Origen y evolución de la matemática - Romi Scuderi

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ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA MATEMÁTICA
La Matemática es la ciencia que estudia la cantidad, haciendo
abstracción de todas las cualidades de las cosas, excepto la posibilidad
de ser agrupadas según el número (aritmética) o según sus
dimensiones y sus formas (geometría). Tiene históricamente una larga
si todas las actividades humanas.
Etimológicamente, máthema: que significa “disciplina”, e identifica al
conocimiento matemático como formador de la capacidad de
especulaciones deductiva.
Las primerias evidencias numéricas corresponden al hombre de
Neanderthal (50000 a C.) y los dibujos geométricos primitivos fueron
expresiones plásticas del Paleolítico (25000 a. C.); ambas actividades,
inherentes a la Matemática, se inician íntimamente ligadas a la vida
cotidiana.
Durante más de tres mil años, los seres humanos vivieron como
cazadores de animales salvajes y recolectores de frutas, semillas y
miel. Al aparecer el homo sapiens durante la última glaciación, diez mil
años atrás, comienza una serie de cambios en sus formas de vida:
domestica ciertas especies y produce algunos inventos.
Al retirarse los glaciares, las comunidades humanas desarrollaron
nuevas formas de aprovechar los recursos naturales y los cazadores y
los recolectores se hicieron agricultores. Las actividades relacionadas
con la agricultura y la ganadería propiciaron que el ser humano
aprendiera a contar. Podemos afirmar que aquellos seres poseían un
sentido innato del número, al menos como diferencia entre uno y
muchos. Posiblemente apilaron piedras o realizaron marcas en un
tronco de madera para memorizar cantidades. Cuando esas cantidades
aumentaron, necesitaron inventar otros códigos y fue preciso dar
nombre a los números. A medida que la sociedad evolucionaba,
también los hicieron los medios de los que se valía para contar y
aparecieron los cálculos cada vez más complicados.
En el Neolítico, la Matemática aparece como una herramienta en las
civilizaciones mesopotámica (llanura de los ríos Éufrates y Tigris) y
egipcia (llanuras del río Nilo) (5000 a. C.).
La primera civilización conocida, los sumerios, aparecen en esa
época en la Mesopotamia. Fueron los creadores del primer sistema de
escritura (4000 a. C.); se llamó cuneiforme por sus signos angulares en
forma de cuña, hechos sobre ladrillos o tablillas de arcilla. Su
matemática tenía un fin mayormente utilitario, aunque también fue
utilizada como entretenimiento.
Hacia 1800 a. C. el rey Hammurabi consiguió dominar toda la
Mesopotamia creando el gran imperio de Babilonia. Los babilonios
utilizaban las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética y
recurrían a tablas para operar; además conocían la raíz cuadrada.
No lejos de la Mesopotamia, en el valle del Nilo, el Estado egipcio
unificado creaba –alrededor del 3000 a. C. – la escritura jeroglífica y la
practicaban en hojas de papiro previamente preparadas. En esa época,
los egipcios poseían conocimientos matemáticos relevantes que
permitieron, entre otras cosas, la construcción de la pirámide
escalonada de Sakkara.
En poco tiempo, las pirámides escalonadas fueron reemplazadas por
las verdaderas pirámides: Cheops (2566 a. C.), Kefren (2533 a. C.) y
Mecerino (2504 a. C.). Estas construcciones permiten afirmar que los
egipcios poseían conocimientos matemáticos de importancia.
En el Museo Británico de Londres se conserva un papiro que en
1858 un anticuario escocés, Henry Rhind, compró en una tienda de
Luxor: el papiro Rhind –que se conoce también con el nombre del
escriba que lo copió (Ahmes) en el 1650 a. C. aproximadamente. Este
Papiro Ahmes contiene numerosos ejercicios matemáticos. En esa
época, las operaciones fundamentales practicadas por los egipcios
eran la suma, la multiplicación y la división, que se hacía por
duplicaciones sucesivas.
Los griegos tomaron contacto con las culturas de los pueblos de la
Mesopotamia y de Oriente, como China e India. En el 332 a. C.
Alejandro Magno conquistó Egipto, que pasó a formar parte del mundo
griego y los conocimientos matemáticos aumentaron y se
enriquecieron. Este pueblo hizo un gran aporte a la Matemática, ya que
la fundamentó como ciencia deductiva tal como la conocemos
actualmente.
Thales (624-548 a. C.), que había viajado por Oriente, fue el primer
griego que desarrolló conceptos geométricos en términos abstractos.
Pitágoras de Samos (580-500 a. C.), el padre de la Matemática,
escribía en su escuela que “Las cosas son números” y se le atribuye la
demostración del teorema que lleva su nombre.
Aristóteles de Estagira (384-322 a. C.) maestro de Alejandro, fue el
primer sistematizador de la lógica o sea la ciencia que nos permite
alcanzar la verdad mediante el razonamiento; hizo notar que toda
ciencia demostrativa debe partir de principios indemostrables, ya que
si no se hiciera así, el principio demostrativo no tendría fin.
Paltón (427-347 a. C.) transformó la matemática en una disciplina
rigurosa y abstracta. Euclides que vivió aproximadamente en el año
300 a. C., el más famoso de todos los geómetras, recogió todas las
propiedades y los teoremas de su predecesor y los organizó, creando
la geometría llamada posteriormente Euclidiana.
La Matemática evolucionó en el mundo griego a lo largo de un
milenio (600 a. C. a500/600) y en este período viajó de Jonia a la
Magna Grecia (sur de Italia), después a Atenas, luego a Alejandría y
otros lugares del mundo civilizados de entonces.
Paralelamente, los romanos estaban organizando un impero (la
fundación de Roma se sitúa en el 753 a. C.). En el 146 a. C. se
adueñaron de las tierras cercanas al Mediterráneo, excepto Egipto. El
Imperio Romano no fomentó el desarrollo de las ciencias, lo que
produjo un estancamiento de la Matemática; no obstante, los romanos
tuvieron la capacidad de unir pueblos heterogéneos y sus leyes
constituyen la base del derecho de la mayoría de los estados
modernos.
Los siglos entre la caída del Imperio Romano y el surgimiento de la
Europa Moderna –Edad Media– fue un período crítico para la cultura
occidental. Su duración se extiende entre la desaparición del Imperio
de Occidente (476) hasta la toma de Constantinopla por los turcos
(1453).
En ese período es digno destacar la influencia de los árabes en la
Matemática. En el año 641, los árabes ocupan Alejandría, que había
sido durante casi mil años el centro matemático del mundo. Bagdad
–capital del Imperio de los conquistadores árabes– se convierte en el
centro del desarrollo matemático. En la segunda mitad del siglo VIII, el
Califa de Bagdad –Al Mamun– funda allí la “Casa de la Sabiduría”,
extendiendo por Occidente, en gran parte a través de España
–principalmente por Toledo–, la cultura que recogían en los países que
dominaban. En la primera mitad del siglo IX, Al khowarizmi escribió,
entre otros, un libro donde expone con detalles el sistema de
numeración decimal que se utilizaba en la India.
La matemática árabe tuvo las siguientes características:
● Una aritmética que provenía de la India basada en el principio
posicional del sistema de numeración.
● El álgebra con origen en Grecia, India y Babilonia, que adoptó
características nuevas e importantes.
● La trigonometría y la geometría proveniente de Grecia, que los
árabes ampliaron y desarrollaros.
Durante la Edad Media, la mayoría de los matemáticos destacados
leían y escribían en árabe y vivían en Asia y África Islámica. Con la
toma de Constantinopla por los turcos cae definitivamente el Imperio
Bizantino. Aumentan entonces las traducciones al latín de los clásicos
griegos y sus obras.
En el siglo XV renace la curiosidad científica que se manifiesta en
todas las áreas del saber. La ciencia renacentista brilló y progresó
notablemente. Aparecen matemáticos en toda Europa, se traduce a los
griegos y se profundizan sus estudios. Se desarrolla el álgebra y la
trigonometría; se comienza a utilizar una perspectiva matemática para
representar en el plano objetos situados en el espacio tridimensional;
los primeros intentos se realizaron en la ciudad de Florencia.
El descubrimiento de América motivóla necesidad de perfeccionar
la cartografía y, con ello, la profundización de la geometría.
A partir de 1603, aproximadamente, comienza a crearse la
geometría analítica, los números indo-arábigos desplazan a los
números romanos, progresa el lenguaje simbólico matemático, se
inventan los logaritmos y el cálculo infinitesimal.
Descarte (1596-1650) propone a todos los intelectuales de su época
que explique la naturaleza a través de un esquema científico
deductivo; es decir, que las propiedades de los entes matemáticos se
demuestren a partir de otras más simples, intuitivas y evidentes.
De una manera gradual, el conocimiento experimenta un proceso de
sistematización y se inicia la experimentación; se comienza a utilizar
el método analítico y sintético. El método analítico permite conocer los
resultados particulares una vez conocidos los generales; suele usarse
en la demostración de propiedades. El método sintético recurre a
conocimientos dispersos y particulares para establecer una propiedad
general mediante un proceso de inducción.
En el siglo XIX, algunos sostienen que la matemática es una creación
intelectual del hombre que le permite proyectar su creatividad e
imaginación, comienza también su fundamentación y surgen las
geometrías no euclidianas.
● Durante este siglo, un grupo de matemáticos logran que muchos
de sus estudios se conviertan en un campo propicio para
proyectar su creatividad e imaginación. Según el modo de
entender la matemática se agrupaban en tres escuelas.Los que
sostenían que la matemática se deriva de la lógica: escuela
logicista.
● Los que entienden que la lógica se deriva de la matemática:
escuela intuicionista.
● Los que consideraban la matemática como una estructura con
ciertas reglas formales, convenidas de antemano, que permitían
desarrollar las demás: escuela formalista.
A fines del siglo XIX, George Cantor, nacido en San Petersburgo en
1845, enuncia la teoría de conjuntos y con ella nace la matemática
moderna. Se conoce como teoría de conjuntos la rama de la
matemática que estudia las propiedades de los conjuntos y las
operaciones que se pueden realizar entre ellos. Dicha teoría es
utilizada exitosamente como lenguaje matemático en muchas partes
del mundo.
Cantor estudió filosofía, física y matemática y se dedicó
fundamentalmente a esta última disciplina. Fundó su teoría de
conjuntos en 1875, como una rama autónoma de la matemática y
como resultado de sus estudios sobre el concepto de infinito
matemático.
Cantor nota que no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo
“tamaño” e intenta construir una jerarquía de dichos conjuntos,
teniendo en cuenta el cardinal de los mismos (el cardinal de un
conjunto finito es la cantidad de elementos que éste tiene). Elabora
una teoría de los números a partir de la noción de clases; reemplaza la
lógica clásica por definiciones a partir de propiedades comunes.
Utiliza el concepto matemático de correspondencia biunívoca o
correspondencia biyectiva (asocia cada elemento de un conjunto con
uno y solo uno de los elementos de otro conjunto, y cada elemento de
este último conjunto con uno y solo uno de los elementos del primero),
con lo que llega a la noción de “tamaño” de conjuntos infinitos.
Ejemplo:
Números Naturales: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8…
Números Pares: 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14 – 16…
Es evidente que el conjunto de los números pares forma parte del
conjunto de los números naturales, es decir los números pares están
incluidos en los números naturales.
A medida que creaba su teoría, Cantor la defendía de sus
detractores, que sostenían la existencia de contradicciones y
paradojas. Podemos mencionar la conocida paradoja del barbero. En
un pueblo hay un barbero que afeita –solamente- a todos los hombres
del pueblo que no se afeitan a sí mismos. El barbero, ¿se afeitaría a sí
mismo? ¿Quién afeitaría al barbero?
La oposición a su teoría y la inestabilidad laboral como profesor
llevaron a Cantor a serias crisis depresivas, hasta que muere en un
instituto psiquiátrico en 1918.
La teoría de conjunto comenzó a establecer sus bases axiomáticas
en 1908, perfeccionándose en 1922 y 1937, utiliza diagramas muy
claros que se llaman diagramas de Venn, en honor al lógico inglés Jhon
Venn (1834-1922) que los usó frecuentemente.
La teoría de conjunto fue profundizada por Bertrand Rusell y otros a
principios del siglo XX y, si bien es muy abstracta, es una maravillosa
creación de la inteligencia humana; cuando se enseña desconectada de
otros contenidos resulta muy difícil para los alumnos. Propiedades
como la reflexiva (todo elemento del conjunto está relacionado con sí
mismo) y la simétrica (si cada vez que un elemento está relacionado
con otro, éste segundo también está relacionado con el primero)
exigen un nivel de pensamiento simbólico y formal que los niños no
poseen; pero es muy útil como lenguaje matemático.
La matemática del siglo XX se caracterizó por dirigirse cada vez más
hacia la abstracción y por ser el instrumento que permite formular y
resolver problemas de otras disciplinas. Actualmente es casi imposible
prescindir de la matemática en muchas de las actividades humanas.
LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA
Desde los orígenes de la humanidad, el mundo físico circundante le
fue generando los conceptos matemáticos relacionados con formas y
cuerpos. Se descubrieron propiedades geométricas que hoy nos
parecen obvias, por ejemplo, que la distancia más corta entre dos
objetos es la línea recta. Con el transcurso de los siglos, esas
observaciones reiteradas dieron origen a la geometría, que
etimológicamente significa medida de la tierra (geo= Tierra, y metría=
medida).
La evolución de los seres humanos trajo aparejadas numerosas
situaciones que permitían el avance de los conocimientos geométricos:
la construcción de viviendas, la invención de la rueda, la elaboración
de distintos instrumentos, etc.
La geometría aparece como una herramienta utilitaria en las
civilizaciones mesopotámicas y egipcia. Luego, en Grecia se la
considera, además, como ciencia ideal para desarrollar la inteligencia y
llegar al conocimiento de la verdad.
En Grecia, alrededor del año 300 a. C. nació Euclides quien escribió
un libro titulado “Elementos”. En esta obra, la geometría se convierte
en ciencia deductiva.
Elementos, obra cumbre de la matemática griega, es en realidad un
conjunto de 13 libros dedicados a los fundamentos y el desarrollo
lógico y sistemático de la geometría. Euclides construye su geometría
con definiciones, postulados y nociones comunes. Presenta en total
118 definiciones y con ellas intenta dar nombre a los elementos con
los cuales construye su geometría. Entre estas definiciones figuran las
de punto, línea, recta, superficie, plano, rectas perpendiculares, etc.
Después enuncia 5 postulados:
1) Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una
recta. (Dos puntos cualesquiera determinan una recta a la
cual pertenecen).
2) Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la
misma dirección. (Las rectas son conjuntos infinitos).
3) Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una
circunferencia.
4) Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5) Si una recta al cortar otras dos, forma de un mismo lado
ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas
prolongadas infinitamente se cortan del lado en que están los
ángulos menores que dos rectos.
El postulado 5 es equivalente a decir que, por un punto exterior a
una recta pasa sólo una paralela a dicha recta. Es conocido con el
nombre de “postulado de las paralelas” y ha sido de gran importancia.
Después de los postulados establece una serie de nociones
comunes o axiomas. Con los postulados y las nociones comunes
intenta construir una geometría eminentemente deductiva.
La intuición y el razonamiento (inductivo o deductivo) permiten a
los matemáticos concebir, según algunos, y descubrir, según otros,
ideas que faciliten la resolución de problemas.
El razonamiento inductivo es aquel en el que las conclusiones no se
derivan de laspremisas. Por ejemplo, si decimos: “Rosario es una
ciudad populosa, La Plata es una ciudad populosa, Buenos Aires es una
ciudad populosa; podemos concluir que las ciudades son populosas”,
corremos el riesgo de aceptar como válidas afirmaciones que pueden
no serlo. Este razonamiento no ofrece garantías de que la conclusión
sea verdadera, pero es un punto de partida. El razonamiento inductivo
tiene un defecto, que es el de considerar algo como general, teniendo
en cuenta sólo un número limitado de casos particulares.
El razonamiento deductivo es aquel que se deriva de las premisas.
Por ejemplo: “Todos los claveles son flores, algunos claveles son rojos;
podemos afirmar que algunas flores son rojas”. Este tipo de
razonamiento permite obtener conclusiones verdaderas.
La geometría se construye a partir de un mínimo de ideas muy
claras y sin demostración (axiomas o postulados); utilizando el
razonamiento lógico-deductivo se deducen todas las propiedades.
En esta disciplina se usan frecuentemente palabras o expresiones
que conviene conocer:
Entes primitivos o ideas primarios. Son las ideas o los conceptos
que se consideran fundamentalmente y no se definen porque se caería
en un círculo vicioso. Por ejemplo: punto, recta y plano.
Conceptos no primitivos. Son los que se definen; las definiciones
pueden ser explícitas o por abstracción.
Axiomas o postulados. Son las propiedades que no se pueden
probar o demostrar. Casi siempre son evidentes por sí mismas, es
decir, no necesitan demostración. Los axiomas deben ser
independientes entre sí, compatibles, claros y reflejar las propiedades
del mundo físico.
Ejemplos:
* El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
* Dos cuerpos no pueden ocupar a la vez el mismo espacio.
Proposiciones lógicas. Son proposiciones que expresan juicios, es
decir, una relación lógica entre dos ideas.
Ejemplos
* Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.
* 6 es un número primo.
Argumento (o silogismo). Es el proceso por el cual se pasa de una
proposición a otra. Es un razonamiento deductivo.
Ejemplos:
- Todos los hombres son mortales (premisa mayor).
- Sócrates es hombre (premisa menor).
- Por lo tanto Sócrates es mortal (conclusión).
- En un triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa (premisa mayor)
- Un triángulo rectángulo tiene los catetos de 3 cm y 4 cm
(premisa menor)
- La hipotenusa de ese triángulo mide 25 cm (conclusión).
Los argumentos no válidos se llaman falacias o paralogismos.
Ejemplo:
- Cristina es una cantante muy bonita (premisa mayor).
- Mi hermana se llama Cristina (premisa menor).
- Mi hermana también es cantante (conclusión).
Paradojas. Son paralogismos que conducen a conclusiones
evidentemente falsas.
Ejemplos:
* ¿Qué ocurrió primero el huevo o la gallina?
* El cuadrado perdido. (Ver vídeo)
Teorema. Es una proposición que se establece y se justifica
mediante un razonamiento o demostración.
Ejemplo:
Teorema de Thales: Si a un triángulo cualquiera le trazamos una
paralela a cualquiera de sus lados. Obtenemos 2 triángulos semejantes.
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados
son proporcionales.
 En el enunciado de todo teorema se distingue una hipótesis y una
tesis. Hipótesis es lo que se supone que se verifica y la tesis o
conclusión lo que se va a probar.
Los teoremas pueden ser fundamentales, lemas o corolarios.
Teoremas fundamentales son aquellos en los que se basan otros que
componen una teoría. (Teorema fundamental del cálculo)
Lemas son los que deben probarse siempre primero para demostrar
otros más importantes.
Ejemplo:
La igualdad de los ángulos alternos internos de dos rectas paralelas
cortada por una transversal.
Corolarios son los que resultan como consecuencia inmediata de
otro.
Ejemplo:
Del teorema, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180°, se obtiene: 
•Corolario 1. La suma de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo es igual a 90°.
•Corolario 2. Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente
congruentes a dos ángulos de otro, el tercer ángulo de uno es
congruente al tercer ángulo del otro. 
•Corolario 3. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni
más de un obtuso.
Dado un teorema, pueden formarse, un teorema recíproco,
invirtiendo el orden de la hipótesis y la tesis; un teorema contrario,
que tienen la hipótesis y la tesis respectivamente contrarias y un
teorema contrarrecíproco, contrario del recíproco.
Condición necesaria y suficiente. La condición necesaria equivale
al teorema directo y la suficiente, al recíproco.
http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtml
Verdad geométrica. Es siempre relativa a los postulados elegidos. Si
se cambian los postulados se puede obtener otra verdad geométrica.
Según el postulado euclidiano de las paralelas, la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es un ángulo llano; ésta es una verdad
geométrica. Si se niega el postulado de las paralelas (geometría no
euclidiana) la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es
igual a un ángulo llano.
Demostración. Es la cadena de razonamientos que permiten pasar
de la hipótesis a la tesis.
Demostración por el absurdo. Se supone la negación de la tesis y se
demuestra la negación de la hipótesis o la negación de algo
demostrado anteriormente, lo que conduce a un absurdo, a una
contradicción. Esta contradicción deriva de haber negado la tesis;
luego, la tesis es verdadera.
Contraejemplo. Para demostrar que una propiedad es falsa basta
con encontrar un ejemplo donde esa propiedad no se cumpla. Ese
ejemplo se denomina contraejemplo y basta para demostrar la
falsedad de la propiedad enunciada.
Comprobar. Significa verificar una propiedad en determinada
cantidad de casos, lo que no significa que se cumpla en todos los casos.
Para afirmar que se cumple en todos los casos hace falta la
demostración.
Ninguna propiedad es aceptada si no se la ha demostrado
deductivamente a partir de ciertos axiomas y teoremas sucesivos.
Pedagógicamente se recurre a la intuición y a la inducción y, según la
edad del alumno, puede no realizarse la demostración. Para
comprender una demostración se necesita un grado de abstracción
que el alumno de primaria generalmente no posee.
El postulado 5 de Euclides es muy importante. Durante muchos
siglos se trató de demostrarlo pero no se logró, pues es un postulado
independiente de los demás. Al ser un verdadero postulado
–independiente– la idea de negarlo o sustituirlo por otro estaba en la
mente de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII y quizá
también de los anteriores a ellos. Este postulado fue conflictivo porque
no es evidente como los anteriores y dio origen a la geometría no
euclidiana.
Finalmente, Gauss (alemán, 1777-1855), Lobachevsky (ruso
1793-1856) y Bolyai (húngaro, 1802-1860), entre otros matemáticos
de su época, negando el quinto postulado de Euclides o sustituyéndolo
y aceptando los otros, desarrollan las geometrías no euclidianas
(hiperbólicas y elípticas) que han enriquecido la matemática; no
obstante ello, en la escuela seguimos estudiando la geometría
euclidiana.