INTEGRALES DEFINIDAS

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M. Arias 
 
Partición de un intervalo 
 
 
 
(𝑛: número de divisiones del intervalo) 
De modo que: 
[𝑎, 𝑏] = [𝑎, 𝑥1]È[𝑥1, 𝑥2]È…È[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]È…È [𝑥𝑛−1, 𝑏] 
𝑎 = 𝑥0 y 𝑥𝑛 = 𝑏 
El Intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] con 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛, se denomina 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 subintervalo de la partición. 
Gráficamente 
 Intervalo [𝑎, 𝑏]: 
 
Partición del intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos: 
Longitud de cada subintervalo: 
Sea [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] con 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛 
La longitud de cada subintervalo es: ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 
Longitud del 1er intervalo: ∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0; Longitud del 2
do intervalo: ∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 ; … 
Longitud del 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 intervalo: ∆𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 
Ejemplo: Sea I = [−4, 4] y la partición P = {−4, −2,
1
2
,
5
2
, 4} . Calcular la longitud de cada 
subintervalo, escribir la partición del intervalo e ilustrar gráficamente. 
De acuerdo a la partición propuesta: 𝑥0 = −4, 𝑥1 = −2, 𝑥2 =
1
2
, 𝑥3 =
5
2
, 𝑥4 = 4 
 la longitud de cada intervalo de la partición se calcula de la siguiente forma: 
∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 = −2 − (−4) = 2  ∆𝑥1 = 2 
∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 =
1
2
− (−2) =
5
2
  ∆𝑥2 =
5
2
 
∆𝑥3 = 𝑥3 − 𝑥2 =
5
2
−
1
2
= 2  ∆𝑥3 = 2 
∆𝑥4 = 𝑥4 − 𝑥3 = 4 −
5
2
=
3
2
  ∆𝑥4 =
3
2
 
El intervalo luego de la partición se expresa: 
[−4, 4] = [−4, −2]È [−2,
1
2
]È [
1
2
,
5
2
]È [
5
2
, 4] 
Integrales definidas. 
Def. Sea 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝑛 ∈ 𝑁, una partición 𝑃 del intervalo 𝐼 es un conjunto finito de valores, 
𝑃 = { 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛} tal que: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 
 
81 
 
Gráficamente: 
 
Norma de una partición P 
 
 
 
Se denota por || P|| , es decir: || 𝑃|| = 𝑚𝑎𝑥 {𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , 𝑖 = 1 . . . 𝑛} 
Ejemplo: Sea 𝐼 = [−3,
7
2
] y la partición 𝑃 = {−3, 0,
3
2
,
7
2
}. Determinar la noma de 𝑃. 
𝑥0 = −3, 𝑥1 = 0, 𝑥2 =
3
2
, 𝑥3 =
7
2
 
∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 = 0 − (−3) = 3  ∆𝑥1 = 3 
∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 =
3
2
− 0 =
3
2
  ∆𝑥2 =
3
2
 
∆𝑥3 = 𝑥3 − 𝑥2 =
7
2
−
3
2
= 2  ∆𝑥3 = 2 
 la noma de la partición P es ‖𝑃‖ = 3 
Partición regular 
 
 
 
La longitud de cada subintervalo es: ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo y 𝑛 
el número de divisiones. 
Ejemplo 1: Dado el intervalo [𝑎, 𝑏] = [1, 7] efectuar una partición regular con 𝑛 = 3. 
La longitud de cada subintervalo es: ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 con 𝑎 = 1 , 𝑏 = 7 y 𝑛 = 3. 
∆𝑥 =
7−1
3
  ∆𝑥 = 2 
𝑥0 = 1  𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥  𝑥1 = 1 + 2  𝑥1 = 3 
𝑥1 = 3  𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥  𝑥1 = 3 + 2  𝑥2 = 5 
𝑥2 = 5  𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥  𝑥3 = 5 + 2  𝑥3 = 7 
Respuesta: La Partición regular efectuada es 𝑃 = {1, 3, 5, 7} y el intervalo luego de la partición 
se expresa: [1, 7] = [1, 3] ∪ [3, 5] ∪ [5, 7] 
Ejemplo 2: Al intervalo 𝐼 = [−
3
2
,
9
2
] se aplicó una partición regular con 𝑛 = 4. ¿Cuál es la 
partición 𝑃 y la longitud ∆𝑥 de cada subintervalo? 
Norma de una partición: es la diferencia máxima entre cualesquiera de dos valores 
consecutivos de una partición P. 
Una partición P en un intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] se dice regular si todos los intervalos tienen la 
misma longitud, es decir: D𝑥 = D𝑥1 = … . . = D𝑥𝑛−1 = D𝑥𝑛 
 
 
82 
 
Primero: se determina la longitud ∆𝑥 de cada subintervalo 
∆𝑥 =
9
2
−(−
3
2
)
4
  ∆𝑥 =
9
2
+
3
2
4
  ∆𝑥 =
6
4
  ∆𝑥 =
3
2
 
Segundo: se obtienen los valores del conjunto 𝑃. 
𝑎 = −
3
2
 y 𝑏 =
9
2
 
𝑥0 = −
3
2
  𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥  𝑥1 = −
3
2
+
3
2
  𝑥1 = 0 
𝑥1 = 0  𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥  𝑥1 = 0 +
3
2
  𝑥2 =
3
2
 
𝑥2 =
3
2
  𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥  𝑥3 =
3
2
+
3
2
  𝑥3 = 3 
𝑥3 = 3  𝑥4 = 𝑥3 + ∆𝑥  𝑥4 = 3 +
3
2
  𝑥4 =
9
2
 
 𝑃 = {−
3
2
, 0,
3
2
, 3,
9
2
} 
Gráfico: 
 
Ejemplo 3: Si al intervalo 𝐼 = [2, 11]se aplicó una partición y la longitud de cada subintervalo 
es 
3
2
. ¿Cuál es número divisiones del intervalo? 
Si la longitud de cada subintervalo es la misma, la partición es regular, entonces para calcular 
el número de divisiones se utiliza la fórmula: ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 con 𝑎 = 2 , 𝑏 = 11 y ∆𝑥 =
3
2
 
Reemplazando 𝑎, 𝑏 y ∆𝑥 en la fórmula: 
3
2
=
11−2
𝑛
  
3
2
=
9
𝑛
  
3
2
𝑛 = 9  𝑛 = 9 ∙
2
3
 
 𝑛 = 6. 
Ejemplo 4: Al intervalo 𝐼 = [−5, 2𝑝 − 1] se aplicó una partición regular de 𝑛 = 5 divisiones y 
longitud de cada subintervalo ∆𝑥 = 3. Determine el valor de 𝑝. 
Aplicando la fórmula: ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 con 𝑎 = −5 , 𝑏 = 2𝑝 − 1 y ∆𝑥 = 3 
Reemplazando 𝑎, 𝑏 y ∆𝑥 en la fórmula: 3 =
2𝑝−1−(−5)
5
  15 = 2𝑝 + 4  11 = 2𝑝 
 
11
2
= 𝑝 y el intervalo es 𝐼 = [−5, 15] 
Sumatorias 
El símbolo sigma permite escribir una suma de varios términos de forma compacta. 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 
83 
 
El índice 𝑖 aumenta en una unidad (𝑖 ∈ 𝑍), el símbolo sigma ∑ es un operador matemático. 
Ejemplos: 
∑ 𝑖2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
5
𝑖=1
 
∑(𝑖 − 1) = 0 + 1 + 2 + 3 = 6
4
𝑖=1
 
∑
1
𝑖 + 2
=
1
3
+
1
4
+
1
5
=
47
60
3
𝑖=1
 
∑
2𝑖 − 3
𝑖 + 1
=
1
3
+
3
4
+ 1 +
7
6
=
13
4
5
𝑖=2
 
Propiedades 
Cumple con todas las propiedades de la suma y algunas otras. 
1. Sea 𝑎𝑖 el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 término de la suma y 𝑘 una constante. 
∑ 𝑘𝑎𝑖 = 𝑘
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
2. Sean 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 términos distintos. 
∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖) =
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
± ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
 
3. Sea 𝑚 < 𝑛. 
∑ 𝑎𝑖 =
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑎𝑖
𝑚
𝑖=1
± ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=𝑚+1
 
4. Sea 𝑘 una constante 
∑ 𝑘 = 𝑘
𝑛
𝑖=1
𝑛 
Ejemplos: 
∑ 4𝑖 = 4 ∑ 𝑖 = 4(1 + 2 + 3) = 24
3
𝑖=1
3
𝑖=1
 
∑(3 + 2𝑖−1) = ∑ 3 + ∑ 2𝑖−1
6
𝑖=1
6
𝑖=1
= 3 ∙ 6 + (20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 18 + 63 = 81
6
𝑖=1
 
 
 
 
 
84 
 
Suma de Riemann 
 
 
 
 
 
De modo que: 𝑆𝑅 = 𝑓(𝑤1)∆𝑥1 + 𝑓(𝑤2)∆𝑥2 + 𝑓(𝑤3)∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(𝑤𝑛)∆𝑥𝑛 siendo, 𝑆𝑅 ∈ 𝑅. 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 8 definida en 𝐼 = [−1,7] y 𝑃 una partición regular, 𝑛 = 4. Calcule 
la suma de Riemann, considerando 𝑤𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) al extremo inferior de cada subintervalo. 
𝑃 es una partición regular  ∆𝑥 =
7−(−1)
4
  ∆𝑥 = 2 
𝑤𝑖 extremo inferior de cada subintervalo  𝑥0 = 𝑤1  𝑤1 = −1 
𝑤2 = 𝑤1 + ∆𝑥  𝑤2 = −1 + 2  𝑤2 = 1 
𝑤3 = 𝑤2 + ∆𝑥  𝑤3 = 1 + 2  𝑤3 = 3 
𝑤4 = 𝑤3 + ∆𝑥  𝑤4 = 3 + 2  𝑤2 = 5 
El valor de 𝑓 en cada 𝑤𝑖 es: 
𝑓(𝑤1) = 𝑓(−1) = −2
−1 + 8  𝑓(−1) = −
1
2
+ 8  𝑓(−1) =
15
2
 
𝑓(𝑤2) = 𝑓(1) = −2
1 + 8  𝑓(1) = −2 + 8  𝑓(1) = 6 
𝑓(𝑤3) = 𝑓(3) = −2
3 + 8  𝑓(3) = −8 + 8  𝑓(3) = 0 
𝑓(𝑤4) = 𝑓(5) = −2
5 + 8  𝑓(5) = −32 + 8  𝑓(5) = −26 
La Suma de Riemann: 
∑ 𝑓(𝑤𝑖)
4
𝑖=1
∆𝑥𝑖 =
15
2
∙ 2 + 6 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + (−26) ∙ 2 
 𝑆𝑅 = −25 y −25 ∈ 𝑅 
Función integrable en un intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] 
Sea 𝑃 una partición del intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos, 𝑤𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] valor interior a 
cada subintervalo, ∆𝑥𝑖 es la longitud de cada subintervalo y ‖𝑃‖ la norma de la partición. 
Si 𝑓 está definida en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y existe el lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 entonces 𝑓 es 
integrable en 𝐼 y se escribe: lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
Sea 𝑓 una función definida en 𝐼 = [𝑎, 𝑏], 𝑃 una partición en 𝑛 subintervalos y 𝑤𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 
entonces se denomina suma de Riemann a la sumatoria: 
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖 = 𝑆𝑅
𝑛
𝑖=1
 
 
Teorema: Si 𝑓 es una función continua sobre 𝐼 = [𝑎, 𝑏], o si 𝑓 tiene un número finito de 
discontinuidades de salto, entonces 𝑓 es integrable sobre𝐼. 
 
85 
 
Integral Definida 
 
 
 
 
 
 
 
Otra forma de expresar: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
Esto es, porque si el número de subintervalos tiende a infinito (𝑛 → ∞) la norma de la 
partición tiende a cero (‖𝑃‖ → 0). 
Cálculo de integrales definidas: Teorema de Evaluación (Regla de Barrow) 
 
 
Ejemplo: Calcular la integral, a) ∫ 2𝑥𝑑𝑥
4
−5
; b) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
a) 
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2|
4
−5
4
−5
 
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 42 − (−5)2
4
−5
 
∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 16 − 25
4
−5
 
 ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = −9
4
−5
 
b) 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥|
𝜋
2
0
𝜋
2
0
 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) − 𝑠𝑒𝑛(0)
𝜋
2
0
 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 1 − 0
𝜋
2
0
 
 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋
2
0
 
 
Diferencia entre integral indefinida e integral definida 
Integral Indefinida (Expresión matemática) Integral Definida (Número real) 
∫(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 + 𝐶 
 Expresión (flia. de curvas) 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 − 1 ≅ 1.7182
1
0
 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 ≅ 1.7182
1
0
 siendo 1.7182 ∈ 𝑅 
 
 
Def. Si 𝑓 es una función continua en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏], entonces la integral definida de 𝑓 
desde 𝑎 hasta 𝑏, es: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 si existe el límite. 
Donde, 𝑎 y 𝑏 son los límites de integración inferior y superior respectivamente. 
‖𝑃‖ es la norma de la partición 𝑃 en el intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. 
𝑤𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] valor interior a cada subintervalo. 
∆𝑥𝑖 es la longitud de cada subintervalo. 
Sea 𝑓 continua en I = [a, b] y 𝐹 una primitiva de 𝑓 en I, entonces: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
86 
 
 
 
Propiedades 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones integrables y 𝑘 una constante. 
1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
 (Si los límites de integración coinciden, la integral es nula) 
Verificación: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎)
𝑎
𝑎
 (por Teorema de Evaluación) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
 
 
 
¿Si la integral definida de 
una función es cero, los 
límites de integración son 
iguales? 
 
 
 
 
 
No siempre, observa 
el siguiente ejemplo 
En este caso 𝑎 = −1 y 𝑏 = 1 
(𝑎 ≠ 𝑏) 
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2|
1
−1
1
−1
 
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∙ 11 −
1
2
1
−1
(−1)2 
 ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
−
1
2
1
−1
 
  ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 0
1
−1
 
La integral es 0 y los límites de 
integración distintos. 
 
2) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (La integral del múltiplo constante es igual a la cte. por la integral de la función) 
Ejemplo: ∫ 3𝑥2𝑑𝑥
2
−1
= 3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥
2
−1
 
Resolviendo en simultáneo cada miembro: 
𝑥3|
2
−1
= 3 ∙ (
1
3
𝑥3)|
2
−1
 
23 − (−1)3 = 3 ∙ (
1
3
23 −
1
3
(−1)3) 
8 − (−1) = 3 ∙ (
8
3
+
1
3
) 
8 + 1 = 3 ∙ (3) 
9 = 9 (identidad) 
3) ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏
𝑎
(𝑏 − 𝑎) (La integral de una cte. es igual a la cte. por la diferencia entre los extremos de integración) 
Ejemplo: ∫ 2𝑑𝑥
5
2
= 2(5 − 2) 
Aplicando propiedad: 
 ∫ 2𝑑𝑥
5
2
= 2 ∫ 𝑑𝑥
5
2
 
Por Teorema de Evaluación: 
∫ 2𝑑𝑥
5
2
= 2 ∙ 𝑥|
5
2
 
∫ 2𝑑𝑥
5
2
= 2 ∙ (5 − 2) se cumple la igualdad 
4) ∫ (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 (La integral de una suma o diferencia de 
funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales de las funciones) 
Ejemplo: Calcular ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
−1
 . 
 
87 
 
Ejemplo: ∫ (𝑒𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥
3
0
= ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
3
0
 
Resolviendo en simultáneo cada miembro: 
(𝑒𝑥 +
1
2
𝑥2)|
3
0
= 𝑒𝑥|
3
0
+
1
2
𝑥2|
3
0
 
𝑒3 +
1
2
32 − (𝑒0 +
1
2
02) = 𝑒3 − 𝑒0 +
1
2
32 −
1
2
02 
𝑒3 +
9
2
− (1 + 0) = 𝑒3 − 1 +
9
2
− 0 
𝑒3 +
9
2
− 1 = 𝑒3 +
7
2
 
𝑒3 +
7
2
= 𝑒3 +
7
2
 (identidad) 
5) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
 ; 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. 
Ejemplo: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
2
𝜋
2
0
 0 <
𝜋
2
< 𝜋 
Resolviendo en simultáneo cada miembro: 
(−𝑐𝑜𝑠𝑥)|
𝜋
0
= −𝑐𝑜𝑠𝑥|
𝜋
2
0
+ (−𝑐𝑜𝑠𝑥)|
𝜋
𝜋
2
 
−𝑐𝑜𝑠(𝜋) − (−𝑐𝑜𝑠(0)) = −𝑐𝑜𝑠(𝜋/2) − (−𝑐𝑜𝑠(0)) + (−𝑐𝑜𝑠(𝜋)) − (−𝑐𝑜𝑥(𝜋/2)) 
−(−1) − (−1) = −(0) − (−1) + (−(−1)) − (−(0)) 
1 + 1 = 1 + 1 (identidad) 
6) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 (Propiedad del orden) 
Ejemplo: ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑒
− ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑒
1
 
𝑙𝑛𝑥|
1
𝑒
= −𝑙𝑛𝑥|
𝑒
1
 
𝑙𝑛1 − 𝑙𝑛𝑒 = −𝑙𝑛𝑒 − (−𝑙𝑛1) 
0 − 1 = −1 − (0) 
−1 = −1 identidad. 
Ejemplos: 
1) Obtener ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−2
 a partir de la siguiente información: ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7
3
−2
 y ∫ [2𝑓(𝑥) +
3
−2
𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 11 
El intervalo de integración es [−2, 3] 
∫ [2𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 11
3
−2
 
∫ 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3
−2
= 11
3
−2
 (Propiedad de integral de una suma de funciones) 
2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3
−2
= 11
3
2
 (Propiedad de integral de una constante por una función) 
 
88 
 
2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 7 = 11
3
2
 (se reemplaza el valor de: ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7
3
−2
) 
2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 11 − 7
3
2
 
2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4
3
2
  ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2
3
2
 
2) Obtener ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
 siendo 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
1
2
𝑥2 + 3 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 
Intervalo de integración: 
La función 𝑓 está definida por tramos y es continua en el intervalo [−1, 3], el que se divide del 
siguiente modo: [−1, 3] = [−1,2] ∪ [2,3] 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
−1
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
2
 (Propiedad de integración) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥
2
−1
+ ∫ (
1
2
𝑥2 + 3) 𝑑𝑥
3
2
 (Reemplazar la expresión de 𝑓(𝑥) de cada intervalo) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= (𝑥2 + 𝑥)|
2
−1
+ (
1
6
𝑥3 + 3𝑥)|
3
2
 (Teorema de Evaluación) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= (22 + 2) − ((−1)2 − 1) + (
1
6
33 + 3 ∙ 3) − (
1
6
23 + 3 ∙ 2) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= 6 − 0 +
9
2
+ 9 − (
4
3
+ 6) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
= 9 +
9
2
−
4
3
  ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
−1
=
73
6
 
Integrales definidas: Método de integración por sustitución 
Si el integrando es la derivada de una función compuesta: 𝑦 = 𝐹(𝑔(𝑥)) la integral se expresa: 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑏
𝑎
𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎))
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
 
Derivada de la función 𝐹 
Donde, 𝑢 = 𝑔(𝑥); 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
Los límites de integración para la nueva variable se obtienen haciendo: 
 𝑥 = 𝑎  𝑢𝑎 = 𝑔(𝑎) (límite de integración inferior) 
 Luego, 𝑥 = 𝑏  𝑢𝑏 = 𝑔(𝑏) (límite de integración superior) 
Ejemplo 1: ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
Haciendo: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Nuevos límites de integración: 
 𝑥 = 0 , 𝑢0 = 𝑠𝑒𝑛0 = 0  𝑢0 = 0 
𝑥 =
𝜋
2
 , 𝑢𝜋
2
= 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1  𝑢𝜋
2
= 1 
 
 ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
= ∫ 𝑢 𝑑𝑢
1
0
 
 ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
=
1
2
𝑢2|
1
0
 
 ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
=
1
2
12 −
1
2
02 
 ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
=
1
2
 
 
 
89 
 
 
Ejemplo 2: ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
 
Haciendo: 𝑢 = 2𝑥 + 1; 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
Nuevos límites de integración: 
 𝑥 = −2 , 𝑢−2 = 2 ∙ (−2) + 1 = −3  𝑢−2 = −3 
𝑥 = 1 , 𝑢1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3  𝑢1 = 3 
 
 ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
= ∫ 6𝑢5 𝑑𝑢
3
−3
 
 ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
= 6 ∫ 𝑢5 𝑑𝑢
3
−3
 
 ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
= 6
1
6
𝑢6|
3
−3
 
 ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
= 36 − (−3)6 
 ∫ 12(2𝑥 + 1)5𝑑𝑥
1
−2
= 0 
 
Ejemplo 3: ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
 
Haciendo: 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥; 𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
Nuevos límites de integración: 
 𝑥 = 𝑒 , 𝑢𝑒 = ln (𝑒) = 1  𝑢𝑒 = 1 
𝑥 = 𝑒3 , 𝑢𝑒3 = 𝑙𝑛(𝑒)
3 = 3ln (𝑒)  𝑢𝑒3 = 3 
 
 ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
= ∫ 𝑢 𝑑𝑢
3
1
 
 ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
=
1
2
𝑢2|
3
1
 
 ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
=
1
2
32 −
1
2
12 
 ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
= 4 
Aplicaciones 
El teorema de Evaluación estableceque si 𝑓 es una función continua en I = [a, b] entonces, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 donde 𝐹 es una primitiva de 𝑓 en I y 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir, que 
la integral definida se puede expresar del siguiente modo: ∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
. 
Interpretando la última expresión se dirá: 
Si 𝑦 = 𝐹(𝑥), la derivada de 𝐹 es una función que representa la razón de cambio de 𝐹 con 
respecto a la variable 𝑥, (𝐹’(𝑥) =
𝑑𝐹
𝑑𝑥
). 
 ∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 representa el cambio neto de 𝐹 en el intervalo [𝑎, 𝑏]. 
Ejemplos: 
➢ Si 𝑦 = 𝑛(𝑡) representa la tasa de nacimientos (en miles por año) en un intervalo de 
tiempo [0, 10] ¿Qué representa la ∫ 𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = 3
10
0
? 
Respuesta: Si la integral definida representa el cambio neto de una función y suponiendo 
que la misma es N (n° de nacimientos), entonces, 𝑛(𝑡) =
𝑑𝑁
𝑑𝑡
 y se expresa: 𝑛(𝑡) = 𝑁′(𝑡) 
  ∫ 𝑁 ′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑁(10) − 𝑁(0) = 3
10
0
 
Cantidad de nacimientos en el período de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 
 
90 
 
 3 mil es la cantidad de nacimientos en el período indicado. 
➢ Si 𝑦1 = 𝑛(𝑡) representa la tasa de nacimientos e 𝑦2 = 𝑚(𝑡) la tasa de mortalidad en un 
periodo de 5 años de una cierta población 𝑃. 
a) ¿Qué significa ∫ (𝑛(𝑡) − 𝑚(𝑡))𝑑𝑡 = 15000
5
0
 
b) Si la población inicial fue de 50000 individuos ¿Cuál es la población a los 5 años? 
Respuesta: Suponiendo que N (cantidad de nacimientos) y M (cantidad de muertes). 
a) 𝑛(𝑡) =
𝑑𝑁
𝑑𝑡
 , se expresa: 𝑛(𝑡) = 𝑁′(𝑡) y 𝑚(𝑡) =
𝑑𝑀
𝑑𝑡
 , se expresa: 𝑚(𝑡) = 𝑀′(𝑡) 
 ∫ [𝑁′(𝑡) − 𝑀′(𝑡)] 𝑑𝑡 = N(5) − N(0) − [𝑀(5) − 𝑀(0)] = 15000
5
0
 
Cantidad de nacimientos Cantidad de muertes 
 15000 representa el incremento de la población en el período de 5 años. 
b) El período es [0, 5] la población inicial para 𝑡 = 0 es 𝑃0 = 50000 y si el incremento 
fue de 15000, la población 𝑃 a los 5 años es de 65000 individuos. 
➢ Si 𝑣 es la velocidad de un objeto que se mueve en línea recta con función posición 𝑠. ¿Qué 
representa ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = 25
𝑡𝑓
𝑡𝑖
? 
 Respuesta: Si 𝑣 es la velocidad de un objeto y 𝑠 la función posición. 
Entonces, 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 que se expresa: 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) y reemplazado en la integral: 
∫ 𝑠′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠(𝑡𝑓) − 𝑠(𝑡𝑖)
𝑡𝑓
𝑡𝑖
= 25 
  25 es la distancia o desplazamiento del objeto en ese período de tiempo. 
➢ Ciertas plantas monocotiledóneas alcanzan una altura 𝐻 en metros y durante un período 
de 8 años su tasa de crecimiento está dada por 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
=
1
2
(𝑡 + 1)−
1
2 +
5
3
𝑡−
2
3 (m/año). Si a los 
tres años su altura es aproximadamente de 9.21 metros, determine la altura que podrían 
alcanzar dichas plantas a los 8 años. 
Respuesta: Si a 𝑡 = 3 es 𝐻 = 9.21, para determinar la altura total al finalizar los 8 años es 
necesario calcular el incremento entre 3 ≤ 𝑡 ≤ 8. 
∫ 𝐻′(𝑡)𝑑𝑡
8
3
= ∫ (
1
2
(𝑡 + 1)−
1
2 +
5
3
𝑡−
2
3) 𝑑𝑡
8
3
 
𝐻(8) − 𝐻(3) = √𝑡 + 1 + 5√𝑡
3
|
8
3
 
Altura a los 8 años altura a los 3 años incremento en el período [3,8] 
𝐻(8) − 9.21 = (√8 + 1 + 5√8
3
) − (√3 + 1 + 5√3
3
) 
𝐻(8) − 9.21 = 13 − 9.21 
𝐻(8) − 9.21 = 3.79 
 𝐻(8) = 13 metros de altura. 
 
91 
 
Integrales en el cálculo de áreas 
En muchos casos, el cálculo de áreas se reduce a la aplicación de ciertas fórmulas matemáticas 
y ello es posible si el área a determinar corresponde a figuras geométricas como: rectángulos, 
triángulos, trapecios, círculos u otras figuras que resulten de la combinación de las anteriores. 
Sin embargo, en la realidad los bordes de algunas regiones del plano, están dados por curvas 
cuya expresión algebraica se puede estimar para luego, aplicando el concepto de integración 
determinar el área de la región limitada por la curva. 
 
Aproximación de áreas limitada por curvas, mediante la suma Riemann 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) continua y 𝑓(𝑥) ≥ 0 en un intervalo [𝑎, 𝑏] y 𝑃 una partición en 𝑛 
subintervalos, 𝑤𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] , 𝑖 = 1,2, 3, … 𝑛, donde, ∆𝑥𝑖 es la longitud de cada subintervalo 
y ‖𝑃‖ la norma de la partición. 
Suponiendo que 𝑛 = 4, la aproximación del área debajo de una curva positiva se obtiene 
sumando las áreas de los cuatro rectángulos cuyas bases y altura son: 
Base: Longitud de cada subintervalo  𝑏𝑎𝑠𝑒 = ∆𝑥𝑖 
Altura: Valor de la función en cada valor 𝑤𝑖, 𝑖 = 1,2,3,4  𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑓(𝑤𝑖) 
Si 𝑤𝑖 es el valor del extremo inferior de cada subintervalo, las áreas quedan determinadas del 
siguiente modo: 
 
 
 
92 
 
Una mejor aproximación 
Considerando, 𝑤𝑖 al valor medio de cada subintervalo se obtiene una buena aproximación al 
área exacta. Esa aproximación será mejor si el número de divisiones del intervalo 𝑛 → ∞, lo 
que implica que la norma de la partición ‖𝑃‖ → 0 (las bases de los rectángulos tienden a 0). 
Las siguientes graficas ilustran la situación descripta. 
 
Área debajo de una curva en un intervalo [𝒂, 𝒃] 
Sea 𝑓 una función continua y 𝑓(𝑥) ≥ 0 en [𝑎, 𝑏] y 𝑃 una partición del intervalo en 𝑛 
subintervalos. 
El área exacta limitada por la gráfica de 𝑓 , el eje de las abscisas y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 
𝑥 = 𝑏 se calcula tomando el límite de la suma de Riemann que aproxima el área a determinar. 
Es decir, si 𝑛 → ∞, entonces la norma de la partición ‖𝑃‖ → 0. 
De modo que: 
 lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 (1) 
Luego, por definición de integral definida: 
lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑤𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (2) 
De (1) y (2) se concluye que: 𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Área debajo de una curva 
 
 
 
 
 
Teorema 1: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua y 𝑓(𝑥) 0 en un intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] entonces, 
el área limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de las abscisas (𝑦 = 0 ) y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎, 
𝑥 = 𝑏 es: 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 
 
93 
 
Ejemplo: Calcular el área debajo de la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 en el intervalo [1, 4] 
 Gráfica Intervalo [𝑎, 𝑏] = [1, 4] 
𝐴 = ∫ (√𝑥 + 4)𝑑𝑥
4
1
  𝐴 = ∫ (𝑥
1
2 + 4) 𝑑𝑥
4
1
 
𝐴 =
2
3
𝑥
3
2 + 4𝑥|
4
1
 
𝐴 =
2
3
(√4)
3
+ 4 ∙ 4 − (
2
3
(√1)
3
+ 4) 
  𝐴 =
50
3
 unidades de área. 
 
 
Área entre dos curvas 
 Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) funciones continuas y 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) en 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. 
La gráfica ilustra la situación 
 La gráfica de 𝑓 limita superiormente a la región del plano y la 
gráfica de 𝑔 es el límite inferior de la misma. 
Las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 son los límites derecho e 
izquierdo de la región. 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento para determinar la fórmula. 
 
Teorema 2: Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) funciones continuas y 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) en 𝐼 = [𝑎, 𝑏] 
entonces, el área de la región limitada por las gráficas de 𝑓 , 𝑔 , las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 
y 𝑥 = 𝑏 es: 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
94 
 
Procedimiento para calcular el área limitada por la gráfica de dos o más funciones 
1.- Determinar el intervalo de integración 
- Si el área está limitada por dos curvas, que se intersecan en dos 
puntos, los extremos del intervalo [𝑎, 𝑏], se obtienen resolviendo el 
sistema formado por las funciones. {
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑔(𝑥)
 
Se determinan dos valores, 𝑥1 = 𝑎 y 𝑥2 = 𝑏. 
 
- Si el área está limitada por dos curvas, que se cortan en más de 
dos puntos, el intervalo [𝑎, 𝑏] se divide en subintervalos y los 
extremos de cada uno se obtienen resolviendo el sistema formado 
por las funciones. 
{
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑔(𝑥)
 se determinan tres valores: 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = 𝑐 y 𝑥3 = 𝑏 
- Si el área está limitada por más de dos curvas, el intervalo 
[a, b] se divide en subintervalos y los extremos de cada uno 
se obtienen resolviendo el sistema formado por los pares de 
funcionesque se intersecan. 
Para la figura que ilustra esta situación: 
Al resolver {
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = ℎ(𝑥)
 se determina el valor: 𝑥 = 𝑎 
Al resolver {
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑔(𝑥)
 se determina el valor: 𝑥 = 𝑐 
Al resolver {
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑦 = ℎ(𝑥)
 se determina el valor: 𝑥 = 𝑏 
Observación. Todo dependerá de las intersecciones que sucedan entre las gráficas que limitan 
el área a calcular. 
2.- Identificar las funciones cuyas gráficas limitan superior e inferiormente a la región. 
Si el intervalo de integración sufre una partición, en cada subintervalo de integración se 
identificará a la función cuya gráfica es el borde superior de la región (función mayor) y la 
función cuya gráfica es el borde inferior de la región (función menor) 
3.- Plantear y resolver la integral correspondiente. 
Dependiendo de las curvas que limitan el área se aplicarán los teoremas estudiados, (área 
debajo de la gráfica de una función positiva o área entre dos curvas) 
 
95 
 
Si hay dos o más intervalos de integración el área total es la suma de las áreas determinadas 
en cada subintervalo. 
Ejemplo 1: Escribir la integral que permite calcular el área 
sombreada. 
Intervalo [𝑎, 𝑏] = [−1, 5] 
[𝑎, 𝑏] se divide en dos subintervalos [𝑎, 𝑏] = [−1, 1] ∪ [1, 5] 
En [−1,1] , 𝑓(𝑥) ≥ 0 entonces el área limitada por la gráfica de 
la función y el eje de las abscisas se calcula aplicando el Teorema 1. 
 𝐴1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
 
En [1, 5], ℎ(𝑥) > 𝑔(𝑥) entonces el área limitada por las gráficas de las funciones se calcula 
aplicando el Teorema 2. 
 𝐴2 = ∫ [ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
5
1
 
 Siendo: 𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 
 𝐴𝑇 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
+ ∫ [ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
5
1
 
Ejemplo 2: Obtener el área limitada por las gráficas de ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 y 𝑔(𝑥) =
1
3
𝑥2. 
1.- Determinar el intervalo de integración 
Se resuelve el sistema formado por las funciones ℎ y 𝑔, en este caso se aplica el método de 
igualación: −𝑥2 + 4𝑥 =
1
3
𝑥2  −𝑥2 −
1
3
𝑥2 + 4𝑥 = 0  −
4
3
𝑥2 + 4𝑥 = 0 
 4𝑥 (−
1
3
𝑥 + 1) = 0  𝑥1 = 0  𝑥2 = 3 es decir, 𝑎 = 0  𝑏 = 3 
 el intervalo [𝑎, 𝑏] = [0, 3] 
2.- Identificar las funciones cuyas gráficas limitan superior e inferiormente a la región. 
En el intervalo [0, 3], la gráfica de 𝑦 = ℎ(𝑥) es el borde superior y la 
gráfica de 𝑦 = 𝑔(𝑥) es el borde inferior de la región. 
 
 
3.- Plantear y resolver la integral correspondiente. 
Por Teorema 2 en [0, 3] el área: 𝐴 = ∫ [ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
3
0
 
Reemplazando cada función: 𝐴 = ∫ [−𝑥2 + 4𝑥 −
1
3
𝑥2] 𝑑𝑥
3
0
 
Operando con los términos semejantes en el integrando: 𝐴 = ∫ [−
4
3
𝑥2 + 4𝑥] 𝑑𝑥
3
0
 
Resolviendo la integral: 𝐴 = −
4
9
𝑥3 + 2𝑥2|
3
0
 
 
96 
 
 𝐴 = −
4
9
∙ 33 + 2 ∙ 32 − 0 
 𝐴 = 6 unidades de área. 
Cálculo de áreas entre dos curvas cuando la variable de integración es “𝑦” 
Para calcular el área, de una región del plano, integrando con respecto a la variable “𝑦”, se 
despeja la variable “𝑥” de cada expresión (¡siempre que sea 
posible!). Sobre el eje de las ordenadas se ubica el intervalo de 
integración (resolviendo el sistema formado por las expresiones 
obtenidas, si fuera necesario). En dicho intervalo se identifica a la 
curva que limita la región por la derecha y por la izquierda. 
Al despejar 𝑥 de las expresiones se obtiene: 
 𝑥 = 𝑓(𝑦) (su gráfica limita por derecha a la región) 
 𝑥 = 𝑔(𝑦) (su gráfica limita por izquierda a la región) 
Se aplica la fórmula para el cálculo de área entre dos curvas: 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 (variable de integración “𝑦”) 
Ejemplo 1: Calcular el área limitada por la gráfica de: 𝑦 = 𝑥2 en el intervalo 1 ≤ 𝑦 ≤ 4. 
En este caso, el intervalo de integración está dado sobre “𝑦” siendo: [𝑐, 𝑑] = [1, 4]. 
Escribir la expresión en términos de la variable “𝑦”: 
𝑥 = ±√𝑦 
𝑥1 = −√𝑦 (𝑥1 = 𝑔(𝑦)) su gráfica limita por izquierda. 
𝑥2 = √𝑦 (𝑥2 = 𝑓(𝑦)) su gráfica limita por derecha. 
Las rectas 𝑦 = 1 e 𝑦 = 4 limitan el área inferior y superiormente. 
Aplicar fórmula: 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
𝐴 = ∫ [√𝑦 − (−√𝑦)]𝑑𝑦
4
1
  𝐴 = ∫ [√𝑦 + √𝑦]𝑑𝑦
4
1
 
 𝐴 = ∫ [2√𝑦]𝑑𝑦
4
1
  𝐴 = 2 ∫ [𝑦
1
2] 𝑑𝑦
4
1
 
 𝐴 =
4
3
(√𝑦)
3
|
4
1
  𝐴 =
4
3
(√4)
3
−
4
3
(√1)
3
 
  𝐴 =
32
3
−
4
3
  𝐴 =
28
3
 unidades de área. 
Observación: Si se opta por la variable de integración “𝑥”, el intervalo se divide en tres 
subintervalos: [𝑎, 𝑏] = [−2, −1] ∪ [−1, 1] ∪ [1, 2] 
Tarea 
 
Calcule el área integrando con respecto a “𝑥” y verifique que los resultados son los 
mismos. 
 
97 
 
Ejemplo 2: Calcular el área limitada por las gráficas de: 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦 = 0 y 2𝑦2 − 6 = 2𝑦 − 𝑥. 
Escribir cada expresión en términos de la variable “𝑦”: 
𝑥1 = −𝑦
2 + 𝑦 (𝑥1 = 𝑔(𝑦)) su gráfica limita la región por izquierda. 
𝑥2 = −2𝑦
2 + 2𝑦 + 6 (𝑥2 = 𝑓(𝑦)) su gráfica limita la región por derecha. 
 
Determinar el intervalo de integración: 
Por igualación: −𝑦2 + 𝑦 = −2𝑦2 + 2𝑦 + 6  −𝑦2 + 𝑦 + 2𝑦2 − 2𝑦 − 6 = 0 
 𝑦2 − 𝑦 − 6 = 0 
 𝑦12 =
1±√12−4∙1∙(−6)
2
  𝑦12 =
1±√25
2
=
1±5
2
 
 𝑦1 = −2 ; 𝑦2 = 3 
  𝑐 = −2 y 𝑑 = 3 siendo el intervalo de integración: [𝑐, 𝑑] = [−2, 3] 
Aplicar fórmula: 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
𝐴 = ∫ [−2𝑦2 + 2𝑦 + 6 − (−𝑦2 + 𝑦)]𝑑𝑦
3
−2
 
𝐴 = ∫ [−𝑦2 + 𝑦 + 6]𝑑𝑦
3
−2
  𝐴 = −
1
3
𝑦3 +
1
2
𝑦2 + 6𝑦|
3
−2
 
𝐴 = −
1
3
33 +
1
2
32 + 6 ∙ 3 − (−
1
3
(−2)3 +
1
2
(−2)2 + 6 ∙ (−2)) 
𝐴 = −9 +
9
2
+ 18 − (
8
3
+ 2 − 12)  𝐴 = 9 +
9
2
−
8
3
+ 10 
 𝐴 =
125
6
 unidades de área. 
Tarea 
 
En este último ejemplo (Ejemplo2) la variable de integración no puede ser 𝑥 ¿Por 
qué? 
 
 
 
 
¡¡Atención!! Para que tenga sentido el cambio de variable de 
integración es necesario que la nueva expresión resulte más simple 
de integrar. Además, recordar que no siempre es posible realizar el 
cambio de variable de integración 
 
98 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina partición y norma de una partición. 
 ¿Cuándo una partición es regular? Ejemplifique. 
 Es correcto o no. Justifique. 
a) ∑ (𝑖 + 1) = ∑ 𝑖 + 1𝑛𝑖=1
𝑛
𝑖=1 
b) ∑ (𝑏 + 1) = 𝑛(𝑏 + 1)𝑛𝑖=1 𝑏:cte. 
c) ∑ (𝑘𝑎𝑖 + 1) = 𝑘 ∑ (𝑎𝑖 + 1)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1 
d) ∑ (𝑎𝑖 ∙ 𝑏𝑖) = ∑ 𝑎𝑖 ∙ ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1 
 Defina suma de Riemann. 
 ¿Cuál es el resultado de la suma de Riemann? 
 Cuáles deben ser las condiciones de la función para que la suma de Riemann represente el área 
aproximada de la curva 
 Defina integral definida. Ejemplifique. 
 Enuncie el Teorema de Evaluación (Regla de Barrow) y proporcione ejemplos. 
 Analice si es correcto: 
a) ∫ 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑏 − 𝑎 
b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2𝑎
𝑎
= 𝐹(𝑎) 
 ¿Cuál es la diferencia entre integral indefinida e integral definida? Ejemplifique. 
 Enuncie las propiedades de las integrales definidas. 
 Si el resultado de una integral definida es cero, ¿los límites de integración son iguales? 
 ¿Cuál es el significado geométrico de ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 cuando 𝑓(𝑥) > 0? 
 ¿La integral definida es igual a un área? Justifique. 
 ¿Cómo y cuándo se aplica el método de sustitución para resolver una integral definida? 
 ¿Cómo se obtiene el área debajo de una curva positiva? Ejemplifique. 
 Enuncie el teorema del cálculo de un área encerrada entre dos curvas. 
 Explique el procedimiento para la determinación del área encerrada por dos curvas cuando la 
variable de integración es el eje de las abscisas ycuando es el eje de las ordenadas. 
 
Ejercitación 
 
 Si al intervalo [𝑎, 𝑏] = [−3, 2𝑟] de longitud 10 cm se aplica una partición regular y cada 
subintervalo mide 2 cm de longitud. ¿Cuáles son los extremos del intervalo [𝑎, 𝑏] y el número n 
de la partición? 
 Sea ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2
𝑎
0
 y ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −3
𝑏
𝑎
 con 0 < 𝑎 < 𝑏 aplicando propiedades determine: 
a) ∫ 2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
0
 c) ∫ [
1
𝑏
+ 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
0
 
 
99 
 
 Determine el área de la región sombreada, limitada por las curvas: 
23 += x)x(f ; xx)x(g 42 2 −= ; 63 +−= xy (Para los intervalos de 
integración utilice los datos de la gráfica) 
 
 
 
 
 Proporcionando la fundamentación teórica y/o algebraica correspondiente, decida si la 
proposición es correcta. 
a) Si F es la primitiva de f , entonces   )1()1(2)(
1
1
−−=+− FFdxxf 
b) Si 1−a la integral du
u
dx
x
aa

+
−
=
+
2
11
1
2
1
 
c) El resultado de  −
2
0
)1( dxx ¿es igual al área debajo de la función xxf −=1)( en  2,0 . 
 La tasa de natalidad en cierta población es 𝑛(𝑡) = 2𝑒0.04𝑡 millones de personas por año, y la tasa 
de mortalidad, es 𝑚(𝑡) = 2𝑒0.02𝑡 millones de personas por año. 
a) Esboce la gráfica de cada expresión en un intervalo de tiempo [0, 10] 
b) Explique porque el área entre las curvas representa el incremento de la población en el 
período considerado. 
c) Calcule el incremento de la población. 
 El aumento en kilogramos por día de un cerdo, a partir del primer mes de nacimiento y hasta el 
año está dado por 𝑝(𝑡) =
1
900
𝑡 +
161
900
 donde t indica la edad en días. ¿Cuántos kilogramos 
aumenta el cerdo entre los 40 y 100 días de nacido? 
 Los límites de una finca en el Valle de Lerma, están estimados por las siguientes funciones: 
𝐿1(𝑥) = 2.14𝑒
−0.98𝑥 − 2.6; 𝐿2(𝑥) = −0.2𝑥 + 6; 𝐿3(𝑥) = 6.8𝑥 − 20 y 𝐿4(𝑥) = −15.625𝑥 +
46.25. La abscisa del punto de corte de la función 𝐿1con la función 𝐿2 es −1.46 y con la función 𝐿4 
es 3.12. Obtenga la superficie de la finca. 
Imagen de la finca 
 
Área en un sistema de ejes coordenados