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Universidad Nacional de Salta Matemática I - Año 2021 
Facultad de Ciencias Naturales Agronomía - Recursos Naturales 
 
 
V. V. Álvarez 
Trabajo Práctico 5 
 
Tema: Razones trigonométricas. Teoremas del seno y coseno. Funciones trigonométricas. 
Duración: 3 clases 
 
Actividad 1: Aplique razones trigonométricas de los ángulos agudos a cada uno de los triángulos 
para obtener los lados y ángulos faltantes. Luego, calcule para cada una de ellas el perímetro y el 
área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 2: Calcule las razones trigonométricas del ángulo 𝛼𝛼 para cada uno de las figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 3: Resuelva los siguientes problemas aplicando conceptos trigonométricos y analice la 
valides de los resultados: 
a) Un agrimensor, para determinar la distancia entre dos 
puntos 𝑃𝑃 y 𝑄𝑄 uno en cada orilla de un lago, 
directamente opuestos uno del otro. En la orilla donde 
esta 𝑃𝑃 selecciona otro punto 𝑅𝑅 a 50 m de 𝑃𝑃, de manera 
que el segmento rectilíneo 𝑃𝑃𝑅𝑅���� sea perpendicular al 
segmento 𝑃𝑃𝑄𝑄����. El ángulo formado por los lados 𝑃𝑃𝑅𝑅���� y 
𝑅𝑅𝑄𝑄���� mide 78.24°. ¿Cuál es la distancia entre los puntos 
P y Q a través del lago? 
 
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b) Un estudiante de agronomía observó que, al mediodía, el sol se ubica perpendicularmente 
sobre nosotros, motivo por el cual la sombra que generamos es tan pequeña que la tapamos 
con nuestros pies. Pero pocos minutos después, a cierta hora, el ángulo formado de la sombra 
con respecto a la Tierra es de 80°. En ese momento un árbol del parque tiene una sombra 
que mide exactamente 94 cm de largo. 
i) ¿Cuál es la altura del árbol? 
ii) ¿A qué distancia se encuentra el fin de su sombra con la cima del árbol? 
 
c) Una cerca de 2 metros de alto está a 3 metros del costado 
de una tolva para almacenamiento de granos. Un elevador 
de granos debe llegar del suelo fuera de la cerca hasta la 
abertura superior de la tolva (ver figura) que se encuentra 
a 8,20 metros de altura. 
i) ¿Cuál es la amplitud del ángulo de elevación 𝜃𝜃? 
ii) ¿Cuánto mide el elevador? 
iii) ¿A qué distancia de la cerca se ubica la base del elevador? 
 
d) En un punto P el ángulo de elevación de la cima de 
una colina es 36.3°. En un punto Q en la misma recta 
horizontal formada por P y el pie de la colina, y que 
está a 60 metros de P, el ángulo de elevación es 
24.5°. Calcular la altura de la colina 
 
 
 
 
 
 
Actividad 4: Determine a qué cuadrante pertenece cada uno de los siguientes ángulos a partir 
de la información dada 
a) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 < 0 𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 < 0 b) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 < 0 y 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝜃𝜃 > 0 
c) 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 > 0 y 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝜃𝜃 < 0 
 
d) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑 > 0 y 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜑𝜑 < 0 
 
Actividad 5: Utilizando la identidad trigonométrica fundamental y otras, determine el valor de 
las demás funciones trigonométricas: 
a) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 = −1
3
 con 𝜃𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 cuadrante. b) 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = −1 y 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 > 0 
c) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = −5
12
 y 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝜃𝜃 < 0 
 
d) sen𝜑𝜑 = 5
13
 y cos𝜑𝜑 > 0 
 
Actividad 6: Aplique el teorema del seno o coseno, según corresponda, para determinar en cada 
uno de los triángulos la amplitud de los ángulos y longitudes de sus lados restantes. 
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Actividad 7: Resuelva los siguientes problemas aplicando los teoremas del seno y/o del coseno 
según corresponda: 
a) En un terreno plano se encuentran dos puntos P y Q en los lados opuestos de una colina que 
debe ser atravesada por una tubería. Para calcular la longitud que tendrá la tubería, un 
topógrafo escoge un punto R a 30 m de P y a 40 m de Q y desde allí observa que el ángulo 
formado por los segmentos RP y RQ mide 38°. Calcule la longitud del túnel. 
b) Un árbol es observado desde dos puntos 
opuestos separados 250 metros con ángulos de 
elevación de 30° y 25°. ¿Cuál es la altura del 
árbol y a qué distancia está de la cúspide de 
cada punto de observación? 
 
c) Un labrador quiere comprar un terreno con 
forma triangular. Se le ofrecen dos terrenos 
colindantes: el terreno A y el terreno B. La 
longitud de las tres vallas que delimitan el 
terreno A son 180 m, 240 m, 28 m y las del 
terreno B son 190 m, 200 m, 300 m. ¿Qué 
terreno debe comprar el labrador si desea el de 
mayor área? 
 
 
 
 
 
 
d) Un hombre a 100 m de la base de un risco 
suspendido, mide un ángulo de elevación de 
28° desde ese punto hasta la punta del risco. 
Si el risco forma un ángulo de 65° con el suelo, 
determinar la altura h del risco 
 
 
 
e) Se desea cercar una parcela triangular cuyos vértices son 𝑅𝑅, 𝑆𝑆 y 𝑇𝑇 pero al empezar el trabajo 
se descubre que la marca del agrimensor en 𝑆𝑆 desapareció. El título de la propiedad indica 
que la distancia de 𝑇𝑇 a 𝑅𝑅 es 324 m, la distancia de 𝑇𝑇 a 𝑆𝑆 es 506 m, y el ángulo en 𝑅𝑅 es 125°4´. 
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i) Determine la posición de 𝑆𝑆 obteniendo la distancia de 𝑅𝑅 a 𝑆𝑆. 
ii) Obtenga el área del terreno. 
Actividad 8: Considerando como funciones de referencia 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 y 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 . 
Complete la tabla analizando el valor de los parámetros que pueden intervenir en expresiones 
tales como: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐) + 𝐷𝐷 y 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 cos(𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐) + 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 ≠ 0 ; 𝑏𝑏 > 0; 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅 y 
𝐷𝐷 ∈ 𝑅𝑅. 
Función Domino Valor mínimo 
Valor 
máximo Imagen Amplitud Pulsación Periodo 
Ang. de 
fase 
𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 2 sen(x) − 3 
𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑥𝑥 −
𝜋𝜋
4
� 
𝑓𝑓3(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑥𝑥 +
𝜋𝜋
4
� − 2 
𝑡𝑡1(𝑥𝑥) = −3cos �
1
2
𝑥𝑥� 
𝑡𝑡2(𝑥𝑥) = 2cos (4𝑥𝑥 +
𝜋𝜋
2
) 
𝑡𝑡3(𝑥𝑥) = cos �3𝑥𝑥 +
𝜋𝜋
3
� − 3 
Utilizando GeoGebra, realice el gráfico correspondiente a cada una de las funciones y responda 
las siguientes preguntas. 
Sugerencia: primero grafique la función de referencia para analizar cada caso. 
a) ¿Qué produjo el valor del parámetro correspondiente a la amplitud en la gráfica de 
referencia? ¿Por qué? 
b) ¿La pulsación, qué efecto causa en la gráfica de referencia? 
c) ¿Existen traslaciones de algunas de las gráficas? ¿Cuáles? 
 
Actividad 9: 
Un ingeniero agrónomo trabaja en una compañía que se encarga de gestionar la venta de la 
producción animal y vegetal de un campo, la cual empieza su año fiscal el 1 de julio 2018. La 
utilidad de la venta de dichas producciones durante tres años está dada aproximadamente por 
la función: 
 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 20 �1 − cos 1
6
𝜋𝜋 𝑥𝑥� + 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 36, donde 𝑦𝑦(𝑥𝑥) es la utilidad mensual en 
millones, 𝑥𝑥 meses después del 1 de julio de 2018. 
I. Calcule el periodo de 𝑦𝑦(𝑥𝑥) 
II. Determine la utilidad mensual al 1 de octubre de 2018, al 1 de enero del 2019, al 1 de 
abril de 2020 y al 1 de mayo de 2021 
 
 Actividades adicionales 
Actividad 1: Resuelva los siguientes problemas aplicando conceptos trigonométricos y analice la 
validez de los resultados 
a) Maximiliano está remontando su barrilete. El largo del hilo desenredado es de 15,9m. El 
barrilete está justo encima de su hermana, que está a 8,4m de distancias de Maximiliano 
calcular la altura a la que está en ese momento el barrilete del piso. Maximiliano y su 
hermana miden los dos 1,5 m. 
b) Un pintor coloca una escalera de una sola parte para pintar la parte más alta del frente 
de su edificio. El largo de la escalera es de 4 m. Si coloca la escalera con un ángulo de 75° 
respecto del piso ¿Cuál será la altura a la que llega la punta de la escalera? 
 
 
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c) En un rectángulo ABCD, la diagonal BD mide 10 cm. Si el ángulo CBD es igual a 40° ¿Cuál es el 
perímetro del rectángulo? ¿Cuál es el área del rectángulo? 
d) Una lancha navega hacia el norte con una velocidad de 40 km/h en un río cuya corriente se 
dirige hacia eleste con velocidad de 30 km/h. Un observador de tierra firme desea saber cuál 
es la velocidad resultante 𝑉𝑉𝑟𝑟 de la lancha y la dirección en que se mueve. ¿Cuáles son los 
resultados que obtuvo el observador? ¿Tendrá los elementos necesarios para resolverlo? 
e) Una persona de 1,80 m de estatura desea medir la altura ℎ de un árbol sabiendo que, desde 
una distancia de 10 metros de la base del árbol, el extremo superior del mismo se observa 
bajo un ángulo de elevación de 60°. 
i) ¿Cuánto mide el árbol? 
ii) Si la copa mide las dos terceras partes de la altura ¿Cuánto mide el tronco del árbol? 
Actividad 2: Obtenga el área del paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 3: Resuelva los siguientes problemas 
a) Una torre de 135 pies de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la 
torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 36.3°. ¿Cuál 
es la anchura del lago? 
b) El punto T está en la cumbre de un monte. Desde un punto P del suelo, el ángulo de 
elevación de T es 16.3°. Desde el punto Q en la misma horizontal con P y el pie de la 
montaña, el angulo de elevación de T es 28.7° ¿Cuál es la altura de la prominencia de la 
cumbre si la distancia entre P y Q es 125 m? 
 
Actividad 4: Para cada función realiza un análisis completo (Dominio, Valor máximo y mínimo, 
Imagen, Amplitud, Periodo, Pulsación, Angulo de fase, grafica) 
𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 𝜋𝜋
3
) 𝑏𝑏) 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �2𝑥𝑥 − 𝜋𝜋
3
� + 2 
𝑐𝑐) ℎ(𝑥𝑥) = cos (2𝑥𝑥 + 𝜋𝜋
2
) 𝑑𝑑) 𝑗𝑗(𝑥𝑥) = cos (2𝑥𝑥 + 𝜋𝜋
2
)