Cónicas

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Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
84 
 
Capítulo7: CÓNICAS 
Lugar geométrico 
Definición: Conjunto de puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) en el plano que cumplen con una misma propiedad o 
condición geométrica. 
Se dice que dos puntos equidistan a otro si la distancia entre ellos y el punto es la misma. 
Ejemplo: ¿Los puntos 𝐴(−2,1) y 𝐵(1, −3) equidistan del punto 𝑃 (3,
13
8
)? 
Desarrollo 
 𝑑(𝐴, 𝑃) = √(−2 − 3)2 + (1 −
13
8
)
2
=
5
8
√65 
𝑑(𝐵, 𝑃) = √(1 − 3)2 + (−3 −
13
8
)
2
=
5
8
√65 
Como 𝑑(𝐴, 𝑃) = 𝑑(𝐵, 𝑃) entonces los puntos 𝐴 y 𝐵 equidistan al 
punto 𝑃. (Ver gráfico 1) 
 
Circunferencia 
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo 
llamado centro 𝐶. La distancia del centro a cualquier punto 𝑃 de la circunferencia se denomina 
radio de la circunferencia r. 
Circunferencia en el plano xy 
Sea 𝐶(ℎ, 𝑘)el centro de la circunferencia y 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera de la circunferencia (ver 
gráfico 2). 
𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟 (1) por definición de circunferencia. 
𝑑(𝑃, 𝐶) = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 (2) por distancia entre 
puntos 
De (1) y (2) se cumple que 
√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 
elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos la ecuación 
de la circunferencia de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 (3) 
 
gráfico 2: Circunferencia de 
centro 𝑪(𝒉, 𝒌) y radio r 
 
Es decir, la ecuación de una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su 
centro y su radio. 
Caso particular: Circunferencia de centro el origen de coordenadas 𝐶(0,0) y radio r. 
gráfico 1:Los puntos A y B 
equidistan al punto P 
Capítulo 7 
85 
 
Si el centro es el origen de coordenadas ℎ = 0 y 𝑘 = 0 (ver gráfico 
3) entonces la ecuación (3) de la circunferencia es 
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑟2 
Así, 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
gráfico 3: Circunferencia de centro 
 𝑪(𝟎, 𝟎) y radio r 
Ejemplo: Dada la ecuación de la circunferencia 𝑥2 + (𝑦 +
7
2
)
2
= 12, identifique su centro, radio y 
determine la intersección de su gráfica con los ejes. Grafique y verifique. 
Desarrollo 
a) Para identificar el centro y radio de una circunferencia 
se debe comparar la ecuación de una circunferencia de 
centro 𝐶(ℎ, 𝑘) 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 
con la ecuación dada 
𝑥2 + (𝑦 +
7
2
)
2
= 12 
Así, ( ) ( ) 00 22 =−= hxx 
(𝑦 +
7
2
)
2
= (𝑦 − (−
7
2
))
2
  𝑘 = −
7
2
 
 
gráfico 4: Circunferencia de centro 
𝑪(𝟎, −𝟑. 𝟓) y radio √𝟏𝟐 
Entonces el centro tiene coordenadas 





−
2
7
,0C , tal como se observa en el gráfico 4. 
Por otro lado, como 12122 == rr . 
b) Para obtener la intersección con el eje y , 0=x entonces, 
02 + (𝑦 +
7
2
)
2
= 12 
(𝑦 +
7
2
) = ±√12 
𝑦 = ±√12 −
7
2
 
Así, los puntos tienen coordenadas 𝑃(0, −0.03) y 𝑄(0, −6.96), como se observa en el gráfico 4. 
Para obtener la intersección con el eje x , 0=y entonces, 
𝑥2 + (0 +
7
2
)
2
= 12 
𝑥2 +
49
4
= 12 
𝑥2 = −
1
4
 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
86 
B. Abad 
 
𝑥 = ±√−
1
4
 
Así, la ecuación no tiene solución en los reales por lo que la gráfica no interseca al eje de las abscisas, tal 
como se observa en el gráfico 4. 
Ejemplo: Escriba la expresión de una circunferencia tangente a los ejes con centro en el III 
cuadrante. Grafique 
Desarrollo 
Si la circunferencia es tangente a los ejes entonces el radio 
khr == . Además, si el centro pertenece al III cuadrante 
entonces 0h y 0k . 
Para escribir la expresión de una circunferencia que 
cumpla estas condiciones se puede hacer 2−=h para que 
sea negativo y el valor de 2−=k , porque kh = . Luego, 
22 =−=r entonces la ecuación de la circunferencia es 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 4, ver gráfico 5. 
 
gráfico 5: Circunferencia de 
ecuación(𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 
 
Elipse 
Con el objetivo de comprender mejor este concepto 
suponga que se dispone de un hilo fijando sus 
extremos, en dos puntos, sobre una superficie y si se 
mueve el lápiz como se observa en la ilustración 1 el 
lápiz trazará la figura geométrica de una elipse. 
Ilustración 1: Trazado de una elipse 
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de puntos en el plano, cuya suma de distancias a dos 
puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2𝑎. 
Elipse en el plano xy 
Sean los dos puntos fijos 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2(𝑐, 0) y 2𝑎 la 
suma constante con 𝑎 > 𝑐, 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto 
cualquiera de la elipse (ver gráfico 6 (a)). 
Por definición de elipse tenemos que 
𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎 
 
gráfico 6 (a): Elipse con eje focal horizontal y centro 
𝑪(𝟎, 𝟎) 
Es decir, 
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: 
Capítulo 7 
87 
 
(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 
𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥 
Elevando al cuadrado y simplificando: 
𝑎2[(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2] = 𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 
(𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
Dividiendo por: 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) se obtiene la ecuación 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑎2−𝑐2
= 1 (I) 
Sea 𝑃(0, 𝑏)un punto de la elipse, ver gráfico 6 (b), por 
definición tenemos que 
𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎 
Es decir, 
√(0 + 𝑐)2 + (𝑏 − 0)2 + √(0 − 𝑐)2 + (𝑏 − 0)2 = 2𝑎 
 2√𝑐2 + 𝑏2 = 2𝑎 
Simplificando y elevando al cuadrado 
𝑐2 + 𝑏2 = 𝑎2 
Entonces 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 (II) 
 
gráfico 6 (b): Elipse de centro C(0,0) 
Reemplazando (II) en (I) resulta la ecuación de la elipse en la forma: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 donde, 𝑎 > 𝑏 y 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 
Donde el punto 𝐶(0,0) es el centro de la elipse y el eje focal es la recta que pasa por los focos y eje 
secundario la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro. 
Elipse con eje focal vertical y centro 𝐂(𝟎, 𝟎) 
De la misma manera, si los focos son los puntos 
𝐹1(0, −𝑐) y 𝐹2(0, 𝑐), el eje focal se encuentra sobre 
el eje y, tal como se indica sobre el gráfico 7, y la 
ecuación de la elipse de centro 𝐶(0,0)y eje focal 
vertical es: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
donde 𝑎 > 𝑏 y 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 
 
gráfico 7: Elipse con eje focal vertical y centro 𝑪(𝟎, 𝟎) 
 
Elementos principales de una elipse de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) 
Los elementos principales de una elipse con eje focal horizontal y vertical se muestran en los 
gráficos 8(a) y 8(b) y se definen como: 
Focos: Son dos puntos fijos que se encuentran sobre el eje focal, 𝐹1 y 𝐹2 
Centro: Es el punto medio entre los focos. 
Vértices principales: Son los dos puntos donde la elipse interseca al eje focal, 𝑉1 y 𝑉2. 
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88 
B. Abad 
 
Vértices secundarios: Son los dos puntos donde la elipse interseca al eje secundario, 𝐵1 y 𝐵2. 
Longitud del semieje principal: Distancia entre el centro y los vértices principales, "𝑎". 
Longitud del semieje secundario: Distancia entre el centro y los vértices secundarios, "𝑏". 
Longitud del semieje focal: Distancia entre el centro y los focos, "𝑐". 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
 
( ) ( )
1
2
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
 
 
 
gráfico 8(a): Elipse con eje focal horizontal y centro𝑪(𝒉, 𝒌) 
 
gráfico 8(b): Elipse con eje focal vertical y centro𝑪(𝒉, 𝒌) 
Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse 45153 22 =+ yx identifique sus elementos principales y 
grafique. 
Desarrollo 
45153 22 =+ yx 
Para que se ajuste a la expresión estudiada se 
divide ambos miembros entre 45 
45
45
45
15
45
3 22
=+
yx
 
Simplificando 
1
315
22
=+
yx
 
 
Nota: En una elipse ba  22 ba  y ésta es la relación clave para identificar cuál de es la 
posición del eje focal a partir de su ecuación. 
Elementos principales 
Centro 𝐶(0,0) 
Luego, como 22 ba  la elipse tiene eje focal horizontal con 
15152 == aa longitud del semieje principal 
332 == bb longitud delsemieje secundario 
Los vértices principales son: 𝑉1(−√15, 0) y 𝑉2(√15, 0). 
Los vértices secundarios son: 𝐵1(0, −√3) y 𝐵2(0, √3). 
Longitud del semieje focal: como 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 entonces 1212315 222 ==−=−= cbac 
Capítulo 7 
89 
 
Los focos son: 𝐹1(−√12, 0) y 𝐹2(√12, 0) 
La gráfica es: 
 
gráfico 8: Elipse de ecuación 1
3
2
15
2
=+
yx 
Excentricidad: La excentricidad de una elipse es el número real, 0 < 𝑒 < 1, que indica la redondez de 
la gráfica y es igual a la razón entre la distancia 𝑑(𝐶𝐹) y 𝑑(𝐶𝑉), algebraicamente: 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
. 
Los gráficos 9(a), 9(b) ilustran distintas situaciones: 
Si 0=
a
c
e entonces 0c Si 1=
a
c
e entonces ac  
 
gráfico 9(a) Elipse con eje focal horizontal y centro𝑪(𝒉, 𝒌) 
 
gráfico 9(b) Elipse con eje focal horizontal y centro𝑪(𝒉, 𝒌) 
 
 
Aplicación: 
La traslación de la Tierra da lugar a las 
estaciones del año, el movimiento de este 
planeta alrededor del Sol describe una 
órbita elíptica, como se puede observar en 
la ilustración 2. Si la longitud del eje mayor 
es de 186 millones de millas y la 017.0=e 
¿Cuál será la distancia más cercana entre la 
Tierra y el Sol? 
Tarea: Si considera los cuatro vértices de la 
elipse como la posición de la Tierra en cada 
estación del año, ¿Cuál sería la distancia 
entre la Tierra y el Sol en cada estación? 
Ilustración 2:Traslación de la Tierra 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
90 
B. Abad 
 
Desarrollo: El sol se encuentra en uno de los focos. 
186=a , es decir a representa 186000000 millas y la 
excentricidad 
a
c
e = . Luego, 
186
017.0
c
= , entonces 
162.3=c , o sea c equivale a 3162000 millas. 
La máxima distancia es ca + , ver gráfico 10, es decir 
18916200 millas 
La mínima distancia es ca − , ver gráfico 10, es decir 
182838000 millas. 
 
gráfico 10: El movimiento de la Tierra en el plano xy 
Hipérbola 
Definición: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que el valor absoluto de 
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a a2 . 
Hipérbola en el plano xy 
Sean los dos puntos fijos 𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2(𝑐, 0) y 
2𝑎 la diferencia constante, con 𝑐 > 𝑎, 𝑃(𝑥, 𝑦)un 
punto cualquiera de la hipérbola (ver gráfico 11). 
Por definición de elipse tenemos que 
𝑑(𝑃, 𝐹1) − 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎 
 
gráfico 11: Hipérbola con eje focal horizontal y centro 
𝑪(𝟎, 𝟎) 
Es decir, 
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes 
(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 4𝑎2 + 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 
𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑐𝑥 − 𝑎2 
Elevando al cuadrado y simplificando 
𝑎2[(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2] = 𝑐2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 
(𝑐2 − 𝑎2)𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2) 
Dividiendo por 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2) se obtiene la ecuación 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑐2−𝑎2
= 1 (I) 
Como 𝑐 > 𝑎, definimos 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2 (II) siendo 𝑐2 − 𝑎2 positivo. 
Reemplazando (II) en (I) resulta la ecuación de la hipérbola en la forma: 
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 donde 𝑐 > 𝑎 y 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Capítulo 7 
91 
 
El punto 𝐶(0,0) es el centro de la hipérbola y el eje focal es la recta que contiene los focos y eje 
imaginario o conjugado la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro y no corta a la 
hipérbola. 
Hipérbola con eje focal vertical y centro 𝐂(𝟎, 𝟎) 
De la misma manera, si los focos son los puntos 
𝐹1(0, −𝑐) y 𝐹2(0, 𝑐), el eje focal se encuentra sobre 
el eje y, tal como se indica sobre el gráfico 12, y la 
ecuación de la elipse de centro 𝐶(0,0) y eje focal 
vertical es: 
1
2
2
2
2
=+−
a
y
b
x
 
 
donde 𝑐 > 𝑎 y 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
 
gráfico 12: Hipérbola con eje focal vertical y centro 
𝑪(𝟎, 𝟎) 
Elementos principales de una hipérbola de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) 
Los elementos principales de una hipérbola con eje focal horizontal y vertical se muestran en los 
gráficos 13 (a), 13 (b) y se definen como: 
Focos: Son dos puntos fijos que se encuentran sobre el eje focal, 𝐹1 y 𝐹2 
Centro: Es el punto medio entre los focos. 
Vértices: Son dos puntos donde la hipérbola interseca al eje focal, 𝑉1 y 𝑉2. 
Longitud del semieje real o transversal: Distancia entre el centro y los vértices principales, "𝑎". 
Longitud del semieje imaginario o conjugado: Distancia entre el centro y los vértices secundarios, 
"𝑏". 
Longitud del semieje focal: Distancia entre el centro y los focos, "𝑐". 
Asíntotas: Son dos rectas que se intersecan en el centro de la hipérbola. 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 
Ecuación de las asíntotas 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 0 
𝑟1: 𝑦 =
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) + 𝑘 
𝑟2: 𝑦 = −
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) + 𝑘 
Ecuación de las asíntotas 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 0 
𝑟1: 𝑦 =
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ) + 𝑘 
𝑟2: 𝑦 = −
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ) + 𝑘 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B. Abad 
 
 
gráfico 13 (a): Hipérbola con eje focal horizontal y centro𝐶(ℎ, 𝑘) gráfico 13 (b): Hipérbola con eje focal vertical y centro𝐶(ℎ, 𝑘) 
Ejemplo: Dada la ecuación de la hipérbola
( ) ( )
2
8
2
2
3
22
=
−
−
− yx
identifique sus elementos 
principales y grafique. 
Desarrollo 
Expresando la hipérbola en la forma estudiada, para ello se divide ambos miembros de la ecuación 
dada entre 2. Así: 
( ) ( )
1
16
2
4
3
22
=
−
−
− yx
 
Nota: En una hipérbola no hay condición para la relación entre el valor de a y b . Se considera siempre 
como 2a el denominador del término positivo de la ecuación. 
Elementos principales 
• Centro 𝐶(3,2) 
• Luego, como el primer término es positivo, la hipérbola tiene eje focal horizontal con 
2442 === aa longitud del semieje real 
416162 === bb longitud del semieje imaginario 
• Los vértices son 𝑉1(1,2) y 𝑉2(5,2). 
• Por otro lado, como 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 entonces 2020164 2 ==+= cc longitud del semieje 
focal 
• Los focos son 𝐹1(3 − √20, 2) y 𝐹2(3 + √20, 2) 
• Ecuación de las asíntotas
( )
( )






+−−=
+−=
23
2
4
:
23
2
4
:
2
1
xyr
xyr
es decir



+−=
−=
82:
42:
2
1
xyr
xyr
 
• La gráfica es 
 
 
 
 
 
gráfico 7: Hipérbola de ecuación ( ) ( )
1
16
2
4
3
22
=
−
−
− yx 
Excentricidad: La excentricidad de una hipérbola es el número real 𝑒 > 1 que indica cambios 
alrededor del eje focal y se calcula haciendo: 
a
ba
a
c
e
22 +
== con 1e 
Los gráficos 15(a), 15(b) ilustran distintas situaciones: 
 
Capítulo 7 
93 
 
Si 1=
a
c
e entonces ac  
Si e toma valores mayores que 1 y alejados a 
1, entonces c se aleja de a 
 
gráfico 85 (a) Hipérbola con eje focal vertical y centro 𝑪(𝒉, 𝒌) 
 
gráfico 95 (b) Hipérbola con eje focal vertical y centro 𝑪(𝒉, 𝒌) 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Realice un cuadro comparativo para cada cónica con los elementos principales de su gráfico. 
 Los extremos del diámetro de una circunferencia son el origen de coordenadas y el punto 𝑃(𝑎, 0), 
determine su expresión y grafique las posibilidades para su centro y radio. 
 Grafique una elipse con eje focal vertical, centro 𝐶(0, 𝑝) e indique sus principales elementos. 
 Escriba la ecuación de una hipérbola equilátera con eje focal horizontal y centro en el eje 𝑦. 
 Analice la redondez de la elipse cuando 𝑒 ≈ 1 y 𝑒 ≈ 0, de acuerdo a los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 
 Analice qué valor toma la excentricidad en el caso de las hipérbolas. ¿Qué sucede con las ramas de la 
hipérbola si excentricidad es grande o si es cercana a 1? 
 Determine las condiciones y la expresión de una hipérbola para que tenga como asíntotas a las rectas 
𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = −𝑥. Analice todas las posibilidades. 
 Determine las condiciones y la expresión de una hipérbola equilátera vertical con centro sobre el eje 
de las ordenadas.Grafique todas las posibilidades. 
 Determine qué cónica representa la expresión 𝑥2 + 𝑘𝑦2 = 𝑘 con 𝑘 ≠ 0. Grafique todas las 
posibilidades. 
 Si en una hipérbola el valor de b es mucho más grande que el valor de a entonces su excentricidad es 
menor. 
 En una elipse casi circular ¿los focos se encuentran cerca del centro? 
 En una hipérbola con ramas muy elongadas ¿los focos se encuentran alejados del centro? 
 Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola 0con1
4
22
=− p
p
x
p
y
 
Ejercitación 
 
 Determine la intersección de la circunferencia ( ) ( ) 1011 22 =++− yx con los ejes cartesianos. 
Grafique 
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94 
B. Abad 
 
 Determine la ecuación de la circunferencia cuyos puntos ( )1,5 −A y ( )7,3−B corresponden a los 
extremos de su diámetro. 
 Obtenga las coordenadas del punto P tal que los puntos P y Q pertenezcan al diámetro de la 
circunferencia ( ) ( ) 1005.25,1 22 =−++ yx , con ( )5.6,5.7Q . 
 Escriba la ecuación de la elipse de centro ( )1,3C , uno de los vértices ( )2,3 −V y excentricidad 
3
1
=e 
 Determine la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje focal horizontal y cuya grafica pase por 
los puntos ( )6,4H y ( )3,1−G 
 Se dice que una hipérbola es equilátera sí ba = . Obtenga la expresión de hipérbola equilátera con 
focos 𝐹1(−4,2) y 𝐹2(2,2) 
 Obtener el o los valores de 𝑘 para que la gráfica de circunferencia (𝑥 + 12)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 169 pase 
por el punto 𝑅(0, 0).