 
F V V F F 
F V F F V 
F V F F F 
 
2. a) V b) F c) V d) F 
3. 
a) Antecedente.....consecuente 
b) Falsa 
c) El antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 
d) r es falso, t es verdadera, m es verdadera. 
e) Falso 
f) Falso 
4. a) p: fuimos de excursión q: vimos la televisión 
Forma proposicional: p  q 
Su negación es: p  q es decir: Fuimos de excursión o no vimos la televisión. 
b) p: voy al cine q: voy a patinar 
Forma proposicional: p  q 
Su negación es:  p   q, es decir: Hoy no voy al cine y no voy a patinar. 
c) p: El gobierno gasta más dinero en investigación 
q: el gobierno aumentará los salarios de los investigadores 
r: habrá más investigadores 
p  (q  r) 
Su negación es: p   q   r, es decir: 
El gobierno gasta más dinero en investigación y no aumentarán los salarios de los 
investigadores y no habrá más investigadores. 
d) h: hay poca humedad s: hay sol t: jugaré al tenis esta tarde 
(h  s)  t 
Su negación es: h  s   t, es decir: 
Hay poca humedad y hay sol y no jugaré al tenis esta tarde. 
e) t: juego al tenis esta tarde e: terminé de estudiar lógica antes de almorzar 
t  e 
Su negación es: t   e, es decir: 
Jugaré al tenis esta tarde y no terminé de estudiar lógica antes de almorzar. 
5. a) V b) F 
6. a)  (r  s)  p  ( r  s)   p 
 b)  (m  s)   (r  t)  ( m   s)  ( r   t) 
7. a)  (p  q) b)  p  (q   z) c)  (p  q)  (q  p) 
8. a)  p  q b) r  (p  q) c) F0 d) p  t 
9. a) V b) V c) F d) F e) F 
10. 
a) i) Todos los consumidores ahorran 
Cuantificador:  Conjunto referencial: C = {x es un consumidor} 
x es una persona Función proposicional: Ax: x ahorra. 
ii)  x  C : A x 
iii) Falso 
b) i) Algunos números enteros son iguales a su cuadrado 
Cuantificador:  Conjunto referencial: C = {x es un número entero} 
x es un número Función proposicional: Ax: x igual a su cuadrado. 
ii)  x  C / A x 
iii) Verdadero 
c) i) Todos los números reales son menores que su duplo 
Cuantificador:  Conjunto referencial: C = {x es un número real} 
x es un número Función proposicional: Ax: x es menor que su duplo. 
ii)  x  C : A x 
iii) Falso 
d) i) No hay números naturales menores que -3. 
Cuantificador:  Conjunto referencial: C = {x es un número natural} 
x es un número Función proposicional: Ax: x es menor que -3. 
ii)   x  C / x < -3 
iii) Verdadero 
e) i) Todos los triángulos son equiláteros o algunos teoremas son fáciles. 
Donde, Tx: x es equilátero, y es un teorema, Fy: y es fácil. 
C = {x/ x es un triángulo} ; D = {y / y es un teorema} 
ii)  x  C : Tx   y  D / Fy 
iii) Verdadero 
11. a) No, pues la negación del primero es: Algún hombre no es analfabeto. 
b) Uno es la negación del otro. 
12. a) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx 
b) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx 
c) R y Q no son condiciones necesarias ni suficientes 
d) RA es condición suficiente pero no necesaria para QA; B 
13. a) p es condición necesaria para q. 
b) p no es ni necesaria ni suficiente para q. 
c) p es condición suficiente para q. 
 
 
 
 
 
 
 
RESPUESTAS TRABAJO PRÁCTICO DE LÓGICA 
 
1) 
a) 7 es número par - proposición falsa 
b) Un rectángulo es un cuadrado - proposición falsa 
c) 6 = 5+3 -proposición falsa 
d) Los caballos vuelan - proposición falsa 
e) El cero es un número racional - proposición verdadera 
f) Preste atención -no es proposición 
g) 7 > 9 - proposición falsa 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
7) Expresa simbólicamente y niega las siguientes proposiciones: 
a) Algunos hombres son estudiosos 
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒} 
Px: x es estudioso 
∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑃𝑥 
Negación 
∀𝑥 ∈ 𝐴: ~𝑃𝑥 
b) Todos los números reales son positivos 
Px: x es positivo 
∀𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃𝑥 
Negación 
∃𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃𝑥 
c) Algunos funciones son lineales 
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛} 
Px: x es lineal 
∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑃𝑥 
Negación 
∀𝑥 ∈ 𝐴: ~𝑃𝑥 
d) Todos los libros son interesantes 
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜} 
Px: x es interesante 
∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑃𝑥 
Negación 
∃𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃𝑥 
 
 
2) a) Contrario: s  m Recíproco: m s Contrarrecíproco: m s 
b) Sean p: Juan obedece la ley y q: Juan va a la cárcel 
La proposición: Si Juan obedece la ley entonces no va a la cárcel en símbolos es: p  q. 
Luego, sus condicionales asociados son: 
Contrario: pq 
Si Juan no obedece la ley entonces va a la cárcel. 
Recíproco: q  p 
Si Juan no va a la cárcel entonces obedece la ley. 
Contrarrecíproco: q  p 
Si Juan va a la cárcel entonces no obedece la ley. 
 
 
11) a) p es condición necesaria para q. 
b) p no es ni necesaria ni suficiente para q. 
c) p es condición suficiente para q. 
12) a) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx 
b) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx 
c) R y Q no son condiciones necesarias ni suficientes 
d) RA es condición suficiente pero no necesaria para QA; B 
MATEMÁTICAS PARA
ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
M
ATEM
ÁTICAS PARA
ADM
INISTRACIÓN Y ECONOM
ÍA
ERNEST F. HAEUSSLER, JR. RICHARD S. PAUL RICHARD J. WOODISBN 978-970-26-1147-9
Este reconocido libro de Haeussler proporciona los fundamentos matemáti-
cos para aquellos estudiantes que cursen carreras relacionadas con negocios, 
economía y ciencias sociales.
El texto inicia con temas de ecuaciones, funciones, álgebra de matrices, 
programación lineal, matemáticas financieras y probabilidad; después avanza 
a través del cálculo, tanto de una como de varias variables, incluyendo varia-
bles aleatorias continuas.
Los autores incorporan demostraciones que ilustran cómo se realizaron los 
cálculos correspondientes a los problemas aplicados. Las condiciones y com-
paraciones se describen de manera detallada. Por otra parte, se ha conserva-
do la sección “Ahora resuelva el problema …”, sumamente apreciada por 
profesores y alumnos.
El libro contiene más de 850 ejemplos, casi 500 diagramas, más de 5000 ejer-
cicios, y una gran cantidad de problemas del mundo cotidiano con datos 
reales, así como material opcional para trabajar por medio de una calcu-
ladora graficadora.
La página Web de este libro 
www.pearsoneducacion.net/haeussler 
contiene material adicional para el instructor.
HAEUSSLER
PAUL
WOOD
Decimosegunda edición
Decimosegunda edición
Reglas algebraicas para
los números reales
a � b � b � a
ab � ba
a � (b � c) � (a � b) � c
a(bc) � (ab)c
a(b � c) � ab � ac
a(b � c) � ab � ac
(a � b)c � ac � bc
(a � b)c � ac � bc
a � 0 � a
a � 0 � 0
a � 1 � a
a � (�a) � 0
�(�a) � a
(�1)a � �a
a � b � a � (�b)
a � (�b) � a � b
a
1
a
� 1
a
b
� a �
1
b
(�a)b � �(ab) � a(�b)
(�a)(�b) � ab
�a
�b
�
a
b
�a
b
� �
a
b
�
a
�b
a
c
�
b
c
�
a � b
c
a
c
�
b
c
�
a � b
c
a
b
�
c
d
�
ac
bd
a�b
c�d � adbc
a
b
�
ac
bc
(c � 0)
Fórmulas de factorización
ab � ac � a(b � c)
a2 � b2 � (a � b)(a � b)
a2 � 2ab � b2 � (a � b)2
a2 � 2ab � b2 � (a � b)2
a3 � b3 � (a � b)(a2 � ab � b2)
a3 � b3 � (a � b)(a2 � ab � b2)
Exponentes
a0 � 1 (a � 0)
a�n �
1
an
(a � 0)
aman � am�n
(am)n � amn
(ab)n � anbn
a
b
n
�
an
bn
am
an
� am�n
Radicales
n a � a1�n
( n a)n � a, n an � a (a > 0)
n am � ( n a)m � am�n
n ab � n a n b
n
a
b
�
n a
n b
m n a � mn a
Productos especiales
x(y � z) � xy � xz
(x � a)(x � b) � x2 � (a � b)x � ab
(x � a)2 � x2 � 2ax � a2
(x � a)2 � x2 � 2ax � a2
(x � a)(x � a) � x2 � a2
(x � a)3 � x3 � 3ax2 � 3a2x � a3
(x � a)3 � x3 � 3ax2 � 3a2x � a3
Fórmulas de diferenciación
d
dx
(c) � 0
dy
dx
�
dy
du
�
du
dx
d
dx
(xn) � nxn�1
d
dx
(un) � nun�1
du
dx
d
dx
(c f (x)) � c f �(x) d
dx
(ln u) �
1
u
du
dx
d
dx
( f (x) � g(x)) � f �(x) � g�(x) d
dx
(eu) � eu
du
dx
d
dx
( f (x)g(x)) � f (x)g�(x) � g(x) f �(x) d
dx
(logb u) �
1
(ln b)u
�
du
dx
d
dx
f (x)
g(x)
�
g(x) f �(x) � f (x)g�(x)
(g(x))2
d
dx
(au) � au(ln a)
du
dx
Fórmulas de integración
Se supone que u es una función diferenciable de x.
kdx � kx � C ( f (x) � g(x)) dx � f (x) dx � g(x) dx
xn dx �
xn�1
n � 1
� C, n � �1 un du �
un�1
n � 1
� C, n � 1
ex dx � ex � C eu du � eu � C
kf (x) dx � k f (x) dx
1
u
du � ln �u� � C, u � 0
Líneas rectas
Fórmula cuadrática
Si ax2 � bx � c � 0, donde
a � 0, entonces
x �
�b � b2 � 4ac
2a
m �
y2 � y1
x2 � x1
(fórmula de la pendiente)
y � y1 � m(x � x1) (forma punto-pendiente)
y � mx � b (forma punto-intersección)
x � constante (recta vertical)
y � constante (recta horizontal)
Desigualdades
Si a < b, entonces a � c < b � c.
Si a < b y c > 0, entonces
ac < bc.
Si a < b y c > 0, entonces
a(�c) > b(�c).
Logaritmos
logb x � y si y sólo si x � b
y
logb(mn) � logb m � logb n
logb
m
n
� logb m � logb n
logb m
r � r logb m
logb 1 � 0
logb b � 1
logb b
r � r
blogb
m
� m
logb m �
loga m
loga b
Conteo
n Pr �
n!
(n � r)!
nCr �
n!
r !(n � r)!
Alfabeto griego
alfa nu
beta xi
gamma ómicron
delta pi
épsilon ro
zeta sigma
eta tau
theta ípsilon
iota fi
kappa ji
lambda psi
mu
�
�
�
	
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x
c
vomega
Contenido iii
Matemáticas para
administración
y economía
Matemáticas para
administración
y economía
Decimosegunda edición
Richard J. Wood
Dalhousie University
Salvador Sandoval Bravo 
Semei Leopoldo Coronado Ramírez
Juan Manuel Rodríguez Alfaro 
Héctor Arturo Caramón Loyo
Víctor Hugo Gualajara Estrada
Departamento de Métodos 
Cuantitativos Centro Universitario 
de Ciencias Económico 
Administrativas 
Universidad de Guadalajara, México
Angélica Holguín López
Instituto de Ciencias Sociales 
y Administración
Universidad Autónoma de 
Ciudad Juárez, México
José Cruz Ramos Báez
Departamento de Matemáticas
Universidad Panamericana, México
Ernest F. Haeussler, Jr.
The Pennsylvania State University
Richard S. Paul 
The Pennsylvania State University
TRADUCCIÓN
Jesús Elmer Murrieta Murrieta 
Maestro en Investigación de Operaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, campus Morelos 
REVISIÓN TÉCNICA 
Irma Beatriz Rumbos Pellicer 
Departamento Académico de Matemáticas 
Instituto Tecnológico Autónomo de México 
Leopoldo Xavier Cárdenas González
Facultad de Ingeniería y Matemáticas
Universidad del Valle de Atemajac, 
Guadalajara, México
María Graciela Scápolla
María Rosa Meoli
Facultad de Ciencias Económicas
Pontificia Universidad Católica Argentina 
Jorge Augusto Pérez Alcázar
Departamento de Matemáticas
Escuela de Administración de Negocios, 
Bogotá, Colombia
María Nubia Quevedo Cubillos
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Militar Nueva Granada, 
Bogotá, Colombia
Sergio Iván Restrepo Ochoa
Mauricio Restrepo López
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Antioquia, 
Medellín, Colombia
Vilma Ortiz de Jofre
Departamento de Ciencias Básicas
Facultad de Ingeniería
Universidad Rafael Landívar, 
Guatemala
Manuel Emilio Fuenzalida Álamos
Miguel Ángel Olivares Barrientos
Facultad de Ciencias y Tecnología
Universidad Adolfo Ibáñez, Chile
Authorized translation from the English languaje edition, entitled Introductory Mathematical Analysis for Business, Economics, and the Life 
and Social Sciences 12ed. by Ernest F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul and Richard J. Wood published by Pearson Education, Inc., publishing as 
PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2008. All rights reserved.
ISBN 013-240422-2
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, Introductory Mathematical Analysis for Business, Economics, and the Life and Social 
Sciences 12 ed., por Ernest F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul and Richard J. Wood publicada por Pearson Education, Inc., publicada como 
PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.
Edición en español:
Editor: Rubén Fuerte Rivera
 e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández
DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
 Atlacomulco 500-5° piso 
 Col. Industrial Atoto, C.P. 53519,
 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
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Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de 
recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por 
fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus represen-
tantes.
ISBN 10: 970-26-1147-4
ISBN 13: 978-970-26-1147-9
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 
Datos de catalogación bibliográfica
Haeussler, Jr., Ernest F.; Richard S. Paul y 
Richard J. Wood
Matemáticas para administración y economía.
Decimosegunda edición
 PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1147-9
Área: Matemáticas
Formato: 21 × 27 cm Páginas: 920
Edición en inglés:
Acquisitions Editor: Chuck Synovec 
Vice President and Editorial Director, Mathematics: Christine Hoag
Project Manager: Michael Bell
Production Editor: Debbie Ryan
Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens
Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli
Manufacturing Buyer: Maura Zaldivar 
Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long
Marketing Manager: Wayne Parkins
Marketing Assistant: Jennifer de Leeuwerk
Editorial Assistant/Print Supplements Editor: Joanne Wendelken
Art Director: Maureen Eide
Interior Designer: Dina Curro
Cover Designer: Kris Carney
Art Editor: Thomas Benfatti
Creative Director: Juan R. López
Director of Creative Services: Paul Belfanti
Cover Photo: Ian Cumming/Axiom Photographic Agency/Getty 
Images
Manager,Cover Visual Research & Permissions: Karen Sanatar
Director, Image Resource Center: Melinda Patelli
Manager, Rights and Permissions: Zina Arabia
Manager, Visual Research: Beth Brenzel
Image Permission Coordinator: Nancy Seise
Photo Researcher: Rachel Lucas
Art Studio: Laserwords
Para Lesly
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA
Humberto Mondragón Suárez
Cristóbal Cárdenas Oviedo
Víctor Manuel Mendoza Olivares
Mariangela Borello
Gretel Ana Keller Cortina
Lázaro Francisco Vinicio Mendive Abreu
Esperanza Rojas Oropeza
Hugo Serrato González
Aurelio Morales Macías
Ramiro Garibay Jiménez
Efraín González Castillo
Irma Irian García Salazar
Alejandro Guillén Santiago
Marco Antonio Rodríguez Vélez
Patricia Novo Covarrubias
Erik Leal Enríquez
Miguel Ángel Álvarez Rodríguez
Daniel Smeke Zwaiman
UNIVERSIDAD DEL VALLE 
DE ATEMAJAC (UNIVA)
Ignacio Navarro Ruiz
Felipe Oregel Sánchez
Mónica Juárez Valenzuela
Leopoldo Xavier Cárdenas González
UNIVERSIDAD PANAMERICANA 
GUADALAJARA
Alberto Lancaster Jones
Cristina Eccius Wellmann
Carlos Guillermo Cedeño
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA 
DE GUADALAJARA
Mario Mesino González
INSTITUTO TECNOLÓGICO 
DE TEPIC
Víctor Manuel Lamas Huízar
ITESM-CAMPUS SANTA FÉ
Teresa de Jesús Cotera Rivera
 Sergio Rogelio Morales Vargas
ITESM-CAMPUS QUERÉTARO
Sithanantham Kanthinathinathan
Lauro Ayala Centeno
Dulce Hernández Méndez
María Rosa Hernández Mondragón
María Griselda Tapia Mercado
ITESM-CAMPUS CHIHUAHUA
Sofía Flores
Carlos Manzanera Quintana
Gabriela Athanea Luna
ITESM-CAMPUS CIUDAD JUÁREZ
Judith Camargo
INSTITUTO TECNOLÓGICO 
DE CIUDAD JUÁREZ
Josefina Reyes Lomelí
José Jiménez Jiménez
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA 
DE CIUDAD JUÁREZ
Eduardo Encerrado
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Jamer Carmona López
Janeth Carolina Rendón Aguirre
Luis Eduardo Tobón Cardona
James Serna Mesa
Camilo Restrepo Estrada
UNIVERSIDAD CEIPA
Pablo Gallo
Francisco Jaramillo
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
Marco Fidel Castillo
M É X I C O
C O L O M B I A
Pearson Educación agradece a los centros de estudios y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentación, elemento fundamental para esta nueva edición de Matemáticas para administración y economía.
AGRADECIMIENTOS
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
DE NEGOCIOS-EAN
María Teresa Vargas
UNIVERSIDAD CENTRAL
Myriam Rodríguez
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA 
DE BUCARAMANGA
Nohora Nájera
COLEGIO UNIVERSIDAD MAYOR 
DE CUNDINAMARCA
José Diafonte Gutiérrez Muñoz
UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA 
GRANADA
Edgar Pinto Montenegro
Jose Tito Turga Arévalo
Juan de Jesús Díaz
Juan de Jesús Guerrero
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA 
Y TECNOLÓGICA DE 
COLOMBIA-UPTC-TUNJA
Publio Suárez Sotomonte
Miguel Díaz Moreno
José Francisco Leguizamon
UNIVERSIDAD SUR COLOMBIANA
Julio Roberto Cano Barrera
UNIVERSIDAD DE LA SABANA
Mauricio Restrepo
UNIVERSIDAD PILOTO 
DE COLOMBIA
Marisol Camacho
Esperanza Florez
Carlos Garzón
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA
Gladys Villamarín
Hilda González
Óscar Prada
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Álvaro Suárez
José René Camacho
PONTIFICIA UNIVERSIDAD 
JAVERIANA
Álvaro Moros
Fabio Molina
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS
Héctor Ruiz
UNIVERSIDAD CENTRAL 
DEL ECUADOR
Flavio Parra
Patricio Ruales
ESCUELA POLITÉCNICA 
DEL EJÉRCITO
Arturo Zurita
Iván Ñúnez
Verónica Reina
UNIVERSIDAD TÉCNICA 
PARTICULAR DE LOJA
Lupe Beatriz Espejo
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA 
EQUINOCCIAL
Mauricio García
PONTIFICIA UNIVERSIDAD 
CATÓLICA DEL ECUADOR
Germán Luna
Casar Monroy
UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO 
DE QUITO
Eduardo Alba
UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE 
PORRES
Randy Guardales Vásquez
UNIVERSIDAD PERUANA DE 
CIENCIAS APLICADAS
Agustín Curo Cubas
Gloria Espinoza Colán
E C U A D O R
P E R Ú
x Agradecimientos
xi
CONTENIDO
 Prefacio xvii
 CAPÍTULO 0 Repaso de álgebra 1
 0.1 Conjuntos de números reales 2
 0.2 Algunas propiedades de los números reales 3
 0.3 Exponentes y radicales 9
 0.4 Operaciones con expresiones algebraicas 14
 0.5 Factorización 19
 0.6 Fracciones 21
 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales 27
 0.8 Ecuaciones cuadráticas 37
 Aplicación práctica: Modelado del comportamiento de una celda de carga 44
 CAPÍTULO 1 Aplicaciones y más álgebra 46
 1.1 Aplicaciones de ecuaciones 47
 1.2 Desigualdades lineales 54
 1.3 Aplicaciones de las desigualdades 58
 1.4 Valor absoluto 61
 1.5 Notación de sumatoria 65
 1.6 Repaso 69
 Aplicación práctica: Grabación de calidad variable 72
 CAPÍTULO 2 Funciones y gráficas 74
 2.1 Funciones 75
 2.2 Funciones especiales 82
 2.3 Combinaciones de funciones 86
 2.4 Funciones inversas 91
 2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares 94
 2.6 Simetría 103
 2.7 Traslaciones y reflexiones 108
 2.8 Repaso 110
 Aplicación práctica: Una experiencia con impuestos 114
 CAPÍTULO 3 Rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones 116
 3.1 Rectas 117
 3.2 Aplicaciones y funciones lineales 124
 3.3 Funciones cuadráticas 130
 3.4 Sistemas de ecuaciones lineales 138
 3.5 Sistemas no lineales 148
 3.6 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones 150
 3.7 Repaso 157
 Aplicación práctica: Planes de cobro en telefonía celular 160
xii Contenido
 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas 162
 4.1 Funciones exponenciales 163
 4.2 Funciones logarítmicas 175
 4.3 Propiedades de los logaritmos 181
 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 186
 4.5 Repaso 191
 Aplicación práctica: Dosis de medicamento 194
 CAPÍTULO 5 Matemáticas financieras 196
 5.1 Interés compuesto 197
 5.2 Valor presente 201
 5.3 Interés compuesto continuamente 205
 5.4 Anualidades 208
 5.5 Amortización de préstamos 218
 5.6 Repaso 222
 Aplicación práctica: Bonos del tesoro 224
 CAPÍTULO 6 Álgebra matricial 226
 6.1 Matrices 227
 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 232
 6.3 Multiplicación de matrices 238
 6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción
de matrices 249
 6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices
(continuación) 259
 6.6 Inversas 263
 6.7 Análisis de insumo-producto de Leontief 271
 6.8 Repaso 275
 Aplicación práctica: Requerimientos de insulina como un proceso lineal 278
 CAPÍTULO 7 Programación lineal 280
 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 281
 7.2 Programación lineal 284
 7.3 Soluciones óptimas múltiples 294
 7.4 Método simplex 296
 7.5 Degeneración, soluciones no acotadas y soluciones óptimas
múltiples 309
 7.6 Variables artificiales 314
 7.7 Minimización 325
 7.8 El dual 330
 7.9 Repaso 338
 Aplicación práctica: Terapias con medicamentos y radiación 342
Contenido xiii
 CAPÍTULO 8 Introducción a la probabilidad y la estadística 344
 8.1 Principio básico de conteo y permutaciones 345
 8.2 Combinaciones y otros principios de conteo 351
 8.3 Espacios muestrales y eventos 362
 8.4 Probabilidad 369
 8.5 Probabilidad condicional y procesos estocásticos 381
 8.6 Eventos independientes 394
 8.7 Fórmula de Bayes 403
 8.8 Repaso 412
 Aplicación práctica: Probabilidad y autómatas celulares 418
 CAPÍTULO 9 Temas adicionales en probabilidad 420
 9.1 Variables aleatorias discretas y valor esperado 421
 9.2 La distribución binomial 428
 9.3 Cadenas de Markov 433
 9.4 Repaso 442
 Aplicación práctica: Cadenas de Markov en la teoría de juegos 446
 CAPÍTULO 10 Límites y continuidad 448
 10.1 Límites 449
 10.2 Límites (continuación) 458
 10.3 Continuidad 466
 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades 472
 10.5 Repaso 476
 Aplicación práctica: Deuda nacional 478
 CAPÍTULO 11 Diferenciación 480
 11.1 La derivada 481
 11.2 Reglas para la diferenciación 489
 11.3 La derivada como una razón de cambio 497
 11.4 La regla del producto y la regla del cociente 506
 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia 515
 11.6 Repaso 523
 Aplicación práctica: Propensión marginal al consumo 526
xiv Contenido
 CAPÍTULO 12 Temas adicionales de diferenciación 528
 12.1 Derivadas de funciones logarítmicas 529
 12.2 Derivadas de funciones exponenciales 534
 12.3 Elasticidad de la demanda 539
 12.4 Diferenciación implícita 544
 12.5 Diferenciación logarítmica 549
 12.6 Método de Newton 553
 12.7 Derivadas de orden superior 557
 12.8 Repaso 560
 Aplicación práctica: Cantidad económica de pedido 564
 CAPÍTULO 13 Trazado de curvas 566
 13.1 Extremos relativos 567
 13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 578
 13.3 Concavidad 580
 13.4 Prueba de la segunda derivada 587
 13.5 Asíntotas 589
 13.6 Aplicación de máximos y mínimos 599
 13.7 Repaso 611
 Aplicación práctica: Cambio de la población a lo largo del tiempo 616
 CAPÍTULO 14 Integración 618
 14.1 Diferenciales 619
 14.2 La integral indefinida 623
 14.3 Integración con condiciones iniciales 629
 14.4 Más fórmulas
de integración 633
 14.5 Técnicas de integración 640
 14.6 La integral definida 645
 14.7 Teorema fundamental del cálculo integral 651
 14.8 Integración aproximada 659
 14.9 Área 664
 14.10 Área entre curvas 668
 14.11 Excedentes de los consumidores y de los productores 675
 14.12 Repaso 678
 Aplicación práctica: Cargos de envío 682
 CAPÍTULO 15 Métodos y aplicaciones de la integración 684
 15.1 Integración por partes 685
 15.2 Integración mediante fracciones parciales 689
 15.3 Integración por medio de tablas 695
 15.4 Valor promedio de una función 700
 15.5 Ecuaciones diferenciales 702
 15.6 Más aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 709
 15.7 Integrales impropias 716
 15.8 Repaso 719
 Aplicación práctica: Dietas 722
Contenido xv
 CAPÍTULO 16 Variables aleatorias continuas 724
 16.1 Variables aleatorias continuas 725
 16.2 La distribución normal 732
 16.3 Aproximación normal a la distribución binomial 737
 16.4 Repaso 740
 Aplicación práctica: Distribución acumulada de datos 742
 CAPÍTULO 17 Cálculo de varias variables 744
 17.1 Funciones de varias variables 745
 17.2 Derivadas parciales 750
 17.3 Aplicaciones de las derivadas parciales 755
 17.4 Diferenciación parcial implícita 761
 17.5 Derivadas parciales de orden superior 763
 17.6 Regla de la cadena 766
 17.7 Máximos y mínimos para funciones de dos variables 769
 17.8 Multiplicadores de Lagrange 778
 17.9 Rectas de regresión 785
 17.10 Integrales múltiples 790
 17.11 Repaso 794
 Aplicación práctica: Análisis de datos para un modelo de enfriamiento 798
 APÉNDICE A Conjuntos 801
 APÉNDICE B Tablas de interés compuesto 821
 APÉNDICE C Tabla de integrales seleccionadas 837
 APÉNDICE D Áreas bajo la curva normal estándar 841
 Respuestas a los problemas con número impar R-1
 Índice I-1
La decimosegunda edición de Matemáticas para administración y economía con-tinúa proporcionando los fundamentos matemáticos para los estudiantes de ne-gocios, economía, y ciencias sociales y de la vida. Inicia con temas que no son de 
cálculo, como funciones, ecuaciones, matemáticas financieras, álgebra de matrices, pro-
gramación lineal y probabilidad. Después avanza a través del cálculo de una y de varias 
variables, incluyendo las variables aleatorias continuas. Las demostraciones técnicas, 
las condiciones y comparaciones se describen de manera suficiente pero sin abundar 
demasiado. La filosofía que guía este texto nos ha llevado a incluir aquellas demostra-
ciones y cálculos generales que den luz sobre la manera como se realizaron los cálculos 
correspondientes en los problemas aplicados. A menudo también se dan argumentos 
intuitivos informales.
Cambios en la organización de la decimosegunda edición
Los cambios en la organización de esta edición reflejan los comentarios de usuarios y 
revisores. El material del antiguo Apéndice A (como apareció en las ediciones 9 a 11) se 
ha incluido en el cuerpo del texto. En particular, la Notación de la sumatoria ahora apa-
rece como la sección 5 del capítulo 1. La antigua sección de la Sumatoria del capítulo 14 
también se ha incluido en la nueva sección 5 del capítulo 1. Muchos profesores opinaron 
que hacer coincidir la introducción de la notación de la sumatoria con otros conceptos 
importantes como la integral, podría representar una distracción. Nuestra intención al 
ubicar la sumatoria en el capítulo 1 es que este tema obtenga un estatus más apropiado. 
La notación de la sumatoria es simple, pero como será nueva para muchos alumnos, 
revitalizará un capítulo que de otra manera sólo sería un repaso para la mayoría de los 
estudiantes. Contar con la notación de la sumatoria al inicio del libro nos permite practi-
carla varias veces, de manera notable en el trabajo sobre análisis combinatorio y proba-
bilidad (capítulo 8), antes de volverse indispensable, junto con la integral (capítulo 14).
El tema de interés compuesto continuamente se ha movido del capítulo 10 para 
convertirse en la sección 3 del capítulo 5, que está dedicado a las matemáticas finan-
cieras. Como las funciones exponenciales y el número e se introducen en el capítulo 4, 
se trata de un movimiento bastante natural que permite un tratamiento más unificado 
de las tasas de interés. Algunos profesores consideraron importante poder comparar 
el interés compuesto continuamente con el interés compuesto ordinario mientras este 
último todavía está fresco en la mente de los estudiantes. Sin embargo, las anualidades 
continuas aún se encuentran en el capítulo 15 como una aplicación de la integración.
Por último, diferenciabilidad y continuidad, que antes era una sección independien-
te, ahora se incluye como parte de la sección 1 en el capítulo 11, y se ha eliminado la 
sección “un comentario sobre funciones homogéneas” del capítulo 17.
Aplicaciones
Este libro incluye una gran cantidad y variedad de aplicaciones, destinadas al lector; de 
esta forma, los estudiantes ven cómo pueden utilizar las matemáticas que están apren-
diendo. Estas aplicaciones cubren áreas tan diversas como administración, economía, 
biología, medicina, sociología, psicología, ecología, estadística, ciencias de la tierra y 
arqueología. Muchas de estas situaciones de la vida cotidiana se tomaron de la litera-
tura existente, y están documentadas mediante referencias (en ocasiones de la Web). 
En algunas aplicaciones se ofrecen los antecedentes y el contexto con el fin de esti-
mular el interés en el tema. Sin embargo, el texto es independiente, en el sentido de 
que no supone un conocimiento previo de los conceptos sobre los cuales están basadas 
esas aplicaciones. El elemento Principios en práctica proporciona a los estudiantes aún 
más aplicaciones. Ubicados en los márgenes (ladillos) de los capítulos 1 a 17, estos ejer-
cicios adicionales ofrecen a los estudiantes aplicaciones del mundo real y más oportuni-
PREFACIO
 
xvii
 
dades para ver el material del capítulo puesto en la práctica. Un icono indica los proble-
mas de Principios en práctica que pueden resolverse mediante el uso de una calculadora 
graficadora. Las respuestas a estos problemas específicos aparecen al final del texto.
Se ha simplificado el lenguaje y la terminología
En esta edición se ha hecho un esfuerzo especial para utilizar terminología adecuada, 
sin introducir de manera simultánea una palabra o frase alternativa conectada mediante 
la palabra o. Por ejemplo, cuando se presenta la terminología para un punto (a, b) en el 
plano, “a se llama abscisa o coordenada x ...” se ha sustituido por “a se llama coordenada 
x ...”. En general, se ha tratado de emplear un lenguaje más coloquial cuando esto puede 
hacerse sin sacrificar la precisión matemática.
Pedagogía mejorada
Al revisar la sección 9.3, sobre Cadenas de Markov, nos dimos cuenta que se simplifica 
considerablemente el problema de encontrar vectores de estado estable si se escriben 
vectores de estado como columnas en lugar de filas. Esto requiere que una matriz de 
transición T � [tij] tenga 
tij � probabilidad de que el siguiente estado sea i dado que el estado actual es j
pero evita las transposiciones artificiales posteriores.
En el capítulo 13, que trata sobre el trazado de curvas, se ha incrementado el uso de 
gráficas de signo. En particular, una gráfica de signo para una primera derivada siempre 
está acompañada por una línea adicional que interpreta los resultados para la función 
que será graficada. Así, en un intervalo donde se registra ‘+’ para f � también se registra 
‘/’ para f y en un intervalo donde se registra ‘-’ para f � también se registra ‘\’ para f. Las 
cadenas resultantes de dichos elementos, por ejemplo /\/, con adornos adicionales que se 
describen en el texto, proporcionan un bosquejo muy preliminar de la curva en cuestión. 
Reconocemos que ésta es una técnica de pizarrón usada por muchos profesores pero 
que aparece muy pocas veces en libros de texto.
A lo largo del texto se ha conservado el popular enfoque “Ahora
resuelva el proble-
ma n” de otros libros de Pearson Educación. El objetivo es que después de un ejemplo 
los estudiantes resuelvan un problema al final de la sección que refuerce las ideas del 
ejemplo. En su mayoría, estos problemas tienen número impar, de modo que los alum-
nos pueden verificar su trabajo con las respuestas que aparecen al final del texto.
En el mismo sentido, se ha extendido el uso de advertencias precautorias para el es-
tudiante. Estas notas se indican con el título ADVERTENCIA y destacan errores que se 
cometen con frecuencia. Como sucedía con anterioridad, las definiciones se establecen 
y se muestran de manera clara. Los conceptos importantes, así como las reglas y fórmu-
las principales, se colocan dentro de recuadros para enfatizar su importancia.
Cada capítulo (excepto el 0) tiene una sección de repaso con una lista de términos y 
símbolos importantes, un resumen y una gran cantidad de problemas de repaso. En esta 
decimosegunda edición se incluye una lista que hace referencia a los ejemplos clave que 
corresponden a cada grupo de términos y símbolos relevantes.
Las respuestas a los problemas con número impar aparecen al final del libro. Para 
muchos de los problemas de diferenciación, las respuestas aparecen en forma “no sim-
plificada” y “simplificada”. (Por supuesto, “simplificada” es en cualquier caso un tér-
mino subjetivo cuando se aplica a expresiones matemáticas, que tienden a presuponer 
la naturaleza de los cálculos subsecuentes con tales expresiones.) Esto permite a los 
estudiantes verificar con rapidez su trabajo.
Ejemplos y ejercicios
Se resuelven con detalle más de 850 ejemplos. Algunos incluyen una estrategia diseña-
da de manera específica para guiar al estudiante a través de la logística de la solución, 
 
 
 
xviii Prefacio
antes de obtener ésta. Se incluye una gran cantidad de diagramas (casi 500) y ejercicios 
(más de 5000); de estos últimos, más de 900 son nuevos en esta edición. En cada serie de 
ejercicios, los grupos de problemas están organizados en orden creciente de dificultad. 
En muchos casos los problemas van desde los que sirven para practicar y se resuelven 
en forma mecánica, hasta los más interesantes que obligan a reflexionar. También se in-
cluye gran variedad de problemas de la vida cotidiana con datos reales. Se ha hecho un 
esfuerzo considerable para alcanzar el equilibrio entre los ejercicios de entrenamiento 
y los problemas que requieren de la integración de los conceptos aprendidos.
Tecnología
Con el propósito de que el estudiante aprecie el valor de la tecnología actual, a lo lar-
go del texto se presenta material opcional para calculadoras graficadora, tanto en la 
exposición como en los ejercicios, por varias razones: como una herramienta matemá-
tica, como una ayuda computacional y para visualizar y reforzar conceptos. Aunque el 
análisis de la tecnología correspondiente se ilustra con las pantallas de una calculadora 
TI-83 Plus, el enfoque es suficientemente general, de modo que pueda aplicarse en otras 
calculadoras graficadoras.
En las series de ejercicios, los problemas que se resuelven con calculadora se indican 
por medio de un icono como el que aparece al margen de este párrafo. Para dar al ins-
tructor flexibilidad en la planeación de tareas, estos problemas están colocados al final 
de las series de ejercicios.
Planeación del curso
Existe un número considerable de cursos que pueden utilizar este libro como texto. 
Como los profesores planifican el curso para que sirva a las necesidades específicas de 
una clase y de un temario en particular, no proporcionaremos directrices detalladas. 
Sin embargo, dependiendo de los antecedentes de los estudiantes, algunos profesores 
elegirán omitir el capítulo 0 (Repaso de álgebra).
Un programa que incluya tres trimestres de matemáticas, para estudiantes de admi-
nistración bien preparados, puede iniciar un primer curso con el capítulo 1 y con los te-
mas que le interese de los capítulos 2 a 9. Por ejemplo, si los estudiantes están tomando 
al mismo tiempo un curso de finanzas, podría optar por excluir el capítulo 5, que trata de 
matemáticas financieras (y así evitar la duplicidad de material para créditos distintos). 
Otros podrían considerar que el capítulo 7, que está dedicado a la programación lineal, 
incluye más material del que requieren sus estudiantes. En este caso, se puede pres-
cindir de secciones específicas como las 7.3, 7.5 y 7.8, sin perder continuidad. Por otro 
lado, en la sección 1.1 se introducen algunos términos de administración, como ingresos 
totales, costo fijo, costo variable y rendimiento, que son recurrentes a lo largo del libro. 
De manera similar, en la sección 3.2 se introducen las nociones sobre las ecuaciones 
de oferta y demanda, y en la sección 3.6 se analiza el punto de equilibrio y el punto de 
quiebre, todos ellos de importancia fundamental para las aplicaciones de negocios.
Un segundo curso, de un solo trimestre, sobre cálculo diferencial podría utilizar el 
capítulo 10 sobre Límites y continuidad, seguido por los tres capítulos de diferenciación: 
del 11 al 13 . Aquí, la sección 12.6, sobre el Método de Newton, puede omitirse sin perder 
continuidad, mientras que otros profesores pueden preferir revisar el capítulo 4, que 
habla sobre Funciones exponenciales y logarítmicas antes de su estudio como funciones 
diferenciales.
Por último, con los capítulos 14 a 17 podría definirse un tercer curso de un solo 
trimestre sobre cálculo integral, con una introducción al cálculo multivariado. En un 
curso con aplicaciones resulta conveniente enfatizar el uso de tablas para encontrar 
integrales, y por ende el uso de técnicas “por partes” y “de fracciones parciales”, las 
secciones 15.1 y 15.2 respectivamente, deben considerarse como opcionales. El capítulo 
16 ciertamente no es prerrequisito para el capítulo 17, y la sección 15.7, que trata de las 
integrales impropias, puede omitirse con seguridad si no se cubre el capítulo 16.
 
 
Prefacio xix
Las escuelas con dos periodos académicos por año tienden a dar a los estudiantes 
de administración un semestre dedicado a las matemáticas finitas y otro destinado al 
cálculo. Se recomiendan los capítulos 1 a 9 para el primer curso, iniciando donde lo per-
mita la preparación de los estudiantes, y los capítulos 10 a 17 para el segundo semestre 
—sin incluir el material opcional.
Suplementos
El Manual de soluciones del profesor tiene respuestas desarrolladas para todos los pro-
blemas, incluyendo los ejercicios de Principios en práctica y los ejemplos de final de 
capítulo.
El Test Item File (Archivo de preguntas de examen), usado por algunos profesores 
proporciona más de 1700 preguntas de examen, clasificadas por capítulo y por sección. 
Incluye una herramienta de edición que permite agregar o modificar preguntas. Tam-
bién para el uso de los maestros contamos con el TestGen, un generador de exámenes al-
gorítmico, completamente editable, que permite la creación de múltiples pruebas. Cabe 
mencionar que todo el material complementario se encuentra sólo en idioma inglés.
Reconocimientos
Agradecemos a los siguientes colegas su contribución con comentarios y sugerencias 
valiosos para el desarrollo de este libro:
E. Adibi (Chapman University); R. M. Alliston (Pennsylvania State University); 
R. A. Alo (University of Houston); K. T. Andrews (Oakland University); M. N. de Arce 
(University of Puerto Rico); E. Barbut (University of Idaho); G. R. Bates (Western 
Illinois University); D. E. Bennett (Murray State University); C. Bernett (Harper College); 
A. Bishop (Western Illinois University); P. Blau (Shawnee State University); R. Blute 
(University of Ottawa) S. A. Book (California State University); A. Brink (St. Cloud State 
University); R. Brown (York University); R. W. Brown (University of Alaska); S. D. Bul-
man-Fleming (Wilfrid Laurier University); D. Calvetti (National College); D. Cameron 
(University of Akron); K. S. Chung (Kapiolani Community College); D. N. Clark