Termodinamica

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1 
CHAPTER 3: PROPERTIES OF 
PURE SUBSTANCES 
Property Relations in Engineering 
Thermodynamics 
Lava flowing into the Pacific Ocean in Hawaii. Photo courtesy of Mike Benson. 
Capitulo 3: Introducción 
• Esta parte del curso envuelve el uso y/o 
búsqueda de las propiedades termodinámicas de 
substancias puras y gases no reactivos. 
• Comenzamos con el estudio de las propiedades 
de una sustancia pura y la relación entre estas 
propiedades: 
• Presión 
• Volumen especifico 
• Temperatura 
 
2 
Sustancias Puras 
•  Sustancias puras se refiere a una 
sustancia que tiene una composición 
química fija durante un proceso. 
•  Una sustancia pura no tiene que estar 
compuesto de un solo elemento. 
Pueden ser varios elementos en una 
mezcla siempre y cuando la mezcla 
sea homogénea. 
•  Una mezcla de dos fases también 
puede ser una sustancia pura, siempre 
y cuando la composición química sea 
igual en las diferentes fases. 
 
Fases de Sustancias Puras 
•  Solido: Arreglo 3D cuyo patrón es 
repetitivo. Las fuerzas intermoleculares 
mantienen a las moléculas en 
posiciones fijas (pueden oscilar). 
•  Liquido: Espacio entre las moléculas 
es parecido a un solido, pero ahora las 
moléculas pueden rotar y trasladarse 
libremente (no hay estructura 3D 
definida). 
•  Gas: Moléculas están lejos unas de 
otras y el orden molecular no existe. El 
movimiento de estas moléculas es 
aleatorio. 
 
3 
The State Principle 
Principio de estado 
 Para fijar el estado de un sistema compresible 
simple, dos propiedades termodinámicas, 
intensivas e independientes, son requeridas. 
Por ejemplo: P and v 
T and u 
x and h 
Propiedades termodinamicas intensivas: 
P –absolute 
pressure 
T – absolute 
temperature 
u – specific internal 
energy 
ν – specific volume 
x – quality 
(steam only) 
h – specific 
enthalpy 
s –specific entropy Less used: 
g - Gibbs free energy 
a - Helmholz free energy 
____________________________________ 
_____________________ 
_________________ 
Relación P-v-T 
•  Experimentalmente, se sabe 
que T y v son propiedades 
independientes. 
•  Entonces, la presión se 
puede determinar a partir de 
estas dos: 
P = P(T, v). 
•  La grafica que relaciona a 
estas tres propiedades se le 
conoce como superficie P- v -
T. 
Superficie P-v-T 
4 
Relación P-v -T 
• Esta grafica no es practica 
para obtener información. 
Es mas conveniente usar 
proyecciones en 2D de la 
superficie. 
• Diagrama de fase (P-T) 
• Diagrama P-v 
• Diagrama T-v 
Superficie P-v-T 
Relación P-v -T 
P-v-T surface of a substance 
that contracts on freezing. 
P-v-T surface of a substance that 
expands on freezing (like water). 
5 
Diagrama de Fase (P-T) 
a.  Punto Triple: 3 fases 
pueden coexistir en 
equilibrio 
b.  Punto Critico: Ultimo 
punto donde el 
liquido y el vapor 
pueden coexistir en 
equilibrio 
(a) 
(b) 
Diagrama de fase 
Diagrama de Fase (P-T) 
•  Las líneas que dividen 
regiones de una fase 
representan regiones de 
dos fases (dos fases 
coexisten en equilibrio). 
• En esta región P y T se le 
conoce como: 
•  Temperatura de saturación 
•  Presión de saturación 
Diagrama de fase 
6 
Diagrama de Fase (P-T) 
• En estas líneas, la presión 
y temperatura NO son 
independientes (una 
temperatura corresponde a 
una presión única). 
• En esta región (cambio de 
fase) se necesita una 
propiedad adicional para 
fijar el estado. Por ejemplo: 
•  T y v 
•  P y v 
Diagrama de fase 
Diagrama P-v 
• Campana de vapor: 
Mezcla de dos fases 
liquido-vapor (zona verde). 
•  La temperatura aparece en 
el diagrama P-v como 
curvas isotermales 
(temperatura constante). 
Curva 
Isotermal 
Campana 
de Vapor 
7 
Diagrama T-v 
Diagram courtesy of Jerry M. Seitzman, 2001 
(modified by R. E. Díaz-Rivera, 2007). 
Curva 
Isobárica 
Tcrit 
Diagrama T-v 
• Noten que las curvas isobáricas que pasan por el 
area dentro de la campana muestran una 
relación directa de presión y temperatura. P y T 
NO son independientes cuando hay cambio de 
fase (zona azul) 
P T 
P T 
8 
Cambios de Fase 
Cambio de fase de agua a presión constante: 
 
a)  Estado liquido 
b)  Dos fases: Mezcla de liquido-vapor 
c)  Estado de vapor 
Cambios de Fase 
(a) Estado liquido 
• Si calentamos el sistema 
hasta llegar al estado (f), 
al liquido se le conoce 
como liquido saturado. 
•  Los estados de liquido 
del punto (l) – (f) se le 
conoce como liquido 
comprimido ó 
subenfriado. 
9 
Cambios de Fase 
(b) Mezcla liquido-vapor 
n  Si calentamos el 
sistema un poco más, 
tenemos un mezcla de 
dos fases donde el 
liquido y el vapor 
coexisten en equilibrio. 
n  Esto corresponde a la 
región debajo de la 
campana de vapor. 
Cambios de Fase 
(b) Mezcla liquido-vapor 
n  Para identificar donde 
esta la mezcla entre el 
punto (f) y (g), se usa 
una propiedad intensiva 
que se conoce como 
calidad (fracción de 
mezcla que es vapor). 
 0 1vapor
vapor liquido
m
x x
m m
= ≤ ≤
+
vapor
liquido
Por ejemplo: Estado (f), m = 0 = 0
 Estado (g), m = 0 = 1
x
x
⇒
⇒
10 
Cambios de Fase 
(c) Estado de vapor 
n  Si calentamos el sistema 
un poco más hasta llegar 
al punto (g), todo el 
liquido se evapora y se le 
conoce como vapor 
saturado. 
n  Entre el punto (g) y el 
punto (s) se le conoce 
como vapor 
supercalentado. 
Buscando Propiedades 
Termodinámicas 
• Propiedades termodinámicas se puede obtener 
de varias maneras 
• Tablas 
• Graficas 
• Ecuaciones 
• Software 
• En esta sección, vamos a explicar como obtener 
propiedades de valores tabulados. 
11 
Buscando Propiedades 
Termodinámicas 
• Obtener propiedades de valores tabulados es 
una destreza bien importante necesitada para 
resolver problemas termodinámicos. 
 
• Para enseñar esta destreza, la siguiente 
discusión se va a centrar en las propiedades de 
agua pura que comprende desde la tabla A-2 
hasta la A-6 (también conocidas como tablas de 
vapor). 
Buscando Propiedades 
Termodinámicas 
• Es importante mencionar que también hay tablas 
de propiedades termodinámicas para otras 
sustancias. 
Sustancia Tablas (SI) 
Agua A-2 : A-6 
Refrigerante 22 A-7 : A-9 
Refrigerante 134a A-10 : A-12 
Amonia A-13 : A-15 
Propano A-16 : A-18 
* Las tablas que 
tienen propiedades en 
el sistema ingles se 
identifican con una E 
al final del nombre. 
(i.e. A-2E para agua) 
12 
Tablas de vapor y liquido 
Una fase 
• Tabla A-4 y A-4E: 
Propiedades de 
vapor super-
calentado 
• Tabla A-5 y A-5E: 
Propiedades de 
liquido comprimido 
 
Tablas de vapor y liquido 
Una fase 
• En regiones de una fase 
P y T son 
independientes, 
entonces se pueden 
usar para fijar el estado. 
• Una matriz de 
propiedades se puede 
crear en base a T y P. 
13 
14 
Interpolación Lineal: 
Propiedades entre los valores tabulados 
• Que pasa cuando las propiedades que buscamos caen 
entremedio de los valores tabulados? 
• Aproximamos un comportamiento lineal e interpolamos 
(interpolación lineal). 
Interpolación Lineal: 
Propiedades entre los valores tabulados 
• Ejemplo: Cual es el volumen especifico (v) de agua 
como vapor supercalentado a 0.1 MPa y a 215ºC? 
• Si vamos a la tabla A-4… 
 
15 
Interpolación Lineal: 
Propiedades entre los valores tabulados 
a 
b 
x 
T (ºC) v (m3/kg) Leyenda 
200 2.172 a 
215 ? x 
240 2.359 b 
P = 0.1 MPa 
n  Esa temperatura no está tabulada, sino que cae 
entremedio de 200 y 240ºC. 
16 
Interpolación Lineal: 
Propiedades entre los valores tabulados 
a 
b 
x 
b a x a
b a x a
v v v v vslope
T T T T T
Δ − −= = =
Δ − −
( ) b ax a x a
b a
v v
v v T T
T T
−⎡ ⎤
= + − ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Esta ecuación se puede derivar 
para cualquier propiedad intensiva 
tabulada (e.g. v, u, h, s). 
Interpolación Lineal: 
Propiedades entre los valores tabulados 
T (ºC) v (m3/kg) Leyenda 
200 2.172 a 
215 ? x 
240 2.359 b 
( )
( )
3
2.359 2.1722.172 215 200
240 200
2.2421
b a
x a x a
b a
x
x
v v
v v T T
T T
v
mv kg
−⎡ ⎤
= + − ⎢ ⎥−⎣ ⎦
−⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥−⎣⎦
=
Nota que: va<vx<vb 
@ 0.1 MPa 
17 
Tablas de Saturación 
Dos fases 
•  Tablas A-2 y A-3 contienen 
propiedades de agua en 
cambio de fase. 
•  A-2 se le conoce como la tabla 
de temperatura (primera 
propiedad tabulada). 
•  A-3 se le conoce como la tabla 
de presión (primera propiedad 
tabulada). 
`` 
18 
19 
Tablas de Saturación 
Dos fases 
• ¿Que pasa cuando queremos buscar información entre el 
punto (f) y (g)? 
• Usamos el concepto de Calidad 
En una mezcla de dos fases
donde
liquido vapor
liquido vapor
t t t
t liquido vapor
V V V
V VV
m m m
m m m
= +
= +
= +
Tablas de Saturación 
Dos fases 
Usando la definición de calidad vapor
t
mx m=
Sabemos que / ,
, ,
donde y representan los estados de
liquido y vapor saturado respectivamente
i i i
liquido vapor
f g
t t
v V m
i t liquido y vapor
m m
v v v
m m
f g
=
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )1 f g f g fv x v xv v x v v= − + = + −
Esta ecuación se puede usar 
para cualquier propiedad intensiva 
tabulada (e.g. v, u, h, s). 
20 
Relaciones de Calidad 
Si b = cualquier propiedad intensiva 
(b = v, u, h, s, etc.) 
(1 )g f
f fg
f f
g f fg
fg g f
b x b x b
b b x b
b b b b
x
b b b
b b b
= ⋅ + − ⋅
= + ⋅
− −
= =
−
= −
Relaciones de calidad 
Ejemplo 
• Considera 5 kg de agua en cambio de fase (liquido-
vapor) a 100ºC, donde la masa del liquido saturado es 
de 0.5 kg. 
•  Cual sería la calidad del sistema? 
•  Cual sería el volumen especifico? 
• Primero, vamos a calcular la calidad. 
21 
Relaciones de calidad 
Ejemplo 
• Luego, vamos a las tablas de saturación para 
conseguir información. 
vapor total liquido
liquido vapor total
m m m
x
m m m
−
= =
+
5 0.5 0.9
5
x −= =
90% de la masa esta en estado de vapor!! 
22 
Relaciones de calidad 
Ejemplo 
• De la tabla A-2 a 100ºC: 
•  vf = 1.0435x10-3 m3/kg 
•  vg = 1.673 m3/kg 
( )
( ) 33 31.0435 10 0.9 1.673 1.0435 10 1.5058
f g f f fgx v v xv
mx x kg
ν ν ν
ν − −
= + − = +
= + − =
Nota que: vf< v <vg 
How to pick the correct table? 
(International unit system) 
What is the working substance? 
–  Water (A-2:A-5) 
–  R-22 (A-7:A-9) 
–  R-134a (A-10:A12) 
–  Ammonia (A-13:A-15) 
–  Propane (A-16:A-18) 
In which state is the substance? 
Liquid 
Phase 
Change 
Superheated 
Vapor 
–  Water: A-5 
–  R-22: None* 
–  R-134a: None* 
–  Ammonia: None* 
–  Propane: None* 
 
–  Water: A-4 
–  R-22: A-9 
–  R-134a: A-12 
–  Ammonia: A-15 
–  Propane: A-18 
 
* In these cases, use 
approximations for liquids 
and solids (see section 
3.3.6 of textbook) . 
Given 
Temperature Pressure 
Water A-2 A-3 
R-22 A-7 A-8 
R-134a A-10 A-11 
Ammonia A-13 A-14 
Propane A-16 A-17 
23 
Ejemplo 1 
•  Conocido: Una mezcla de dos 
fases de agua en un envase 
cerrado y rígido pasa por dos 
procesos al ser calentado por 
una hornilla. La presión y calidad 
inicial, la presión al final del 1er 
proceso, y la calidad al final del 
2do proceso son conocidos. 
•  Buscar: 
a)  T para estados 1 y 2 (°C) 
b)   mvapor para 1 y 2 (kg) 
c)  P para 3 
d)  Dibujar diagrama T-v 
Ejemplo 2 
•  Conocido: 
Agua en un ensamblaje cilindro-pistón inicialmente 
a P=10 bar y T=400ºC pasa por dos procesos: 
•  1-2: Agua es enfriada a presión constante hasta llegar a 
vapor saturado. 
•  2-3: Agua es enfriada a volumen constante hasta llegar a 
150ºC. 
•  Buscar: 
a)  Det. Trabajo neto por unidad de masa (kJ/kg) 
b)  Det. Calor neto por unidad de masa (kJ/kg) 
c)  Dibujar diagramas T-v y P-v	
24 
Enthalpy 
H U P V
h u P v
= + ⋅
= + ⋅
Enthalpy is a property constructed due to the frequent 
occurrence of the above combination of properties. 
For a vapor and liquid mixture: 
 
h = hf + x hg − hf( ) = hf + xhfg
where:
f ⇒ saturated liquid
g ⇒ saturated vapor
hfg ⇒ hg − hf (enthanlpy 
 of vaporization)
Specific Heats (Heat Capacities) 
•  Los calores específicos están definidos de la siguiente 
manera: 
v
v
uc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
p
p
hc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
Calor específico a presión constante 
Calor específico a volumen constante 
Unidades: kJ/kg-K 
 Btu/lb-ºR 
25 
Specific Heats (Heat Capacities) 
• A Cp y Cv se les conoce también como “capacidad de 
calor” 
 
• Este nombre alterno proviene de condiciones 
especiales que relacionan al cambio en temperatura 
con la transferencia de calor 
 
• Definición simplificada: Energía necesaria para 
cambiar un grado de temperatura a una masa de un 
kilogramo 
Agua: Cp = 4 kJ/kg-K 
Aluminio: Cp = 1 kJ/kg-k 
Specific Heats (Heat Capacities) 
v
v
uc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
p
p
hc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
cp of water vapor as a function of temperature and pressure 
26 
Approximations for liquids and solids 
•  Incompressible Substance Model 
•  Using specific heat 
• Compressed Liquid Rule 
•  Using saturated liquid data 
Approximations for liquids and solids 
Using Specific Heat 
Sabemos que,
( , ) ( ) 
p
h T P u T p
h du dp
T dT dT
ν
ν
= +
∂ = +
∂
• Using ‘Incompressible Substance Model’ 
0 
(incompresible) 
Entonces, 
cp = cv = c 
v
v
uc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
p
p
hc
T
∂ ⎞= ⎟∂ ⎠
27 
•  Solids 
 
 
 
•  Liquid – constant pressure 
 
 
 
•  Liquid- constant temperature 
( )
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
( )
( )
p vc c c
u u c T T
h h c T T p pν
= =
− = −
− = − + −
Approximations for solids and liquids 
Using Specific Heat 
Very small for 
liquids and solids 
•  Assuming constant specific heat 
(good assumption for solids and 
liquids) 
Specific heat data is tabulated for some 
liquids and solids in Table A-19 
 
Special Cases 
 
h u c TΔ = Δ ≅ Δ
h u c TΔ = Δ ≅ Δ
h v PΔ = Δ
28 
Ejemplo 3 
•  Conocido: Un tanque bien 
aislado de cobre (13kg) con 
temp. inicial de 27°C contiene 
4kg de agua inicialmente a 50°C. 
El sistema llega finalmente a 
equilibrio térmico. 
•  Buscar: Temperatura final del 
sistema en equilibrio (°C). 
4kg 
Water 
13kg 
Copper 
Thermal 
Insulation 
Tc1 = 27°C = 300 K 
Tw1 = 50°C = 323 K 
Approximations for liquids and solids 
•  Incompressible Substance Model 
•  Using specific heat 
• Compressed Liquid Rule 
•  Using saturated liquid data (liquids only) 
29 
Approximations for liquids 
Using Saturated Liquid Data 
•  Let’s take a look at the specific volume (@100ºC, for 
example) in table A-5 (compressed liquid data) 
P (bar) v (m3/kg) x103 %Change 
25 1.0423 
150 1.0361 0.60 
250 1.0313 1.05 
@ 100ºC 
T (ºC) v (m3/kg) x103 % Change 
20 0.9950 
140 1.0707 7.61 
220 1.1748 18.1 
@ 150 bar 
La temperatura afecta 
las propiedades de 
liquido comprimido de 
una manera mucho 
mas drástica que la 
presión. 
30 
Approximations for liquids and solids 
Using Thermodynamic Tables 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
,
,
,
,
f
f
f f f f sat
f
v T p v T
u T p u T
h T p u T pv h T v p p T
h T p h T
≈
≈
= + = + −
≈
• Using Saturated 
Liquid Data 
(‘Compressed Liquid 
Rule’) 
Does not yield significant improvement at 
moderate to high temperatures and pressures 
Ejemplo 4 
•  Conocido: 0.1 mL de aceite de cocinar es 
colocado en un contenedor de un calorímetro 
de volumen constante. Hay suficiente O2 en el 
c o n t e n e d o r p a r a q u e m a r e l a c e i t e 
completamente. El contenedor es sumergido 
en un baño de agua. La masa del baño de 
agua y de las partes metálicas del aparato son 
modeladas como 2.65 kg de agua. El 
calorímetro esta bien aislado, y la temperatura 
inicial del sistema es de 25ºC. El aceite es 
encendido por una chispa. Cuando el sistema 
llega a un equilibrio térmico, la temperatura a 
través del sistema es de 25.3ºC. Ti = 25ºC 
Tf = 25.3ºC 
31 
Ejemplo 4 
•  Buscar: 
Determinar el cambio en 
energía interna del 
contenido del contenedor 
en: 
a)  kcal/ml 
b)  Cal/tablespoon 
Ti = 25ºC 
Tf = 25.3ºC 
1 Cal = 4.1868 kJ 
1 kcal = 1 Cal 
Ejemplo 5 
n  K n o w n : I m a g i n e y o u h a d t h e 
unfortunate occasion of being slapped in 
the face by an angry person. The energy 
transferred by the fast-moving hand to 
the face causesan increase in the 
temperature of the affected area of your 
face of 1.8°C. The slapping hand has a 
mass of 1.2 kg, the affected face tissue 
area has a mass of 0.15 kg, and the 
specific heat of the tissue can be taken 
as 3.8 kJ/kg-°C. 
n  Find: Taking the hand and the affected 
tissue in the face as the system: 
¡  Estimate the velocity of the hand just 
before impact, in miles per hour. 
A s s u m e t h a t t h e 
temperature increase in 
the hand is negligible, 
the final velocity of the 
hand is zero and the 
face does not move. 
32 
The Ideal-Gas Equation of State 
• Property tables provide very accurate info about 
the properties, but they are bulky and vulnerable 
to typographical errors. 
 
• A more practical and desirable approach would 
be to have simple mathematical relations among 
properties that are sufficiently general and 
accurate. 
The Ideal-Gas Equation of State 
• Any equation that relates the pressure, 
temperature, and specific volume of a substance 
is called an equation of state. 
• The simplest and best-known equation of state for 
substances in the gas phase is the ideal-gas 
equation of state. 
33 
The Ideal-Gas Equation of State 
•  In 1662, Robert Boyle observed during his experiments 
with a vacuum chamber that the pressure of gases is 
inversely proportional to their volume. 
 
•  In 1802, J. Charles and J. Gay-Lussac experimentally 
determined that at low pressures the volume of a gas is 
proportional to its temperature. In other words: 
TP R
v
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
The Ideal-Gas Equation of State 
• Therefore, an ideal gas is a gas that obeys the ideal-
gas relation below. 
PV
number of moles
8.314 kJ/kmol-K
universal gas constant 
1.986 Btu/lbmol-R
nRT
n
R
=
=
⎡
= ⎢
⎣
i
Pv RT
Pv RT
PV
=
=
imRT=
V
m nMM
νν
ν
= =
=
molecular weight of substance 
i
i
i
n
RR M
M i
=
=
Other forms of the ideal-gas equation of state 
34 
The Ideal-Gas Equation of State 
• When can the ideal-gas equation of state can be 
used? 
•  When the pressure is relatively small compared to the gas 
critical pressure (PC) and/or the temperature is relatively large 
compared to the gas critical temperature (TC). 
•  When the compressibility factor (z) is approximately 1. 
c
c
P P
T T
<<
>>
1
pv pvZ
RT RT
Z
= =
≈
The critical temperature and 
pressure for several substances 
can be obtained from Table A-1(E) 
Generalized Compressibility Chart for Various 
Gases 
TR=T/TC 
pR=p/pC 
35 
Generalized Compressibility Chart for Various 
Gases 
Figure A-1 Generalized compressibility chart, pR ≤ 1.0. Source: E. F. Obert, Concepts of 
Thermodynamics, McGraw-Hill, New York, 1960. 
TR=T/TC 
pR=p/pC 
Generalized Compressibility Chart for Various 
Gases 
Figure A-2 Generalized compressibility chart, pR ≤ 10.0. Source: E. F. Obert, Concepts of 
Thermodynamics, McGraw-Hill, New York, 1960. 
TR=T/TC 
pR=p/pC 
36 
Generalized Compressibility Chart for Various 
Gases 
TR=T/TC 
pR=p/pC 
Figure A-3 Generalized compressibility chart, 10 ≤ pR ≤ 40. Source: E. F. Obert. Concepts of 
Thermodynamics, McGraw-Hill, New York, 1960. 
Other Equations of State for Gases 
•  Van de Waals 
•  It was proposed in 1873 and it has 2 constants that are determined 
from the behavior of a substance at the critical point. It’s given by: 
•  Van der Waals equation intended to improve the ideal-gas equation of 
state by including two of the effects not considered in the ideal-gas 
model: intermolecular attraction forces (a/v2) and the volume occupied 
by the molecules themselves (b). Where, 
( )2
aP v b RT
v
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 227
64 8
cr cr
cr cr
R T RTa and b
P P
= =
37 
Other Equations of State for Gases 
• Beattie-Bridgeman 
•  It was proposed in 1928. An equation of state based on 5 
experimentally determined constants. It’s expressed as: 
•  The constants can be found as tabulated values for different 
gases. The Beattie-Bridgeman equation is known to be 
reasonably accurate for densities up to about 0.8ρcr. 
( )2 3 21
RT c AP v B
v vT v
⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 01 1
a bA A and B B
v v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Other Equations of State for Gases 
• Benedict-Webb-Rubin 
•  It was first proposed in 1940. An extension of the Beattie-
Bridgeman equation, which raised the number of constants to 
eight. It’s expressed as: 
•  The constants can be found as tabulated values for different 
gases. This equation of state can handle densities up to about 
2.5ρcr. 
20
0 02 2 2 3 6 3 2 2
1 1 vCRT bRT a a cP B RT A e
v T v v v v T v
γα γ −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
38 
Other Equations of State for Gases 
• Virial Equation of State 
•  The equation of state of a substance can also be expressed in a 
series form as: 
•  Where a(T), b(T), c(T), and so on, which are functions of 
temperature alone, are called the virial coefficients. These 
coefficients can be found experimentally or theoretically form 
statistical mechanics. This equation of state becomes more 
accurate as the number of terms increases. 
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 ...
a T b T c T d TRTP
v v v v v
= + + + + +
Ejemplo 6 
•  Known: The pressure in an 
automobile tire depends on the 
temperature of the air in the tire. 
When the air temperature is 25ºC, 
the pressure gage reads 210 kPa. 
The volume of the tire is 0.025 m3. 
•  Find: 
a. The pressure rise in the tire when the air 
temperature in the tire rises to 50ºC. 
b. Determine the amount of air that must be 
bled off to restore pressure to its original 
value at 50ºC. 
Patm = 100 kPa 
39 
Ideal Gas Model 
•  We define an ideal gas as a gas whose temperature, pressure 
and volume follow the equation below. 
•  In 1843, J.P. Joule demonstrated mathematically and 
experimentally that for an ideal gas the internal energy (U) is 
a function of temperature only. 
Pv RT=
( )u u T=
Ideal Gas Model 
•  In his classical experiment, Joule 
submerged two tanks connected by a 
valve in a water bath. One tank 
contained air at high pressure while 
the other was at vacuum. After thermal 
equilibrium was reached, he opened 
the valve until the pressure was 
equalized in both tanks. 
 
•  Joule observed no change in the 
temperature of the water bath and 
since there was no work, he 
concluded that the internal energy of 
the air did not change even though 
the volume and pressure changed. 
 
40 
Ideal Gas Model 
• Therefore, he reasoned that the 
internal energy of the ideal gas 
was a function of temperature 
only and not a function of 
pressure and specific volume. 
•  Joule later showed that for 
gases that deviate significantly 
form ideal-gas behavior, the 
internal energy is not a function 
of temperature alone. 
 
Ideal Gas Model 
• With Joule’s discovery, the ideal gas model can be 
written as follows: 
• Thus, specific internal energy and specific enthalpy 
can be tabulated as a function of temperature. 
( )
( ) ( ) ( )
pv RT
u u T
h u T pv u T RT h T
=
=
= + = + =
41 
42 
Internal Energy, Enthalpy, and 
Specific Heat of Ideal Gases 
• For ideal gases 
• Consider the following equation 
• By differentiating the equation above w.r.t. 
temperature 
( )
( )
v
p
duc T
dT
dhc T
dT
=
=
( ) ( )h T u T RT= +
(depend only of 
temperature) 
dh du R
dT dT
= +
Internal Energy, Enthalpy, and 
Specific Heat of Ideal Gases 
•  Hence, for an ideal gas 
•  For an ideal gas, the specific heat ratio, k, is defined as: 
•  Since cp > cv, it follows that k >1. 
•  cp, cv, and k are tabulated in table A-20(E) for common gases 
as function of temperature 
( ) ( )p vc T c T R= +
( )
( )
p
v
c T
k
c T
=
where cp > cv 
43 
44 
Variation of with Temperature 
 
Internal Energy, Enthalpy, and 
Specific Heat of Ideal Gases 
• Assuming constant specific heat 
• where 
2 1 2 1
2 1 2 1
( )
( )
avg
avg
v
p
u u c T T
h h c T T
− = −
− = −
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
2
2
avg
avg
p p
p
v v
v
c T c T
c
c T c T
c
+
=
+
=
45 
Properties for Ideal GasesPv RT
Pv nRT
Pv RT
PV mRT
=
=
=
=
( )
( ) ( )
u u T
h h T u T RT
=
= = +
The Ideal Gas Model: 
( )
( )
v
p
duc T
dT
dhc T
dT
=
=
Tables A-22(E) and A-23 (E) 
When specific heats 
are assumed constant 
Table A-20(E): 
2 1 2 1
2 1 2 1
( )
( )
v
p
u u c T T
h h c T T
− = −
− = −
Requirements: 
1
c
c
Z
P P
T T
≈
<
>molecular weight
M
V
n
RR M
M
νν
ν
=
=
=
=
Ejemplo 7 
•  Conocido: Dos tanques 
rígidos conteniendo CO están 
inicialmente en estados 
d i f e r e n t e s y e s t á n 
conectados por una válvula. 
La válvula es abierta y el gas 
se mezcla hasta llegar a una 
temperatura final de equilibrio 
conocida. 
•  Buscar: Presumiendo que 
CO es gas ideal. 
a)  Presión final en bar 
b)  Q del proceso en kJ 
Tf = 42°C 
A B 
46 
Ejemplo 8 
•  Conocido: Aire y CO2, como gas 
ideal, se encuentran en lados 
opuestos de un contenedor 
rígido y bien aislado. La partición 
que separa los gases se mueve 
y permite transferencia de calor 
de un gas al otro hasta llegar a 
e q u i l i b r i o . N o h a y 
almacenamiento de energía ni 
transferencia de masa en la 
partición. 
•  Buscar: Asumiendo calor 
especifico constante 
a)  Temperatura final en K 
b)  Presión final en bar 
Polytropic Process of an Ideal Gas 
For a closed system: 2 1
1 2
constant
P V
P V
n
n
PV =
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( 1)/ ( 1)
2 2 1
1 1 2
2
2 1
1
2
2
11
( ) , ( 1)
1
ln
n n n
T P V
T P V
mR T TP dV n
n
VP dV mRT
V
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⋅ = ≠
−
⎛ ⎞
⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
Expansion/Compression (Moving 
Boundary) Work (Ideal Gas OR liquid): 
2
2 2 1 1
1
2
2
1 1
11
, ( 1)
1
ln , ( 1)
PV PVP dV n
n
VP dV PV n
V
−⋅ = ≠
−
⎛ ⎞
⋅ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
Ideal Gases ONLY: